高中数学北师大版必修4学案：1.8.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 Word版含解析

第一章三角函数函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一教学目标：知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx ＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像三、学法与教学用具在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。

教学用具:投影机、三角板自主讲练一、教学思路【创设情境，揭示课题】在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。

正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。

【探究新知】例1．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。

函数y=Asin （ωx+φ的图像与性质（一）班级 姓名 组号【学习目标】1、会用五点法作sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+一个周期上的图像；2、掌握由函数sin y x =的图像得到函数sin (0)y A x A =>、sin()y x ϕ=+图像的变换的方法与过程;【教学重点】振幅变换与相位变换的方法与过程【教学难点】振幅变换与相位变换的实质【学习过程】一、预习自学1、知识点一： sin y x =与sin (0)y A x A =>图像的变换关系----振幅变换阅读课本第43-45页内容，理解五点法做函数12sin sin 2y x y x ==、的图像过程，观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin (0)y A x A =>与sin y x =图像间的变换关系：2、知识点二： sin y x =与sin()y x ϕ=+图像的变换关系----相位变换阅读课本第45-47页内容，理解用五点法做函数sin()4y x π=+、 sin()6y x π=-的图像过程. 观察此过程发生了自变量或函数值的怎样替换？思考归纳出sin()y x ϕ=+与sin y x =图像间的变换关系：二、课堂探究（巩固提升）问题1：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）1sin 3y x =（2）4sin y x =问题2：五点法做函数下列函数的简图，并说明它与sin y x =的图像关系：（1）sin()6y x π=+（2） sin()4y x π=-问题3：（1）2sin(3)y x =+的图像可由函数sin y x =的图像怎样得到？（2）函数1cos(1)2y x =-的图像可由函数cos y x =的图像怎样得到？【达标检测】1、要得到函数sin y x =的图像，只需要把函数sin()3y x π=-的图像 . 2、要得到函数1cos 3y x =的图像，只需要把函数1cos 2y x =的图像 . 3、函数3sin()6y x π=-的图像如何由sin y x =的图像得到？【我的疑惑】。

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§8函数y＝A sin（ωx＋φ）的图像与性质（一）学习目标 1.结合具体实例,了解y＝A sin（ωx＋φ) 的实际意义（重点).2.能借助计算器或计算机画出y＝A sin（ωx＋φ）的图像，观察参数A,ω、φ对函数图像变化的影响（难点）．知识点1 振幅变换(1）在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A 为振幅．（2)要得到函数y＝A sin x（A＞0，A≠1）的图像,只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时)到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．【预习评价】（1)函数y＝－2sin错误!的最大值为________最小值为________．答案 2 －2(2)函数y＝－错误!cos x取得最大值时的x的集合为________．答案{x｜x＝2kπ＋π,k∈Z｝知识点2 相位变换（1)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．(2）对于函数y＝sin（x＋φ)(φ≠0）的图像,可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动｜φ｜个单位长度得到的．【预习评价】(1）如何由y＝sin x的图像变换为y＝sin错误!的图像？提示向左平移错误!个单位长度．（2）如何由y＝sin错误!的图像变换为y＝sin x的图像？提示向右平移错误!个单位长度知识点3 周期变换(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝错误!，通常称周期的倒数f＝错误!＝错误!为频率．（2）对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的错误!倍（纵坐标不变)而得到的．【预习评价】1．函数y＝2sin错误!的周期、振幅依次是（）A．4π，－2 B．4π，2C．π,2D．π，－2答案B2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________。

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．由函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像？ 答 y ＝sin x 的图像变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图像．2．物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A ＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位． [预习导引]1．简谐振动 ：简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx ＋φ，初相是φ. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：(2)描点、连线，如图由图像知，在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎡⎦⎤－512π，π12上单调递增． 又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图像．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图像． 解 列表：描点画图(要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图像的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图像知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图像上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图像知A ＝3.∵图像过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图像变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图像上，可知函数图像由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 规律方法 三角函数中系数的确定方法给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图像可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图像平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2， 得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )． 由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析 提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析 由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )， ∵0≤φ≤2π，，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期的图像． 解 (1)列表：描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点，从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合， 当0<|a |<1时T >2π， 且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，B 符合． 排除A 、B 、C ，故选D.3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 B解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝______. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：二、能力提升8．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案 A解析 由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π， ∴ω＝2πT＝2. ∵图像过点(π3，0)， ∴sin(2π3＋φ)＝0， ∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z . ∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)． 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4∴T ＝π由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin(2·5π12＋φ)＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． 因为－π2＜φ＜π2， 所以取k ＝0，得φ＝－π3，故选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错； 对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z .∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5. ∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图像关于M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0， 解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.。

§8 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质第1课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像1．了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像.2．理解并掌握函数y＝A sin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点))3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点[基础·初探]教材整理函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的图像阅读教材P43～P52“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．参数A，φ，ω，b的作用2.(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．(2)上下平移：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数y ＝A sinx (A ＞0，A ≠1)的图像可以看作是把y ＝sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数y ＝sinωx (ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y ＝sinx 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω的大小与函数的周期有关．( )(3)φ的大小决定了函数与y ＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) 【解析】由A ，ω，φ，b 的几何意义知全对． 【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)√[小组合作型]作出函数y ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π3在一个周期内的图像．【精彩点拨】列表时用整体代换的思想，把ωx ＋φ看作一个整体，再用五点列表． 【自主解答】用“五点法”作图．列表：描点作图，如图．1．利用“五点法”作图像时，确定x 的值是本题的关键． 2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一般步骤： 第一步：列表．第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．[再练一题]1．用五点法作出函数y ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋3的图像，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值．【解】①列表.把⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，7π3上的图像向左、向右扩展，即得到y 的简图． 周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝12π，相位x －π3，初相－π3，最大值5，最小值1.写出由y ＝sin x 的图像变化到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像的不同方法步骤.【导学号：66470026】【精彩点拨】变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩． 【自主解答】法一：先平移再伸缩，过程如下：①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的图像；②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像．法二：先伸缩再平移，过程如下：①把y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x的图像；②把y ＝sin 12x 的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像；③把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4的图像．由y ＝sinx 的图像，通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|φ|ω个单位．不论哪一种变换，都是对字母x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．[再练一题]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin x 的图像如何变换得到的？【解】y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图像可用下面的方法得到：[探究共研型]探究1 怎样求三角函数的周期和初相？ 【提示】三角函数周期可利用公式T ＝2π|ω|，初相的求解可通过曲线所过的定点代入函数解析式，通过运算求得．探究2 怎样求振幅？【提示】图像最高点(或最低点)处的纵坐标的绝对值即为振幅的值． 探究3 根据图像怎样求周期？【提示】相邻最高点(或最低点)处的横坐标之差的绝对值即为周期的一半，或用一个周期为端点横坐标的差的绝对值．如图1－8－1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的图像，求函数的解析式．图1－8－1【精彩点拨】由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图像过的特殊点确定φ. 【自主解答】法一：根据题意，A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，3代入y ＝3sin(2x ＋φ)中，3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2，即φ＝π3， 从而所求函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.法二：由图像知A ＝3，又图像过M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，－3，根据五点作图法的原理(M ，N 可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有⎩⎪⎨⎪⎧π12ω＋φ＝π2，7π12ω＋φ＝32π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，从而所求函数解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ，b ：(1)A ：一般由图像上的最大值m 、最小值n 来确定A ＝m －n 2.(2)ω：因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点确定T ，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T 来确定．(3)φ：从寻找“五点法”中的第一个点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图像曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图像第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)b ：设函数的最大值为m ，最小值为n ，则b ＝m ＋n 2.[再练一题]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图1－8－2所示，则f (0)的值是________．图1－8－2【解析】由题图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2.又函数图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3.故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.【答案】62[构建·体系]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋1的最小正周期为( )A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 B2．最大值是12，周期是6π，初相是π6的三角函数的表达式可能是( )【导学号：66470027】A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6【解析】设函数的解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由题意知A ＝12，2πω＝6π， ω＝13，ωx ＋φ＝13x ＋φ＝π6，φ＝π6.【答案】 A 3．把y ＝sinx 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的13倍，得________的图像．【解析】【答案】y ＝13sin 3x4．将y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位，得到的曲线对应的解析式为________． 【解析】y ＝sin 2x ―――――→向左平移π3个单位y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3. 【答案】y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2π3 5．请用“五点法”作出函数y ＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋π4－1在长度为1个周期的闭区间上的简图．【解】列表：我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

【北师大版】高中数学必修四 函数sin()y A x ωϕ=+的图象 教学设计一、教学内容分析本节课选自北师大版《数学》，必修4 第一章 §8函数sin()y A x ωϕ=+的图象 。

它是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图象和性质的基础上对正弦函数图象的深化和拓展，由此进一步理解sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图象间的变换关系，通过学习sin()y A x ωϕ=+的图象变换的学习有助于学生进一步理解正弦函数的图象和性质，加深学生对其他函数图象变换的理解和认识，加深数形结合在数学学习中的应用的认识。

本节知识是学习函数图象变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要。

因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。

二、教学重点和难点教学重点：考察参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响，理解函数sin y x =图象到sin()y A x ωϕ=+的图象变化过程。

教学难点：ω对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响规律的概括。

三、教学过程设计（一）创设情境，揭示课题在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如sin()y A x ωϕ=+的函数，用几何画板软件可以很直观的演示物理中的简谐振动，使学生通过几何画板能形象、直观的看到简谐振动，这样的设计能激发学生原有的知识和经验，为其运用作好准备；设置悬念， 引出课题。

同时通过这样创设问题情景，使学生能够感受大众数学的意义，使学生明白数学其实就发生在我们的身边，使学生在学习过程中感受数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性，更好地促进学生的发展，体现了新课标的要求。

（二）探究新知，突破难点在讲解新课前，先提出数学问题，以便让学生在用几何画板进行数学实验时能抓住本课要点,明确本节课的重要内容，带着问题集中注意力探索问题，激发学生的求知欲望。

设计如下数学问题： 1、如何由函数sin y x =的图象经过变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象？ 2、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与字母,,A ωϕ的关系是怎样的？ 3、如何由函数sin y x =的图象经过变换得到函数3sin(2)6y x =+π的图象？这样设计一系列问题，层层解剖，层层推进，引导学生研究问题要从具体的函数到抽象的一般函数的科学态度和方法。

【课题】 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像【学习目标】✧ 知识与技能（1）理解A 、ω、ϕ的变化对函数图像的形状及位置的影响；（2）掌握由x y sin =的图像到)sin(ϕω+=x A y 的图像的变换规律.✧ 过程与方法（1）使学生经历图像变换的过程，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力；（2）锻炼学生归纳总结和逻辑思维的能力.✧ 情感态度价值观经历图像变换的实际操作过程，培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想.【学习重点】 1.考查参数A 、ω、ϕ对函数图像变换的综合影响；2.理解如何由x y sin =图像变换到)sin(ϕω+=x A y 图像的过程.【学习难点】 ω对)sin(ϕω+=x A y 的图像的影响规律的概括.【学习过程】一、基本概念1.周期：2.振幅：3.频率：4.相位：5.初相：二、合作探究五点作图法步骤： 、 、探究一 参数()0>A A 对x A y sin =的图像的影响.作出函数在同一坐标系中的图象，观察y 2sin x =， 与y sin x =的图像之间的关系.1y sin 2x =小结1： y sin x = 探究二 参数()0>ωω对x y ωsin =的图像的影响.作出函数在同一坐标系中的图象，观察1sin 2sin2y x y x ==，和x y sin =的图像之间的关系.小结2：x y sin =探究三 参数ϕ对R x x y ∈+=，)sin(ϕ的图像的影响.观察sin(),sin()33y x y x ππ=+=-的图像和x y sin =的图像之间的关系.小结3：x y sin =思考：函数x y 2sin =的图像如何平移得到sin 23y x π=+（）-1的图像？【小结提升】y A sin x =sin y x ω=sin()y x x R φ=+∈，。

函数y=Asin(ωx+φ)的图像整体设计教学分析本节通过图像变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图像呢?通过引导学生对函数y ＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在.由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系上,对A、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.推进新课新知探究提出问题①观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响？ ②分别在y=sinx 和y=sin(x+3π)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图像,看看与y ＝sinx 的图像是否有类似的关系？③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+φ)的图像.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=3π,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3π). ⑤类似地,你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+3π)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=3π.此时,可以对A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+3π)图像上点的坐标和y=sinx 的图像上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差3π的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图像,并探究它与y=sinx 的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=3π,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+3π)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx 的图像上对应点的横坐标减去3π.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B -x A 、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+3π)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx 的图像向左平移3π使之与y=sin(x+3π)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取φ=-4π,用同样的方法可以得到y=sinx 的图像向右平移4π后与y=sin(x-4π)的图像重合.如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2.图2问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+3π)为参照,把y=sin(2x+3π)的图像与y=sin(x+3π)的图像作比较,取点A 、B 观察.发现规律:图3如图3,对于同一个y 值,y=sin(2x+3π)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+3π)的图像上对应点横坐标的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律. (2)取ω=21,让学生自己比较y=sin(21x+3π)的图像与y=sin(x+3π)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+3π)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(21x+3π)的图像. 当取ω为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+3π)的图像的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图像与y=sin(x+φ)的图像之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图像可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到.如图4.图4问题⑤,教师点拨学生,探索A 对图像的影响的过程,与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3π)的图像和y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x 值,函数y=3sin(2x+3π)的图像上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3π)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3π)的图像,可以看作是把y=sin(2x+3π)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:图5函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是\[-A,A\],最大值是A,最小值是-A.如图6.图6由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y ＝sinx 的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图像.⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx 的图像到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略.③图像左右平移,φ影响的是图像与x 轴交点的位置关系. ④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图像的形状. ⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图像的形状.⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asinx 的图像横)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=Asin(ωx)的图像个单位平移或向右向左ωϕϕϕ)0()0(<>得y=Asin(ωx+φ)的图像. 规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图像个单位长度平移或向右向左ϕϕϕ)0()0(<>得y=sin(x+φ)的图像)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=sin(ωx+φ)的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asin(ωx+φ)的图像.先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例例1 画出函数y=2sin(31x-6π)的简图.活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ＝-6π,ω＝31,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(31x-6π)的图像的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度,得到y=sin(x-6π)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(31x-6π)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(31x-6π)的图像,如图7所示.图7(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(31x-6π)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(31x-6π)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的方法为y=sinx )6sin(6ππ-=−−−−→−x y 个单位右移)631sin(3π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 )631sin(22π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 方法二:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的又一方法为y=sinx 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变3−−−→−y=2sin −−−−→−个单位右移231πx y=)631sin(2π-x )2(31sin 2π-=x 方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图像)令X=1x-π,则x=3(X+π).列表:描点画图,如图8所示.图8点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0, 12π,π,23π,2π来确定对应的x 值. 变式训练1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+3π)的图像,只需将函数y=sinx 的图像( ) A.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 D.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 答案:C2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-5π)的图像,只需将函数y ＝2sin3x 的图像( )A.向左平移5π个单位B.向右平移5π个单位 C.向左平移15π个单位 D.向右平移15π个单位答案:D2.将y=sinx 的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+4π)+1的图像? 活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度得到的函数图像的解析式是y=sin2(x+8π)而不是y=sin(2x+8π),把y=sin(x+4π)的图像的横坐标缩小到原来的21,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+4π),而不是y=sin2(x+4π).解:方法一:①把y=sinx 的图像沿x 轴向左平移4π个单位长度,得y=sin(x+4π)的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=sin(2x+4π)的图像；③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+4π)的图像；④最后把所得图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像.方法二:①把y=sinx 的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx 的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=2sin2x 的图像；③将所得图像沿x 轴向左平移8π个单位长度,得y=2sin2(x+8π)的图像；④最后把图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像. 点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练1.将y=sin2x 的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-4π)的图像? 解:y=sin2x=cos(2π-2x)=cos(2x-2π). 在y=cos(2x-2π)中以x-a 代x,有y=cos ［2(x-a)-2π］=cos(2x-2a-2π).根据题意,有2x-2a-2π=2x-4π,得a=-8π.所以将y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度可得到函数y=cos(2x-4π)的图像.2.如何由函数y=3sin(2x+3π)的图像得到函数y=sinx 的图像？解法一:y=3sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的2y=sin(x+3π) −−−→−3π向右平移y=sinx.解法二:y=3sin(2x+3π)=3sin2(x+6π)−−−→−6π向右平移y=3sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的31y=sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的2y=sinx.3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx 的图像,只需将函数y=cos(x-3π)的图像( ) A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位答案:A 知能训练课本本节练习1 1、2、3. 课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3π)的图像,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换. 作业1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx 的图像画出函数y=-21sin(-2x)的图像. 2.要得到函数y=cos(2x-4π)的图像,只需将函数y=sin2x 的图像通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx 的关系. 解答:1.∵y=-21sin(-2x)=21sin2x,作图过程: y=sinx .2sin 212sin 2121x y x y =−−−−−−→−=−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标变为原来的纵坐标不变倍横坐标变为原来的 2.∵y=cos(2x -4π)=sin[2π+(2x-4π)]=sin(2x+4π)=sin2(x+8π), ∴将曲线y=sin2x 向左平移8π个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的21,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A 对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A 对函y=Asin(ωx+φ)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx 的图像与函数y=Asin(ωx+φ)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,φ≠0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(21x-3π)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.推进新课 新知探究 提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y ＝sin2x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图像；(2)把函数y ＝sin3x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图像；(3)如何由函数y ＝sinx 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+3π)的图像？③将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移2π个单位长度,所得到的曲线是y=21sinx 的图像,试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自 解法)甲生:所给问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位长度,得到y=21sin(x-2π)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21,得到y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x 的图像,∴f(x)=-21cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移2π个单位长度,得到y=Asin(2ωx+2π+φ)=21sinx,∴A=21,2ω=1,2π+φ=0,即A=21,ω=2,φ=-2π.∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin[2ω(x+2π)+φ]=Asin(21)42(=++ϕωπωx sinx, ∴A=21,2ω=1,4ωπ+φ=0.解得A=21,ω=2,φ=-2π,∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=21sinx 变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(2ωx+φ)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(2ωx+φ)函数中的自变量x 变成x+2π,应该变换成y=Asin[2ω(x+2π)+φ],而不是变换成y=Asin(2ωx+2π+φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,2π,π,23π,2π. ②(1)右,6π；(2)左,18π；(3)先y ＝sinx 的图像左移3π,再把所有点的横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变).③略. 提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=ωπ2,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T l =πω2给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位; x=0时的相位φ称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0. ②略. 应用示例例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.图1活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为45. (2)如果从O 点算起,到曲线上的D 点,表示完成了一次往复运动;如果从A 点算起,则到曲线上的E 点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞), 那么A=2;由ωπ2=0.8,得ω=25π;由图像知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sin25πx,x ∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练函数y=6sin(41x-6π)的振幅是__________,周期是__________,频率是__________,初相是__________,图像最高点的坐标是__________. 解:6 8ππ81 -6π (8k π+38π,6)(k ∈Z ) 例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(12π,3)和一个最低点(127π,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像向上(B ＞0)或向下(B ＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y 轴最近的一个即可. 解:由已知条件,知y max =3,y min =-5,则A=21(y max -y min )=4,B=21(y max +y min )=-1,2T =127π-12π=2π. ∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1.。

明目标、知重点 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，A 叫作振幅，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π，相位是ωx＋φ，初相是φ.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下 定义域 R 值域 [－A ，A ] 周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数．单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到.[情境导学] 做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系、交流电的电流y 与时间x 的关系等都是形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图像呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？探究点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图像思考1 物理中，简谐运动的图像就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)的图像，其中A >0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答 A 是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T ＝2πω是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f ＝1T ＝ω2π是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx ＋φ称为相位；φ称为初相，即x ＝0时的相位．思考2 利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)在一个周期上的图像，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的表格 ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x －φω －φω＋π2ω－φω＋πω －φω＋3π2ω －φω＋2πωyA－A所以，描点时的五个关键点的坐标依次是⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0，⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ，⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0.例1 画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的简图．解 方法一 先把正弦曲线上所有点向右平行移动π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像；再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6的图像，如图所示．方法二 下面利用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6在一个周期T ＝2π13＝6π内的图像． 令X ＝13x －π6，则x ＝3⎝⎛⎭⎫X ＋π6.列表：X 0 π2 π 3π2 2π x π2 2π 7π2 5π 13π2 y2－2描点画图(如图所示)：反思与感悟 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．跟踪训练1 如图是某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式．解 (1)从图像上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm ；周期为0.8 s ；频率为54.(2)如果从O 点算起，到曲线上的D 点，表示完成了一次往复运动；如果从A 点算起，则到曲线上的E 点，表示完成了一次往复运动． (3)设这个简谐运动的函数表达式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，那么，A ＝2； 由2πω＝0.8，得ω＝5π2； 由图像知初相φ＝0. 于是所求函数表达式是 y ＝2sin5π2x ，x ∈[0，＋∞)． 探究点二 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像求三角函数的解析式 例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段，求其解析式．解 由图像知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 反思与感悟 (1)在由图像求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图像左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图像确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图像明确指出了周期的大小和初始值x 1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图像确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图像观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出． 跟踪训练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像，根据图中条件，写出该函数的解析式． 解 由图像知A ＝5. 由T 2＝5π2－π＝3π2， 得T ＝3π，∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )． 由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.∴该函数解析式为y ＝5sin(23x ＋π3)．探究点三 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性 思考1 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z )．②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．思考2 探求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性．答 ①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于点(x 0,0)中心对称当且仅当f (x 0)＝0.②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像关于直线x ＝x 0轴对称当且仅当f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A . ③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一． 一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－φω，0，k ∈Z ，对称轴方程是x ＝k π＋π2－φω，k ∈Z . 例3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值． 解 ∵函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－a ＝0，∴a ＝2.反思与感悟 对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)而言，函数图像与x 轴的交点就是图像的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，求a 的值．解 根据函数图像关于直线x ＝－π8对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立． 取x ＝π8得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4. 代入得a －2＝－a 2，解得a ＝1或a ＝－2.1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图像，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π6的图像( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 A解析 提取x 的系数－12得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x －π3，于是可得，向左平移π3个单位． 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4答案 C解析 由所给图像可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图像在x ＝1处取得最高点， ∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图像． 解 (1)列表：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π43－3[呈重点、现规律]1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础过关1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图像不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1时T <2π，且最小值为负数，B 符合．D 项中，由振幅得a >1，所以T <2π，而由图像知T >2π，矛盾，故选D. 3.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω等于 ( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 根据图像确定函数的最小正周期，再利用T ＝2πω求ω. 设函数的最小正周期为T ，由函数图像可知T 2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝ . 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6. 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8.右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析 由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为 ． 答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0， 可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z .∴④错．11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图像相邻的最高点与最低点横坐标之差是3π，又图像过点(0,1)，求函数的解析式． 解 由于最小值为－2，所以A ＝2. 又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π. 故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.又图像过点(0,1)，所以sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0)的图像过点P (π12，0)，图像与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)．(1)求函数解析式； (2)指出函数的增区间； (3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图像最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)，得sin(23π＋φ)＝1.∴23π＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .令k ＝0，则φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(3)∵5sin(2x －π6)≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴x 的取值范围为{x |k π－512π≤x ≤k π＋π12}(k ∈Z )． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2.由图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称可知， sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，2 3；当k＝2时，ω＝2.∴当k＝1时，ω＝。