第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
初中化学反应类型归纳 一、分解反应 1、水在直流电的作用下分解 2、加热碱式碳酸铜 3、加热氯酸钾（有少量的二氧化锰） 4、加热高锰酸钾 5、碳酸不稳定而分解 6、高温煅烧石灰石 二、化合反应 （1）活泼金属+ 氧气 ------- 金属氧化物 1、镁与氧气 2、铁与氧气 3、铜与氧气 4、铝与氧气 （2）非金属单质+ 氧气 ------- 非金属氧化物 1、碳与氧气 2、硫与氧气 3、磷与氧气
（1）金属单质 +酸 -------- 盐+氢气（置换反应） 1、锌和稀硫酸 2、铁和稀硫酸 3、镁和稀硫酸 4、铝和稀硫酸 5、锌和稀盐酸 6、铁和稀盐酸 7、镁和稀盐酸 8、铝和稀盐酸 （2）金属单质 + 盐（溶液） ------- 另一种金属 + 另一种盐 1、铁和硫酸铜溶液反应 2、锌和硫酸铜溶液反应 3、铜和硝酸汞溶液反应 （3）非金属单质+ 金属氧化物=== 金属单质+ 非金属氧化物 1、氢气还原氧化铜 2、木炭还原氧化铜 3、焦炭还原氧化铁 4、焦炭还原四氧化三铁
（1）酸 + 碱 -------- 盐+ 水 1、盐酸和烧碱起反应 2、盐酸和氢氧化钾反应 3、盐酸和氢氧化铜反应 4、盐酸和氢氧化钙反应 5、盐酸和氢氧化铁反应 6、氢氧化铝药物治疗胃酸过多 7、硫酸和烧碱反应 8、硫酸和氢氧化钾反应 9、硫酸和氢氧化铜反应 10、硫酸和氢氧化铁反应 11、硝酸和烧碱反应 （2）酸 + 盐 -------- 另一种酸+ 另一种盐 1、石与稀盐酸反应 2、碳酸钠与稀盐酸反应 3、碳酸镁与稀盐酸反应 4、盐酸和硝酸银溶液反应 5、硫酸和碳酸钠反应 6、硫酸和氯化钡溶液反应
三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）
说明：“﹡”代表了解，“★”代表重中之重，反复记忆 一、化合反应： 1、镁带燃烧：2Mg+O2===2MgO 现象：发出耀眼的强光，放出大量的热，生成白色固体。 2、铁丝在氧气中燃烧：3Fe+2O2===Fe3O4 现象：在氧气中剧烈燃烧，火星四射；生成黑色固体 > 3、铝在空气中与氧气反应：4Al+3O2===2Al2O3 4、木炭燃烧： 氧气充足：C+O2===CO2 现象：⑴木炭在空气中燃烧发红热； ⑵在氧气中剧烈燃烧发出白光，生成无色气体使澄清石灰水变浑浊。 氧气不充足：2C+O2===2CO 5、硫燃烧：S+O2===SO2 现象：⑴在空气中燃烧发出微弱的淡蓝色火焰； ⑵在氧气中剧烈燃烧，发出明亮的蓝紫色火焰，生成一种有刺激性气味的气体。 6、红磷燃烧：4P+5O2===2P2O5 现象：在氧气中剧烈燃烧，生成大量白烟，发出黄色火焰。 ） 7、氢气燃烧：2H2+O2===2H2O 现象：纯净的氢气在空气中安静燃烧，发出淡蓝色火焰，生成无色液滴。 8、一氧化碳燃烧：2CO+O2===2CO2 现象：产生蓝色火焰，生成无色气体使澄清石灰水变浑浊。 9、二氧化碳与水反应：CO2+H2O===H2CO3 现象：二氧化碳使紫色石蕊试剂变为红色。 10.氧化钙和水反应：CaO+H2O===Ca(OH)2 放热 | (CaO可用作干燥剂) 二、分解反应： 11、电解水：2H2O===2H2↑+ O2↑ 现象：两极都产生气泡 正极产生的气体和负极产生的气体体积比为1 ：2； 12、实验室制氧气的反应原理：★ ⑴加热氯酸钾和二氧化锰的混合物：2KClO3===2KCl+3O2↑ ⑵加热高锰酸钾：2KMnO4===K2MnO4+MnO2+O2↑ ⑶双氧水分解：2H2O2=== 2H2O +O2↑ 13、碳酸不稳定分解：H2CO3===H2O+CO2↑ 。 三、置换反应： 14、实验室制氢气的反应原理：Zn+H2SO4===ZnSO4+H2↑ 15、金属与酸生成氢气的反应：（条件：金属活动性顺序中氢之前的金属） Fe+H2SO4===FeSO4+H2↑Fe+2HCl===FeCl2+H2↑ 现象：产生气泡，金属逐渐减少，溶液由无色变为浅绿色 Mg+H2SO4===MgSO4+H2↑Mg+2HCl===MgCl2+H2↑ 现象：产生气泡，金属逐渐减少 》 ﹡16、氢气还原氧化铜：H2+CuO===Cu+H2O 现象：黑色固体变为红色，生成无色液滴。 17、碳还原氧化铜：C+2CuO===2Cu+CO2↑ 现象：黑色固体变为红色，生成无色气体使澄清石灰水变浑浊。18、碳还原氧化铁：2Fe2O3+3C=== 4Fe+3CO2↑ 点燃 点燃 点燃 ~ 点燃 点燃 点燃 Δ Δ Δ 高温 # 高温 通电 MnO2 点燃
初中化学方程式分类总结 （一）化合反应A+B→C 多变一木炭完全燃烧：C+O2 CO2 （还记得什么情况下生成CO2 ）木炭不完全燃烧：2C+O22CO 什么情况下生成CO吗？硫在氧气或者空气中燃烧：S+O2 SO2铁在氧气中燃烧：3Fe +2O2 Fe3O4 （黑）磷在氧气中燃烧：4P+5O22P2O5 （白）铜在空气中加热：2Cu+O22CuO（黑）一氧化碳在空气中燃烧：2CO+O22CO2二氧化碳通过灼热的碳层：CO2 +C2CO二氧化碳与水反应：CO2 +H2O===H2CO3氧化钠溶于水：Na2O +H2O ===2NaOH氧化钾与水反应：K2O + H2O===2KOH生石灰和水化合：CaO+H2O ===Ca(OH)2三氧化硫溶于水：SO3+H2O ===H2SO4 【SO3是H2SO4的酸酐二氧化硫溶于水：SO2+H2O===H2SO3 注意S元素化合价未变哦】 氢气在氧气中燃烧：2H2 +O22H2O氢气在氯气中燃烧：H2 + Cl22HCl铁在氯气中燃烧：2Fe +3 Cl22FeCl3铁生锈4Fe +3O2 +2n H2O===2Fe2O3nH2O铜生锈2Cu + O2 + H2O + CO2 ===Cu2(OH)2CO3白色无水硫酸铜遇水变蓝：CuSO4+5H2O ===CuSO45H2O （蓝）铝在纯氧中燃烧4Al+3O22Al2O3 铝在空气耐腐蚀的原因：4Al +3O2 ===2Al2O3 （不用写条件）镁条可以与氮气反应：3Mg + N2 Mg3N2镁在空气中燃烧：2Mg+O22MgO （白）（二）分解反应：
C→A+B 一变多氯酸钾与二氧化锰共热实验室制O22KClO32KCl +3O2↑加热高锰酸钾制O2 ：2KMnO4 K2MnO4+MnO2+O2↑（注意会画这三种制取氧气方法的实验装置图）MnO2催化分解双氧水制 O2 ：2H2O22H2O +O2↑加热铜绿：Cu2(OH)2CO32CuO+H2O +CO2 ↑电解水：2H2O2H2 ↑+ O2↑碳酸不稳定分解：H2CO3===H2O+CO2↑高温煅烧石灰石：CaCO3 CaO+CO2 ↑硫酸铜晶体受热失水： CuSO45H2O CuSO4 +5H2O氢氧化铜受热分解：Cu(OH)2 CuO + H2O 加热分解氧化汞：2HgO2Hg + O2↑工业制铝：2Al2O32Al +3O2 ↑碳酸氢铵的分解 NH4HCO3 NH3 ↑ + H2O +CO2 ↑碳酸氢钙的分解Ca（HCO3）2 CaCO3 ↓ + CO2 ↑ + H2O （三）置换反应 A + BC → B + AC 单质和化合物反应生成 另一种单质和另一种化合物 B的位置被A替换了（注意定义和观察置换的位置）注意置换反应是两种反应物两种生产物，近几年来，在物质推断题中经常考察置换反应，基本的设置是两种反应物，两种生产物，反应物中有种是单质，生产物有种是单质，那 就是置换嘛。但涉及到置换反应的分类。 1、金属与液态物质的置换反应①活波金属与酸（溶液）实验室用锌和硫酸制H2：Zn+H2SO4 = ZnSO4+H2↑ （为什么用锌呢？）锌和稀盐酸的：Zn+2HCl=ZnCl2+H2↑（因为锌的速度适中 那为什么不用盐镁与稀硫酸：Mg + H2SO4 = MgSO4 + H2↑ 酸 呢？盐酸挥发出HCl气体）镁与稀盐酸：Mg + HCl== MgCl2+ H2↑铁和稀盐酸：Fe+2HCl=FeCl2+H2↑ （注意是+2价的铁）铁和
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
1、卤代反应：有烃与卤素单质反应 如423CH Cl CH Cl HCl +?? →+光（烷烃：光照） 2Fe Br +?? →Br -HBr +（芳香烃：催化剂） 醇与氢卤酸反应 例：25252C H OH HBr C H Br H O +→+ 2、硝化反应： 如 3|CH 2433H SO HNO +????→浓2O N -2 NO -2| NO 3 | CH 23H O + 3、碘化反应： 如：()24H SO ?+??→浓3SO H -2H O + 4、有机物的水解（卤代烃水解和酯的水解） 例：25225C H Br H O C H OH HBr ?+?? →+ 3252325H CH COOC H H O CH COOH C H OH + ++垐垎噲垐 5、分子间脱水（酯化反应，醇分子间脱水） 例如：24 3253252H SO CH COOH C H OH CH COOC H H O ?+????→+浓 24025252521402H SO C C H OH C H OC H H O ????→+浓
1、不饱和烃与H 2、X 2、HX 、H 2O 等加成 如2332Ni CH CH H CH CH ? ≡+??→ 22222|| CH CH Br CH CH Br Br =+→- 2、芳香烃与X 2、H 2加成 例： 23Ni H ?+??→ 3、||O C --与H 2加成（包括醛、酮单糖与H 2加成） 如3232Ni CH CHO H CH CH OH ? +??→ 三、消去反应： 1、卤代烃消去：X 所连碳原子上连有H 原子的卤代烃才能消去（NaOH 醇溶液）。 如：322322CH CH CH X NaOH CH CH CH NaX H O ? -+??→=++醇 2、醇消去：羟基所连碳原子上的相邻碳原子上必须连有H 原子的醇才能消去（浓H 2SO 4，加热）。 如：2403232217033 ||| H SO C CH CH CH CH C CH H O CH CH OH --????→-=+浓 四、聚合反应： 1、加聚反应：不饱和有机物彼此加成而生成高分子化合物的反应。
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ
有机化学反应类型总结 1、取代反应 定义：有机物分子里的某些原子或原子团被其它原子或原子团所代替的反应称为取代反应。 （1）能发生取代反应的官能团有：醇羟基（－OH）、卤原子（－X）、羧基（－COOH）、酯基（－COO－）、肽键（－CONH－）等。 （2）能发生取代反应的有机物种类如下图所示： 2、加成反应 定义：有机物分子里不饱和的碳原子跟其他原子或原子团直接结合，生成别的物质的反应，叫加成反应。分子结构中含有双键或三键的化合物，一般能与H2、X2（X为Cl、Br、I）、HX、H2O、HCN等小分子物质起加成反应。 1．能发生加成反应的官能团：双键、三键、苯环、羰基（醛、酮）等。 2．加成反应有两个特点： ①反应发生在不饱和的键上，不饱和键中不稳定的共价键断裂，然后不饱和原子与其它原子或原子团以共价键结合。 ②加成反应后生成物只有一种（不同于取代反应）。 说明： 1．羧基和酯基中的碳氧双键不能发生加成反应。 2．醛、酮的羰基只能与H2发生加成反应。 3．共轭二烯有两种不同的加成形式。 3、消去反应 定义：有机化合物在适当条件下，从一个分子相邻两个碳原子上脱去一个小分子（如H2O、HX等）而生成不饱和（双键或三键）化合物的反应称为消去反应。发生消去反应的化合物需具备以下两个条件： （1）是连有—OH（或—X）的碳原子有相邻的碳原子。 （2）是该相邻的碳原子上还必须连有H原子。
（1）能发生消去反应的物质：醇、卤代烃；能发生消去反应的官能团有：醇羟基、卤素原子。 （2）反应机理：相邻消去 发生消去反应，必须是与羟基或卤素原子直接相连的碳原子的邻位碳上必须有氢原子，否则不能发生消去反应。如CH3OH，没有邻位碳原子，不能发生消去反应。 4、聚合反应 定义：有许多单个分子互相结合生成高分子化合物的反应叫聚合反应。 聚合反应有两个基本类型：加聚反应和缩聚反应 （1）加聚反应： 由许多单个分子互相加成，又不缩掉其它小分子的聚合反应称为加成聚合反应。烯烃、二烯烃及含C=C的物质均能发生加聚反应。 烯烃加聚的基本规律： （2）缩聚反应： 单体间相互结合生成高分子化合物的同时，还生成小分子物质的聚合反应，称为缩合聚合反应。 酚和醛、氨基酸（形成多肽）、葡萄糖（形成多糖）、二元醇与二元酸、羟基羟酸等均能发生缩聚反应。 （1）二元羧酸和二元醇的缩聚，如合成聚酯纤维： （2）醇酸的酯化缩聚： （3）氨基与羧基的缩聚 （1）氨基酸的缩聚，如合成聚酰胺6： （2）二元羧酸和二元胺的缩聚： nHOOC-(CH2)4-COOH+nNH2(CH2)6NH2 =[CO(CH2)4CONH(CH2)6NH]n+2nH2O 5、氧化反应与还原反应 1．氧化反应就是有机物分子里“加氧”或“去氢”的反应。 能发生氧化反应的物质和官能团：烯（碳碳双键）、醇、酚、苯的同系物、含醛基的物质等。
初中化学反应类型的总结(三大块复习法) 一、四种基本反应类型 1、化合反应（A+B=AB） (1)、单质+氧气→氧化物 单质有：C、S、P、H2;Mg、Fe、Al、Cu、Hg （2）、某些氧化物+水→酸或碱 氧化物有：CO2、SO2、SO3、CaO （3）、其它化合反应 ①、H2+Cl2 ===2HCl ②、CO和CO2的转化： 点燃高温 2CO+O2 == 2CO2 CO2+C == 2CO 2、分解反应（AB==A+B） (1)、有氧气生成的分解反应 如：KclO3、KMnO4、H2O、H2O2、HgO (2)、有二氧化碳生成的分解反应 如：Cu2(OH)2CO3、CaCO3、H2CO3、NaHCO3、NH4HCO3 3、置换反应（A+BC ==B+AC） （1）、活泼金属+酸→盐+氢气 活泼金属指在金属活动性顺序里排在氢之前的金属，但钾、钠钙除外。 如：Zn+H2SO4 == ZnSO4+H2↑ Fe+2HCl == FeCl2+H2↑ (2)、金属+盐→新盐+新金属 Fe+CuSO4 ==Cu+FeSO4 Cu+2AgNO3 ==2Ag+Cu(NO3)2 (3)、H2（或C）+金属氧化物→金属+H2O(或CO2↑) H2+CuO == Cu+H2O 高温 C+CuO == Cu+CO2↑ 4、复分解反应(AB+CD == AD+CB) （1）、金属氧化物+酸→盐+水 Fe2O3+6HCl == 2FeCl3+3H2O CuO+H2SO4 == CuSO4+H2O (2)、酸与碱；酸与盐反应 酸+碱→盐+水 HCl+NaOH ==NaCl+H2O
Cu(OH)2+H2SO4 ==CuSO4+2H2O 酸+盐→新酸+新盐 HCl+AgNO3 ==AgCl↓+HNO3 H2SO4+BaCl2 ==BaSO4↓+2HCl 3、盐与碱；盐与盐反应 盐+碱→新盐+新碱 CuSO4+2NaOH == Cu(OH)2+Na2SO4 盐+盐→新盐+新盐 BaCl2+Na2SO4 ==BaSO4↓+2NaCl 二、不属于四种基本反应类型的化学反应 1、CO +金属氧化物→金属+ CO2 高温 CO + Cu == Cu + CO2 2、有机物+O2→ CO2+H2O 点燃 CH4 + O2 == CO2 + H2O 点燃 C2H5OH + O2 == CO2 + H2O 3、非金属氧化物+碱→盐+水 CO2+NaOH ==Na2CO3+H2O CO2+Ca(OH)2 ==CaCO3+H2O
第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型
高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x
二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-；
酸碱盐化学方程式(练习) 一．两个置换反应规律 1．酸+金属==盐+氢气 反应条件：①酸不能用强氧化性酸，如硝酸、浓硫酸,（常用稀硫酸、盐酸） ②金属必须位于氢以前（常用Mg、Al、Zn、Fe） Mg+ HCl== Mg+ H2SO4== Al+ HCl== Al+ H2SO4== Zn+ HCl== Zn+ H2SO4== Fe+ HCl== Fe+ H2SO4=== 2．盐+金属==新盐+新金属 反应条件：①盐（反应物）必须溶于水 ②金属单质（反应物）比盐中金属活泼,不用钾、钙、钠 Fe+CuSO4== Al+ CuSO4== Zn+CuSO4== Cu+ AgNO3== Cu+Hg(NO3)2== 二．三个分解反应规律 1．酸（含氧酸）==非金属氧化物+水 === H2O+CO2↑ 2．碱（难溶性）== 金属氧化物+水 Cu(OH)2Fe(OH)3 3．碳酸盐（难溶性）==金属氧化物+二氧化碳 CaCO3 三．四个化合反应规律 1．金属+氧气== 金属氧化物 Mg+O2Fe+ O2Cu+ O2 2．金属氧化物+水== 碱（可溶性） CaO+H2O== Na2O+H2O== 3．非金属+氧气==非金属氧化物 S+O2P+O2C+O2(碳充分燃烧) C+O2(碳不充分燃烧) H2+O2 4．非金属氧化物+水==酸 CO2+H2O== SO3+H2O== SO2+H2O== 四．五个复分解反应规律（亚硫酸） 1．酸+碱==盐+水 Cu(OH)2+ HCl== Al(OH)3+ HCl== Cu(OH)2+H2SO4== Mg(OH)2+ HNO3== 2．酸+盐==新酸+新盐反应条件：符合复分解反应发生的条件（实际反应条件很复杂）CaCO3+ HCl== Na2CO3+ HCl==
有机化学复习总结 一．有机化合物的命名 1. 能够用系统命名法命名各种类型化合物： 包括烷烃，烯烃，炔烃，烯炔，脂环烃（单环脂环烃和多环置换脂环烃中的螺环烃和桥环烃），芳烃，醇，酚，醚，醛，酮，羧酸，羧酸衍生物（酰卤，酸酐，酯，酰胺），多官能团化合物（官能团优先顺序：－COOH ＞－SO3H ＞－COOR ＞－COX ＞－CN ＞－CHO ＞>C ＝O ＞－OH(醇)＞－OH(酚)＞－SH ＞－NH2＞－OR ＞C ＝C ＞－C ≡C －＞(－R ＞－X ＞－NO2)，并能够判断出Z/E 构型和R/S 构型。 2. 根据化合物的系统命名，写出相应的结构式或立体结构式（伞形式，锯架式，纽曼投影式，Fischer 投影式）。 立体结构的表示方法： 1）伞形式：C COOH OH H 3C H 2）锯架式：CH 3 OH H H OH C 2H 5 3） 纽曼投影式： H H H H H H H H H H H H 4）菲舍尔投影式：COOH CH 3 OH H 5）构象(conformation) (1) 乙烷构象：最稳定构象是交叉式，最不稳定构象是重叠式。 (2) 正丁烷构象：最稳定构象是对位交叉式，最不稳定构象是全重叠式。 (3) 环己烷构象：最稳定构象是椅式构象。一取代环己烷最稳定构象是e 取代的椅 式构象。多取代环己烷最稳定构象是e 取代最多或大基团处于e 键上的椅式构象。 立体结构的标记方法 1. Z/E 标记法：在表示烯烃的构型时，如果在次序规则中两个优先的基团在同一 侧，为Z 构型，在相反侧，为E 构型。 CH 3 C C H Cl C 2H 5CH 3C C H C 2H 5Cl (Z)－3－氯－2－戊烯 (E)－3－氯－2－戊烯 2、 顺/反标记法：在标记烯烃和脂环烃的构型时，如果两个相同的基团在同一侧， 则为顺式；在相反侧，则为反式。 CH 3C C H CH 3H CH 3C C H H CH 3顺－2－丁烯 反－2－丁烯CH 3 H CH 3 H CH 3 H H CH 3顺－1,4－二甲基环己烷反－1,4－二甲基环己烷 3、 R/S 标记法：在标记手性分子时，先把与手性碳相连的四个基团按次序规则排序。然后将最不优先的基团放在远离观察者，再以次观察其它三个基团，如果优先顺序
有机化学反应类型全总结一、取代反应 定义:有机物分子里的某些原子或原子团被其它原子或原子团所代替的反应称为取代反应. 取代反应的类型很多, 中学化学中主要有下面几类： 1.卤代反应烷烃、芳香烃、苯酚等均能发生卤代反应如: 。 2.硝化反应苯及其同系物、苯酚、烷烃等均能发生硝化反应如:
3.磺化反应苯、苯的衍生物, 几乎均可磺化.如: ; (邻、对位产物为主) 4. 酯化反应 (1)羧酸和醇的反应.如: （2）无机含氧酸和醇的反应.如: 5.水解反应: 卤代烃、酯、多糖、二糖、蛋白质都能在一定条件下发生水解反应.如: ， 6. 与活泼金属的反应: 醇、酚、羧酸等均能与活泼金属如钠反应生成氢气.如:
， 7.醇与卤化氢（HX）的反应.如： 8.羧酸或醇的分子间脱水.如: 二、加成反应 定义有机物分子里不饱和的碳原子跟其它原子或原子团直接结合, 生成别的物质的反应, 叫加成反应分子结构中含有双键或叁键的化合物, 一般能与H2、X2（X为Cl、Br、I）、HX、H2O、HCN等小分子物质起加成反应. 如烯烃、二烯烃、炔烃、苯及其同系物、醛、酮、不饱和高级脂肪酸及其甘油脂、单糖等. 说明： 1．羧基和酯基中的碳氧双键不能发生加成反应。 2．醛、酮的羰基只能与H2发生加成反应。 3．共轭二烯有两种不同的加成形式。 1.和氢气加成. — 2.和卤素加成
3.; 4.和卤化氢加成 5.和水加成 三、消去反应 定义：有机化合物在适当条件下, 从一个分子相邻两个碳原子上脱去一个小分子（如H2O、HX等）而生成不饱和(双键或叁键)化合物的反应称为消去反应, 又称消除反应发生消去反应的化合物需具备以下两个条件: (1)是连有一OH(或一X)的碳原子有相邻的碳原子； — (2)是该相邻的碳原子上还必须连有H原子. 1.醇的消去反应.如： 2.卤代烃的消去反应.如： 四、聚合反应 定义：由许多单个分子互相结合生成高分子化合物的反应叫聚合反应. 聚合反应有两个基本类型:加聚反应和缩聚反应. 1.加聚反应. 由许多单个分子互相加成, 又不缩掉其它小分子的聚合反应称为加成聚合反应简称加聚反应. ! 烯烃、二烯烃及含的物质均能发生加聚反应.如: