八年级数学上册 幂的运算及整体代入(习题及答案)(人教版)

幂的运算及整体代入（习题）例题示范例1：若213981x x +-4⋅=-，则x =__________．【思路分析】①观察已知，对比确定幂的底数、指数之间的关系．观察发现，前面的幂，底数为3，后面的幂，底数为9，9可以写成32，81也可以写成34．②根据幂的运算法则对已知进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂． 由底数之间的关系，做等价变形：21243(3)3x x +-4⋅=-2124333x x +-4⋅=-224333x x ⋅3-4⋅=-2433x -=-2433x =24x =2x =例2：若2210a a +-=，则43244a a a ++=_________．【思路分析】①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体．这里我们把22a a +当作整体．由已知2210a a +-=得，_____________________．②对所求进行变形，找到整体，进行代入．③降幂化简，重复上述过程，直至最简．【过程书写】解：∵2210a a +-=∴221a a +=∴原式=222(2)2(2)a a a a a a +++=22a a +=1巩固练习1. 若32n a =，则2343(3)()n n a a -的值是（ ）A ．4-B ．92C ．100D ．2002. 若662a =，553b =，444c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>3. 若512a =，1316b =，1032c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4. 若22=n x ，13=n y ，则2()n xy -=__________．5. 若8562932⋅⋅=⋅m n ，则2m n +=_________．6. 若21525625+-4⋅=x x ，则x =__________．7. 已知225x y -=，222x y xy -=-，求代数式222222(23)(3)(2)x y x y xy y xy -+-+-的值．8. 已知259x y z +=+=+，求代数式222()()()x y z x y z -+-+-的值．9. 已知20x y z +-=，求代数式(2)()(2)2x y y z x z xyz +---的值．10. 已知3220x x +-=，求代数式64223x x x x ++-的值．【思路分析】①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；这里我们把_________当作整体．由已知3220x x +-=得，______________________．②对所求进行变形，找到整体，进行代入．③降幂化简，重复上述过程，直至最简．【过程书写】解：∵________________________________∴________________________________∴原式=11. 若220a a +-=，则3232a a +-=__________．12. 若3220x x ++=，则64324424x x x x x +++++=__________．思考小结1. 若220x x +-=，则3222016x x x +-+=___________．通过本讲的学习，小明的做法：①把含有字母的项“2x x +”作为整体，则22x x +=；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：3222016_______________________________________x x x +-+===小刚的做法：①把最高次项“2x ”作为整体，则22x x =-+；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：3222016_________________________________________________________________x x x +-+=====小聪的做法：①把“22x x +-”作为整体；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：322222016(2)220180020182018x x x x x x x x +-+=+-++-+=++= 对比小明、小刚、小聪的做法，我们发现无论把“2x x +”，“2x ”还是“22x x +-”作为整体，代入，目标都是把所求的代数式降次，这种转化的思想是“高次降次”．【参考答案】巩固练习1. B2. C3. A4. 295. 106. 27. 48. 749. 010. 32x x +，322x x +=解：∵3220x x +-=∴322x x +=∴原式=333(2)(2)x x x x x x x +++-=322x x x +-=32x x +=211. 212. 6思考小结1. 2 018小明的做法：3222222016()2016 220162018x x x x x x x x x x x +-+=⋅++-+=+-+=小刚的做法：3222222201622016(2)2(2)2016 2242016 2020x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⋅+⋅-+=⋅-++⋅-+-+=-+-+-+=--+ 2018=。

人教版八年级数学上册第14章幂的运算及整体代入（讲义）➢课前预习1.默写下面的法则、公式幂的运算法则：（1）同底数幂相乘，_________，_________．即__________．（2）同底数幂相除，_________，_________．即__________．（3）幂的乘方，___________，_________．即___________．（4）积的乘方等于___________．即_____________．a0=_______（_________）；a-p=______=______（___________________）．2.整体代入的思考方向①___________________，考虑整体代入；②化简___________，对比确定________；③_______________，化简．3.若代数式2a b238++的值为________．a b+的值是12，则代数式246➢知识点睛1.整体思想：整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，从而对问题进行整体处理的解题思想．如：整体代入、整体加减、整体代换、整体补形等．2. 幂的运算法则逆用①观察已知及所求，对比确定____________之间的关系；②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为___________________________．3. 降幂法整体代入①对比已知及所求，将已知中___________________当作整体；②对所求进行变形，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．➢ 精讲精练1. 若35m =，32n =，则2313m n +-=____________．2. 已知34x =，32y =，求2927x y x y --+的值．3. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，则m +n =____________．4. 已知212448x x ++=，则x =__________．5. 已知129372n n +-=，求n 的值．6. 数5553，4444，3335的大小关系是（）A ．5553<4444<3335B ．4444<5553<3335C ．3335<4444<5553D ．3335<5553<4444 7. 若3181a =，4127b =，619c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 8. 数10012与7513的大小关系是（） A ．10012<7513 B ．10012>7513C ．100751123= D ．无法确定 9. 若20152a b -=，20162c d +=，则()()b c a d +--的值为_____．10. 已知1998a b c +=+=+，求代数式222()()()b a c b c a -+-+-的值．11. 已知0a b c ++=，求()()()a b b c c a abc ++++的值．12. 若220x x +-=，则3222016x x x +-+=___________．13. 若322a a +=-，则6422884a a a ++-=________．14. 若221x x -=，则4324431x x x x -+--=___________．15. 已知331x x -=，求432912372016x x x x +--+的值．【参考答案】➢ 课前预习1. 默写下面的法则、公式幂的运算法则：（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即m n m n a a a +⋅=．（2）同底数幂相除，底数不变，指数相减．即m n m n a a a -÷=．（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =．（4）积的乘方等于乘方的积．即()n n n ab a b =．a 0=1（a ≠0）； a -p =1p a =1()p a（a ≠0，p 是正整数）． 2. 整体代入的思考方向①求值困难，考虑整体代入；②化简已知及所求，对比确定整体；③整体代入，化简．3. 若代数式246a b +的值是12，则代数式2238a b ++的值为14．➢ 知识点睛1. 幂的运算法则逆用①观察已知及所求，对比确定幂的底数与指数之间的关系；②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂．2. 降幂法整体代入①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；②对所求进行变形，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．➢ 精讲精练1.2003 2.72 3.5 4.2 5.1 6.D 7.A 8. B9. 2015210. 22211. 012. 2 01813. 414. 115. 2020幂的运算及整体代入（随堂测试）1. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．B ．443a =335b =226c =b c a >>b a c >>C ．D ．2. 若，则n =_______．3. 已知3210x x +-=，求代数式543251x x x x +++-的值．【思路分析】①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；这里我们把_________当作整体．由已知3210x x +-=得，___________________________．②对所求进行变形，找到整体，进行代入．③降幂化简，重复上述过程，直至最简．【过程书写】解：∵__________________________________∴__________________________________∴原式=【参考答案】1. B2. 13. ，解：∵3210x x +-=c a b >>c b a >>138+272n n +=32x x +321x x +=∴∴原式=233432(2)451x x x x x x x +-+++-=24321x x x x +++-=3223(2)221x x x x x x x +-+++-=31x x x ++-=321x x +-=0幂的运算及整体代入（习题）➢ 例题示范例1：若213981x x +-4⋅=-，则x =__________．【思路分析】①观察已知，对比确定幂的底数、指数之间的关系．观察发现，前面的幂，底数为3，后面的幂，底数为9，9可以写成32，81也可以写成34．②根据幂的运算法则对已知进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂． 由底数之间的关系，做等价变形：21243(3)3x x +-4⋅=-2124333x x +-4⋅=-224333x x ⋅3-4⋅=-2433x -=-2433x =24x =2x =例2：若2210a a +-=，则43244a a a ++=_________．【思路分析】①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体．这里我们把22a a +当作整体．由已知2210a a +-=得，_____________________．②对所求进行变形，找到整体，进行代入．③降幂化简，重复上述过程，直至最简．【过程书写】解：∵2210a a +-=∴221a a +=∴原式=222(2)2(2)a a a a a a +++321x x +==22a a +=1➢ 巩固练习1. 若32n a =，则2343(3)()n n a a -的值是（）A ．4-B ．92C ．100D ．2002. 若662a =，553b =，444c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>3. 若512a =，1316b =，1032c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>4. 若22=n x ，13=n y ，则2()n xy -=__________．5. 若8562932⋅⋅=⋅m n ，则2m n +=_________．6. 若21525625+-4⋅=x x ，则x =__________．7. 已知225x y -=，222x y xy -=-，求代数式222222(23)(3)(2)x y x y xy y xy -+-+-的值．8. 已知259x y z +=+=+，求代数式222()()()x y z x y z -+-+-的值．9. 已知20x y z +-=，求代数式(2)()(2)2x y y z x z xyz +---的值．10. 已知3220x x +-=，求代数式64223x x x x ++-的值．【思路分析】①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；这里我们把_________当作整体．由已知3220x x +-=得，______________________．②对所求进行变形，找到整体，进行代入．③降幂化简，重复上述过程，直至最简．【过程书写】解：∵________________________________∴________________________________∴原式=11. 若220a a +-=，则3232a a +-=__________．12. 若3220x x ++=，则64324424x x x x x +++++=__________．➢ 思考小结1. 若220x x +-=，则3222016x x x +-+=___________．通过本讲的学习，小明的做法：①把含有字母的项“2x x +”作为整体，则22x x +=；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：3222016_______________________________________x x x +-+===小刚的做法：①把最高次项“2x ”作为整体，则22x x =-+；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：3222016_________________________________________________________________x x x +-+=====小聪的做法：①把“22x x +-”作为整体；②在所求的代数式中找整体，对比系数解决：322222016(2)220180020182018x x x x x x x x +-+=+-++-+=++=对比小明、小刚、小聪的做法，我们发现无论把“2x x +”，“2x ”还是“22x x +-”作为整体，代入，目标都是把所求的代数式降次，这种转化的思想是“高次降次”．【参考答案】➢ 巩固练习1. B2. C3. A4. 295. 106. 27. 48. 749. 010. 32x x +，322x x +=解：∵3220x x +-=∴322x x +=∴原式=333(2)(2)x x x x x x x +++-=322x x x +-=32x x +=211. 212. 6➢ 思考小结1. 2018小明的做法：3222222016()2016 220162018x x x x x x x x x x x +-+=⋅++-+=+-+=小刚的做法：3222222201622016(2)2(2)2016 2242016 2020x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⋅+⋅-+=⋅-++⋅-+-+=-+-+-+=--+ 2018=。

一、选择题：（每小题3分，共24分）1．可以写成（）A. B. C. D.2．下列计算正确的是（）A. B. C. D.3．下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．如果将写成下列各式，正确的个数是( )。

①；②；③；④；⑤．A．1B．2C．3 D．45．计算的结果正确的是（）A．B．C．.D．6．下列运算正确的是（）A．B．C．D．7．的结果是（）A．B．C．D．#8．与的关系是（）A .相等B .互为相反数C .当n为奇数时它们互为相反数；当n为偶数时，它们相等．D .当n为奇数时它们相等；当n为偶数时，它们互为相反数．二、填空题：（每小题3分，共18分）9．______________.10．=．11．用科学记数法：____________．}12．____________．13．若5n=3，4n=2，则20n的值是__________．14．若，则____________．三、计算题：（每小题3分，共18分）17．(1) ；(2) ；(3)；（4）；（5）；（6）．18．计算题（每小题4分，共16分）】（1）；（2）；（3）；（4）．四、解答题：（每小题6分，共24分）19．若为正整数，且，则满足条件的共有多少对&20．设n为正整数，且，求的值.21．已知求的值．22．一个小立方块的边长为，一个大立方体的边长为，（1）试问一个小立方块的体积是大立方体体积的几分之几试用科学记数法表示这个结果．（2）如果用这种小立方块堆成那样大的立方体，则需要这种小立方块多少个/￥（参考答案一、选择题：（每小题3分，共24分）题号】12345678 ~答案C D D A C A B\D 二、填空题：（每小题3分，共18分）9．10.11.12.13. 6 14.三、计算题：17．(1) (2)(3)(4)(5)(6)18．(1)(2)(3)(4)19．满足条件的共有4对. 20．21．22．；；个．。

人教版八年级(上)数学幂的乘方CONTENTS•幂的基本概念和性质•幂的乘方运算•幂的乘方在生活中的应用•典型例题解析与练习•幂的乘方与其他知识点的联系•课堂小结与拓展延伸幂的基本概念和性质01幂的定义与表示方法幂的定义幂是指乘方运算的结果，表示一个数自乘若干次所得到的数。

一般形式为a^n，其中a是底数，n是指数。

幂的表示方法在数学中，幂可以用不同的方式表示。

常见的表示方法有：a^n、aⁿ、a^n等。

其中，a是底数，n是指数。

同底数幂相除时，指数相减。

即a^m / a^n =a^(m-n)。

幂的乘方时，指数相乘。

即(a^m)^n = a^(m*n)。

同底数幂相乘时，指数相加。

即a^m * a^n =a^(m+n)。

积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n = a^n * b^n。

同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方积的乘方幂的运算规则零指数幂负整数指数幂分数指数幂幂的运算法则幂的性质负整数指数幂表示的是该数的倒数的正整数次幂。

即a^(-n) =1/a^n （a≠0）。

分数指数幂表示的是开方和乘方的复合运算。

即a^(m/n) =√n(a^m)（n 为正整数，且a>0）。

在进行幂的运算时，应遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺序；同级运算从左到右依次进行；有括号时先算括号里面的。

任何非零数的0次幂都等于1。

即a^0 = 1（a≠0）。

幂的乘方运算02同底数幂的乘法乘法公式当底数相同时，指数相加。

即a^m ×a^n = a^(m+n)。

推导过程通过具体数值代入和运算验证公式的正确性。

应用举例计算表达式如2^3 ×2^4，运用同底数幂的乘法公式得出结果。

(a^m)^n = a^(m×n)。

即幂的乘方时，指数相乘。

通过数学归纳法或具体数值代入验证法则的正确性。

计算表达式如(3^2)^3，运用幂的乘方法则得出结果。

乘方法则推导过程应用举例幂的乘方法则积的乘方与幂的乘方综合应用综合应用公式(ab)^n = a^n ×b^n 和(a^m)^n =a^(m×n)。

人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0 求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0∴2x +3y ＝2∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m 用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2 9n ＝3 则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂 再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23所以答案是：23．5．已知m =154344 n =54340 那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积 然后化简从而得到m ＝n 再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340 ∴m ＝n∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2 则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形 再由k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a b c 的关系式 然后联立得方程组 整体求得（2a ﹣3b ）的值 最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b∵k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9∴k a •k c ＝k b •k b∴k a +c ＝k 2b∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2∴{c =2b −a c =a −2−b∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b∴2a ﹣3b ＝2∴9a ÷27b＝（3）2a ﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a 32n ＝b m n 为正整数 则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a 32n ＝b∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则 将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0 则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘 2 得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1 即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1﹣1）∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）∵n ＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12 12+14=1−14 12+14+18=1−18 …可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200 进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−1212+14=1−1412+14+18=1−18…12+14+18+⋯+12200=1−12200∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+12+14+18+⋯+12200＝1+1−12200＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1 ）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）……（1）请仔细观察 写出第4个等式；（2）请你找规律 写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容 直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n（3）将原式进行变形 即提出负号后 就转化为原题中的类型 利用（1）（2）的结论 直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a b）若a c＝b则（a b）＝c例（2 8）＝3 （3 81）＝4．已知（3 5）+（3 7）＝（3 x）则x的值为35．试题分析：设3m＝5 3n＝7 根据新运算定义用m、n表示（3 5）+（3 7）得方程求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5 3n＝7依题意（3 5）＝m（3 7）＝n∴（3 5）+（3 7）＝m+n．∴（3 x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）；如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5 125）＝3（﹣2 ﹣32）＝5；②若（x 18）＝﹣3 则x＝2．（2）若（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c试探究a b c之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（m t）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5 125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2 ﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1 8则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c ∴4a＝5 4b＝6 4c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（m t）＝r ∴m p＝8 m q＝3 m r＝t∵（m8）+（m3）＝（m t）∴p+q＝r∴m p+q＝m r∴m p•m r＝m t即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）：如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3 27）＝3（5 1）＝0（2 14）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（3 4）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4 即（3 4）＝x所以（3n4n）＝（3 4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3 4）+（3 5）＝（3 20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（3 27）＝3；∵50＝1∴（5 1）＝0；∵2﹣2=1 4∴（2 14）＝﹣2；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y则3x＝4 3y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（3 20）＝x+y∴（3 4）+（3 5）＝（3 20）．所以答案是：3 0 ﹣2．六．阅读类---紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为a n．如2×2×2＝23＝8 此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若a n＝b（a＞0且a≠1 b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81 则4叫做以3为底81的对数记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1 M＞0 N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1log a N＝b2再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2 log216＝4 log264＝6；（2）4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1log a N＝b2则a b1=M a b2=N∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2 b5＝3 则a b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32 b15＝（b5）3＝33＝27 32＞27 所以a15＞b15所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中 逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2 y 9＝3 试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法 进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32 b 15＝（b 5）3＝33＝27 32＞27 所以a 15＞b 15 所以a ＞b 所以答案是：＞；（1）上述求解过程中 逆用了幂的乘方 所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512 y 63＝（y 9）7＝37＝2187 2187＞512∴x 63＜y 63∴x ＜y ．19．阅读下面一段话 解决后面的问题．观察下面一列数：1 2 4 8 … 我们发现 这一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于2．一般地 如果一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 这一列数就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5 ﹣15 45 …的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1 a 2 a 3 a 4 …是等比数列 且公比为q 那么根据上述的规定 有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3= …所以a 2＝a 1q a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2 a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3 … a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10 第三项是20 则它的第一项是 5 第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3 所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现 第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方 这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10 第三项是20 由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5 第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5 余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出a b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5 ﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1 ∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2 b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时n n+1＜（n+1）n；n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2 ＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10 求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝10b2ab＝10a∴5ab•2ab＝10b•10a∴10ab＝10a+b∴ab＝a+b∴1a+1b=a+bab=127．已知6x＝192 32y＝192 则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192 32y＝192 推出6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6 推出6x﹣1＝32 32y ﹣1＝6 可得（6x﹣1）y﹣1＝6 推出（x﹣1）（y﹣1）＝1 由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192 32y＝192∴6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6∴6x﹣1＝32 32y﹣1＝6∴（6x﹣1）y﹣1＝6∴（x﹣1）（y﹣1）＝1∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数既可以表示为1 a a+b的形式又可以表示0 bab的形式试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义则a≠0 则应有a+b＝0 则ba=−1 故只能b＝1 a＝﹣1了再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0 a+b＝0∴ba=−1 b＝1∴a＝﹣1又∵2n﹣1为奇数﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数﹣1的偶数次方得1∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5 10b＝6 求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321∴5m+1＝21解得：m＝4则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。

八年级上册数学幂的运算计算题在八年级数学课程中，幂的运算是一个重要的知识点。

幂的运算涉及到指数、底数的运算，也包括了幂的乘法、除法、幂的零次和一次运算等内容。

通过解决一些实际问题和计算题，可以更好地掌握和理解幂的运算方法，从而提高数学运算的水平。

1. 幂的乘法计算题1）计算：\[4^3 \times 4^2\]解析：根据幂的乘法法则，\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)，所以\[4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 = 1024\]2）计算：\[5^4 \times 5^6\]解析：根据幂的乘法法则，\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)，所以\[5^4 \times 5^6 = 5^{4+6} = 5^{10}\]3）计算：\[(3^2)^3\]解析：根据幂的乘法法则，\((a^m)^n = a^{m \times n}\)，所以\[(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\]2. 幂的除法计算题1）计算：\[\frac{3^5}{3^2}\]解析：根据幂的除法法则，\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)，所以\[\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27\]2）计算：\[\frac{5^7}{5^4}\]解析：根据幂的除法法则，\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)，所以\[\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125\]3）计算：\[\frac{(2^3)^5}{2^4}\]解析：根据幂的除法法则，\(\frac{(a^m)^n}{a^n} = a^{m \times n - n}\) ，所以\[\frac{(2^3)^5}{2^4} = 2^{3 \times 5 - 4} = 2^{15-4} = 2^{11}\]3. 幂的零次和一次计算题1）计算：\(5^0\)解析：根据幂的零次法则，任何非零数的零次幂都是1，所以\(5^0 = 1\)2）计算：\(2^1\)解析：根据幂的一次法则，任何数的一次幂都是它本身，所以\(2^1 = 2\)3）计算：\((7^2)^0\)解析：根据幂的零次法则，任何非零数的零次幂都是1，所以\((7^2)^0 = 1\)4. 理解幂的运算的重要性幂的运算在数学中有着非常重要的地位，它不仅在简单的计算题中有所体现，更在代数式的简化、方程的求解等更为复杂的数学问题中发挥着重要作用。

幂的运算习题精选及答案1、幂的运算幂是一种基本的数学概念，它表示一个数(底数)的多少次方(指数)。

比如2^3表示2的3次方，结果为8。

而2^4则表示2的4次方，结果为16。

在幂的运算中，要注意两个特殊的情况：0的0次方和负指数幂的计算。

当底数为0时，任何正指数的幂都为0，而0的0次方的结果则没有定义。

因此，在实际的计算中，应该特别注意这种情况，避免出现错误。

另外，负指数幂的计算也需要特别注意。

具体来说，对于一个正数a和一个非零整数n，a^-n等于1/(a^n)。

2、幂的运算习题精选现在给出一些幂的运算练习题，供大家进行练习。

每道题目后面都会附有答案和解析，供大家参考。

题目一：计算3^4。

答案：3^4=81。

解析：3^4表示3的4次方，根据幂的计算规则，我们可以得到3^4=3*3*3*3=81。

题目二：计算2^-3。

答案：2^-3=1/8。

解析：2^-3等于1/(2^3)，也就是1/8。

题目三：计算(-4)^3。

答案：(-4)^3=-64。

解析：(-4)^3表示-4的3次方，也就是-4*-4*-4，结果为-64。

题目四：计算7^0。

答案：7^0=1。

解析：任何数的0次方都等于1，因此7^0=1。

题目五：计算(-3)^-2。

答案：(-3)^-2=1/9。

解析：(-3)^-2等于1/((-3)^2)，也就是1/9。

3、总结通过对幂的基本概念和运算规则的介绍，以及相应的练习题的答案和解析的演示，我们可以掌握幂的基本运算技巧。

而在实际的计算过程中，我们还需要密切注意一些特殊情况的处理，这样才能保证计算结果的准确性。

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。

n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

专题14.1幂的运算-重难点题型【人教版】【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(a m)n=a mn。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=a n b n。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次幂都等于1。

【题型1幂的基本运算】【例1】（2021•高新区校级三模）下列计算正确的是（）A．x8÷x4＝x2B．x3•x4＝x12C．（x3）2＝x6D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；D，指数是偶次幂结果为正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合幂的乘方运算法则，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故选：C．【变式1-1】（2020秋•南宁期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a6÷a2＝a3D．a﹣1=1（a≠0）【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算即可得出结果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；D、a﹣1=1（a≠0），故D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2021•椒江区一模）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a5÷a3＝a2【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D．【解答】解：A、a2•a4＝a6，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；D、a5÷a3＝a2，正确，故此选项符合题意；故选：D．【变式1-3】（2021•元阳县模拟）下面计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π−3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．x3÷x•x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；B．任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；D．先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B．（π−3）0＝1，计算正确，符合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，计算错误，不符合题意；D．x3÷x•x﹣1＝x，计算错误，不符合题意；故选：B．【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2021春•蚌埠期末）若a＝（−34）﹣2，b＝（−12）0，c＝0.75﹣1，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：a＝（−34）﹣2=169，b＝（−12）0＝1，c＝0.75﹣1=43，故a＞c＞b．故选：D．【变式2-1】（2021春•江都区校级期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=−125，c＝（﹣5）0＝1，∴c＞a＞b．故选：B．【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式2-3】（2021•彭州市校级开学）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，则a、b、c、d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【分析】根据幂的乘方法则计算，比较大小即可．【解答】解：∵a＝266＝（26）11＝6411；b＝355＝（35）11＝24311；c＝444＝（44）11＝25611；d＝533＝（53）11＝12511；∴6411＜12511＜24311＜25611，即a＜d＜b＜c．故选：D．【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春•莱阳市期末）已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为50．【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b﹣1代入计算，即可求出结果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案为：50．【变式3-1】（2021春•青川县期末）已知a m＝2，a n＝3，则（a3m﹣n）2＝649．【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m＝（a m）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷a n）2＝（8÷3）2=649．故答案为：649．【变式3-2】（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(−3)−4=181．【变式3-3】（2021春•宝应县月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n为正整数，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于8．【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x•4y＝23x•22y＝23x+2y＝23＝8．故答案为：8．【变式4-1】（2021春•嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案为：1000．【变式4-2】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x•27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=13．【变式4-3】（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足2+2=54，B=−12，求下列各式的值．①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵2+2=54，B=−12，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=54+2×(−12)=54−1=14；②∵2+2=54，B=−12，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(54)2−2×(−12)2=2516−12=1716．【题型5幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春•渠县期末）计算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．【变式5-1】（2021春•徐州期末）计算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【变式5-2】（2021春•江都区校级期中）计算：（1）(12)−1−(5−p0−|−3|+2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【变式5-3】（2021春•临淄区期末）计算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（−12）﹣3﹣4﹣2×（−14）﹣3．【分析】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8−116×（﹣64）＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【题型6幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春•龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a※b＝m．例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定填空：2※16＝4；3※127=﹣3．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3−3=127，∴3※127=−3．故答案为：4；﹣3；（2）设8※9＝x，8※10＝y，则8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【变式6-1】（2021春•金水区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（4，16）＝2，（3，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵30＝1，∴（3，1）＝0，∵2﹣21，∴（2，0.25）＝﹣2．故答案为：2，0，﹣2；（2）2a+b＝c．理由：∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c，∴3a＝4，3b＝6，3c＝96，∴（3a）2×3b＝3c，∴2a+b＝c．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(，116)=−4，则x＝±2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．【变式6-3】（2021春•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3；（5，1）＝0；（2，14）＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证．【解答】解：（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2−2=14，∴（2，14）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）（16，10000）﹣（64，1000000）＝（24，104）﹣（26，106）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，∴3x÷3y，＝20÷4，＝5，∴3x﹣y＝5，∴（3，5）＝x﹣y，又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，∴（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）。