(精品)数学讲义7年级寒假班02-用数轴上的点表示实数及分数指数幂-教师版

实数 第01课 平方根1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算术平方根，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x = 算术平方根性质：(1)当a ≥0时a ≥0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （由定义得出）(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个(3)还原性质：当0≥a 时，a a =2)(，即非负数算术平方根的平方等于该非负数 完全平方数：能够完全开方开的尽的数。

如1,4,9,16，...平方根概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则a x ±=开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。

平方根的性质：(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根 (2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=a 即：非负数的平方根的平方等于该数 （三）a a a ±-,,的含义：a ：当a ≥0时，表示a 的算术平方根a -：当a ≥0时，表示a 的算术平方根的相反数a ±：当a ≥0时，表示a 的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位. 查表外数小数点移动法则：（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数 （2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。

例题解析【例1】一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【难度】★【答案】3； 1.732；四；1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是1、7、3、2．【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿；3）5⨯；4）0.00125．7.3310【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．【难度】★【答案】（1）0.00844；（2）12.98；（3）5⨯．⨯；（4）65.366105.4810【解析】（1）0.00844；（2）12.98；（3）5⨯．5.48105.36610⨯；（4）6【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．π=，按四舍五入法取近似值．【例4】已知 3.1415926（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【解析】（1）3.1416； （2）3.14； （3）0.0453或24.5310-⨯． 【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】 用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】 下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201； （2）0.0010； （3）2.35亿； （4）107.6010⨯．【难度】★★【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有两个有效数字； （3）精确到百万位，有三个有效数字； （4）精确到亿位，有三个有效数字． 【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米． 【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．【例8】 把下列方根化为幂的形式：（1； （2） （3；（4）（5；（6．【难度】★【答案】（1）132； （2）1310-； （3）145； （4）137； （5）13a -； （6）12()a -．【解析】（1132=； （2）1310-；（3）218455===； （4）137=；（513a ==-； （612()a -．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算． 【例9】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1） （2 （3）； （4【解析】（1）13127⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）23827⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）111362(64)64==【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】 化简：（1）111362a a a ÷⋅； （2）8【难度】★【答案】（1）13a ； （2）71338x y ． 【解析】（1）11111113623632a a a aa -+÷==；（2）121111117144233333366338888xy xy x y x y x y x y ===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】 计算下列各值： （1（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565； （2）1-． 【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a -≥-≥，，所以3a =， 所以3a =或3-， 因为30a -≠，所以3a =-． 故当3a =-时，原式()2017133143⎛⎫⨯- ⎪==- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】 计算下列各值：（1）1225232---+ （2）11222[(23)(2]-++． 【难度】★★【答案】（1）12-； （2）16． 【解析】（1）1225232---4923=---+12=-；（2）()()2112222-⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=． 【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】 计算： （1；（2）1112444111()()()242a a a -⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y ÷-⨯． 【难度】★★【答案】（1）a ； （2）144116a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）166x y -．【解析】（111113342341211121212aa aaa a aaa++===；（2）1114442111242a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y -+-+=-=-．【例14】4249a b==，，求1222ba -的值．【难度】★★★ ． 【解析】()112222242b a b a -=÷==【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.【难度】★★★【答案】（1； （2） 【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>，1122x x-∴+（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】 若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值． 【难度】★★★【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=，1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】化简：a b c【难度】★★★ 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=； 当0x ≠时，b c c a a bb ca c a bxx----++()()()()()()b ca c ab a bc a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】 已知122a =，132b =，123c=，133d =，试用a bc d 、、、的代数式表示下列各数值． （1； （2； （3 （4【难度】★★★【答案】（1）20a ； （2）10d； （3）23b ；（4） 【解析】（11220220a =⨯=； （213131010d=⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c =⨯=⨯==． 【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】 已知：210(0)x x xx xa a a a a a --+=>-，求的值． 【难度】★★★【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（）， 又0x x a a -+>， x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0xxa a -->， x xa a -∴-=， 119x x x x a a a a --+∴==-．【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】 材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又 满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）． 【难度】★★★【答案】（1）2，4，6； （2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ． 【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=； （3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．【例21】 的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【难度】★【答案】9-【解析】253<<，2a ∴=，5b =-22)9a b ∴==-． 【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】 计算：（1）1230.1)3(2)-⎡⨯---+⎣；（2）20152014；（3）3．【难度】★★【答案】（1）19； （2 （3）【解析】（1）1233(2)-⎡⨯---⎣）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）2015201420152014=()201476=-（3）3=⎤⎤-⎦⎦22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()235=-+=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．【例23】 计-．【难度】★★【答案】2=-==【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】 计算：（1）11032238[1(0.2]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-； （2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=． 【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】 设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5(0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小． 【难度】★★【答案】1113M N >-．【解析】∵73121(3(3(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】 已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值． 【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】 已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +==()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3． 【难度】★★★【答案】（1； （2）3； （3）．【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+==（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+==3；（3=59m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+=== 【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】 已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；133xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】 下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字； （2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字； （4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0； （3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0； （4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，3-，()754，536， 322-，343，324-，237．【难度】★随堂检测【答案】432；123--；754；356．【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356；3232122-==；343=3232144-==；237=【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】 比较大小： （1）与；（22+【难度】★★【答案】（1 （22>【解析】（1）22- 8=-0=，（2）22(2+- 1110=+-10=>， 2>+ 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】 把下列方根化为幂的形式． （1（2（3）a ．【难度】★★【答案】（1）582； （2）5766a b ； （3）111144a b ． 【解析】（1582==；（25766a b ===； （3）311111124444aaaa ab a b ==⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题6】 计算：62+53+（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()(()5525-⨯⨯；（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224 =⨯÷==；（3）1211333362332239218⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题8】计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅； （4）)11-+【难度】★★【答案】（1）763； （2）2； （3 （4）1【解析】（1763=；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+-11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【难度】★★★【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴=，120a b ∴=， 0∴=，=或=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a -+=，求22a a -+；1122a a-+；1122a a --；（2）已知：223a a -+=，求88a a -+． 【难度】★★★【答案】（1）23，； （2）18． 【解析】（1）1222()225a a a a --+=++=，2223a a -∴+=；15a a -+= 0a ∴>， 11220a a-∴+>，112122()27a a a a --+=++=， 1122a a -∴+=； 112122()23a a a a ---=+-=， 1122a a-∴-=（2）222(22)2229a a a a --+=++=， 22227a a -∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a ----+=+=+-+，883618a a -∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】 若2a =a 的小数部分是b ，则a b ⋅的值是（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．2【难度】★ 【答案】B ．【解析】425<+，42b a ∴=-=，2)1a b ∴⋅==． 【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】 下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【难度】★ 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）； （3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【难度】★【答案】（1）0.766； （2）290； （3）53.2110⨯； （4）41.410⨯． 【解析】（1）0.765890.766≈； （2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯； （4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】 计算： （1；（2（3．【难度】★★【答案】（1）565； （2）542； （3）【解析】（1151362555⨯=； （2315424222⨯=； （311136223323⨯÷=⨯= 【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．【作业5】 计算： （1 （2．【难度】★★【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(23)(2]-++．【难度】★★【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-+（4）16．【解析】（1）129()253351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-++=-+；（4）11222[(2(23)]-+211221(23)(2=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦16==．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．【作业7】计算：（1；（2．0)a>【难度】★★★【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a =．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【难度】★★★【答案】2-．【解析】122<<，1a∴=，1b，22168161)81)8ab b∴--=-⨯-⨯=-，2168ab b∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】如果223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b+-的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33130x ax∴-+=，120x bx++=，3313x ax∴+=，2211(1)3x x ax x∴+-+=，即211()()33x x ax x⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦，120x bx++=，12x bx∴+=-，22(43)3b b a∴--=，232(43)0a b b∴+-=．【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．【作业10】已知21xa，求33x xx xa aa a--++的值．【难度】★★★2a b2816bab--【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】 若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值． 【难度】★★★ 【答案】2016．【解析】++⋅⋅⋅+22⎡=++⋅⋅⋅+⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。

6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。

例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的 平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。

甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。

8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。

寒假讲义②实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数（4）当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是 对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的关系。

（5）实数的相反数、绝对值的概念相反数：实数a 的相反数是 ；绝对值：一个正实数的绝对值是 ，一个负实数的绝对值是它的 ，0的绝对值是 。

【例题精讲】例1：下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C例2：和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数【巩固练习】1．______叫无理数，______统称实数．2．______与数轴上的点一一对应．3．把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．4．2的相反数是________；21-的倒数是________；35-的绝对值是________． 5．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．8．估计76的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间9．－27的立方根与81的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或610．实数76.2、和22的大小关系是（ ）A ．7226.2<<B ．226.27<<C ．2276.2<<D ．76.222<<12．一个正方体水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在（ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间13．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点三、解答题14．写出符合条件的数． （1）小于102的所有正整数；（2）绝对值小于32的所有整数．15．一个底为正方形的水池的容积是486m 3，池深1.5m ，求这个水底的底边长．。

1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期时 间主 题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。

0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根； 可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（ ）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号 例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是 ，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1； 试一试：1.64的平方根是 ，64的立方根是 .2.16的平方根是 ，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32； 【例题精讲】 例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。

参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向 移动 位，则立方根的小数点相应地向 移动 位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解 参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（ ）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算 【例题精讲】 例6. 计算：（1）38515； （2）327102--- ； （3）3387）（- ； （4）6356）（-； （5）312564-38+1001 ； （6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。

基本内容 分数指数幂、实数的运算知识精要一、分数指数幂1、整数指数幂运算性质 根式运算性质 (1)a m ·a n =a m +n (m ,n ∈Z )(2)(a m )n =a m ·n (m ,n ∈Z )nn a ＝⎩⎨⎧为偶数为奇数n a n a |,|;,(3)(a ·b )n =a n ·b n (n ∈Z ) 2、分数指数幂)0(1 )0(>=≥=-a aaa a anmnmnm nm（其中m 、n 为整数，1>n ）上面规定中的nma 和nm a -叫做_____________，a 是底数。

3、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂。

有理数指数幂的运算性质：设0>a ，0>b ，p 、q 为有理数，那么 （ⅰ）q p q p a a a +=⋅，qp qpa a a -=÷（ⅱ）pq q p a a =)(（ⅲ）pppb a ab =)(，p pp ba b a =)(二、实数的运算 1）用数轴的点表示实数1、一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的________。

2、绝对值相等符号相反的两个数叫做___________。

3、实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝 对值大的数较小.从数轴上看，右边的数总比左边的数大。

4、设a>0,b>0,可知_____________________根据平方根的意义，得 _________________ 同理___________________ 2）实数的运算4、实数运算的顺序是___________________________________________________________________。

5、实数的六种运算关系：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算。

学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题： 实数的表示与开方 授课时间： 2018年学习目标实数的表示与开方教学内容1）实数的概念； 2）平方与平方根；知识点一（立方与立方根）【知识梳理】1．概念：如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根，记作：3x a =【例题精讲】知识精讲内容回顾（1）如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ” ,a 叫做被开方数,3叫做根指数。

（2）求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

例1.填空题（1）64的立方根是______，平方根是_______.（2）求值：=-334）（ ； =-381； （3）立方根是3的数是________，平方根是3的数是________。

（4）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。

例2. 选择题：（1）下列结论正确有（ ）44-=--； 2(2)2-=-； 2(2)2-=-；3388-=-；33(2)2-=-；333((2))2-=- A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（2）下列判断中错误的是( )A 、一个数的立方根与这个数的乘积为非负数B 、一个数的两个平方根之积负数C 、一个数的立方根未必小于这个数D 、零的平方根等于零的立方根 （3）下列说法中，错误的是（ ）A 、64的立方根是4B 、的是27131立方根C 、64的立方根是2D 、125的立方根是±5例3.求下列各式的值：（1） 30.729-； （2）339）（； （3）36432+-；【试一试】1. （1）若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是（2）下列说法正确的是（ ）A 、1的立方根与平方根都是1B 、233a a =C 、38的平方根是2±D 、252128183=+=+ 2. 计算下列各式的值：（1）312108⨯-； （2）332710236464--．3.求下列各数的立方根：（1）1000 （2）278- （3）001.0- （4）0知识点二（立方根与n 次方根）归纳总结：填表：平方根偶次方根a a =33)(， a a =33， 33a a -=-， 33()a a -=-。

1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。

第十二章实数【知识点说明】1、掌握实数的概念、数的开方。

2、掌握实数的运算、分数指数幂、熟练运用有理数指数幂的公式。

【知识梳理】一、实数的概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。

2、实数的分类：正有理数有理数零----有限小数或无无限循环小数负无理数实数正无理数无理数----无限不循环小数负无理数二、数的开方1、平方根和开平方：①定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。

，其中______表示a的正平方根（又叫______________），读作“根号a”。

②表示：正数a的两个平方根记作a③性质：正数的平方根有两个，且互为_________；0的平方根为________；负数没有平方根。

④2a=_______=⑤一个数a的算术平方根具有_________，即：____________________。

2、立方根和开立方：① 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做___________；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

② 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

3、n 次方根：定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的正数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。

求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。

【热身练习】1、与数轴上的点一一对应的是（ ） A.全体有理数B.全体无理数C.全体实数D.全体整数2、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是 （ ）.A.0B.正实数C.0和1D.13、如果y =0.25，那么y 的值是（ ） A 0.0625 B ．-0.5C ．0.5D ． 0.6254、如果x 是a 的立方根，那么下列说法中正确的是（ ）A -x 也是a 的立方根B ．-x 是-a 的立方根C ．x 是-a 的立方根D ． x 等于a 的立方3 5、若式子x-31的平方根只有一个，则x 的值是__________ 6、若一个正数的平方根是2a-1和 -a+2，则这个正数是__________ 7、已知1-2a + （b + 3）2 = 0，则=332ab__________ 8、已知y =191x -91+-+x ，则xy=_________ 9、有理数x 经过四舍五入得到的近似数是3.142，则x 的范围是__________ 10、若22x =+，则（x + 2）2的平方根为___________ 11、设x ，y 为实数，且y = 5x -54-++x ，则 | x – y | =__________【课堂练习】一、选择题1. 实数38、2π、34、310、25其中无理数有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2. 如果162=x ，则x 的值是（）A 、 4B 、 -4C 、4±D 、2± 3．下列说法正确的是（）A 、25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2 C 、8.0的立方根是 D 、65 是3625 的一个平方根 5．下列说法⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数 ⑷两个无理数的和还是无理数 其中错误的有（ ）个A 、 3B 、 1C 、 4D 、 2 6．如果x x -=2 成立的条件是（）A 、x ≥0B 、 x ≤0C 、 x>0D 、x <07.设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于 x 的说法正确的是（） A 、x 是有理数 B 、3±=x C 、 不存在 D 、 取1和2之间的实数 8．下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a - 互为相反数 C 、3a 与3a -是互为相反数 D 、a 与a -互为相反数 三、实数的运算1、掌握用数轴上的点表示实数，在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离为____2、有理数的额运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方和乘方是同级运算。

分数指数幂课时目标1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；知识精要1. 分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，规定：(0)m na a =≥m na-=(0)a >，其中m ，n 为正整数，1n >.m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.注：当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数. 2. 有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 3. 有理数指数幂运算性质设0,0a b >>，,p q 为有理数，那么 （1）()p q pq a a =，p q p q a a a -÷= （2）()p q pq a a =（3）(),()ppppp p a a ab a a b b==4. 分数指数幂的运算（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.热身练习1. 把下列方根化为幂的形式（1 （2） （3 解：原式132= 解：原式1310=- 解：原式145=±（4） （5 （6 解：原式13(7)=-- 解：原式=31a - 解：原式12()a =-说明：根据1na =0a ≥）进行求解，但要记住：当n 是偶数时，若0a <，则没有意义. 2. 计算（1）131()27- （2）238()27（3）121()16-解：原式13=- 解：原式49=解：原式14=-（4）0.57(1)9（5）12(32) （6）3121)64(解：原式43=解：原式= 解：原式=23. 计算（1）138()27（2）21331010⨯ （3）112228⨯解：原式=32解：原式=10 解：原式=4（4）111362a a a ÷g （5）211055(25)⨯ 解：原式=31a 解：原式=4004. 利用幂的运算性质运算：（1 （2 （3解：原式565= 解：原式=542 解：原式=1623g精解名题例1 计算（1）43555÷⋅ （2）251232)3(32)27(2-+---解：原式=1275 解：原式=－12（3）643321648⋅÷⋅ （4）1243aaa a ⋅⋅解：原式=312 解：原式=a（5）05321)15(125)259(+--- （6）34141331064.028|48|÷⨯--解：原式=323解：原式=5（7）4141241)21()41()21(+⋅+⋅-a a a （8）)4()2(3312161326561y x y x y x ⨯-÷解：原式=211644-a 解：原式=6y（9）212131])27[()3()6427(-+---- （10）22121])32()32[(--++解：原式=33834+- 解：原式=61例2 94,24==βα，求βα2122-的值.解：33232)4(4241212==÷=--βαβα例3 ）（，求下列各式的值已知121211:3--+=+x x xx ）（222-+x x解：由已知得：72)(221211=-+=+--x x x x∴472)(2122=-+=+--x x x x例4 的值，求已知32131313133124---++⨯⨯=a a a a . 解：由已知得：a =2 ∴原式=819例5 化简a b c解：原式=ac cb b a cb ba c a ba ac c b xxx --+--+--+⋅⋅111111))(())(())((=ac c b b a c b b a c a b a a c c b x-⋅-++-⋅-++-⋅-+111=1备选例题例1 已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.解：（1）∵13x x -+= ∴ 11222()23x x -+-= ∴1122x x-+=（2）3322x x-+=113322()()x x -+=11122()(1)x x x x --+-+=例2 已知210(0)xaa =>，求x xx xa a a a --+-的值.解：222222()212.1;()28.1x x x x x x x x a a a a a a a a ----+=++=-=+-=∴原式=91181121=例3 已知：01522≤--x x ，化简25109622+--++x x x x . 解：∵ 01522≤--x x ∴ 0)3)(5(≤+-x x ∴ 53≤≤-x∴ 03≥+x ，05≤-x∴ 原式53)5()3(22--+=--+=x x x x 2253-=-++=x x x巩固练习1.用幂的形式表示下列各数 （1）635-323- 解：2166= 31355-=-21)32(32= 2133-=-（2）3m 错误!未找到引用源。

教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间单击此处输入日期。

学 科数学课题名称分数指数幂1、分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中m 、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．2、有理数指数幂：整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．3、有理数指数幂的运算性质：分数指数幂1=14a a -+【例12】化简：523107a a a a⋅⋅【答案】解：75a【习题1】 4的平方根是（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4 【答案】C 【习题2】7-的立方根用符号表示是（ ）A ．37-±B ．37C ．37-D ．37-- 【答案】C【习题3】 下列说法正确的是（ ） A ．()4832-=-- B ．6427的立方根是43± C ．125-没有立方根 D ．立方根等于它本身的数是0和1【答案】A【习题4】 27-的立方根与9的平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6-D ．0或6- 【答案】D 【习题5】 如果()012552=-x ，那么x 等于（ ）A ．5±B ．5C ．25D ．25- 【答案】A【习题6】 在实数1.414，23，Λ3030030003.0,341，4π-，3216，2131⎪⎭⎫⎝⎛--中，无理数的个。

初一数学寒假班（教师版）.1. 实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a 的绝对值记作a ．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．实数a 的相反数是a -． 2、两个实数的大小比较 两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样． 负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为AB a b =-．知识结构例题解析知识精讲模块一：用数轴上的点表示实数用数轴上的点表示实数及分数指数幂【例1】填空：（1________；π-的相反数________；0的的相反数是________．（2_______；=______；π-的绝对值是______；即∣π-∣=_____；0的绝对值是________．【难度】★【答案】（1）2-，π，0；（2）2，2，π，π，0．【解析】负数的相反数和绝对值都等于它的相反数；正数的相反数和绝对值都等于它本身；0的相反数和绝对值都等于0．【总结】考察相反数和绝对值的求法．【例2】不用计算器，比较下列每组数的大小：（1与（2；（3）（4）π-与【难度】★【答案】（1）>；（2）<；（3）>；（4）>．【解析】负数比正数小；负数绝对值越大，反而越小；无理数比较大小可以采用平方法．【总结】考察实数比较大小．【例3】比较大小：（1） 1.21-_____ 1.21-；（2）；（311；（4）_____【难度】★【答案】（1）<；（2）<；（3）>；（4）<．【难度】★【解析】负数比正数小；负数绝对值越大，反而越小；无理数比较大小可以采用平方法．【总结】考察实数比较大小．【例4】）【难度】★【答案】D【解析】∵252016<<，∴20在4到5之间，故选D ． 【总结】考察实数比较大小和无理数在数轴上的表示方法．【例5】 如图，已知数轴上的四点A 、B 、C 、D、23-、122、，O 为原点，求线段OA 、OB 、OC 、OD 的长度．思考：如何求线段BC ，AB ，AD ，BD ，AC 的长度呢?【难度】★★【答案】2=OA ，32=OB ，212=OC ， 5=OD ，613=BC ，322+=AB ，52+=AD ，532+-=BD ，2212-=AC ．【解析】22==OA ，3232=-=OB ，212212==OC ，55=-=OD ， 61332212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BC ，322322+=⎪⎭⎫⎝⎛--=AB ，()5252+=--=AD ，()532532+-=---=BD ，2212-=AC ．【总结】考察数轴上两点间距离的求法．数轴上的某一点到原点的距离等于它的绝对值；数轴上的两点之间的距离等于右边的点对应的实数与左边的点对应的实数之差．【例6】 下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．2-B ．2-C ．2-与12-D ．2-与2【难度】★★【答案】A【解析】B 答案中相等，C 答案中互为倒数，D 答案中相等． 【总结】考察相反数、绝对值等定义．【例7】 2的相反数是________；绝对值是________=________；3π-+________；若(22x =，则x =________．【难度】★★【答案】32-，32-，1013-，1，3±． 【解析】3341πππ-=-+-=．【总结】考察相反数、绝对值的计算．32-32-【例8】 如果实数a 、b 在数轴上表示如图所示，那么下列结论中，哪些结论是错误的?①0ab <；②0a b -<；③0a b +<；④a b -<． 【难度】★★【答案】④【解析】∵0<a ，0>b ，∴0<ab ，0<-b a ∵b a >，∴0<+b a ，b a >- ∴①②③正确，④错误． 【总结】考察数轴上实数比较大小．【例9】 在数轴上点A 所表示的数是3，点B 到点A请写出点B 所表示的数． 【难度】★★【答案】32+或23-．【解析】设B 所表示的数为x ，则由题意可得：23=-x ，解得：32+=x 或23-∴点B 所表示的数为32+或23-． 【总结】考察数轴上两点之间的距离求法．【例10】 如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】∵12-<<-a ，∴01<+a ，02>+a ， ∴()12121+++=-+++=a a a a ．【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意先判定实数的正负．【例11】 用计算器，比较下列各组数的大小：（1）-- （2）（3）与（4）--【难度】★★★-2 P-11【答案】（1）＜；（2）＞；（3）＞；（4）＜． 【解析】（1）∵()28722=，()27332=，∴3372>，∴3372-<-；（2）()63732=，()601522=，∴15273>；（3）()27010333=，()2564433=，∴3344103>；（4）()187515533=，()17288633=，∴>-<-【总结】本题主要考察无理数的比较大小，平方法和立方法是常用的比较二次根式和三次根式的方法．【例12】已知24x =3，且x y x y +=--，求x y -的值．【难度】★★★ 【答案】-1或-5【解析】因为24x =3=，∴2±=x ，3±=y ．因为y x y x --=+，∴0≤+y x ，∴32x y =-=-，或32x y =-=，． ∴1-=-y x 或5-．【总结】考察绝对值的化简和开方运算的综合运用．【例13】 数轴上表示1A 、点B ，点B 关于点A 的对称点为点C ．（1）求A ，B 两点之间的距离； （2）求点C 所表示的数是多少? （3）在数轴上描出点A ，B ，C ． 【难度】★★★【答案】（1）13-=AB ；（2）32-；（3）见解析． 【解析】（1）13-=AB ；（2）设点C 所表示的数为x ，则由题意可得：CA AB = ∴x -=-113，解32-=x ， ∴点C 所表示的数是32-． （3）数轴如下：【总结】考察数轴上数的点的表示和两点间距离的求法．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m na a =≥(0)m naa -=>，其中m 、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na -叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么 （1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=； （2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例14】 把下列方根化为幂的形式：（1（2；（3（4【难度】★【答案】（1）316；（2）347-；（3）356；（4）419．知识精讲模块二：分数指数幂例题解析【解析】考察分数指数幂的表示方法． 【总结】注意倒数的表示方法．【例15】 把下列分数指数幂化为方根形式： （1）2310；（2）233-；（3）431()5；（4）344-． 【难度】★【答案】（1）3210；（2）3231；（3）3451；（4）4341．【解析】考察分数指数幂与根式的互化． 【总结】注意倒数的表示方法．【例16】 计算（口答）：（1）129；（2）12121； （3）12144-； （4）1364；（5）13125；（6）14256-．【难度】★【答案】（1）3；（2）11；（3）121；（4）4；（5）5；（6）41． 【解析】考察分数指数幂的运算方法．【总结】注意在此类计算中，开偶次方运算的结果只有一个值，没有正负两个值．【例17】 计算下列各值：（1）138()27；（2）131000-；（3）3416-；（4）0.832．【难度】★★ 【答案】（1）32；（2）101；（3）81；（4）16．【解析】（3）333441116===168-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）440.8453232216====．(0)mna a =≥这个公式的运用还有另外一种形式：(0)m mna a =≥，对于数字的运算这种形式的应用比较方便．【例18】 计算下列各值：（1）14(1681)⨯； （2）21331010⨯；（3）1132(64)；（4）112228⨯．【难度】★★【答案】（1）6；（2）10；（3）2；（4）4． 【解析】（1）()111444444(1681)=(23)=6=6⨯⨯；（2）2121+33331010=10=10⨯；（3）()111163626(64)=64=2=2； （4）()1111222228=28=16=4⨯⨯．【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的综合运用． 【例19】 计算（结果表示为含幂的形式）：（1）213255⨯； （2）111362a a a ÷⋅；（3）2134(8)-；（4）1336(35)⨯．【难度】★★【答案】（1）675；（2）31a ；（3）168-；（4）2115【解析】（1）22171+3326255=5=5⨯；（2）11111113623632=a a a aa -+÷⋅=；（3）211364(8)=8--；（4）()111333626(35)=15=15⨯．【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的综合运用，注意结果用幂的形式表示．【例20】 把下列各式化成幂的形式：（1）2a（2）3a（3【难度】★★【答案】（1）52a ；（2）113a ；（3）13a ．【解析】（1）152222a a a a ⋅=； （2）2113333a a a a ⋅=； （313a ．【总结】考察分数指数幂运算方法和有理数指数幂运算的性质的应用方法．特别注意（3），31a ，当a 为正数时，则结果为正数，当a 为负数时，则结果为负数，则有矛盾，所以结果要加绝对值，保证结果是非负数．【例21】 计算下列各值：（1）11632(23)÷； （2）43232(35)-⨯； （3）113481(0.064)-÷； （4）1427(48)-÷．【难度】★★★【答案】（1）274；（2）1259；（3）65；（4）4． 【解析】（1）66111162333224(23)=23=23=27⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()344332222333229(35)=35=35125---⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；（3）()()11114313443581(0.064)30.430.46---÷=÷=÷=；（4）()1114286142777(48)(22)224--÷=÷===．【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，注意计算时要细心．【例22】 利用幂的性质计算（结果表示为含幂的形式）：（1；（2）4；（3 （4）4．【难度】★★【答案】（1）656；（2）1032；（3）453；（4）3142．【解析】（1151362666⨯=；（2）4415101436322222⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3()1315132424433333=⨯=⨯=；（4）4427141436322222⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用．【例23】 已知34y ，求2y x 的值． 【难度】★★★【答案】4132．【解析】根据开平方根的性质可得：08≥-x 且08≥-x ，∴8=x ，代入原式中可得：43=y ． ∴()391333444422822222yx =⨯=⨯=⨯=．【总结】考察开平方根的性质和幂指数的运算．【例24】 计算：（1）121333342222⋅⋅⋅；（2）113291(1)()1664-÷-．【难度】★★★【答案】（1）12252；（2）165-． 【解析】（1）12112133253333334412222222+++⋅⋅⋅==；（2）()1131132329125155(1)()41664164416--⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=÷-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用． 【例25】 利用幂的性质计算：（1； （2；（3）138a -【难度】★★★【答案】（1）2；（2）21a ；（3）31358b a ．【解析】（1()11346321122222222⨯===；（254116322215366a a a a a aa⋅===⋅；（3）1111211111121151222444233333333333388888ab a b a b a b a b a a b a a b 2----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式． 【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，综合性较强．【例26】已知：10a，10b=，求22310a b+的值．【难度】★★★【答案】22．【解析】()())22223123222233342310=101010102222a bb aa b+⎛⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，注意计算时逆用了幂的运算性质，综合性较强，注意方法的总结和归纳．一、填空题：【习题1】 把下列方根化为幂的形式.（1=_____； （2=_____； （3=_____； （4=_____．【难度】★随堂检测【答案】（1）432；（2）527；（3）323-；（4）417．【解析】考察分数指数幂与方根形式的转化． 【总结】注意倒数形式的变化．【习题2】 把下列方根化为幂的形式．（1（2（3【难度】★【答案】（1）21125；（2）52a ；（3）582．【解析】（31111251152228244222222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦【总结】有多个根号的时候从最里面的根号开始变形．【习题3】 已知数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别是2-，，133，求A 与B 、A 与C两点距离．【难度】★【答案】25-=AB ，315=AC ．【解析】()2552-=---=AB ，3153132=--=AC ． 【总结】考察数轴上两点之间的距离的求法．【习题4】 （11=________2=________2π=________；（2）当a<b 时，a b -=________．【难度】★★【答案】（1）13-；32-；23π-；（2）a b -．【解析】非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．【总结】本题一方面考查了实数的大小比较，另一方面考查了绝对值的化简，注414.12≈，732.13≈，这两个近似数经常会用到，需要熟记．【习题5】 如果在数轴上表示a 、b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++． 【难度】★★a 0 b【答案】a 2-．【解析】由数轴可知：00a b a b <>>，，， ∴0<-b a ，0<+b a ，∴()2a b a b b a a b a -++=--+=-．【总结】考察实数比较大小及含绝对值的代数式的化简．【习题6】 计算：（1）3225； （2）2327；（3）3236()49；（4）3225()4-．【难度】★★【答案】（1）125；（2）9；（3）343216；（4）1258．【解析】（1）3332255125===；（2）22232739===；（3）3332366216()497343⎛⎫=== ⎪⎝⎭； （4）33332225428()4255125-⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，10以内的数的立方要熟记．【习题7】 计算（将结果表示为方根的形式）：（1）1132222-⋅⋅； （2）13232555⋅÷；（3．【难度】★★【答案】（1；（23）1276．【解析】（1）1117113236222222-+-⋅⋅===（2）11353223326255555+-⋅÷==；（311111173234241266666+-⋅÷===【总结】考察分数指数幂的运算及与根式的互化，注意最终结果要表示成方根的形式．【习题8】 若a 、b 互为相反数，c 、d 的值. 【难度】★★【答案】1．【解析】由题意可得：0=+b a ，1=cd ，∴()03333=-+=+a a b a ，1=．【总结】考察相反数和倒数的定义．【习题9】 不用计算器，比较下列各组数的大小：（1（2）3-；（3）-- （4与32． 【难度】★★【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＞；（4）＜． 【解析】比较大小可以用平方法．【总结】无理数比较大小可以用平方法，注意负数绝对值越大的反而越小．【习题10】 数轴上的点A ，B ，C ，D依次表示为2．（1）在数轴上指出A ，B ，C ，D ；（2）求下列两点之间的距离：A 与D ，B 与C ． 【难度】★★【答案】（1）数轴如下：（2）4=AD ，22=BC ．【解析】（1）2=-1.414≈， 1.414=-，所以A 、B 、C 、D 如图所示；（2）()422=--=AD ，()2222=--=BC ． 【总结】考察数轴上的点的表示方法及数轴上两点之间的距离．【习题11】 在数轴上点A 所表示的数是4-，点B 到点A，请写出点B 所表示的数．【难度】★★【答案】4-4-【解析】设B 所表示的数为x，则由题意可得：(4)x --=解得：4x =-4x =-- ∴点B所表示的数为4-4- 【总结】考察数轴上两点之间的距离表示方法及根据距离求点所表示的数．-2-102【习题12】 计算：（1）2334(9)； （2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y ÷．【难度】★★★【答案】（1）3；（2）3；（3）259；（4）89；（5）400；（6）616143y x ．【解析】（1）231342(9)93==； （2）1112333339333⨯=⨯=； （3）()()1114444222229(35)353525÷=÷=÷=；（4）66111162333229(32)32328---⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）8883333334232424(25)2525400⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用．【习题13】 已知102α=，109β=，求124100αβ-的值．【难度】★★★【答案】316． 【解析】()()()()111112242224442421610010010010101010293αββαβααβ-=÷=÷=÷=÷=． 【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的运用，计算时逆用了幂的运算法则，注意对方法的归纳总结．【习题14】 利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯； （2；（3）【难度】★★★【答案】（1）51；（2）4；（3）6218．【解析】（1）111111112222222213315315311()()()()()()552553255325255-⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2()()12131143263626222222224=⨯÷=⨯÷==；（3）()()1112236333223=⨯⨯⨯⨯⨯1211133662333223⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1112155122363666323292++++=⨯=⨯=⨯=【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，本题综合性较强，计算量较大，计算时注意法则的准确运用，特别是（3）要化为同底数之后再进行计算．【习题15】 已知：4.251000x =，0.004251000y =，求11x y-的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】∵4.251000x=，0.004251000y=，∴14.251000x=，10.004251000y=，（第一个等式左右两边同时开x 次方，第二个等式左右两边同时开y 次方）∴y x111000100000425.025.4÷=÷， ∴yx 1110001000-=， ∴111=-yx ． 【总结】本题综合性较强，主要考察开方与乘方之间的关系，通过适当的变形，表示出11x y-的形式，要注意对方法的归纳总结．【作业1】 下列说法错误的是( )A ．数轴上的点和全体实数是一一对应的B ．a ，b 为实数，则0a b +>C ．实数中没有最小的数D ．实数中有绝对值最小的数【难度】★【答案】B【解析】B 答案错误，因为不能确定a b ，的符号，所以不能确定大小． 【总结】考察实数和数轴的相关概念．【作业2】 在实数范围内，下列判断正确的是()A ．若a b >，则22a b >B ．若a b =，则a b =C ．若2a =，则a b =D a b =【难度】★【答案】D【解析】A 答案错误，当b a ,均为负数时，则22b a >不成立；B 答案错误，正确答案应为a b = 或b a -=； C 答案错误，正确答案应为a b =或b a -=． 【总结】考察绝对值运算和开方运算．【作业3】 求下列各数的绝对值和相反数：（1）（23；（3；（4）3.15π-．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）绝对值为3，相反数为3；（2）绝对值为53-，相反数为53-； （3）绝对值为35，相反数为35；（4）绝对值为π-15.3，相反数为15.3-π． 【总结】考察绝对值和相反数的概念以及求任意一个实数的绝对值和相反数．【作业4】 填空：（1）负数a 与它的相反数之差的绝对值是______；（2______；（3）点A A 表示的实数为________；（4）如果4a =2=，且0ab <，则a b +=_______；（5）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，21x -=，2y =，则式子20062()a b x cd y ++-- 的值是_______．【难度】★★【答案】（1）a 2-；（2）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5；（3）10或10-； （4）0；（5）2-．【解析】（1）()a a a a 22-==--；（2）∵362825<<-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5；（3）点A 表示的实数为10或10-； （4）4±=a ，4=b ，∵0<ab ，∴4,4=-=b a ，∴0a b +=； （5）由题意可得：0=+b a ，1=cd ，1±=x ，2±=y ，()()02200622006()1(1)21142a b x cd y ++--=±+--±=+-=-． 【总结】考察绝对值运算、实数比较大小等．【作业5】 比较大小（用“<”或“>”或“=”填空）．（1）；（2）4-_______；（3）；（411．【难度】★★【答案】（1）＜；（2）＞；（3）＜；（4）＞． 【解析】（3）∵2255=-=12=，∴<【总结】考察实数比较大小，注意选择恰当的方法．【作业6】 如果实数b，那么b 的值是什么? 【难度】★★【答案】5±．【解析】数轴上的点到原点的距离等于这个数的绝对值． 【总结】注意答案有两解．【作业7】 已知数轴上A 、B 、C 、D 四点所对应的实数分别为 2.5-，123． （1）在数轴上描出四个点的大致位置； （2）求A 与D ，B 与C 两点的距离． 【难度】★★【答案】（1）数轴如下图：（2）654=AD ，23+=BC ．【解析】（2）()6545.2312=--=AD ，()2323+=--=BC ．【总结】考察数轴上的点的表示和距离的求法．【作业8】 a 、b 、c 三个数在数轴上的点如图所示，求a b c a c b -+---． 【难度】★★ 【答案】a c 22-．【解析】由数轴可得：00a c b <<>，，∴0<-b a ，0>-a c ，0<-b c ，∴22a b c a c b b a c a c b c a -+---=-+-+-=-． 【总结】考察数轴上实数比较大小和绝对值运算．【作业9】 用幂的运算性质计算：（1（2；（3．【难度】★★【答案】（1）1；（2）675；（3）35a ．【解析】（1()()14131143063623222222221⨯÷=⨯÷==；（2()42412471112333233622355555555-+=÷⨯=÷⨯==；（31111536231166a a a aa aa⋅⋅===．【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用．【作业10】 计算：（1）113481(0.064)-÷； （2）11232(4125)-；（3）243332(52)⨯；（4）11113322882(0.001)--⨯÷．【难度】★★★【答案】（1）65；（2）9；（3）20；（4）-34． 【解析】（1）()()11113413344581(0.064)30.430.46---⎡⎤÷=÷=÷=⎣⎦；（2）()()1122232(4125)2539-=-=-=；（3）332424322233332(52)525220⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）111131332222882(0.001)28220.164034--⨯÷=--⨯÷=-=-．【总结】考察分数指数幂的运算和有理数指数幂运算公式的综合运用，注意计算时要细心一些．【作业11】 若290x -=，2410y -=，求2x y +的值．【难度】★★★【答案】2或4． 【解析】由题意可得：3±=x ，21±=y ． 当132x y ==，时，123242x y +=+⨯=；当132x y ==-，时，123222x y ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭；当132x y =-=，时，123222x y +=-+⨯=；当132x y =-=-，时，123242x y ⎛⎫+=-+⨯-= ⎪⎝⎭，综上，2x y +的值为2或4．【总结】考察平方根的求法及分类讨论思想的运用．【作业12】 已知13x x -+=，求1122x x -+的值． 【难度】★★★【答案】5．【解析】由13x x -+=，得0x >，所以11220x x -+>．∵21112225x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，且11220x x -+>，∴52121=+-x x ．【总结】本题综合性较强，主要考查了完全平方公式的运用，注意要判定所求的代数式的正负，然后再进行计算．。