湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期2月月考数学试题

2019-2020学年湖北省襄阳市高中高三（下）第一次月考数学（文科）试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（）A．m∥n B．n∥αC．n⊥m D．n⊥α2．已知正项数列{an }中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．16 B．4 C．2D．453．对于实数a、b，“b＜a＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．18cm3B．6cm3C．D．5．已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量2+3在向量2+方向上的投影为（）A．B．C．D．6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．7．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B．C．8 D．168．两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．110．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b11．已知函数f（x+1）=，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣212．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＞1，b＞1，且成等比数列，则ab的最小值为．14．已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是．16．在正四棱锥V﹣ABCD内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c，（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；（II）若•=•，求的值．18．（12分）设数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=1，（n∈N*）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{Sn }的前n项和Tn．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小．20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．21．（12分）已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．22．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．2019-2020学年湖北省襄阳市高中高三（下）第一次月考数学（文科）试题参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（）A．m∥n B．n∥αC．n⊥m D．n⊥α【分析】利用直线与平面垂直的性质定理，直接得到选项即可．【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使n⊥β，只需在已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，则应增加的条件n⊥m，故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质定理的条件，考查基本知识的掌握程度，属于基本知识的考查．2．已知正项数列{an }中，a1=l，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．16 B．4 C．2D．45【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an 2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{an }中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴数列{an 2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴an=∴a6==4，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．对于实数a、b，“b＜a＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由不等式取倒数法则知“b＜a＜0”⇒“”，举反例知“”推不出“b＜a ＜0”，由此能求出结果．【解答】解：由不等式取倒数法则知：“b＜a＜0”⇒“”，反之，由“”推不出“b＜a＜0”，例如b＞0，a＜0时，，但b＜a＜0不成立．∴对于实数a、b，“b＜a＜0”是“”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意取倒数法则的合理运用．4．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．18cm3B．6cm3C．D．【分析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形，高为3的四棱锥．由棱锥体积公式直接求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为直角梯形，梯形的上下边长为分别为3，1，梯形的高为3，棱锥高为3，根据棱锥体积公式，得=6故选B．【点评】本题考查了对三视图的识图能力，能够准确判断出该几何体的形状，根据公式求解体积．属于基础题．5．已知向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，则向量2+3在向量2+方向上的投影为（）A．B．C．D．【分析】利用求模运算得到|2+3|，向量|2+|进而得到向量向量2+3与向量2+的夹角余弦，根据投影定义可得答案．【解答】解：向量，的夹角为120°，且||=2，||=3，所以|2+3|2=42+12•+92=16+12||||cos120°+81=61，|2+3|=．又|2+|2=4+4+=16+4×3×2cos120°+9=13，所以|2+|=，则cos＜2+3，2+＞===，所以向量2+3在向量2+方向上的投影为|2+3|cos＜2+3，2+＞==，故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，是中档题．6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．7．已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4 B．C．8 D．16【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．8．两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，则x+y的最大值为（）A．1 B．C．D．【分析】本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果．【解答】解：∵两个单位向量，的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，=x+y，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（，）．设∠BOC=α，则=x+y=（cosα，sinα）=（x+y，x），∴∴x=sinα，y=cosα﹣sinα，∴x+y=cosα+sinα=sin（α+60°）．∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°，∴≤sin（α+60°）≤1，故当α+60°=90°时，x+y取得最大值为，故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角函数的性质，确定x，y的关系式是关键，属于中档题．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，并能分析出底面两直角边的长和棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥底面是一个两直角边分别为1和1的直角三角形故底面S=×1×1=棱锥的高为h=2，故棱锥的体积V=Sh=××2=，故选B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出．【解答】解：A，∵，∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，又∵B，C为△ABC的内角，∴B=C=45°，故A=90°，A正确；B，∵由正弦定理可得=2R，∴==2R=，故B正确；C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；D，∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．【点评】本题考查三角形中的正弦定理的应用，以及三角形的边角关系，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．11．已知函数f（x+1）=，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解切线的斜率．【解答】解：由已知得，则，所以f'（1）=1．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．12．若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C． D．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0，即3+2a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：D．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a＞1，b＞1，且成等比数列，则ab的最小值为 e ．【分析】由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算性质化简后求ab的最小值．【解答】解：∵成等比数列，∴，则，∵a＞1，b＞1，∴lna＞0，lnb＞0，∴=1，当且仅当lna=lnb时取等号，则ln（ab）≥1=lne，即ab≥e，∴ab的最小值最小值是e，故答案为：e．【点评】本题考查基本不等式在求最值中的应用，对数的运算性质，以及等比中项的性质，考查化简、变形能力．14．已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是4π．【分析】根据正方体内切球和正方体的棱长关系，确定球的半径即可求出球的表面积．【解答】解：∵正方体的内切球的球心O到正方体各面的距离等于半径，∴2R=2，即球半径R=1，∴内切球的表面积是4π．故答案为：4π；【点评】本题主要考查球的表面积的计算，根据球与正方体的内切关系确定球的半径是解决本题的关键，比较基础．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是[0，2] ．【分析】通过向量的坐标运算转化为二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）．=（1，1）+（1﹣λ），λ∈[0，1]．=（1，1）+（1﹣λ）（1，﹣1）=（2﹣λ，λ）．==（0，1）+=（0，1）+λ（1，0）=（λ，1）．∴f（λ）==（2﹣λ，λ）•（λ，1）=λ（2﹣λ）+λ=﹣λ2+3λ=，∵λ∈[0，1]，∴f（0）≤f（λ）≤f（1），∴0≤f（λ）≤2．∴•的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了向量的坐标运算、二次函数的单调性，属于基础题．16．在正四棱锥V﹣ABCD内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于2．【分析】设球心为O，设底边OD=x和体高OP=y，推导出正四棱锥的体积V=，则V′=，由此利用导数性质能求出正四棱锥的体积取最小值时，其高等于2．【解答】解：设球心为O，设底边OD=x和体高OP=y，如图，则PD2=x2+y2，（PD为斜高），△ABC的底边AB的高为3y，△ABC的边长为AB=2，∴=3y2，∵V=V O ﹣VAB +V O ﹣VAC ==[3×（）]=2y，又V=V V ﹣ABC ==，∴V=，∴V ′=， 令V ′=0，得x=2，由该体积函数的几何意义得：当x=2时，正四棱锥的体积最小．∴当正四棱锥的体积取最小值时，其高等于2．故答案为：2．【点评】本题考察了导数在最大值、最小值问题中的应用、棱锥的结构特征、棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体，是中档题．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知点O 为△ABC 的外心，角A ，B ，C 的对边分别满足a ，b ，c ， （I ）若3+4+5=，求cos ∠BOC 的值； （II ）若•=•，求的值．【分析】（I）设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外心，得到||=||=||=R，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos ∠BOC的值；（II）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．【解答】解：（Ⅰ）设外接圆半径为R，由3+4+5=得：4+5=﹣3，平方得：16R2+40•+25R2=9R2，即•=﹣R2，则cos∠BOC=﹣；（Ⅱ）∵=，∴=，即：=，可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A，∴2cos2A=cos2C+cos2B，即：2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），∴2sin2A=sin2B+sin2C，∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2，∴=2．【点评】此题考查了平面向量的数量积运算法则，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，以及向量在几何中的运用，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．18．（12分）设数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=1，（n∈N*）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{Sn }的前n项和Tn．【分析】（1）运用数列的递推式：an+1=Sn+1﹣Sn，代入整理，结合等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得（n∈N*）．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：由，及an+1=Sn+1﹣Sn，得，整理，得nSn+1=2（n+1）Sn，∴，又，∴是以1为首项，2为公比的等比列；（2）由（1），得，∴（n∈N*）．∴，①，②由②﹣①，得．【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式及求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小．【分析】（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，推导出BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）法一（几何法）：由（1）得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所在角，由此能求出异面直线BC1和A1D所成角的大小．法二（向量法）：以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出异面直线BC1与A1D所成角．【解答】证明：（1）连接AC1与A1C相交于点F，连接DF．由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴BC1∥DF，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．解：（2）解法一（几何法）：由（1）得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所在角，设AB=2，则，，．在△A1DF中，由余弦定理得：，且∠A1DF∈（0，π），∴，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小为．解法二（向量法）：∵，令AA1=AC=CB=2，，∴AC⊥BC．以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．则D（1，1，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B（0，2，0），，．设异面直线BC1与A1D所成角为θ，则，∴，∴异面直线BC1与A1D所成角为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．20．（12分）如图所示，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点． （Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B 1﹣AEF 的体积．【分析】（I ）由BB 1⊥平面ABC 可知BB 1⊥AE ，又AE ⊥BC 可得AE ⊥平面BCC 1B 1，从而平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（II ）由（1）知AE 为棱锥A ﹣B 1EF 的高．于是V =V=．【解答】解：（I ）∵BB 1⊥面ABC ，AE ⊂平面ABC ， ∴AE ⊥BB 1，∵E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，又∵BC ⊂平面B 1BCC 1，B 1B ⊂平面B 1BCC 1，BC ∩BB 1=B ， ∴AE ⊥平面B 1BCC 1，∵AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1．（II ）∵三棱柱所有的棱长均为2， ∴AE=， ∴S=2×2﹣﹣=，由（I ）知AE ⊥平面B 1BCC 1 ∴．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．21．（12分）已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【分析】（Ⅰ）由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为，利用曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，求出a，b，即可求曲线C1的方程；（Ⅱ）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k无关），可证直线AC恒过定点就可解决．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y=（x﹣）…（9分）2令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【分析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4=0，令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【解答】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…（2分）此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（4分）（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，…（7分）若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（10分）（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b⇔3×2x+4bx﹣4=0，…（12分）令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…（16分）【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．。

2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A ．74B ．94C ．4D ．22．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>3．设,,a b c 为ABC 中的三边长，且1a b c ++=，则2224a b c abc +++的取值范围是（ ） A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．131,272⎛⎤⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫⎪⎝⎭4．函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,)+∞5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．1613+B ．3213+C ．52813+D ．2613+6．将曲线sin 2y x ＝按照'2'3x xy y =⎧⎨=⎩伸缩变换后得到的曲线方程为( )A ．3sin y x ''＝B ．3sin 2y x ''＝C ．3sin y x ''＝D ．sin 2y x ''＝7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-9．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2B ．2C ．-98D ．9810．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限11．已知命题p ：∀x∈R，2x >0；q ：∃x 0∈R，x ＋x 0＝－1．则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧qB ．(┐p)∧(┐q)C ．(┐p)∧qD ．p∧(┐q)12．已知定义在R 上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m 种，则m 的值为_______．14．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．15．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.16．2-的平方根是______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为2cos 203πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是222x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设点M 的直角坐标为()(),00a a >，过M 的直线与直线l 平行，且与曲线C 交于A 、B 两点，若115MA MB +=a 的值.18．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球． （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．19．（6分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.20．（6分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的高为3，底面边长为3，点,D E 分别为棱11B C 和1AA 的中点．（1）求证：直线DE ⊥平面BCE ； （2）求二面角E BD C --的余弦值． 21．（6分）已知函数2()43f x x x =++．（1）求函数()y f x =在区间[3,1]x ∈-上的最大值和最小值； （2）已知()2x g x =，求满足不等式[()]8g f x >的x 的取值范围． 22．（8分）已知函数()3211333f x x x x =-+-. （1）计算()()02f f +､()()13f f -+､1322f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数()f x 的一般结论，并证明这个结论； （3）若实数0x 满足()()0ff x x =，求证：()00f x x =.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】直线4kx ﹣4y ﹣k=0可化为k （4x ﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（14，0） ∵抛物线y 2=x 的焦点坐标为（14，0），准线方程为x=﹣74， ∴直线AB 为过焦点的直线 ∴AB 的中点到准线的距离222FA FBAB +==∴弦AB 的中点到直线x+12 =0的距离等于2+14=94. 故选B ．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 2．A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小． 3．B 【解析】 【分析】由222+,,4()a b c abc f a b c ++=，则(,,2()4)12ab c a bc f c a a b b --++=，再根据三角形边长可以证得()1,,2f a b c <，再利用不等式和已知可得22(1)()24a b c ab +-≤=，进而得到3211(,,)22f a b c c c ≥-+，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．【详解】由题意，记222+,,4()a b c abc f a b c ++=，又由1a b c ++=，则222122()42()22(1,))(,ab c a b abc c ab a b f a b ab c c =--++=+--++2221111112[]24()()()222222c ab a b c a b =+--+=---+，又,,a b c 为△ABC 的三边长，所以120,120,120a b c ->->->，所以()1,,2f a b c <， 另一方面(),,12(12)2(1)f a b c ab c c c =----，由于0,0a b >>，所以22(1)()24a b c ab +-≤=， 又120c ->，所以232(1)11(,,)12(12)2(1)422c f a b c c c c c c -≥-⨯---=-+，不妨设a b c ≥≥，且,,a b c 为ABC ∆的三边长，所以103c <≤． 令321122y c c =-+，则23(31)0y c c c c '=-=-≤， 当13c =时，可得2min 111113()2723227y =-+=，从而()131,,272f a b c ≤<， 当且仅当13a b c ===时取等号．故选B ． 【点睛】本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题． 4．C 【解析】 【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【详解】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．5．D【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱各面形状求面积.详解：因为几何体为一个以俯视图为底面的三棱柱，底面直角三角形的两直角边长为2213-2，所以棱柱表面积为1=232+24+3134=26+413 2S⨯⨯⨯⨯⨯选D.点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．6．A【解析】【分析】利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．【详解】∵伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩，∴x12=x′，y13=y′，代入曲线y＝sin2x可得y′＝3sin x′故选：A．【点睛】本题考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】 【详解】分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c>0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可. 8．D 【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 9．A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.10．B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置． 【详解】()221122z i i i i =+=++=Q ，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题． 11．D 【解析】分析：分别判断p ，q 的真假即可.详解：Q 指数函数的值域为(0，＋∞)，∴对任意x∈R，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题； x 2＋x ＋1＝2＋>0恒成立,不存在x 0∈R，使x ＋x 0＝－1成立，故q 为假命题，则p∧q，┐p 为假命题，┐q 为真命题，┐p∧┐q ，┐p∧q 为假命题，p∧┐q 为真命题． 故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识. 12．A 【解析】因为f(x) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+> 同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案． 【详解】根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有336A =种不同的顺序，排好后，形成4个空位，在4个空位中，选2个安排甲乙，有2412A ＝种选法， 则甲乙不相邻的排法有61272⨯＝种， 即72m ＝； 故答案为：1． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法． 14．60 【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有3343C A 种，有一个城市投资2个有212423C C C 种，投资方案共3343C A 212423243660C C C +=+=种. 考点：排列组合. 15．3m > 【解析】 【分析】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得3m >或3m <-所以3m > 【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．16． 【解析】 【分析】设2-的平方根为i z a b =+，由22z =-列方程组，解方程组求得z . 【详解】设2-的平方根为i z a b =+（,a b 为实数），故()2222i 2i 2z a b a b ab =+=-+=-，所以2220a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，b =，故z =.故答案为：. 【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）直线l的直角坐标方程为20x --=，曲线C 的普通方程为22y x =；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式以及cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可将l 的极坐标方程转化为普通方程，在曲线C 的参数方程中消去参数t 可得出曲线C 的普通方程；（2）求出直线l 的倾斜角为6π，可得出直线AB的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B的参数分别为1t 、2t ，将直线AB 的参数方程与曲线C 普通方程联立，列出韦达定理，由1212112t t MA MB t t -+===，代入韦达定理可求出a 的值.【详解】（1）因为2cos 203πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 20ρθθ-=，由cos x ρθ=，siny ρθ=，得20x --=，即直线l的直角坐标方程为20x -=；因为222x t y t⎧=⎨=⎩消去t ，得22y x =，所以曲线C 的普通方程为22y x =；（2）因为点M 的直角坐标为(),0a ，过M可设直线的参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，将参数方程代入22y x =，得280t a --=，则12t t +=，128t t a =-. 所以1212121111t t MA MB t t t t -+=+===，解得1a =.【点睛】本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）115；（2）195. 【解析】 【分析】（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案. 【详解】（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法.因此，共有12490115++=种不同的取法；（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.其中4红有441C =种取法，3红1白有314624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有134680C C =种不同的取法.因此，共有1249080195+++=种不同的取法. 【点睛】本题考查分类加法计数原理应用，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【解析】 【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为(4)3y x =--，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20．（1）详见解析；（2． 【解析】 【分析】()1取BC 中点F ，连接FE ，FD ，可证BC ⊥平面AFDE ，则BC DE ⊥，求解三角形证明DE FE ⊥，再由线面垂直的判定可得直线DE ⊥平面BCE ；()2以F 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED 与平面BCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E BD C --的余弦值． 【详解】（1）取BC 的中点F ，连结1,,AF DF A D ，如图，由题意知，四边形1A DFA 为矩形，且1133,2A A A D ==． 因为E 为棱1AA 的中点， 所以322DE EF ==， 因为3DF =， 所以DE EF ⊥， 因为1,AF BC A A BC ⊥⊥，所以BC ⊥平面1A AFD ，所 以BC DE ⊥． 又BC EF F =I , 所以DE ⊥平面BCE ．（2）以F 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则B 0，0)，(0,D 0，3)，330,,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，BD →⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，33,22BE →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z =r，由302330222n BD x z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩u u u r r u u u r r，取x =()1,1n =-r ．取平面BCD 的一个法向量为()0,1,0m =r，11cos ,144m n m n m n ⋅-===-⨯⋅r r r rr r Q ．且二面角E BD C --为锐角，∴二面角E BD C --的余弦值为14． 【点睛】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．21． (1)最小值为-1,最大值为8;(2) (,4)(0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】(1)根据二次函数在区间[3,1]-上的单调性可求得答案;(2)根据()g x 为增函数可将不等式化为()3f x >,再解一元二次不等式可得到答案. 【详解】(1)因为2()(2)1f x x =+-在[3,2]--上递减,在[2,1]--上递增, 所以2x =-时,()f x 取得最小值,最小值为(2)1f -=-,1x =时,()f x 取得最大值,最大值为(1)8f =.(2)因为()2x g x =为增函数,且3(3)28g ==, 所以不等式[()]8g f x >可化为[()](3)g f x g >, 所以()3f x >,即2433x x ++>, 所以(4)0x x +>,所以0x >或4x <-,所以不等式[()]8g f x >的解集为(,4)(0,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求最值,解一元二次不等式,利用指数函数的单调性解不等式,属于基础题.22．（1）()()024f f +=，()()134f f -+=，13422f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）一般结论为：对任意实数x 都有()()24f x f x +-=，证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】()1代入计算可得所求和为定值；()2可得()()24f x f x +-=，代入计算，化简可得所求结论； ()3求得()f x 的导数，判断单调性，根据单调性利用反证法可得证明．【详解】（1）()()18102464333f f +=-+-+-=， ()()111131********f f -+=----+-+-=，1311319991422244238423f f ⎛⎫⎛⎫+=--+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）对任意实数x 都有()()24f x f x +-=. 证明：()()32112333f x f x x x x +-=-+-()()()3211223233x x x +---+-- ()()()22212222244633x x x x x x x x ⎡⎤=+-+----+-+-⎣⎦()222236424233x x x x =-+-++- 4=.（3）由()()22'23120f x x x x =-+=-+>知，()f x 为R 上的单调增函数.假设()00f x x ≠，则()00f x x >或()00f x x <， 若()00f x x >，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()0f f x f x x >>；若()00f x x <，由()f x 为R 上的单调增函数知，()()()0f f x f x x <<，则()()0ff x x ≠，与条件()()0f f x x =矛盾，故假设不成立.原命题()00f x x =成立. 【点睛】本题主要考查三次函数的图象和性质，主要是单调性的应用，反证法，考查化简运算能力，属于中档题．。

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3(2)()(1)(2)x a x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，若8(3)9f =-，则实数a 是（ ）A ．1B ．-1C ．19D ．02．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤ C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a >3．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其回归直线方程是4ˆ0ˆybx =+，则相对应于点（11，5）的残差为（ ） A ．0.1B ．0.2C ．﹣0.1D ．﹣0.24．已知集合{}2|160A x x =-<，{}5,0,1B =-，则( )A ．AB =∅ B ．B A ⊆C ．{}0,1AB =D ．A B ⊆5．函数()ln 41f x x x =-+的递增区间为（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,4C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种7．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( )A ．335B ．338 C ．217D ．以上都不正确8．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ）A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 9．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y -B ．3=+0+4x yC ．36=0+x y -D ．3=+0+3x y10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题11．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为( ) A ．10B ．12C ．18D ．2812．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R =，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤-或1a ≥B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >二、填空题：本题共4小题 13．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是____14．已知2()22f x x x b =++是定义在[-1,0]上的函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是_______ 15．已知函数32()4f x x ax =++恰有两个零点，则实数a 的值为___________ 16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。

2019-2020学年湖北省襄阳市襄州区第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若全集U={0，1，2，3}且?U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个参考答案：C【考点】16：子集与真子集．【分析】利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n﹣1个，求出集合的真子集的个数．【解答】解：∵U={0，1，2，3}且C U A={2}，∴A={0，1，3}∴集合A的真子集共有23﹣1=7故选C2. 点, 且, 则直线的方程为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：B略3. 若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=_________。

参考答案：略4. 等比数列中，，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B5. 已知，则A. B. C. D.参考答案：D6. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A、16B、24C、34D、48参考答案：A7. 已知函数，满足，，给出下列说法：①函数为奇函数；②若函数在R上单调递增，则；③若是函数的极值点，则也是函数的极值点；④若，则函数在R 上有极值.以上说法正确的个数是A．4 B．3 C．2D．1参考答案：B8. 已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2 D．n n参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=n n，故选D．9. 设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．10. 已知△的三边所对的角分别为,且, 则的值为A. B. C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义域为的函数，若存在常数，使得对于任意，当时，总有，则称点为函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心的横坐标为，则可求得：.参考答案：-804612.已知函数满足条件，则正数= 。

湖北省襄樊市2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1． “m≠0”是“方程22x y -=m 表示的曲线为双曲线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程进行判断．【详解】0m =时，方程220x y -=表示两条直线y x =±，0m ≠时，方程可化为221x y m m -=，0m >时表示焦点在x 轴上的双曲线，0m <时表示焦点在y 轴上的双曲线．故选C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．2．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ） A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=【答案】A【解析】分析：求导f′（x ）=3x 2+2ax+b ，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x 1＜x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 1）上单调递增，从而判断出A 的结论错误，而根据f （x ）的值域便知f （x ）和x 轴至少一个交点，从而B 的结论正确，而a=b=c=0时，f （x ）=x 3为中心对称图形，从而判断C 正确，而根据极值点的定义便知D 正确，从而得出结论错误的为A ．详解：A ．f′（x ）=3x 2+2ax+b ，导函数为二次函数；∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x ）=0的另一根，设为x 1；则x 1＜x 0，且x ＜x 1时，f′（x ）＞0；即函数f （x ）在（﹣∞，x 1）上单调递增,∴选项A 错误；B ．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f （x ）的图象和x 轴至少一个交点；∴∃x 0∈R ，使f （x 0）=0；∴选项B 正确；C ．当a=b=c=0时，f （x ）=x 3，为奇函数，图象关于原点对称；∴f （x ）是中心对称图形,∴选项C 正确；D ．函数在极值点处的导数为0,∴选项D 正确．故选：A ．点睛：本题利用导函数研究了函数的极值点，零点，对称性，单调性等性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.3．已知正项等差数列{}n a 满足：211(2)n n n a a a n +-+=≥，等比数列{}n b 满足：112(2)n n n b b b n +-⋅=≥，则220182018log ()a b +=（ ）A ．-1或2B ．0或2C ．2D ．1 【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论． 详解：由()2112n n n a a a n +-+=≥，得211n n n a a a +-=+ ，∵{}n a 是正项等差数列，∴2112n n n n a a a a +-=+=，22n a n ∴=≥，（） ，111120222n n n n n n b b b n b b b n +-+-⋅-=≥∴⋅=≥Q （），（），∵{}n b 是等比数列，2112222n n n n n b b b b n b n +-∴⋅==≥∴=≥（），，（）， 则2222242n n log a b log log （）（）+=+==，即()220182018log 4a b += 故选：D ．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．4．若实数x y ，满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点B 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由203x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)B ， 代入目标函数2z x y =+得2124z =⨯+=．即目标函数2z x y =+的最大值为1．故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．5．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】【分析】【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性.6．已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 的共轭复数为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 ∵，∴x=2,y=1，∴复数2+i 的共轭复数为，故选D7．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝（ ）A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【答案】A【解析】试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 8．函数f(x)＝21x x e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C. 又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.9．展开式中的系数为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】【分析】由二项式定理展开式的通项公式，赋值即可求出。

2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二(下)期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设函数()2(xe f x mx e x =-为自然对数的底数）在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．43,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．43,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞2．命题:p “20,2x x x ∀≥>”的否定p ⌝为（ ）A ．2000,2x x x ∃≥< B ．20,2x x x ∀≥< C ．02000,2xx x ∃≥≤D ．20,2x x x ∀≥≤3． “不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知:1p a >，213211:22a aq +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 7．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16B ．163C ．163D ．12838．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现9．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)55.5，10．已知A ，B 的⊙O 上的两个点，OA u u u v ·OB uuu v ＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足｜OA u u u v＋CB u u u v｜＝1，则｜AC u u u v｜的最大值为（ ）A ＋1B 1C ．＋1D +111．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ） A ．77种B ．144种C ．35种D ．72种12．下列关于残差图的描述错误的是（ ） A ．残差图的横坐标可以是编号B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是___. 14．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 15．已知直线l 与椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>相切于第一象限的点00(,)P x y ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB V (O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ︒∠=(1F 、2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠，则实数m 的值是__________． 16．已知4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知复数()()22563z m m m m i =-++-，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值. 18．已知实数k 为整数，函数2()ln 1324f x x x k =-+++-，2215()ln 1422x g x x x e x x =-++++- （1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果存在(0,)x ∈+∞，使得()()f x g x ≥成立，试判断整数k 是否有最小值，若有，求出k 值；若无，请说明理由（注： 2.71828e =为自然对数的底数）.19．（6分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.如果学生平均每周手机上网的时长大于21小时，则称为“过度用网”（1）请根据样本数据，分别估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（2）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（3）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望E ξ.20．（6分）已知()()()2012211+=+-+-nx a a x a x ()()1++-∈nn a x n L *N .（1）求0a 及12n n S a a a =+++L ；（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明. 21．（6分）已知在33nx x -的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求展开式中所有的有理项.22．（8分）已知函数3()3f x x x =-（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据单调性与导数的关系，有()0f x '≥在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，将恒成立问题转化成最值问题，利用导数，研究22(21)()x e x g x x⋅-=的单调性，求出最小值，即可得到实数m 的取值范围。

湖北省襄阳市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·丰城期中) 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72016的末两位数字为（）A . 01B . 43C . 07D . 492. （2分） (2019高二下·上饶月考) 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数。

以下四个函数在上不是凸函数的是（）A .B .C .D .3. （2分）定义在R上的函数f（x）=（其中a＞0，且a≠1），对于任意x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A . [， 1）B . （，]C . （，）D . （， 1）4. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A . ﹣1+iB . ﹣1﹣iC . 1+iD . 1﹣i5. （2分） (2017高三下·静海开学考) 设集合A={x||4x﹣1|≥9，x∈R}，B={x| ≥0，x∈R}，则A∩B=（）A . （﹣3，﹣2]B . （﹣3，﹣2]∪C . （﹣∞，﹣3]∪D . （﹣∞，﹣3）∪6. （2分） (2019高三上·潍坊期中) 若曲线在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数（）A .B . 0C . 1D . 27. （2分）设，若将函数的图像向左平移个单位后所得图像与原图像重合，则的值不可能为（）A . 4B . 6C . 8D . 128. （2分）(2017·吉林模拟) 如果复数z= ，则（）A . |z|=2B . z的实部为1C . z的虚部为﹣1D . z的共轭复数为1+i9. （2分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=x3﹣ax在（﹣1，1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A . （1，+∞）B . [3，+∞）C . （﹣∞，1]D . （﹣∞，3]10. （2分）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当时,不等式成立，若，，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . c>a>bD . a>c>b11. （2分）已知函数满足，则的最小值（）A . 2B .C . 3D . 412. （2分） (2020高二下·石家庄期中) 定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共9分)13. （2分） (2019高三上·浙江月考) 瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用来表示-1的平方根，首创了用符号作为虚数的单位．若复数（为虚数单位），则复数的虚部为________；________．14. （1分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=________15. （1分） (2015高二下·哈密期中) （2x﹣4）dx=________．16. （5分）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为多少？三、解答题： (共6题；共40分)17. （10分） (2020高一下·滕州月考) 已知复数（为虚数单位）.（1）若，求复数的共轭复数；（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值.18. （10分） (2017高二下·邢台期末) 已知a＞0，b＞0．（1）求证： + ≥ ；（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．19. （5分） (2015高三上·连云期末) 设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+ ≥2y+3．20. （5分）(2019·河南模拟) 已知命题p：函数有零点；命题q：函数区间内只有一个极值点若为真命题，求实数a的取值范围．21. （5分） (2017高二上·河北期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明： + +…+ ＜2．22. （5分） (2019高三上·砀山月考) 已知 .（Ⅰ）求的最小值；参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共9分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、。

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为23，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A．481B．881C．427D．8272．已知函数2(1),0()43,0xe xf xx xx+⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a=-有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234x x x x+的取值范围为（）A．(4,5]B．[4,5)C．[4,)+∞D．(,4]-∞3．设函数()'f x是奇函数()f x的导函数，当0x>时，()ln()0f x x x f x'⋅+<，则使得2(1)()0x f x-<成立的x的取值范围是（）A．(,1)(1,)-∞-+∞B．(,1)(0,1)-∞-C．(1,0)(0,1)-D．(1,0)(1,)4．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A ．3B ．-6C ．10D ．12 6．用数学归纳法证：11112321n n ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ） A ．21k +项B ．21k -项C ．12k -项D ．2k 项7．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +∈+∈，则n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种9．若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()1,0-C ．()1,+∞D ．(),1-∞-10．已知83a x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a 的值为（ ） A ．12B ．2C ．12±D ．2±11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．423+B 31C 31D 31+ 12．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点”D ．“第二次的点数是奇数” 二、填空题：本题共4小题13．若复数z 满足()12i Z i +=（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数Z =__________． 14．已知函数()lgx f x =，实数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ab 的值为__________．15．22318lg1002-⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.16．已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年湖北省襄樊市数学高二(下)期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）． A ．()1,2- B ．()1,2C ．()2,1-D ．()2,1【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量. 【详解】 直线的斜率为12，故其方向向量为()2,1. 故选：D 【点睛】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.2．下列四个命题中真命题是 A ．同垂直于一直线的两条直线互相平行B ．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C ．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D ．过球面上任意两点的大圆有且只有一个 【答案】C 【解析】 【分析】通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A 是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B 是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C 是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D 是否正确。

【详解】A 项：垂直于同一直线的两条直线不一定互相平行，故A 错；B 项：底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B 错；C 项：两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故C 正确；D 项：过球面上任意两点的大圆有无数个，故D 错，故选C 项。

【点睛】本题考查了命题真假的判定以及解析几何的相关性质，考查了推理能力，考查了数形结合思想，属于基础题，在进行解析几何的相关性质的判断时，可以根据图像来判断。

3．已知,a b ∈R ，则“a b >”是“()20a a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断充分性可代特殊值，然后再判断必要性. 【详解】当a b >时，令0,0a b =<，此时()20a a b -=，所以不是充分条件；反过来，当()20aa b ->时，可得20a >，且0a b ->，即a b >，所以是必要条件，a b ∴>是()20a a b ->的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件，根据必要不充分条件的判断方法判断即可.4．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（ ） A ．甲和丁 B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丙【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果. 【详解】 若甲说谎，则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾 若乙说谎则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾 若丙说谎则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾 若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二所以说谎的人是丁 故选：C 【点睛】本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.5．设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130【答案】D 【解析】 【分析】从12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤，且{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=入手，12345||||||||||x x x x x ++++可能取1,2,3，分3种情况讨论i x 种1,0,1-的个数，再求5个元素的排列个数，相加即可得到答案. 【详解】因为12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤，且{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=， 所以12345||||||||||x x x x x ++++可能取1,2,3， 当12345||||||||||x x x x x ++++1=时，12345,,,,x x x x x 中有1个1或1-，4四个0, 所以元素个数为115510C C +=；当12345||||||||||x x x x x ++++2=时，12345,,,,x x x x x 中有2个1，3个0，或1个1,1个1-，3个0，或2个1-，3个0，所以元素个数为22255510102040C C A ++=++=，当12345||||||||||x x x x x ++++3=时，12345,,,,x x x x x 中有3个1,2个0，或2个1,1个1-，2个0，或2个1-，1个1,2个0，或3个1- ，2个0，元素个数为3121235545451030301080C C C C C C +++=+++=，故满足条件的元素个数为104080130++=， 故选：D 【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对12345||||||||||x x x x x ++++的值和对i x 中1,0,1-的个数进行分类讨论是解题关键，属于难题.6．函数的定义域为R ，()f 22022-=，对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，则不等式()2f x x 2018<+的解集为( ) A ．()2,∞-+ B ．()2,2- C ．(),2∞--D ．R【答案】A 【解析】 【分析】把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为()g x ，利用导数得到()g x 的单调性，得解集． 【详解】原不等式化为()2f x x 20180--<，令()()2g x f x x 2018=--，则()()g'x f'x 2x =-，Q 对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，()g'x 0∴<恒成立， ()g x ∴在R 上递减，()()2g 2f 2(2)2018-=----Q 2022420180=--=，()g x 0∴<的解集为()2,∞-+，故选：A ． 【点睛】此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。