智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)

圆锥曲线习题及答案圆锥曲线习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要知识点，它是解析几何中的一个分支，涉及到椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。

掌握圆锥曲线的性质和解题方法，不仅可以帮助我们解决几何问题，还能提高我们的逻辑思维和解题能力。

在这篇文章中，我将为大家提供一些圆锥曲线的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 椭圆习题习题1：已知椭圆的长轴长为8，短轴长为6，求其离心率和焦点坐标。

解答：椭圆的离心率定义为离心距与长轴的比值。

离心距可以通过勾股定理计算得到，即离心距的平方等于长轴的平方减去短轴的平方。

根据这一定义，我们可以计算出离心距为√(8^2-6^2)=√(64-36)=√28。

因此，离心率为√28/8=√7/2。

焦点坐标可以通过离心率和长轴的长度计算得到，即焦点坐标的x坐标为±(长轴/2)*离心率，y坐标为0。

所以焦点坐标为(±√7,0)。

习题2：已知椭圆的焦点坐标为(±3,0)，离心率为2/3，求其长轴和短轴的长度。

解答：根据椭圆的离心率定义，我们可以得到离心距为(长轴/2)*离心率。

由于离心率为2/3，离心距为(长轴/2)*(2/3)。

而离心距可以通过焦点坐标计算得到，即离心距的平方等于焦点坐标的x坐标的平方减去长轴的平方。

根据这一关系，我们可以得到(长轴/2)*(2/3)^2=(3/2)^2-长轴^2/4。

通过解这个方程，我们可以得到长轴的长度为8/5。

由于椭圆的长轴是短轴的两倍，所以短轴的长度为8/10=4/5。

2. 双曲线习题习题1：已知双曲线的离心率为2，焦点坐标为(±4,0)，求其长轴和短轴的长度。

解答：双曲线的离心率定义为离心距与焦点之间的距离的比值。

根据焦点坐标和离心率的定义，我们可以得到离心距为焦点坐标的x坐标的绝对值。

由于离心率为2，离心距为4，所以焦点坐标的绝对值为4。

而双曲线的长轴和短轴可以通过焦点坐标和离心率计算得到，即长轴的长度为2*离心距，短轴的长度为2*焦点坐标的绝对值。

数学课程圆锥曲线基础练习题及答案1、请写出圆锥曲线的定义和常见的几种形式，并说明它们的性质。

圆锥曲线是平面解析几何的一个分支，由平面上固定点F称为焦点，和到该点的固定比例e（离心率）的点P构成。

根据e的不同取值，圆锥曲线可以分为以下几种形式：1）当离心率e=0时，圆锥曲线是一个圆。

圆具有以下性质：- 圆上任意两点的距离相等；- 圆的内切线与切点相垂直；- 圆的半径相等。

2）当离心率0 < e < 1时，圆锥曲线是一个椭圆。

椭圆具有以下性质：- 椭圆上任意两点到两个焦点的距离之和等于常数2a；- 椭圆的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之和等于2a；- 椭圆的准线是对称轴；- 椭圆的离心率e满足0 < e < 1；- 椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。

3）当离心率e=1时，圆锥曲线是一个抛物线。

抛物线具有以下性质：- 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；- 抛物线的准线与焦点所连的直线垂直；- 抛物线的准线是对称轴；- 抛物线的离心率e=1；- 抛物线的焦距等于顶点到准线的距离。

4）当离心率e>1时，圆锥曲线是一个双曲线。

双曲线具有以下性质：- 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；- 双曲线的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之差等于2a；- 双曲线的准线是对称轴；- 双曲线的离心率e满足e > 1；- 双曲线的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。

2、给定一个椭圆的方程为x^2/25 + y^2/9 = 1，确定椭圆的中心、两个焦点和两个顶点的坐标。

根据椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，我们可以得到以下信息：- 中心的坐标为(0, 0)；- 焦点的坐标为(0, ±√(a^2 - b^2)) = (0, ±√(25 - 9)) = (0, ±√16) = (0, ±4)；- 顶点的坐标为(±a, 0) = (±5, 0)。

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。

此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。

此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。

1.已知椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：2F (-2,0).（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值.解：（1）由题意，得22222,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2） 设点A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M (x 0,y 0)，由221,84.x yy x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，3x 2+4mx +2m 2-8=0, Δ=96-8m 2＞0,∴-23＜m ＜23.∴,322210m x x x -=+=∴300m m x y =+=.∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，222()()133m m ∴-+=，5m ∴=±.2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为)021(，F ． （1）求抛物线C 的方程； （2）已知直线)21(+=x k y 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FB FA 2=，求k 的值；（3）设点P 是抛物线C 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆1)1(22=+-y x 内切于PRN ∆，求PRN ∆的面积最小值．解：（1）设抛物线C 的方程为22(0),y px p =>由122p =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由||2||FA FB =得故12112()22x x +=+即12122x x -=①又由21()22y k x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2222(2)04k k x k x +-+=故12221x x k +=- ②1214x x =③解①②③构成的方程组得1211,,43x x k ===±又由2242(2)440k k k ∆=--=->，即11k -<<，所求得的k 适合，因此所求得的k的值为3±（3）设00(,),(0,),(0,)P x y R b N c ，且b c >∴直线PR 的方程为000()0y b x x y x b --+=圆22(1)1x y -+=内切于P R N ∆， 由则圆心（1，0）到直线PR 的距离为1，||1y b x b -+∴=化简得2000(2)20x b y b x -+-=同理可得2000(2)20x c y c x -+-=，由于02x >，所以,b c 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，∴0022x y c b -=+，002x x bc -=，∴20220020202)2(4)2(844)(-=--+=-x x x x y x c b∴8424)2(22100020≥+-+-=-=-=∆x x x x x c b S PRN ，当且仅当40=x 时取等号，所以PRN ∆的面积最小值为8．3.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在O A 上存在一点M ，O B 上存在一点N ，使得12M N A B =，若原点O 在以M N 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．解：(Ⅰ) 依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>．∵ 12c a=， ∴ 2a c =，22223b a c c =-=．∵ 椭圆经过点3(1,)2，∴ 椭圆的方程为22143xy+=．(Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得22(43)1640k x kx +-+=． ∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ 24(16)16(43)0k k ∆=-+>，∴ 214k >．由韦达定理 1221643k x x k +=+，122443x x k =+．∵ 原点O 在以M N 为直径的圆上，∴ O M O N ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 12M N A B =，M 在O A 上，N 在O B 上∴ 0OA OB ⋅= ，又11(,)OA x y = ，22(,)OB x y =，∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(1)2(+)+4k x x k x x =+-222416(1)2+4=04343k k kk k =+-++．∴ 241=32k >， ∴=3k ±4.已知椭圆2222:1x y C ab += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值. 解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a-==，所以2234a b =， ①又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914ab+= ， ②由①②解之，得224,3a b ==. 故椭圆C 的方程为22143xy+=.(Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(34)84120k x km x m +++-=， 222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m kk=+=-=+=++=++，由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=.从而222222216121(34)(34)k mmk k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式.又点O 到直线l 的距离为：2d ===≥=当且仅当0k =时等号成立当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1所以点O 到直线l的距离最小值为25.已知点C （4，0）和直线,1:=x l P 是动点，作,l PQ ⊥垂足为Q ，且,0)2()2(=-⋅+PQ PC PQ PC 设P 点的轨迹是曲线M 。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.抛物线的焦点到准线的距离是 .【答案】【解析】由抛物线的定义知抛物线的焦点到准线的距离是P，又由题可知P=.【考点】抛物线的几何性质.2.过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .【答案】8【解析】由题可设双曲线方程为：，把代入得=1，所以双曲线方程为：，设双曲线右焦点为，∵P在双曲线右支上及由双曲线定义可知，∴，当点P为线段与双曲线交点时.【考点】1.双曲线的定义；2.双曲线的标准方程；3.双曲线的几何性质.3.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则；把坐标代入双曲线方程，用点差法可得，而，即，所以.【考点】双曲线的应用、点差法.4.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.5.设连接双曲线与的四个顶点组成的四边形的面积为，连接其四个焦点组成的四边形的面积为，则的最大值是A．B．C． 1D．2【答案】B【解析】根据题意可知双曲线与的四个顶点的焦距相等，长半轴和短半轴恰好相反，那么可知因为，可知的最大值是，选B【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的几何性质的运用，以及四边形的面积的求解，属于中档题。

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圆锥曲线专题练习一、选择题1。

已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25B ．5C ．215 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 （ )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0二. 填空题7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点， 则AB OM k k ⋅=____________.三。

《圆锥曲线》参考答案一、圆锥曲线方程应用1.椭圆中心（2,0） 1,2c a ==。

故12c e a ==选（C ） 2.11e = 2把y 换成2y （短轴端点()()0,20,1®）得：2212x y +=322e =选（C ） 3.1由12c e a ===取1a =，2c =2()(222314AF a c =+=+=+22BF 6a ==+2222221248AB a b a c =+=-=+=+3 \222BF AF AB =+ 故90ABF? 选（C ）4.1 直线:1x yl a b += 即0bx ay ab +-=2 原点到直线l的距离4ab d c == 22222113113101616e e e e 骣骣鼢珑?=?+=鼢珑鼢珑桫桫 422310416e e e ?+=?或243e =即2e =或e =3ce a==故选（A ）5. 1 直线:1x yl a b+=- 即0bx ay ab --= 原点到直线l 的距离ab d c ===2由3c e a ab cìïï==ïïïíïïï=ïïî 得 1b = 322222133a b c a a ==-=? Þ双曲线方程：2213x y -=6.选（B ）7.（1）由221y ax x y a=?1224p p a a??Þ焦点10,4a 骣÷ç÷ç÷ç桫 （2）1222424b ac b y ax bx c a x a a骣-÷ç=++=++÷ç÷ç桫 2抛物线C:2y ax bx c =++是由抛物线2y ax =按向量（-24,24b ac b a a-）平移得到的Þ焦点241,24b ac b aa 骣-+÷ç÷-ç÷÷ç桫 8.1双曲线221169x y -=的准线方程：165x =2 双曲线()()22231169x y -+-=的准线方程：1625x =3令()()22230169x y -+-=()(324x ??化得渐近线：3460x y ++=和 34x y --9.[法一]令x c =得22221c y a b-=21122b yPF F F c a?===2222222c a c a c e a a --??2210e e ?-= 解得1e =+1e =-二、运用圆锥曲线的定义解题1.如图，过A 、B 分别引左准线l 的垂 线段AM 、BN ，AB 交l 于C设BF a =，则22,,a a AF a AM BN e e=== 在Rt APM 与Rt BPN 中4222,a aAC AM BC BN e e====∴2. 由e ⇒1y ⇒1y ⇒选（3.[1 设2PF 2 22212120PF PF F F ⇒+-< ()2222240a e x c ⇒+-<3 把32,,a b c e ====2259820095x x +-<⇒<即x <<l[法二]向量法：设P (),x y，则()1PF x y =，133PF x =- ，()2PF x y =，233PF x =+121212cos ,PF PF PF PF PF PF ⋅<>=⋅22250599x y x +-=<- 由22194x y +=化得22449y x =-，代人上式得 12cos ,PF PF <> 2222251590559999x x y x x -+-==<--25109x x ⇒-<⇒<< [法三]斜率[法四]圆的内部4.图！()1MN =2AP BQ + ()1122AF BF AB =+ （当且仅当AB 过焦点F 时，取等号）\()min 122aMN AB ==\()0min 22a pMN =-5.[法一]设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点1212,22x x y y C 骣++÷ç÷ç÷ç桫 则11221,242p p AF x x BF x x =+=+=+=+()12142AB AF BF x x =+=++=化得122x x +=74\AB 的中点C 的横坐标为74[法二]1 图()()1112222CH AM BN AF BF AB ?+=+==2 C 的横坐标为172p x CH =-=-=3由122122:7PF PF a PF PF PF +==?9.[法一]4x =-过A M 、N 则CH=3 由2OA + ∴直线设BC=m 在Rt 2DA AM 解得3DB m =在Rt DBN 与Rt DCH 中34DB BN DC CH == 即2334m = 解得98m = 故2738OA OB BA m -===（2）由()1OA OB OC λλ+=+得 ()()1OA OB OC OB λ-=+-∴直线AB 过左焦点()10,C -，且()1BA BC λ=+设BC=m ，则AC=2m ，BN=2m ，AM=4m 。

《圆锥曲线》答案版《圆锥曲线》三、解答题x2y21.如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C ab于A、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。

若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理。

????????a2?1,0)为x轴上一点,求证:AN??NE 若N(2解：易知b?3?b2?3,又F(1,0)?c?1?a2?b2?c2?4 x2y2?1?椭圆C的方程为?43?F(1,0),k?(a2,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，对a2?1,0) 称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且N(2a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(2证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1)，当m变化时首先AE过定点N - 1 - ?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0( ?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2 )?my1y2而KAN?KEN?222?01?aa?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??( ?2)?m?22a?m2b2a?m2b2(a2?1)?(mb2?mb 2)??0)222a?mb∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线a2?1,0)∴AE 与BD相交于定点N(2(文)解：易知b?3?b2?3,又F(1,0)?c?1?a2?b2?c2?4 x2y2?1?椭圆C的方程为?43(文)?F(1,0),k?(a,0)设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2)2?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?02222 ?bx?ay?ab ?0 ??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)又KAN?而KAN?y1?y2,K?ENa2?11?a2?my122 a2?1(y1?y2)?my1y2?KEN?222?01?aa?1(? my1)22- 2 - a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??( ?2)?m?222222a?mba?mb(a2?1)?(mb2?mb2)??0)22 2a?mb????????∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线?AN??NE 2.如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A，M 为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0，点N的轨迹为曲线E。

1、【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1； （2）7y x =+．于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-． （2）由24x y =，得2xy'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x=，解得32x =，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12|||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．2、【2017课标II ，文20】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 【解析】试题解析：（1）设P（x，y），M（）,则N（），（）由得，.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.（2）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则，，，，，，，（，）.由得22--+-=，又由（1）知，故31m m tn n+-=.330m tn所以，即，.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F3．【2017课标3，文20】试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心，则，由得，化简得，所以圆E 的方程为，令得，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为，所以所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ， 由可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得，又，所以，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为，为定值.4、【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =时，证明：2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1|||2|AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得||AN =.由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2)2k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题中22233k tk k t=++，分离变量t ，得()332132k k t k -=>-，解不等式，即求得实数k 的取值范围.5、【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=-,即)(2t y ptx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.6、[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．7、【2015高考新课标1，文20】（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C1<.k <<所以k的取值范围是.由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以||2MN =.8、【2015新课标2文20】（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离,点(在C 上. （I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）2222184x y +=（II ）见试题解析试题解析：解：（I22421,a b=+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=. （II ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y += 得()222214280.k x kbx b +++-=故12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==- 即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 【考点定位】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.。