华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学-试卷

华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则M N =（ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<∣C ．{}12x x <≤∣D {}12x x -<<2．复数20213i z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l ⊥m 是//m α的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60，[)60,65，[]65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（ ）A ．815B ．920C ．35D ．9105．已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则kb a -的最小值为（ ）A ．14 B ．12C ．34D 6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L ==（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，为探测目标高度，2h 为地球半径．考虑到电磁波的弯 曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于1h ，2h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390kon 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）（参考数据：4.12≈）A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ．10000m7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则直线PF 的倾斜角为（ ）A ．αB ．2αC ．πα-D ．2απ-8．已知点A ，B ，C 是函数,03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象和函数,06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的连续三个交点，若ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,4π⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得3分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．() 20212f =D ．方程1()2f x x =只有4个实根 10．已知实数0a >，0b >，1a b +=，则下列说法中，正确的是（ ） A ．114a b+≤B ．22ab+≥C ．22log log 1a b ⋅≤D ．存在a ，b ，使得直线1ax by +=与圆221x y +=相切11．点C ，D 是平面α内的两个定点，2CD =，点A ，B 在平面α的同一侧，且24AC BC ==．若AC ，BC 与平面x 所成的角分别为512π，4π，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（ ） A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆 B ．ABC 面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是增函数B ．4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()2f xg x x =，则满足144n n g g ππ+⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+，根据最小二乘法计算可得ˆ7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为_________万元．14．42212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO FO =，其中O 为坐标愿点，则双曲线C 的离心率e =_________16．已知数列{}n a 的前n 项和2433n n S a n =+-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________，1n n a a +的取值范围为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：21a b =，238b b a -=． （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin ,(,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭只能同时满足以下三个条件中的两个． ①函数()f x 的最大值是2；②函数()f x 的图象可由函数22()cos2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是4π．（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =，点D 为BC 的中点，且AD b =，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，PA PC ==，11111A B B C PB ===114A C =．（1）求证：PO ⊥平面ABC ； （2）求二面角B PA C --的余弦值．20．（本小题满分12分）．某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10 的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为()01p p <<，并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若23p =，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率，如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点()1,2P ，O 是坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线:l x ty m =+与抛物线交于A ，B 两点，与椭圆交于C ，D 两点，若ABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求OCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln ,22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为1x ，2x ，3x ，若123x x x <<，证明：32x x -<。

【高三】广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试试卷说明：届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．若集合，，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D. 充分不必要条件2. 若，，，则A．B． C．D．3．函数的部分图象如图所示，则A． B. C. D. 4．已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有A．个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 展开式中的常数项为A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D. 7. 已知数列满足：对于任意的，则A． B. C. D. 8．点是平面内的定点,点与点不同)的“对偶点”是指：点在射线上且厘米.若平面内点在某不过点的直线上,则它们相应的“对偶点”在 A．一个过点的圆上 B．一个不过点的圆上C．一条过点的直线上 D．一条不过点的直线上110分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量，且与的夹角为则 . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 12. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线围成的平面区域的面积为则______ ， . 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选做题）如图，过点作的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则 . 15．在极坐标系中，点关于直线的对称点的极坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；② (1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；（3）已知且函数在上是函数，探究函数的单调性.届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知4．【解析】圆关于原点对称. 函数与函数是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆面积；而是上的偶函数，其图像关于轴对称，且当时不能等分圆面积5. 【解析】展开式中的通项为为常数项的充要条件是常数项6．【解析】 7. 【解析】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故8．【解析】过作与直线垂直的直线以为原点，直线为轴，单位为厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线,是直线上任意一点,它的“对偶点”为,则存在使得,即,又,消去,得.故在过点的圆上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：.10. 【解析】由与的夹角为知,11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为12.【解析】抛物线的焦点为,知.13. 【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围14. 【解析】由知，解得由得，即15. 【解析】如图，在极坐标系中，设关于直线的对称点为则，且从而即三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.解：(1) (2)分 (4)分………………………………………………………6分(2)(解法一) ………………………7分................................................ 9分...................................................... 10分, ............12分 (2)(解法二) (7)分 (9)分……………………………………………………… 10分,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分……10分…11分………………………12分17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望解：（1），……………………………………………………………2分………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以随机变量的分布列为…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设……………………………………7分,，，，，，, ,.，，分别为，，的中点，，，,, …… ………分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.…… …………………10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一个法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一个法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分（解法) 延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点平面，平面，平面.………7分平面平面平面.........分平面与平面所成锐二面角相等. ... ...10分平面平面平面的平面角. (12)分… …………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分19.（本题满分1广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。

数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共50分）一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题4个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}a P 2log ,3=，{}b a Q ,=，若{}0=Q P ，则=Q P A ．{3,0} B.{3,0,2} C.{3,0,1} D.{3,0,1,2}2. 复数=+-+-iii 11 A.i 2- B. i 21C. 0D.i 23．不等式752≥+x 成立的一个必要不充分条件是A.1≥xB.6-≤xC.1≥x 或6-≤xD.0≠x4. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a aA ．16 B. 32 C. 64 D. 2565.若平面α,β满足βα⊥，l =βα ,α∈P ，l P ∉，则下列命题中是假命题的为 A.过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面βC.过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内6．已知x x f 2log )(=，函数)(x g y =是它的反函数，则函数)1(x g y -=的大致图像是7．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)492639546万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D.72.0万元8．若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是A. 1B. x cosC. x sin -D. x sin9 已知椭圆的方程为)0(3222>=+m m y x ，则此椭圆的离心率为A.31 B. 33 C. 22 D. 2110．已知点),(y x P 为曲线xx y 1+=上任一点，点)4,0(A ，则直线AP 的斜率k 的取值范围是A ．[)+∞-,3B ．()+∞,3C ．[)+∞-,2D ．()+∞,1第二部分非选择题（100分）二、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分）. （一）必做题（11～13题）：11.已知21e e ，是夹角为060的两个单位向量，且向量212e e +==a _*****_.12.执行由图中的算法后，若输出的y 值大于10，则输入x 的取值范围是_*****_.13.在ABC ∆中，若060=A ，075=B ，6=c ，则=a _*****_.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分.）14. （坐标系与参数方程）在极坐标中，圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4)=2 2 的距离为_*****_.15．（几何证明选讲）如图所示，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，则⊙O 的半径等于_*****_．三．解答题:（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. (本题满分12分)数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．17. (本题满分12分)已知A 、B 、C 的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，)23,2(ππα∈.(Ⅰ)若AB OC //,O 为坐标原点，求角α的值；(Ⅱ)若⊥,求απαtan 1)42sin(21+-+的值.开始 输入x x < 1是 否y = x +13y = x +8输出y 结束18. (本题满分14分)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示的区域为P ，不等式组⎩⎨⎧≥-≤≤0260y x x 表示的区域为Q ．（Ⅰ）在区域P 中任取一点),(y x ，求点Q y x ∈),(的概率；（Ⅱ）若x ,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点Q y x ∈),(的概率.19. (本题满分14分) 如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，045=∠VDC .（Ⅰ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （Ⅱ）求异面直线VD 和BC 所成角的余弦．20. (本题满分14分)若A 、B 是抛物线x y 42=上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.（Ⅰ）求点)0,4(P 的“相关弦”的中点的横坐标； （Ⅱ） 求点)0,4(P 的所有“相关弦”的弦长的最大值.21. (本题满分14分)已知定义域为]1,0[的函数)(x f 同时满足： （1）对于任意)1,0(∈x ，总有0)(>x f ； （2）1)1(=f ；（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+；CVDBA（Ⅰ）证明)(x f 在]1,0[上为增函数；（Ⅱ）若对于任意]1,0[∈x ，总有24()4(2)()540f x a f x a --+-≥，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）比较)22221(132++++n n f 与1的大小，并给与证明.四校联考文科数学答案一、选择题1.设集合{}a P 2log ,3=，{}b a Q ,=，若{}0=Q P ，则=Q P ( ) (A){3,0} (B){3,0,2} (C){3,0,1} (D){3,0,1,2}解：由P∩Q＝{0}知，0∈P 且0∈Q. 由0∈P ，得a 2log ＝0 ⇒ a=1；由0∈Q 得b=0.故P∪Q ＝{3,0,1}.选C.2.复数=+-+-iii 11 ( ) (A)i 2- (B) i 21(C)0 (D) i 2解：i i i iii 211-=--=+-+-.选A.3．不等式752≥+x 成立的一个必要不充分条件是(A)1≥x(B) 6-≤x (C) 1≥x 或6-≤x (D)0≠x解：⇔≥+752x 1≥x 或6-≤x .选D.4. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 的两根，则=12108a a a ( )(A)16 (B)32 (C)64 (D)256解：由已知有16191=a a ，又210191a a a =，∴在正项等比数列中，410=a . ∴6431012108==a a a a .选C.5.若平面α，β满足βα⊥，l =βα ，α∈P ，l P ∉，则下列命题中是假命题的为( ) (A)过点P 垂直于平面α的直线平行于平面β(B)过点P 在平面α内作垂直于l 的直线必垂直于平面β(C)过点P 垂直于平面β的直线在平面α内 (D)过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内解：由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A 正确.根据面面垂直的性质定理知，选项B 、C 正确. 选D.6．已知x x f 2log )(=，函数)(x g y =是它的反函数，则函数)1(x g y -=的大致图像是解：xxx g x g -=-⇒=12)1(2)(，故选D 。

则 g(x) ln(x x2) 2 .
易知
g(
x)
在
0，1 2
上单调递减.
因为
g
(
1 e2
)
ln(e2
1)
2
0，
g
(
1 2
)
2
ln
2
2
0
，所以存在
x0
1 e2
,
1 2
，使得
g(
x0
)
0
，且
x
0,
x0
时，g(x)
0
，g(x)
单调递增，x
x0，12
时，g(x)
0
，g(
x)
单调递减.
因为
19．（1）证明：连接 OB1 .
∵ PA1 PC1, O 为 A1C1 的中点, ∴ PO A1C1.
∵ A1C1 4, PA1 2 2 , ∴ PO PA12 OA12 2 .
………2 分
∵ A1B1 B1C1 , O 为 A1C1 的中点, ∴ OB1 A1C1.
∵ A1B1 2 3, A1O 2 , ∴ OB1 A1B12 OA12 2 2 . ………4 分 PB1 2 3, 故PB12 =OB12 OP2 , P O O1B.
令
f
(x)
log2
x log2 (1
x)=
ln
x ln(1 (ln 2)2
x)
,0
x
1，
因为
f
(x)
f
(1 x) ，故
f
(x) 关于 x
1 2
对称，故只需研究
x
0,
1 2
的情况即可.
f (x)

揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学命题学校：深圳中学定稿人：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己校名、姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡指定区域，并用2B铅笔填涂相关信息。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案；答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56Co-59 Cu-64 Ag-108第一部分选择题（共44分）一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的B．实施“煤改气”、“煤改电”等清洁燃料改造工程，有利于保护环境C．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”D．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油2．常温下，下列各组离子在溶液中能大量共存的是A．H+、K+、CN-、Cl-B．Ba2+、K+、OH-、NO－3C．NH＋4、Na+、SO2－3、ClO-D．Na+、Al3+、HCO－3、SO2－43．下列有关离子方程式正确的是A．用铜作电极电解KCl溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-B．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag +NO－3+4H+= Ag++NO↑+2H2OC．少量Mg(OH)2溶于FeCl3溶液中：3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+D．大理石溶于稀醋酸：CaCO3+2H+=Ca2+ +CO2↑+ H2O4．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．常温下，pH=2的亚硫酸溶液中含有的H+数目为0.01 N AB．标准状况下，2.24 L CHCl3含有的共价键数为0.4 N AC．1 mol N2与4 mol H2反应生成的NH3分子数为2 N AD．14 g乙烯和环丙烷混合气体中的氢原子数为2 N A5．下列有关物质的工业制法中，正确的是A．制钠：以海水为原料制得精盐，再电解熔融的NaClB．炼铜：电解精炼黄铜矿得到纯度为99.9％的铜C．制硅：用一氧化碳还原二氧化硅得硅D．制铝：电解液态氯化铝得铝6．下列实验操作能达到实验目的的是A．用排水法收集铜粉与浓硝酸反应的NO2B．用NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，选用酚酞作指示剂C．在空气中蒸干硫酸亚铁溶液可以得到绿矾(FeSO4·7H2O)D．在容量瓶中加一定体积的水，再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸7．下列有关实验原理或操作正确的是A．分离酒精和水 B．干燥氨气C．配制0.1000 mol/L的食盐水 D．检查装置气密性8．柠檬烯的结构可表示为，关于柠檬烯下列说法错误的是A．分子中所有碳原子可能在在同一平面上B．可使溴的四氯化碳溶液褪色C．是苯乙烯的同系物D．该物质易溶于水9．NO催化O3生成O2的过程由三步基元反应构成：第一步：NO(g)+O3(g)=O2(g)+NO2(g) △H1 ；第二步：NO2(g)=O(g)+NO(g) △H2 ；第三步：O(g)+O3(g)=2O2(g) △H3 。

华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。

一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

绝密★启用前试卷类型：A广东省2021 届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22 小题，满分150 分. 考试历时120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需维持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．i 为虚数单位，则复数z =2 - i在复平面上对应的点位于iA．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．若全集U ={1, 2,3,4,5,6}，M =⎧x6∈N*, x ∈U⎫，则M =⎨x⎬ U⎩ ⎭A．{1,2,3,4,5,6} B．{1, 2, 3, 6} C．{4, 5} D．∅⎨⎩3. 下列函数中，既是 R 上的偶函数，又在区间 (0, 3) 内单调递减的是A. y = x 3B. y = ln xC. y = 2x + 2- xD. y = cos x 4. 给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β ，若 P ∈ l ， P ∈α ，α ⊥ β ， 则“ l ⊂ α ”是“ l ⊥ β ”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件⎧ x + y < 6, 5．若实数 x , y 知足条件 ⎪x - 3 y < -2, ，设 z =2x + 3y 的取值集合为 M ，则 ⎪ x > 1.A.17 ∈ M B. 14 ∈ M C. 5 ∈ M D. 3∈ M6. 已知曲线 y = sin(ω x + π) （ω > 0 ）关于直线 x = π 对称，则ω 的最小值为 32 1 A ．B ．321 1 C ．D ．367.在平面直角坐标系中，随机从O (0，0)，A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (2，2) 这五个点中选取三个，则以这三点为极点能组成三角形的概率是4 7 3 1 A.B.C.D.510528.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2 ，四条 用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为2π正视图侧视图A. 8 -B. 24 - π 3C. 24 + 1)πD. 24 +1)π4 9 2 35 78 1 6⎧ a < -1或a =1 或a > 9 ⎫ ⎧ a < -1或 1 ≤ a ≤ 1 ⎫⎬⎩ e 28 ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ a > -1或 1 < a < 9 ⎫ ⎧ a > -1或> 9 ⎫ ⎩ 8 ⎬ ⎩ 8 ⎬+ ⎨ 29.设 a 是列位数字不全相同的三位数，调整 a 各数位上数字 开始 输入 a的顺序，取得的最大数为 M , 最小数为 m , 例如若 a = 693 ，n=1则 M = 963, m = 369 .如图，若输入的 a = 693 ，则输出的 n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5a=M-m a=495? 是 输出 nn=n +1否10.设 a > 1 ，则曲线xa 2 y 2结束- = 1的离心率的取值范围是 (a + 1)2A ． ( 2，2) B ． ( 2，5)C ． (2，5)D ． (2，5)11.幻方，是中国古代一种填数游戏. n (n ∈ N *,n ≥ 3) 阶幻方是指将持续 n 2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即此刻的图1 图2图 2. 若某3 阶幻方正中间的数是 2021 ，则该幻方中的最小数为 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 202112. ⎧ x e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 81, x < 1, ，若关于 x 的方程⎪⎩ln x -1, x ≥ 1.f (x ) = ax 有唯一实数根，则实数 a 的取值范围是A ． ⎨a C ． ⎨a B ． ⎨a ⎭ D ． ⎨a⎭ ⎭* 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.y4.43.2 1.90.9O 13 4 x14. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为120︒ ，则 2a - b 的值为.15．已知动圆 M 与圆 C : ( x +1)2 + y 2= 1，圆 C ：(x -1)2 + y 2 = 25 均内切，则动圆圆心 1 2M 的轨迹方程是 .16. 已知数列{a n } 知足：a 1 = 2 ，a n +1 + a n = log 2 (n+ 3n + 2)(n ∈ N ) .若 a m > 7 ，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70 分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每一个试题考生都必需作答.第 22、23 题为选考题，考生按照要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）已知 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边别离为 a , b , c ，且cos(B - C ) - 2 s in B sin C = 1.2（1）求 A ； （2）若 a =3, c = 2 c os C ，求∆ABC 面积．18．（本小题满分 12 分）如图，DC ⊥ 平面 ABC ，EB DC ，AAC = CB = BE = 2DC = 2 ，P 为 AE 的中点， BP ⊥ AD ．（1）证明： PD 平面ACB ； （2）证明： ∆ABC 为等边三角形； C (3) 求四棱锥 A - BCDE 的体积．DPBE219．（本小题满分 12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率散布直方图如图（甲）所示；依据本地的地质构造，取得水位与灾害品级的频率分布 条形图如图（乙）所示.频率1级级40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g ，则该河流 1 级灾害 的频率为 f ⨯ g ，其它情况类似. 据此，试别离估量该河流在 8 月份发生 一、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p 1 , p 2 , p 3 ；（3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 一、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元.现此企业有如试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪一种方案？说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + ( y + 1)2= 4 p 9通过抛物线C : x 2 = 2 py 的核心.（1）求 p 的值；（2）当 p > 0 时，直线 l 与抛物线 C 、圆 M 均只有一个公共点，求直线l 的方程.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ，其中 e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对e数的底数，常数 a > 0 ．（1）求函数 f (x ) 在区间[0, +∞) 的零点个数； （2）设函数 g ( x ) 的导数 g '(x ) = (e x - a ) f (x ) ， a ∈ (1, e) ，判断 ln a 是函数g ( x ) 的极 大值点仍是极小值点并说明理由．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分.22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨ ⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系． （1）写出曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点， 点 B 是l 与C 2 的 公共点，当α 在区间[0, π] 上转变时，求 OB 的最大值．2OA23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2 ，其中 a ∈ R ．（1）当 a =f ( x ) ≥ 6 的解集；（2）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。

2025届广东省华附、省实、深中、广雅四校高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．3．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞4．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1207．复数5i12i+的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-8．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．39．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±10．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）A ．8B ．7C ．4D ．311．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

华附、省实、广雅、深中 2021 届高三四校联考英语本试卷分选择题和非选择题两部分，共 11 页，满分 120 分，考试用时 120 分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用 2B 铅笔填涂相关信息。

2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分阅读理解（共两节，满分 50 分）第一节（共 15 小题；每小题 2.5 分，满分 37.5 分）阅读下列短文，从每题所给的 A、B、C 和 D 四个选项中，选出最佳选项。

AWe love food and drink. We love to celebrate the good stuff and criticize the bad. This is our take on the top three food cultures and destinations. It’s time to find out once and for all, which cuisine is king as you plan where you’ll travel next:No. 3 FranceYou can spend an entire two-week vacation exploring combinations of wines and cheeses around the country.YumEscargot --- credit the French for turning garden-dwelling pests into a delicacy. Massive respect for making them taste amazing too.Baguette --- the first and last thing that you’ll want to eat in France. The first bite is superb; the last will be full of longing.DumbFoie gras --- it tastes like 10,000 ducks roasted in butter then reduced to a velvet pudding.No. 2 ChinaThe people who greet each other with “Have you eaten yet?” are arguably the most food-obsessed in the world. The Chinese almost cook and sell anything, and they also make it taste great.YumSweet and sour pork --- a guilty pleasure that has taken on different forms.Dim sum --- a grand tradition from Hong Kong to New York. The best to start a day as breakfast.DumbShark’s fin soup --- calling for Chinese restaurants to ban the dish has been a goal of green campaigners in recent years.No. 1 ItalyItalian food has enslaved taste-buds around the globe for centuries, with its tomato sauces, and those clever things they do with wheat flour and desserts .YumPizza ---simple yet satisfying dish. Staple diet of bachelors and college students.Coffee --- cappuccino is for breakfast? Forget it. We want it all day and all night.DumbBuffalo mozzarella -- those balls of water buffalo milk. The flavor’s so subtle you have to imagine it.1.Which food would you not try as an environmentalist?A.Shark’s fin soupB. Foie grasC. Sweet and sour porkD. Escargot2.Which will be the best choice for hungry students in Italy?A.PizzaB. CoffeeC. Buffalo mozzarellaD. Desserts3.Which will be the best breakfast?A.CappuccinoB. BaguetteC. CheeseD. Dim sumBThat was how the adventures began. It was the sort of house that you never seem to come to the end of, and it was full of unexpected places. The first few doors they triedled only into spare bedrooms, as everyone had expected that they would; but soon they came to a very long room full of pictures; and after that was a room all hung with green, with a harp in one corner; and then a kind of little upstairs hall and a door that led out on to a balcony. And shortly after that they looked into a room that was quite empty except for one big wardrobe, the sort that has a looking-glass in the door.“Nothing there!” Everybody rushed out but Lucy stayed because she thought it would be worthwhile trying the door of the wardrobe, even though she felt almost sure that it would be locked. To her surprise, it opened quite easily, and two mothballs dropped out.Looking into the inside, she saw several coats hanging up---mostly long fur coats. There was nothing Lucy liked so much as the smell and feel of fur. She immediately stepped into the wardrobe and got in among the coats and rubbed her face against them, leaving the door open, of course, because she knew that it is very foolish to shut oneself into any wardrobe... She took a step further in---then two or three steps, always expecting to feel woodwork against the tips of her fingers. But she could not feel it.“This must be a simply vast wardrobe!” thought Lucy, going still further in. Then she noticed that there was something crunching under her feet. “Is that more mothball?” she thought, stooping down to feel it with her hand. But instead of feeling the hard, smooth wood, she felt something soft and powdery and extremely cold. “This is very queer,” she said, and went on a step or two further.... And then she saw that there was a light ahead of her; ... A moment later she found that she was standing in the middle of a wood at night-time with snow under her feet and snowflakes falling through the air.4.What is the first paragraph mainly about?A.The discovery of mysterious rooms.B.The complex structures of the house.C.The unexpected search of the house.D.The adventurous exploration in a house.5.Why didn’t Lucy go out of the room?A.She wanted to explore the wardrobe.B.She found her favourite fur coats.C.She was attracted by mothballs.D.She liked the smell of the room.6.What can we infer about Lucy from the third paragraph?A.Careful and cowardly.B. Cautious and curious.C. Foolish but brave.D. Adventurous but casual.7.What does the underlined word “queer” mean?A.Terrifying.B. Empty.C. Strange.D. Impressive.CStories are shared in many ways. They are described in books and magazines. They are read around the campfire at night. They are randomly distributed from stand-alone booths. But what else?To revive literature in the era of fast news and smartphone addiction, Short Edition, a French publisher of short-form literature, has set up more than 30 story dispensers（分发机）i n the USA in the past years to deliver fiction at the push of a button at restaurants, universities and government offices.Francis Ford Coppola, the film director and winemaker, liked the idea so much that he invested in the company and placed a dispenser at his Cafe Zoetrope in San Francisco. Last month, public libraries in some other cities announced they would be setting them up, too. There is one on the campus at Penn State. A few can be found in downtown West Palm Beach, Fla. And Short Edition plans to announce more, including at the Los Angeles International Airport.“Everything old is new again,” said Andrew Nurkin, director of the Free Library of Philadelphia, which is one of the libraries that set up the dispensers. “We want people to be easily exposed to literature. We want to advance literacy among children and inspire their creativity.”Here’s how a dispenser works. It has three buttons on top indicating choices for stories that can be read in one minute, three minutes or five minutes. When a button is pushed, a short story is printed.The stories are free. They are chosen from a computer category of more than 100,000 original submissions by writers whose works have been evaluated by Short Edition’s judges, and transmitted over a mobile network. Offerings can be tailored to specific interests, like children’s fiction or romance. Short Edition gets stories for its category by holding writing contests.Short Edition set up its first booth in 2016 and has 150 machines worldwide. “Theidea is to make people happy,” said Kristan Leroy, director of Short Edition. “There is too much unhappiness today. ”8.What do we know about the stories sent by dispensers?A.They are easily read.B.They are short in form.C.They can be bought from booths.D.They can be found in magazines.9.Which paragraph shows the popularity of story dispensers in America?A.Paragraph 3.B. Paragraph 5.C. Paragraph 6.D. Paragraph 7.10.Why were the story dispensers set up according to Andrew Nurkin?A.To introduce French literature.B.To get rid of smartphone addiction.C.To make people have access to literature.D.To reduce the financial stress of libraries.11.What is the best title for the text?A.Everything Old Is NewB.Online Reading: a Virtual TourC.Short Edition Is Getting PopularD.Taste of Literature, at the Push of a ButtonDDo you think you’re smarter than your parents and grandparents? According to James Flynn, a professor at a New Zealand university, you are! Over the course of the last century, people who have taken IQ tests have gotten increasingly better scores---on average, three points better for every decade that has passed. This improvement is known as “the Flynn effect”, and scientists want to know what is behind it.IQ tests and other similar tests are designed to measure general intelligence rather than knowledge. Flynn knew that intelligence is partly inherited from our parents and partly the result of our environment and experiences, but the improvement in test scores was happening too quickly to be explained by heredity. So what was happening in the 20th century that was helping people achieve higher scores on intelligence tests?Scientists have proposed several explanations for the Flynn effect. Some suggestthat the improved test scores simply reflect an increased exposure to tests in general. Because we take so many tests, we learn test-taking techniques that help us perform better on any test. Others have pointed to better nutrition since it results in babies being born larger, healthier, and with more brain development than in the past. Another possible explanation is a change in educational styles, with teachers encouraging children to learn by discovering things for themselves rather than just memorizing information. This could prepare people to do the kind of problem solving that intelligence tests require.Flynn limited the possible explanations when he looked carefully at the test data and discovered that the improvement in scores was only on certain parts of the IQ test. Test-takers didn’t do better on the arithmetic or vocabulary sections of the test; they did better on sections that required a special kind of reasoning and problem solving. For example, one part of the test shows a set of abstract shapes, and test-takers must look for patterns and connections between them and decide which shape should be added to the set. According to Flynn, this visual intelligence improves as the amount of technology in our lives increases. Every time you play a computer game or figure out how to program a new cell phone, you are exercising exactly the kind of thinking and problem solving that helps you do well on one kind of intelligence test. So are you really smarter than your parents? In one very specific way, you may be.12.The Flynn effect is .A.not connected to our experiencesB.unknown in some parts of the worldC.an increase in IQ test scores over timeed to measure people’s intelligence13.According to the article, newer educational techniques include .A.improving test scoresB.exposure to many testsC.memorizing informationD.children finding things out themselves14.Why does the author mention computer games?A.To encourage the reader to do more exercise instead of playing games.B.To explain why more and more young people have poor vocabularies.C.To give an example of technology improving our visual intelligence.D.To show the fact that young people are not getting more intelligent.15.Which statement would Professor Flynn agree with?A.People today are taking easier tests.B.People today have more visual intelligence.C.People today have fewer problems to solve.D.People today are more intelligent in every way.第二节（共 5 小题；每小题 2.5 分，满分 12.5 分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

【校级联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合M ={x ∈N|x ≤2}，N ={x|x 2−x ≤0}，则M ∩N =( ) A ．[0,2]B ．[0,1]C ．{0,1}D ．{1}2．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D3．设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使a ba b=成立的充要条件是（ ）． A ．//a bB ．0θ=C ．2πθ=D ．θπ=4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．若函数()()231sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则()y f x =的单调递增区间是()A ．(),1∞-B ．()1,∞+C ．(),0∞-D ．()0,∞+6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-8．若x ，y 满足约束条件20205100x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．0B ．2C ．4D ．139．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或10．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2{1}[,)e +∞B ．2{1}(,)e +∞ C ．2[1,e ] D ．2(1,]e11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．32+B ．32+C ．22+D ．22+12．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=（其中222c b a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题13．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)14．已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为C 的标准方程是____15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2448a a +=，528a =，30n S n λ+>对一切*n N ∈恒成立，则λ的取值范围为____.16．体积为163的正四棱锥S ABCD -的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为2，那么过S ABCD -的各顶点的球的表面积为____.三、解答题17．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边，sin cos (sin )0C A B B -+=.(1)求A ；(2)若4b =，且AC边上的高为ABC ∆的周长.18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2AB =2，∠BAA 1=π3，D 为AA 1的中点，点C 在平面ABB 1A 1内的射影在线段BD 上.(1)求证：B 1D ⊥平面CBD ；(2)若ΔCBD 是正三角形，求三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积.19．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费4100.65266.5⨯=元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费()()2000.614002000.664104000.91263.1⨯+-⨯+-⨯=元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；()2根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；()3设某用户11月用电量为x 度()x N ∈，按照合表电价收费标准应交1y 元，按照阶梯电价收费标准应交2y 元，请用x 表示1y 和1y ，并求当21y y ≤时，x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？ 20．已知动圆P 与直线1:2l x =-相切且与圆221:(1)4F x y -+=外切。

华附、实、深中、广雅2021届高三数学下学期四校联考试题 理〔含解析〕一、选择题1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，那么〔 〕A. MNB. M NC. N MD.M N ⋂=∅【答案】B 【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，应选：B【点睛】此题考察了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于根底题. 2.原命题为“假设12,z z 互为一共轭复数，那么12=z z 〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕 A. 真，假，真 B. 假，假，真C. 真，真，假D. 假，假，假【答案】B 【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，那么21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：假设12=z z ，那么12,z z 互为一共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为一共轭复，故逆命题为假；否命题：假设12,z z 不互为一共轭复数，那么12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为一共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假一样，所以逆否命题为真；应选B.考点：命题以及命题的真假.a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),那么向量b 在向量a 方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()2·20a a b += 即a b =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1， 应选B ．【点睛】此题主要考察向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵敏运用．解答关键在于要求纯熟应用公式．α∥β平面的一个充分条件是〔 〕A. 存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB. 存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC. 存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD. 存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的断定与性质2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 〔 〕A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3， 所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，应选C ．()sin 2cos2f x a x b x =-〔a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R 〕在12x π=处获得最大值，那么函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是〔 〕 A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 奇函数且它的图象关于x π=对称D. 偶函数且它的图象关于x π=对称【答案】A 【解析】 【分析】首先根据可得()()222f x a b x θ=+-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题.【详解】()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处获得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，那么23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.应选：A【点睛】此题考察了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于根底题.()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，假设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，那么{}n a 的前2021项之和为〔 〕 A. 0 B. 2021C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =， 可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列， 可得42016120194a a a a +=+=， 所以{}n a 的前2021项之和为()120192019201940328a a S +==应选：C【点睛】此题考察了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于根底题.()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为〔 〕A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，那么[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； 应选：B【点睛】此题主要考察了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减〞的特征，此题属于中档题.f (x )＝2112x x ---的值域为( )A. [－43,43] B. [－43,0] C. [0,1] D. [0,43]【答案】C 【解析】令cos ,[0,π]x θθ=∈，那么sin 1()()cos 2f xg θθθ-==-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，应选C.点睛：此题考察利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决此题的关键有两个，一是利用21x -的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sin 1cos 2θθ--的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分表达了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.221x y +=，点1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是〔 〕 A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D. 221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <.应选：D【点睛】此题考察了动点的轨迹方程问题，考察了数形结合的思想，属于根底题.11.F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，假设2AF FB =，那么C 的离心率是〔 〕B.3D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率〔取值范围〕的策略求双曲线离心率是一个热点问题．假设求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，假设求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．12. 假设正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的间隔 依次成等差数列，那么点P 在平面ABC 内的轨迹是 A. 一条线段B. 一个点C. 一段圆弧D. 抛物线的一段 【答案】A 【解析】 试题分析：设点到三个面的间隔 分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：此题以等差数列为载体，考察正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的间隔 为定值． 二、填空题[]0,2上分别任取两个数m ，n ，假设向量(),a m n =，()1,1b =，那么满足1a b-≤的概率是______ .【答案】4π 【解析】 【分析】由向量的坐标求出满足1a b -≤的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案.【详解】由(),a m n =，()1,1b =，得()1,1a b m n -=--由1a b -≤，得()()22111m n -+-≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4. 那么1a b -≤的概率是4π. 故答案为：4π 【点睛】此题考察了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于根底题.{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，那么25837a a ab b ++=+______. 【答案】215【解析】 【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A aB b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，那么258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+， 又311n n A n B n +=+，595939114915a Ab B ⨯+∴===+， 所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+.故答案为：215【点睛】此题考察了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于根底题.~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，假设(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，那么(4)P Y >=__________．【答案】0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()202111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值是______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用根本不等式即可求解. 【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-， ()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 33tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan 3A =，6A π=取等号 故答案为：6π【点睛】此题考察了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及根本不等式，需熟记公式，综合性比拟强，属于中档题. 三、解答题{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足：()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式.【答案】〔Ⅰ〕2n a n =；〔Ⅱ〕221n nb =-【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. 〔Ⅱ〕根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，与原式作差再由〔Ⅰ〕即可求解.【详解】〔Ⅰ〕由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，那么10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=， 所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.〔Ⅱ〕由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=， 可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式， 故221n n b =-. 【点睛】此题考察了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 18.某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如下图．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量互相HY ．〔1〕求在将来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；〔2〕用ξ表示在将来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】〔1〕∴0.06;〔2〕见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：〔1〕设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．那么()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．〔2〕日销售量不低于100枝的概率0.6P =，那么()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，那么分布列为ξ0 1 2 3 4P16625 96625 216625 216625 81625∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、HY 性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.〔Ⅰ〕记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；〔Ⅱ〕设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕//l 平面PAC ，证明见解析；〔Ⅱ〕,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔Ⅰ〕证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的断定定理即可求解.〔Ⅱ〕法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解.法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .〔Ⅱ〕解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由〔Ⅰ〕知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ， 又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭， 即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，那么()0,,0B t ，()0,0,2F ，()24,,0Dt t -，()0,,2BF t =-，()24,0,0BD t =-.设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =，那么由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22040ty z t x -+=⎧-=，获得2y =()0,2,m t =. 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，222cos 0,2441m n t m nttθ⋅⎛⎫===⎪ ⎪⋅+⎝⎭+， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了线面平行的性质定理、断定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考察了学生的空间想象才能以及推理才能，属于中档题.C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公一共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.【答案】〔Ⅰ〕2212x y +=；〔Ⅱ〕证明见解析，2x =-，【解析】 【分析】〔Ⅰ〕设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求〞的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.〔Ⅱ〕设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半局部的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解.【详解】〔Ⅰ〕由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+， 代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.〔Ⅱ〕证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半局部的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公一共点，所以102l x k y ==-， 所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y+=-+，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-， 所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考察了圆锥曲线中“设而不求〞的思想，考察了学生的计算才能，属于中档题.()ln f x x a x =+，a R ∈.〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；〔Ⅲ〕试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由. 【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；〔Ⅲ〕见解析，理由见解析 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.〔Ⅲ〕法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，别离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=.〔1〕当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；〔2〕当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，〔1〕当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； 〔2〕当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. 〔3〕当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，那么()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增， 所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-.综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.〔Ⅲ〕设切点为()000,ln x x a x +，那么切线斜率01a k x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭.因为切线过点()1,3P ，那么()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，那么()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 〔1〕当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增； 在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.〔2〕当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，那么()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee--=<，那么()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，那么()'2t u t e =-.当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.〔3〕当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线. 综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线； 当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，那么切线斜率01a k x =+， 切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，那么()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭， 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解.当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-， 令()1ln 1x g x x =+-，那么()21'x g x x-=， 易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线.综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线.【点睛】此题考察了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩〔t 为参数，0απ≤<〕，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点〔不包括极点O 〕.(Ⅰ)求证：2OB OC OA +=； (Ⅱ)当12πφ=时，假设B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值． 试题解析：〔Ⅰ〕证明：依题意，，，，那么．〔Ⅱ〕当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)假设()13f <，务实数a 的取值范围；(Ⅱ)假设不等式()2f x ≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 试题分析：〔Ⅰ〕由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．〔Ⅱ〕根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围． 试题解析： 〔Ⅰ〕由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．〔Ⅱ〕由及绝对值的几何意义可得，当时，获得最小值．f x≥恒成立，∵不等式()2∴，即，解得或者．∴实数的取值范围是.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。