2020北京丰台高三二模数学含答案

2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形1．（2020▪丰台高三二模）下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x=（B ）1sin 2y x= （C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x=2.（2020▪房山高三二模）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π3.（2020▪海淀二模）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（C ）cos2x （B ）2sin(2)3x π+（D ）cos2x-4．（2020▪密云高三二模）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A ．，B ．，C ．，D ．，5.（2020▪朝阳高三二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于512π（，0）中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称（C ）函数()f x 在区间ππ（-，）内又4个零点 （D ）函数()f x 在区间[,0]2π-上单调递增6. （2020▪东城高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A)135平方米 (B)270平方米 (C)540平方米 (D)1080平方米7.（2020▪海淀二模）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π8．（2020▪西城高三二模）在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）359. （2020▪丰台高三二模）在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A ）（B（C（D ）3210.（2020▪房山高三二模）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =1 （A ）（B ）（C ）（D ）11.（2020▪朝阳高三二模）圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为（A ）sin532sin 47a（B ）2sin 47sin 53a（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a（D ）sin 26.5sin73.5sin 47a12. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在锐角ABC 中,若2,3,6a b A π===,则cosB =(A)3413. （2020▪丰台高三二模） 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α=________．14．（2020▪西城高三二模）设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为________；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为_________．15.（2020▪东城高三二模）已知1cos 23α=，则()22πcos ()2cos π2αα+--的值为________. 16.（2020▪东城高三二模）从下列四个条件①a =；②π6C =；③cos B =；④b =件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c 的值为 ____.17.（2020▪昌平高三二模） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上.若， 则________ ；_____ .18.（2020▪密云高三二模） 在中，三边长分别为，，，则的最大内角的余弦值为_________，的面积为_______．19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知函数()()0,0,02f x Asin x A πωϕωϕ⎪=>⎛⎫ ⎝+><⎭<同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③()01f =-;④06f π⎛⎫-⎪⎝⎭= .(Ⅰ)给出函数()f x 的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）在中，（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，,求的面积. 21.（2020▪密云高三二模）（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式_______，求实数 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C;13. 14. ， 15.-1 16. ①③④，，或者②③④， 17. ，18. ，19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则.这与矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得，又因为，所以.………………4分由条件②，得.………………5分由条件④，得，又因为，所以.所以.………………8分（Ⅱ）由，，………………10分得，………………12分所以函数的单调递增区间为，.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以. ……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得. ……………..8分所以……………..12分所以. ……………..14分21.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为==．所以函数的最小正周期．因为函数的的单调增区间为，所以，解得．所以函数数的的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即．因为，所以．故当，即时，取得最大值，且最大值为．所以．若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．。

北京市丰台区2020年高三统一练习（二）（数学理）word 精校版doc 高中数学 数学试题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。

考试时刻120分钟。

考试终止，将本试卷和答题卡上并交回。

第一卷〔选择题 共40分〕本卷须知：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合B A x x B x g y x A ⋃<+==则},1|{)},1(1|{等于〔 〕A ．RB ．}11|{<<-x xC ．-3D ．}11|{>-<x x x 或2．i ii a 3313=-+，其中i 是虚数单位，那么实数a 等于〔 〕A ．3B ．3C ．-3D ．-33．圆x y F ，y x C 4)(cos 2,sin 23:2-=⎩⎨⎧=+-=为抛物线点为参数θθθ的焦点，那么|CF|等于〔 〕A ．6B ．4C ．2D ．0 4．函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f -++=的值域是〔 〕A ．[-1，1]B ．]1,22[-C ．]21,21[-D ．]22,1[- 5．如图，在体积为V 1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分不 为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V ，有如下四个命题； ①BD 1=AB 3②BD 1与底面ABCD 所成角是45°；③π231=V V ； ④MN//平面D 1BC 。

其中正确命题的个数为〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．16．某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，那么他们不同的值日安排有 〔 〕 A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种7．设函数f 〔x 〕是以2为周期的奇函数，在则)(,2)(),1,0(x f x f x x=∈〔1，2〕上是〔 〕 A ．增函数且0)(>x f B ．减函数且0)(<x fC ．增函数且0)(<x fD ．减函数且0)(>x f8．数列{a n }满足*∈+=+++N n nn a a a n n ,22)911()911(9112221 。

2020年北京市丰台区高三二模试卷 数 学 2020.06第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4 （B ）6 （C ）7 （D ）82． 函数()f x =（A ）(02),（B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞U ,,（D ）(0][2)-∞+∞U ,,3． 下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x =（B ）1sin2y x =（C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x =4． 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3（B ）6（C ）7（D ）85． 设，a b 为非零向量,则“⊥a b ”是“+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6． 已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A（B ）2（C ）（D ）47． 已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（A ）233 （B ）43（C ）433（D ）239. 在△ABC 中，3AC =，7BC =，2AB =，则AB 边上的高等于（A ）23 （B ）33（C ）26 （D ）3210. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是 （A ）每场比赛的第一名得分a 为4 （B ）甲至少有一场比赛获得第二名 （C ）乙在四场比赛中没有获得过第二名 （D ）丙至少有一场比赛获得第三名第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知复数2i z =-，则z = ．12. 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α= ．13. 双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈ 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 ┈干支 纪年甲子年乙丑年丙 寅年丁 卯年戊 辰年己 巳年庚 午年辛 未年壬 申年癸 酉年甲 戌年乙 亥年丙子年┈ 纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.15．已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）如图，四边形ABCD 为正方形， MA ‖PB ，MA BC ⊥，AB PB ⊥，1MA =，2AB PB ==.（Ⅰ）求证：PB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值.17.（本小题共14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从Ⅰ2q =；Ⅰ12q =；Ⅰ1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查. 求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X 为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.19.（本小题共15分）已知函数1()exx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.21.（本小题共14分）已知无穷集合,A B ,且,A B ⊆⊆N N ，记{},A B a b a A b B +=+∈∈，定义：满足*()A B ⊆+N 时，则称集合,A B 互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合{}21,,A a a m m ==+∈N {}2,B b b n n ==∈N .判断2019和2020是否属于集合A B +，并说明理由； （Ⅱ）设集合{}2422024222+2+2++2++2,0,1;0,1,,,N ,i s i s i A x x i s s εεεεεε==⨯⨯⨯⨯==∈L L L {}132121*132121212+2++2++2,0,11,,,N i s i s i B x x i s s εεεεε-----==⨯⨯⨯⨯==∈L L L ；.(ⅰ)求证：集合,A B 互为“完美加法补集”；（ⅱ）记()A n 和()B n 分别表示集合,A B 中不大于*()n n ∈N 的元素个数，写出满足()A n ()1B n n =+的元素n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2020北京丰台高三二模数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCDBCDBABC11．5 12．22-13．2y x =±14. 己卯；60 15. ②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为MA BC ⊥ ，MA //PB ，所以PB BC ⊥，因为AB PB ⊥，AB BC B =I ，所以PB ⊥平面ABCD . ………5分 （Ⅱ）因为PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AB ⊥，PB AD ⊥. 因为四边形ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(002)P ,,，(201)M ,,，(020)C ,,，(220)D ,,，(022)PC =-u u u r,,，(222)PD =-u u u r ,,，(201)PM =-u u u r,,.设平面PDM 的法向量为()x y z =,,u ，则00PD PM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,u u 即222020x y z x z +-=-=⎧⎨⎩,. 令2z =，则1x =，1y =-.于是(112)=,,u . 平面PDM 的法向量为(112)=,,u . 设直线PC 与平面PDM 所成的角为θ，所以sin cos 6PC PC PC θ⋅=<>==u u u ru u u ru u u r,uu u. 所以直线PC 与平面PDM所成角的正弦值为6. ………14分17.（本小题共14分）解： （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+，且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =.所以1n a n =+. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =.若选择条件①2q =，可得41312b b q==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--1(3)1222n n n -+=-+. ………14分若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--6(3)2642n n n -+=+-.若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-，1122()()()n n n T a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+11()(1)21n n n a a b q q+-=--(3)+2(1(1))2n n n +=--.18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()exx f x +=，定义域R ，所以'()exxf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值. ……5分（Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()eeex xxxx g x x x x --+=-=.由0x >得e 10x->，于是'()0g x >，故函数()g x 是[0)∞,+上的增函数.所以当(0)x ∈∞,+时，()(0)0g x g >=，即21()12f x x >-+. ………9分（Ⅲ）当12a ≤-时，由（Ⅱ）知221()121f x x ax >-+≥+，满足题意.令221()()11e xx h x f x ax ax +=--=--，1'()2(2)eexxx x ax x a h =--=-+.当102a -<<时，若1(0ln())2x a∈-，，'()0h x <，则()h x 在1[0ln()]2a-，上是减函数.所以1(0ln())2x a∈-，时，()(0)0h x h <=，不合题意.当0a ≥时'()0h x <，则()h x 在(0)∞,+上是减函数， 所以()(0)0h x h <=，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围1(]2-∞-,. ………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C ab+=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB 的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,.所以11(01)1y PS x -=--u u r,,22(01)1y PT x -=--u u u r,,(01)PO =-u u u r,.由,,PO PT PO PS μλ==可得：12121111y y x x λμ---=--=---,，所以111111111y kx x x λ+=+=+--．同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121k x x x x k k +=-=++,，所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)1 21k k k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）由21a m =+，2b n =得2)1a b m n +=++（是奇数， 当210091a =⨯+，20=0b =⨯时，2019a b +=，所以2019A B ∈+，2020A B ∉+. ………4分（Ⅱ）(ⅰ)首先证明：对于任意自然数p 可表示为唯一一数组012i k εεεεε（，，，，，，）L L ，其中0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ， 使得1210121+2+2++2+2++20101i i k i i k i p i k k εεεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯==∈N ,;,,,,，L L L ，由于12112101210+2+2++2+2++22+2++2++221i i k i k k i i k εεεεεε+++≤⨯⨯⨯⨯⨯≤=-L L L L这种形式的自然数p 至多有12k +个，且最大数不超过121k +-.由0101i i k k ε==∈N ,;,,,,L ，每个i ε都有两种可能， 所以这种形式的自然数p 共有1122222k k ++⨯⨯⨯=L 14444244443个个结果.下证1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L121121+2+2++2+2++2i i k i i kεεεεεε++''''''=⨯⨯⨯⨯⨯L L 其中010101i i i k k εε===∈'N ,；,；,,,,L ，则i i εε'= 假设存在i i εε'≠中，取i 最大数为j ，则12112101210121(+2+2++2+2++2)+2+2++2+2++2()i i k i i k i i k i i k εεεεεεεεεεεε++++''''''⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-L L L L1001111001111110111111=()+()2++()2()2()+()2++()2()2(+2++2))2(122)1j j j i j j j j j jj j j j j j j εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε-------'''--⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯''''≥-⨯---⨯-⨯≥-+++=L L L L所以01≥ 不可能.综上，任意正整数p 可唯一表示为1210121+2+2++2+2++2i i k i i k p εεεεεε++=⨯⨯⨯⨯⨯L L 2130213(+2)(2+2+)εεεε=⨯++⨯⨯L L显然2130213(+2)(2+2+)A B εεεε⨯+∈⨯⨯∈,L L ，满足*()A B ⊆+N ，所以集合,A B 互为“完美加法补集”. ………11分（ⅱ）{}*21k n n k =-∈N,. ………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

一、单选题1. 已知函数y = f （x ）+x 是偶函数，且f （2）= 3 ，则f （-2）=（ ）A ．-7B ．7C ．-5D ．52. 函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）A ．－32B ．32C ．16D ．83. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增4. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元5.已知，，，则的最小值是A ．2B．C ．4D ．36. 钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（）A ．，为奇函数B ．，在上单调递增C ．，在上单调递增D ．，有最小值17.将函数的图象向左平移个单位长度得到f （x ）的图象，则（ ）A．B ．的图象关于对称C．D．的图象关于直线对称8. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是北京市丰台区2023届高三二模数学试题北京市丰台区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A ．27 26B ．26 27C ．26 28D ．27 289.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．B ．的图象关于点对称C．的图象关于对称D ．在上的最大值是110. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，过的直线交于两点，是坐标原点，则（ ）A ．抛物线的准线方程为B ．的最小值为4C ．若，则的面积为D ．若，则的方程为11. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A．B．C．D．12. 已知直线a ，b ，c 两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）A ．存在平面α，β，使，，且，B ．存在平面α，β，使，，且，C ．存在平面γ，使，，且D ．存在唯一的平面γ，使，且a ，b 与γ所成角相等13. 已知复数为虚数单位)，则___________.14. 某电影院同时上映A 与B 两部电影，甲、乙、丙3人同时去电影院观影，3人必须在A ，B 两部电影中选择一部进行观看，且甲、乙2人观看A 电影的概率均为，丙观看B 电影的概率为，若3人观看哪部电影相互独立，则恰有2人观看B 电影的概率为___________.15. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k ，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____16. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：月份12345“健走先锋”职工数1201051009580(1)请利用所给数据求“健走先锋”职工数y 与月份x 之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；(2)为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？参考公式：，．（其中）0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63517. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛—校级联赛—选拔性竞赛—国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校､县(区)､地(市)､省､国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节活动，其中传统项目定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲､乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲､乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响.（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.18. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，（ⅰ）求的前项的和；（ⅱ）求.19. 设椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于点为线段的中点．（1）若分别为的左顶点和上顶点，且的斜率为，求的标准方程；（2）若，且，求面积的最大值．20. 如图，三棱锥中，底面和侧面都是等边三角形，.（1）若P点是线段的中点，求证：平面；（2）点Q在线段上且满足，求与平面所成角的正弦值.21. 已知数列的前n项和．(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列满足，，求数列的前n项的和．。

丰台区 2020 年高三年级第二学期一致练习（二）数学（文科）一、本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．2- a}，则a= 1．若2∈{1，a，a(A) - 1 (B) 0 (C) 2 (D) 2 或-12．以下四个命题中，假命题为x(A) x R ，2 0 (B) x R ， 2 3 1 0x x(C) x R ，l g x 0 (D) x R ，x 12 23．已知a>0 且a≠1，函数y log a x ，xy a 在同一坐标系中的图象可能是(A) (B) (C) (D)3 4．已知数列{ a n} 中，a1 ，51a 1 (n 2)nan 1，则a2011(A) 12(B)23(C)35(D)52对于数列的观点是几次考试中第一次考，要注意惹起关注。

碰到这样既不可等差又不可等比的数列，求a，只好是周期性。

2011uu u r uu u r5．以下图，已知AB 2BCuu u r r，OA au u u r r，OB bu u u r r，OC c ，则以下等 C式中建立的是(A) r r r3 1c b a2 2 r r r(C) c 2a brrr(B)c2ba(D)r r r3 1c a b2 2ABO这样的问题是学生的难点和易错点，学生的问题常常是不知从何下手。

讲评时可再选一填空题进行复练。

6．已知函数y A sin( x ) 的图象以下图，则该函数的分析式可能是(A)(B)4 4 1y sin( x )5 5 53 1y sin(2 x )2 5y1(C)(D)4 4 1y sin( x )5 5 54 1y sin(2 x )5 5O 2- 1x此题就是观察正弦函数的图象变换。

最好采纳清除法。

观察的要点是A，ω，φ每一个字母的意义。

7．已知x，y 的取值以下表：x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图能够看出y 与x 线性有关，且回归方程为$y0.95x a，则a(A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0此题就是观察回归方程过定点(x, y) 。

2020年北京市丰台区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x∈Z|x2≤4}，集合B={x|-1＜x＜3}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {-1，0，1，2}C. {-1，0，1，2，3}D. {x|-1＜x≤2}2.已知，且，那么sinα=（）A. B. C. D.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D. 44.已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[0，2]，那么输出的y值不可能为（）A. B. 0 C. 1 D. 26.已知若点在线段AB上，则的最大值为( )A. 1B.C.D.7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，f（1）=-1．设g（x）=log2（x+3），则满足f（x）≥g（x）的x的取值范围是（）A. （-∞，-1]B. [-1，+∞）C. （-3，-1]D. （-3，1]8.某快递公司的四个快递点A，B，C，D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将A，B，C，D四个快递点的快递车辆分别调整为5，7，14，14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则（）A. 最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B. 最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C. 最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D. 最少需要9次调整，相应的可行方案有2种二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量，，||=1，||=2，•=1，则向量，的夹角为______．10.若在区间[-1，4]上随机选取一个数x，则事件x≥1发生的概率为______．11.已知函数的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），那么a=______．12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，能够说明“若数列{a n}是递减数列，则数列{S n}是递减数列”是假命题的数列{a n}的一个通项公式为______．13.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+（y-3）2=1，若在直线y=kx上任取一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C都不存在公共点，则k的取值范围是______．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，sin B=sin2A．①的值为______；②若a＞c，则b的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=e•a n（e是自然对数的底数，n∈N*）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{ln a n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．16.已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）+2sin2x的单调递减区间．17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率成绩分组频数[75，80）2[80，85）6[85，90）16[90，95）14[95，100]2（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95，100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；（Ⅲ）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，试估计的大小关系．（只需写出结论）18.在菱形ABCD中，，O为线段CD的中点（如图1）．将△AOD沿AO折起到△AOD'的位置，使得平面AOD'⊥平面ABCO，M为线段BD'的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：OD'⊥BC；（Ⅱ）求证：CM∥平面AOD'；（Ⅲ）当四棱锥D'-ABCO的体积为时，求a的值．19.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，离心率为．过右焦点F的直线l交椭圆E于C，D两点（均不与A，B重合），记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l变动时，总有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20.已知函数f（x）=x3-ax2．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅱ）当a＞3时，求证：过点P（1，f（1））恰有2条直线与曲线y=f（x）相切．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：解不等式x2≤4得：-2≤x≤2，又x∈Z，所以A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，故选：A．由二次不等式的解法及交集的运算得：A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及交集的运算，属简单题．2.答案：B解析：【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型．直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知，且，故，故，根据,,可得，解得．故选：B．3.答案：B解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC，且PC⊥底面ABC，AC⊥BC；PC=BC=2，AC=2；所以，该三棱锥的体积为V=××2×2×2=．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．4.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：a∈R，（a+i）2=a2-1+2ai为纯虚数，则a2-1=0，2a≠0，解得a=±1．∴a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序求出对应函数的值域是解决本题的关键．根据程序框图，求出函数值域进行计算即可．【解答】解：当0≤x＜1时，y=2x∈[0，2），当1≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1∈[-1，0]，综上-1≤y＜2，故y不可能的值是2，故选：D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设Q（3，0），利用斜率计算公式可得：k QA，k QB，再利用斜率的几何意义即可分析得出最大值结论．【解答】解：设Q（3，0），表示直线PQ的斜率，则k AQ==-3，k BQ==-，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是[-3，-]，故则的最大值为-，故选：C．7.答案：C解析：解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（-∞，0]上单调递减，则f（x）在[0，+∞）上也是减函数，则f（x）在R上为减函数，又由f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又由g（x）=log2（x+3），有x+3＞0，即x＞-3，函数的定义域为（-3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）=f（x）-g（x），其定义域为（-3，+∞），分析易得F（x）在（-3，+∞）上为减函数，又由F（-1）=f（-1）-g（-1）=1-1=0，F（x）≥0⇒-3＜x≤-1，则f（x）≥g（x）⇒F（x）≥0⇒-3＜x≤-1，即不等式的解集为（-3，-1]；故选：C．根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）在R上为减函数以及f（-1）=1，结合对数函数的性质可得g（x）=log2（x+3）的定义域为（-3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）=f（x）-g（x），易得F（x）在（-3，+∞）上为减函数，又由F（-1）=f（-1）-g（-1）=1-1=0，进而可得F（x）≥0⇒-3＜x≤-1，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判定，涉及对数函数的性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.答案：D解析：解：由已知有最少需要9次调整，相应的可行方案有2种，方案①：A快递点调整5台快递车辆给D，B调整3台给C，然后D再给1台给C，方案②：A快递点调整4台快递车辆给D，调整1台给B，然后B调整4台给C，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．9.答案：解析：解：设向量，的夹角为θ，平面向量，，||=1，||=2，•=1，可得1×2×cosθ=1，可得cos，所以θ=．故答案为：．直接利用向量的数量积列出方程求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．10.答案：解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．直接利用测度比为长度比求解．【解答】解：在区间[-1，4]上随机选取一个数x，x≥1的概率P=．故答案为：．11.答案：4解析：【分析】本题考查函数的单调区间，涉及函数的求导，属于基础题．根据题意，求出函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系分析可得在（0，2）上，＜0，在（2，+∞）上，＞0成立，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+，其导数f′（x）=1-=，若f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），则在（0，2）上，＜0，在（2，+∞）上，＞0成立，分析可得：a=4；故答案为：412.答案：a n=-2n+7（答案不唯一）解析：解：由题意，如果递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而不是递减的．故填：a n=-2n+7．对于递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而非递减的．本题考查了等差数列的单调性，等差数列前n项和的单调性，属于基础题．13.答案：解析：解：根据题意，圆C的方程为x2+（y-3）2=1，其圆心C（0，3），半径r=1，若在直线y=kx上任取一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C都不存在公共点，则C到直线y=kx上任意一点的距离都大于2，则有圆心C到直线y=kx的距离d＞2，即＞2，解可得：-＜k＜，则k的取值范围为（-，）；故答案为：（-，）．根据题意，分析圆C的圆心与半径，进而可得圆心C到直线y=kx的距离d＞2，即＞2，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，注意最后转化为点到直线的距离，属于基础题．14.答案：6 （3，3）解析：解：①∵a=3，sin B=sin2A=2sin A cosA，∴由正弦定理可得：b=2a cos A，∴=2a=6．②∵a＞c，∴c＜3，b=6cos A=6×=，∴b2=9+3c＜9+3×3=18，∴b＜3，∵sin B=sin2A，∴sin B-sin2A=0，∴2cos sin=0，∵c＜a，∴C＜A，∴B+2A＞B+A+C=π，∴，∴cos＜0，∴sin=0，∵-2π＜B-2A＜π，∴-π＜＜，∴=0，∴B=2A，∴B＞A，∴b＞a=3，故b的取值范围是（3，3）．①由正弦定理可得；②由b=6cos A及余弦定理可得b＜3；由sin B-sin2A=0和差化积可得B=2A，得B＞A，b＞a=3．本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角形内角和定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：（共13分）解：（Ⅰ）因为a1=1，a n+1=e•a n（n∈N*），所以数列{a n}是1为首项，e为公比的等比数列，所以．………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，………………（5分）所以，………………（7分）所以==………………（10分）=．………………（11分）因为，所以．所以即………………（13分）解析：（Ⅰ）说明数列{a n}是1为首项，e为公比的等比数列，然后求解通项公式．（Ⅱ）求出数列的和，然后利用裂项相消法求解数列的和即可．本题考查数列的求和方法的应用，等比数列的判断．是基本知识的考查．16.答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）图象得A=2，可得，则T=2π，因为，由于ω＞0，所以ω=1，又,所以结合图像可得,因为，所以，所以；（Ⅱ）由题可得：,故y=g（x）+2sin2x=2cos2x+2sin2x=，因为，所以，所以y=g（x）+2sin2x的单调递减区间为.解析：本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，属于中档题.（Ⅰ）由已知直接利用函数的图象，即可求出函数的关系式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，即可求出函数y=g（x）+2sin2x的单调递减区间.17.答案：（共13分）解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为1-0.03×5=0.85．………………（4分）（Ⅱ）高一年级成绩为[95，100]的有0.02×5×40=4名，记为A1，A2，A3，A4，高二年级成绩为[95，100]的有2名，记为B1，B2．………………（6分）选取2名学生的所有可能为：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，B1B2，共7种．………………（8分）设2名学生来自于同一年级为事件A，所．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）利用对立事件概率计算公式能求出高一年级知识竞赛的达标率．（Ⅱ）高一年级成绩为[95，100]的有0.02×5×40=4名，记为A1，A2，A3，A4，高二年级成绩为[95，100]的有2名，记为B1，B2，利用列举法能求出2名学生来自于同一年级的概率．（Ⅲ）．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（共14分）（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD中，，O为线段CD的中点，所以OD'⊥AO．因为平面AOD'⊥平面ABCO，平面AOD'∩平面ABCO=AO，OD'⊂平面AOD'，所以OD'⊥平面ABCO．因为BC⊂平面ABCO，所以OD'⊥BC．（Ⅱ）证明：如图，取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；因为在△ABD'中，P，M分别是线段AD'，BD'的中点，所以PM∥AB，．因为O为线段CD的中点（如图1），菱形ABCD中，AB=DC=a，AB∥DC，所以．所以OC∥AB，．所以PM∥OC，PM=OC．所以四边形OCMP为平行四边形，所以CM∥OP，因为CM⊄平面AOD'，OP⊂平面AOD'，所以CM∥平面AOD'；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知OD'⊥平面ABCO．所以OD'是四棱锥D'-ABCO的高．因为，所以a=2．解析：（Ⅰ）证明OD'⊥AO．推出OD '⊥平面ABCO．然后证明OD '⊥BC．（Ⅱ）取P为线段AD'的中点，连接OP，PM；证明四边形OCMP为平行四边形，然后证明CM∥平面AOD'；（Ⅲ）说明OD'是四棱锥D'-ABCO的高．通过体积公式求解即可．本题考查直线椭圆平面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（Ⅰ）由题知解得所以求椭圆E的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．由解得或得或；均有．猜测存在．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2）．由得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．则故====0．所以存在常数使得恒成立．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ=，使得k1=λk恒成立．20.答案：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）．当x∈[0，2]时，f'（x）≤0，所以f（x）在区间[0，2]上单调递减．所以f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）=-4．证明：（Ⅱ）设过点P（1，f（1））的曲线y=f（x）的切线切点为（x0，y0），f'（x）=3x2-2ax，f（1）=1-a，所以所以．令g（x）=2x3-（a+3）x2+2ax+1-a，则g'（x）=6x2-2（a+3）x+2a=（x-1）（6x-2a），令g'（x）=0得x=1或，因为a＞3，所以．x（-∞，1）1g′（x）+0-0+g（x）↗极大值↘极小值↗∴g（x）的极大值为g（1）=0，g（x）的极小值为，所以g（x）在上有且只有一个零点x=1．因为g（a）=2a3-（a+3）a2+2a2+1-a=（a-1）2（a+1）＞0，所以g（x）在上有且只有一个零点．所以g（x）在R上有且只有两个零点．即方程有且只有两个不相等实根，所以过点P（1，f（1））恰有2条直线与曲线y=f（x）相切．解析：本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性与方程解的个数判断，属于中档题．（Ⅰ）对f（x）求导，判断f′（x）的符号得出f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值；（Ⅱ）设过P的切线的切点为（x0，y0），根据导数的几何意义列出方程组，得出关于x0的方程，利用函数单调性证明此方程恰好有两解即可．。

2020年北京市丰台区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x∈Z|x2≤4}，集合B={x|-1＜x＜3}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {-1，0，1，2}C. {-1，0，1，2，3}D. {x|-1＜x≤2}2.若x，y满足则x-y的最大值为（）A. 3B. 0C. -1D. -33.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D. 44.已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[0，2]，那么输出的y值不可能为（）A. B. 0 C. 1 D. 26.已知函数的图象过点，现将y=f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，那么（）A. ，t的最小值为B. ，t的最小值为πC. ，t的最小值为D. ，t的最小值为π7.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若，则的最大值是（）A. B. C. D.8.某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A. 12辆B. 11辆C. 10辆D. 9辆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线的离心率为______．10.若在区间[-1，4]上随机选取一个数x，则事件x≥1发生的概率为______．11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，能够说明“若数列{a n}是递减数列，则数列{S n}是递减数列”是假命题的数列{a n}的一个通项公式为______．12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0，圆心C到直线l的距离为______．13.把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有______种．14.已知点P，Q分别是抛物线C：y2=4x和直线x+6=0上的动点，点M是圆K：（x-1）2+y2=1上的动点．①抛物线C的焦点坐标为______；②的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）求sin A+sin C的最大值．16.频率/组距75 80 85 90 95 100成绩/分0.060.050.040.030.02某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率成绩分组频数[75，80）2[80，85）6[85，90）16[90，95）14[95，100]2高二规定成绩不低于90分为“优秀”．（Ⅰ）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（Ⅱ）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；（Ⅲ）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差DX，DY的大小关系．（只需写出结论）17.在梯形ABCD中，AB∥CD，，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）．将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，使得二面角B-AC-D'为直二面角（如图2）．（Ⅰ）求证：BC∥平面POD'；（Ⅱ）求二面角A-BC-D'的大小；（Ⅲ）线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=ln x+ax2-（2a+1）x+1（a≥0）．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值；（Ⅱ）函数f（x）在区间（1，+∞）上存在最小值，记为g（a），求证：．19.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，离心率为．过右焦点F的直线l交椭圆E于C，D两点（均不与A，B重合），记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l变动时，总有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，记P（n）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a n-1-a n|（n∈N且n≥2）．（Ⅰ）若对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤a n-a1，则称数列{a n}具有性质P．①请写出具有性质P的一个数列的前四项；②设数列{a n}具有性质P，证明：a n-1≤a n；（Ⅱ）若存在常数M，对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤M，则称数列{a n}是Ω数列．设S n是数列{b n}的前n项和，且{S n}是Ω数列，证明：数列{b n}是Ω数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：解不等式x2≤4得：-2≤x≤2，又x∈Z，所以A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，故选：A．由二次不等式的解法及交集的运算得：A=，又B={x|-1＜x＜3}，所以A∩B=，得解．本题考查了二次不等式的解法及交集的运算，属简单题．2.答案：B解析：解：令z=x-y，则y=x-z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点O（0，0）时，x-y取得最大值0，故选：B．令z=x-y，从而化简为y=x-z，作平面区域，结合图象求解即可．本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．3.答案：B解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC，且PC⊥底面ABC，AC⊥BC；PC=BC=2，AC=2；所以，该三棱锥的体积为V=××2×2×2=．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．4.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：a∈R，（a+i）2=a2-1+2ai为纯虚数，则a2-1=0，2a≠0，解得a=±1．∴a∈R，则“a=1”是“（a+i）2为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序求出对应函数的值域是解决本题的关键．根据程序框图，求出函数值域进行计算即可．【解答】解：当0≤x＜1时，y=2x∈[0，2），当1≤x≤2时，y=x2-2x=（x-1）2-1∈[-1，0]，综上-1≤y＜2，故y不可能的值是2，故选：D．6.答案：C解析：解：函数的图象过点，则：，解得：．所以：f（x）=．将y=f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，故：g（x）=，所以：，所以t的最小值为．故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换求出θ的值，进一步利用关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的运算和几何应用，属中档题．由平面向量的运算结合圆的性质即可得解.【解答】解：由--==，由，则||=1，即点P在以点C为圆心，1为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得||的最大值=2+1，故选：C．8.答案：B解析：解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷（1.5+0.35）≈7.3，所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4=1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4=1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8=12吨货箱，所剩货箱不超过13.5-12=1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2=11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B．根据题意，建立适当的数学模型，按照一定的顺序把货箱装入每辆卡车，从而求出装入这批货物的货箱所需要的卡车数．本题考查了逻辑推理的实际应用问题，是难题．9.答案：解析：解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c的值，即得离心率的值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．10.答案：解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．直接利用测度比为长度比求解．【解答】解：在区间[-1，4]上随机选取一个数x，x≥1的概率P=．故答案为：．11.答案：a n=-2n+7（答案不唯一）解析：解：由题意，如果递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而不是递减的．故填：a n=-2n+7．对于递减的等差数列，若其前k（k≥2，k∈N*）项为正项，显然该数列的前n项和S n是先增后减，而非递减的．本题考查了等差数列的单调性，等差数列前n项和的单调性，属于基础题．12.答案：解析：解：由得圆C的普通方程为：x2+（y-1）2=1，由ρcosθ-ρsinθ-1=0得x-y-1=0，所以圆心（0，1）到直线的距离d==．故答案为：．先将圆和直线化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13.答案：36解析：解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A22=2种情况，②，将这个整体与丁戊全排列，有A33=6种安排方法，③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A31=3种安排方法，不同的安排方案共有2×6×3=36种；故答案为：36．根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出．本题考查了分类和分步计数原理，关键是分清是分步还是分类，属于中档题．14.答案：（1，0）16解析：解：y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=-6，可得|PQ|=|PF|+5，由≥=（|PF|+1）++8≥2+8=16，当且仅当|PF|=3时上式取得最小值16．故答案为：（1，0），16．求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=-6，可得|PQ|=|PF|+5，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系，以及基本不等式的运用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得．因为在△ABC中，sin A≠0，所以．因为0＜B＜π，所以．（Ⅱ）因为A+B+C=π，所以sin A+sin C=．=．=．因为，所以．当，即时，sin A+sin C有最大值．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得，结合sin A≠0，可求，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sin A+sin C=，结合范围，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的优秀率为（0.04+0.02）×5=0.3．所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%．（Ⅱ）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.3=0.7；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1-0.4=0.6．ξ的所有可能取值为0，1，2；P（ξ=0）=0.7×0.6=0.42；P（ξ=1）=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；P（ξ=2）=0.3×0.4=0.12．所以随机变量ξ的分布列为：P012ξ0.420.460.12（Ⅲ）显然，均符合两点分布，且（），P（X=1）=0.3，P（Y=0）=0.6，P（Y=1）=0.4，∴DX=0.3×0.7=0.21，DY=0.6×0.4=0.24，∴DX＜DY．解析：（I）计算频率分别直方图最后两个小矩形的面积即可得出优秀率；（II）分别计算两年级的优秀率，利用相互独立事件的概率公式得出ξ的分布列；（III）计算DX，DY得出结论．本题考查了频率分布直方图，频率分布表，离散型随机变量的分布列与方差计算，属于中档题．17.答案：（共14分）证明：（Ⅰ）因为在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD=4，P为AB的中点，所以CD∥AP，CD=AP，所以四边形APCD为平行四边形，………………（1分）因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以△ABC中，OP∥BC，………………（3分）因为OP⊂平面POD′，BC⊄平面POD′，所以BC∥平面POD′．………………（4分）解：（Ⅱ）因为平行四边形APCD中，AP=AD=2，所以四边形APCD是菱形，AC⊥DP，垂足为O，所以AC⊥OD′，AC⊥OP，因为OD′⊂平面ACD′，OP⊂平面ACB，所以∠D′OP是二面角B-AC-D′的平面角，因为二面角B-AC-D′为直二面角，所以，即OP⊥OD′．可以如图建立空间直角坐标系O-xyz，其中O（0，0，0），………………（6分）因为在图1菱形APCD中，，所以OD=OP=1，OA=OC=．所以B（-，2，0），C（-，0，0），D′（0，0，1）．所以=（），=（0，2，0）．………………（7分）设=（x，y，z）为平面BCD′的法向量，因为，∴取x=1，得=（1，0，-），平面ABC的法向量为=（0，0，1），………………（8分）所以cos＜＞==-，………………（9分）由图可知，二面角A-BC-D'为锐二面角，所以二面角A-BC-D'的大小为．………………（10分）（Ⅲ）线段PD′上存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为，………………（11分）设=，（0≤λ≤1），因为，=（0，-1，1），所以==（）．………………（12分）因为cos＜＞===，………………（13分）由0≤λ≤1，解得．所以线段PD′上存在点Q，且=时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．………………（14分）解析：（Ⅰ）推导出CD∥AP，CD=AP，从而四边形APCD为平行四边形，推导出OP∥BC，由此能证明BC∥平面POD′．（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量能求出二面角A-BC-D'的大小．（Ⅲ）设=，（0≤λ≤1），利用向量法能求出线段PD′上存在点Q，且=时，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为．本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=ln x-x+1，则，因为x∈[1，+∞），所以f'（x）≤0．所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，所以f（x）区间[1，+∞）上最大值为f（1）=0．（Ⅱ）由题可知==．①当a=0时，由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）无最小值，此时不符合题意；②当时，因为x∈（1，+∞），所以2ax-1＞0．此时函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）无最小值，此时亦不符合题意；③当时，此时．函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即．要证，只需证当时，成立．即证，设，h（t）=ln t-t+1（t＞1），由（Ⅰ）知h（t）＜h（1）=0，即成立．所以．解析：（I）对f（x）求导，根据f′（x）的符号得出f（x）的单调性，进而求出f（x）的最大值；（II）讨论a的范围，得出f（x）的单调性，进而得出f（x）的最小值g（a）的函数解析式，再构造函数证明不等式即可．本题考查了函数单调性的判断，考查分类讨论思想，考查函数单调性与不等式的证明，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题知解得所以求椭圆E的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1．由解得或得或；均有．猜测存在．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2）．由得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．则故====0．所以存在常数使得恒成立．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ=，使得k1=λk恒成立．20.答案：解：（Ⅰ）①数列{a n}中，记P（n）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a n-1-a n|（n∈N且n≥2）．对任意的n∈N且n≥2，都有P（n）≤a n-a1，则称数列{a n}具有性质P．所以：利用赋值法得到：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4．证明：②假设a i（i∈N*）是数列{a n}中，使得a i-1＞a i成立的最小的项，则|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a i-1-a i|=|a i-1-a i|+a i-1-a1≤a i-a1所以a i-1-a i+a i-1≤a i，所以a i-1≤a i，这与a i-1＞a i矛盾，所以假设不成立．所以a n-1≤a n．证明：（Ⅱ）因为{S n}是Ω数列，所以存在常数M，对于任意的n∈N且n≥2，都有|S1-S2|+|S2-S3|+…+|S n-1-S n|≤M，因为S n是数列{b n}的前n项和，所以所以|b2|+|b3|+…+|b n|≤M，因为|b1-b2|+|b2-b3|+…+|b n-1-b n|≤|b1|+|b2|+|b2|+|b3|+…+|b n-2|+|b n-1|+|b n-1|+|b n|=2（|b2|+|b3|+…+|b n-1|）+|b1|+|b n|≤2M+|b1|-|b n|≤2M+|b1|．所以数列{b n}是Ω数列．解析：（Ⅰ）①直接利用数列的性质的应用求出结果．②利用反证法进行证明．（Ⅱ）利用信息和绝对值不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的性质的应用，信息题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．。