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2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 ２．复数()221i i +=( )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i ３．()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+５．设02,sin απαα≤≤>若，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 7．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(](),13,-∞-+∞８．设,M N 是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( ) （Ａ）3:5:6 （Ｂ）3:6:8 （Ｃ）5:7:9 （Ｄ）5:8:9９．直线l ⊂平面α，经过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f=（Ｄ）()'00f=11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21312．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-=，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）23．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．62008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，1233AD c b =+； 4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=； 6. B. 由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b +1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为113AO AB =另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 2111126,,33OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 12.B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处 时，函数2z x y =-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =- 与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====. 16.答案：16.设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OHAB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC8与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMANEM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,),(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===,故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD ==，DG =，EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==， πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角CAD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0fx '=求得两根为x =即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）23313a ⎧---⎪⎪-，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==10由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）及逐题详解本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( B )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B =又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B = ð 故选B ； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； ２．复数()221i i +=( A )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A ；【点评】：此题重点考复数的运算；【突破】：熟悉乘法公式，以及注意21i =-； ３．()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭cos cot sin xx x== 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意22sin cos sin cos 1,tan ,cot cos sin x xx x x x x x+===； ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；５．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解】：∵sin αα ∴sin 0αα> ，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ； 【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象； 【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；7．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；８．设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9【解】：设分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为123,,r r r ，球半径为R ，则：22222222222212325182,,39393r R R R r R R R r R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222123::5:8:9r r r = ∴这三个圆的面积之比为：5,8,9 故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系； 【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；９．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( D ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 【解】：如图，当030AOC ACB ∠=∠=时，直线AC 满足条件； 同理，当030AOB ABC ∠=∠=时，直线AB 满足条件；又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线l 成异面直线的直线 故选D 【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f= 故选D【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f=；11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213【解】：∵()()213f x f x ⋅+=且()12f = ∴()12f =，()()1313312f f ==， ()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==， ， ∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()()1399210012f f =⨯-=故选C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =，则AFK ∆的面积为(B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 【解】：∵抛物线2:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -， 设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -，∵AK =，又()0022AF AB x x ==--=+∴由222BK AK AB =-得()22002y x =+，即()20082x x =+，解得()24A ±，∴AFK ∆的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U AB =ð( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 ２．复数()221i i +=( )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i ３．()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+５．设02,sin απαα≤≤>若，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 7．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞（Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(](),13,-∞-+∞８．设,M N 是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( ) （Ａ）3:5:6 （Ｂ）3:6:8 （Ｃ）5:7:9 （Ｄ）5:8:9９．直线l ⊂平面α，经过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f=（Ｄ）()'00f=11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21312．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
08全国理数四川卷带答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（5'1260'⨯=）1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C A B =（ ） A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5} D ．{1,5}解析：选B ．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故． 2．复数22(1)i i +=（ ）A ．-4B ．4C ．-4iD ．4i解析：选A ．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福． 3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 解析： 原式32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x =+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x +=cos sin x x=cot x =， 选D ．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02απ≤<，sin αα>，则α的取值范围是（ ）A ．(,)32ππB ．(,)3ππC ．4(,)33ππD ．3(,)32ππ解析：sin αα>，即sin 0αα>，即2sin()03πα->，即sin()03πα->；又由02απ≤<，得5333πππα-≤-<；综上，03παπ≤-<，即433ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）A ．70B ．112C ．140D ．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选C ．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞解析：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多． 8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3：5：6B ．3：6：8C ．5：7：9D ．5：8：9解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30︒角的直线有且只有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0f = 解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2k πϕπ=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．又'()cos()f x x ωωϕ=+，2k πϕπ=+，'(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2πϕ=±验证．11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）A ．13B ．2C ．132D ．213解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK ==2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上． 点评：（1）纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光（2）真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．（3）进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之．（4）全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失．（5）周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思．二、填空题：（4'416'⨯=）13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是 答案：6-．解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+⋅+⋅+-++2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是答案：解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d ===15，则该正四棱柱的体积是 ． 答案：2．解析：由题意，2226cos 3a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩，12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒== 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 .答案：4．解析：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ 11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要． 点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点．（2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+- 2284sin cos (12cos )x x x =--- 282sin 2cos 2x x =-- 282sin 2(1sin 2)x x =--- 272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率，购买乙商品的概率为，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =⨯-+-⨯0.20.30.5=+= （Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008P C ξ==⨯-= 123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==⨯-⨯= 223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==⨯-⨯= 333(3)0.80.512P C ξ==⨯=ξξ30.8 2.4E ξ=⨯=．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD BAF ∠=∠=︒，BC //=12AD ，BE //=12AF ． （Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．（Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=︒∴AF ⊥面ABCD ．∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．B ACDE F不妨设AB a=，则AF cAD b=，2=，2(0,0,0)A ，(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =-，(0,,)CE b c =-，∴2DF CE =，∴//DF CE ，∵E DF ∉，∴//DF CE ， ∴C 、D 、E 、F 四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111020x z y +=⎧⎨=⎩，1(1,0,1)n =-设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =由2100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222020z x y =⎧⎨-+=⎩，2(2,1,0)n =12cos ,n n <>1212n n n n ⋅=⋅==由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为． 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．20．设数列{}n a 满足：2(1)n n n ba b S -=-．（Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求n a 通项公式．解析：由题意，在2(1)n n n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =． 由2(1)n n n ba b S -=-得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈ 两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=-即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………① （Ⅰ）当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 于是11122(1)2n n n n a n a n ----⋅=--⋅212[(1)2]n n a n --=--⋅(2,*)n n N ≥∈又1111210a --⋅=≠，所以1{2}n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下： 解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+两边同时除以2n 得111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n n n a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{}2n n a 是等差数列，公差为12，首项为112a = ∴111(1)(1)222n n a n n =+-=+∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---⋅=，∴1{2}n n a n --⋅是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+两边同时除以2n 得1112222n n n n a a b --=⋅+ 可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+ …………② 展开②得1122222n n n n a a b b λ---=⋅+⋅，与1112222n n n n a a b --=⋅+比较， 得2122b λ-⋅=，∴12b λ=-． ∴1111()22222n n n n a a b b b --+=⋅+-- ∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=-- ∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅-- ∴111()2222n n n a b b b b --=⋅--- ∴11112(1)22()2222n nn n n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．21．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F，离心率2e =，右准线l 上的两动点M 、N ，且120FM F N ⋅=． （Ⅰ）若1225F M F N ==，求a 、b 的值；（Ⅱ）当MN 最小时，求证12FM FN +与12F F 共线． 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c ．由e =，2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ． 延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ．∵120FM F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =．∵1225F M F N ==，∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =．∴2a=，b=（Ⅰ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=，∴21230y y c =-<． 22222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-=． 当且仅当123y y c =-=或213y y c =-=时，取等号．此时MN 取最小值．此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM F N c c c c c F F +=±+==． ∴12FM F N +与12F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k -． 由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y k k xc ⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 1213MN y y c k k =-=⋅+≥．当且仅当13k k =即213k =，k =时取等号． 即当MN 最小时，k =， 此时1212(3,3)(,)(3,3)(,3)(4,0)2c F M F N c kc c c c c c c F F k+=+-=±+==． ∴12FM F N +与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．22．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-'()2101a f x x x=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．'(3)404a f =-= 16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞．2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x x x x -+--=+-==+++ 令'()0f x =，得1x =，3x =． ff （Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小．又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--． 点评：压轴题是这种难度吗与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗此题当为漏掉定义域者戒．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）及逐题详解本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( B )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B =又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B = ð 故选B ； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； ２．复数()221i i +=( A )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A ；【点评】：此题重点考复数的运算；【突破】：熟悉乘法公式，以及注意21i =-； ３．()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭cos cot sin xx x== 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意22sin cos sin cos 1,tan ,cot cos sin x xx x x x x x+===； ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；５．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解】：∵sin αα ∴sin 0αα> ，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ； 【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象； 【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；7．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；８．设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9【解】：设分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为123,,r r r ，球半径为R ，则：22222222222212325182,,39393r R R R r R R R r R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222123::5:8:9r r r = ∴这三个圆的面积之比为：5,8,9 故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系； 【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；９．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( D ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 【解】：如图，当030AOC ACB ∠=∠=时，直线AC 满足条件； 同理，当030AOB ABC ∠=∠=时，直线AB 满足条件；又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线l 成异面直线的直线 故选D 【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f= 故选D【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f=；11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213【解】：∵()()213f x f x ⋅+=且()12f = ∴()12f =，()()1313312f f ==， ()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==， ， ∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()()1399210012f f =⨯-=故选C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =，则AFK ∆的面积为(B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 【解】：∵抛物线2:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -， 设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -，∵AK =，又()0022AF AB x x ==--=+∴由222BK AK AB =-得()22002y x =+，即()20082x x =+，解得()24A ±，∴AFK ∆的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）第I 卷本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =g g球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=L ，，，，一、选择题1．设集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{234}B =，，，则()U A B =I ð（ ） A ．{23}，B ．{145}，，C ．{45}，D ．{15}，2．复数22i(1i)+=（ ） A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i3．2(tan cot )cos x x x +=（ ） A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x4．将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+5．设02πα<≤，若sin αα>，则α的取值范围是（ ） A ．ππ32⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．ππ3⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．π4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．π3π32⎛⎫ ⎪⎝⎭，6．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（ ） A ．70种 B ．112种 C ．140种 D ．168种 7．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ） A ．(1]-∞-， B ．(0)(1)-∞+∞U ，，C ．[3)+∞，D ．(1][3)-∞-+∞U ，，8．设M N ，是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N M O ，，作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ） A ．3∶5∶6 B ．3∶6∶8 C ．5∶7∶9 D ．5∶8∶9 9．直线l ⊂平面α，经过α外一点A 与l α，都成30°角的直线有且只有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（ ） A ．(0)1f =B ．(0)0f =C ．(0)1f '=D ．(0)0f '=11．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=g ．若(1)2f =，则(99)f =（ ） A ．13B ．2C ．132D ．21312．已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|||AK AF =，则AFK △的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32第Ⅱ卷本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．34(12)(1)x x +-展开式中2x 的系数为 ．14．已知直线40l x y -+=：与圆22(1)(1)2C x y -+-=：，则C 上各点到l 距离的最小值为 ．15，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该正四棱柱的体积等于 ．16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若451015S S ≥，≤，则4a 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． 19．（本小题满分12分）如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=o ，12BC AD∥，12BE AF ∥． （Ⅰ）证明：C D F E ，，，四点共面；（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(1)nn n ba b S -=-． （Ⅰ）证明：当2b =时，1{2}n n a n --g 是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．FABCD E21．（本小题满分12分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F ，，离心率2e =，右准线为l ，M N ，是l 上的两个动点，120F M F N =u u u u r u u u u rg ．（Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u ra b ，的值；（Ⅱ）证明：当MN u u u u r 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．22．（本小题满分14分）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）参考答案一、选择题1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．6- 1415．2 16．4三、解答题17．解：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 2272sin 24cos (1cos )x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ 2(1sin 2)6x =-+．由于函数2(1)6z u =-+在[11]-，中的最大值为2max (11)610z =--+=，最小值为2min (11)66z =-+=．故当sin 21x =-时y 取得最大值10；当sin 21x =时y 取得最小值6． 18．解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种． （Ⅰ）C A B A B =+g g ．()()P C P A B A B =+g g()()P A B P A B =+g g()()()()P A P B P A P B =+g g 0.50.40.50.6=⨯+⨯ 0.5=． （Ⅱ）D A B =g ．()()P D P A B =g()()P A P B =g0.50.4=⨯ 0.2=．()1()0.8P D P D =-=．（Ⅲ）(30.8)B ξ-，，故ξ的分布列为3(0)0.20.008P ξ===，123(1)C 0.80.20.096P ξ==⨯⨯=， 223(2)C 0.80.20.384P ξ==⨯⨯=，3(3)0.80.512P ξ===．所以30.8 2.4E ξ=⨯=． 19．解法一：（Ⅰ）延长DC 交AB 的延长线于点G ，由12BC AD∥得 12GB GC BC GA GD AD ===， 延长FE 交交AB 的延长线于点G '．同理可得12G E G B BE G F G A AF ''===''． 故G B GBG A GA'='，即G '与G 重合． 因此直线CD EF ，相交于点G ，即C D F E ，，，四点共面． （Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，2AD =．取AE 中点M ，则BM AE ⊥．又由已知得，AD ⊥平面ABEF ． 故AD BM ⊥，BM 与平面ADE 内两相交直线AD AE ，都垂直． 所以BM ⊥平面ADE ，作MN DE ⊥，垂足为N ，连结BN ．由三垂线定理知BN ED ⊥，BNM ∠为二面角A ED B --的平面角．F A B C EG (')M N1223AD AE BM MN DE ⨯===g ．故tan 2BM BNM MN ∠==． 所以二面角A DE B --的大小为arctan2． 解法二：由平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，得FA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．（Ⅰ）设AB a BC b BE c ===，，，则(00)(0)(0)B a C a b E a c ，，，，，，，，，(020)D b ，，，(002)F c ，，． (0)EC b c =-u u u r ，，，(022)FD b c =-u u u r，，故12EC FD =u u u r u u u r，从而由点E FD ∉，得EC FD ∥．故C D F E ，，，四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，则(100)(110)(020)(101)B C D E ，，，，，，，，，，，．在DE 上取点M ，使5DM ME =u u u u r u u u r ，则515636M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而115636MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，． 又(121)DE =-u u u r，，，0MB DE =u u u r u u u r g ，MB DE ⊥． 在DE 上取点N ，使2DN NE =u u u r u u u r ，则222333N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，从而222333NA ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ，，，0NA DE =u u ur u u u r g ，NA DE ⊥． 故MB u u u r 与NA u u ur 的夹角等于二面角A DE B --A 的平面角，cos 5||||MB NA MB NA MB NA <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u ur u u u r g ，．所以二面角A DE B --的大小为arccos 5． 20．解：由题意知，12a =，且2(1)n n n ba b S -=-， 1112(1)n n n ba b S +++-=-两式相减得11()2(1)nn n n b a a b a ++--=-，即12nn n a ba +=+． ①（Ⅰ）当2b =时，由①知，122nn n a a +=+．于是1(1)222(1)2n n n n n a n a n +-+=+-+g g 12(2)n n a n -=-g ．又1111210a --=≠g ，所以1{2}n n a n --g 是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---=g ，即1(1)2n n a n -=+．当2b ≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b+++-=+---g g 22n n bba b =--g1(2)2n n b a b=--g ．因此1111112(2)22n n n a b a b b++-=---g g2(1)2n b b b -=-g ．得1211[2(22)]22n n n n a b b n b -=⎧⎪=⎨+-⎪-⎩，，，≥． 21．解：由222a b c -=与2c e a ==，得222a b =．102F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，202F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，l的方程为x =．设12))M y N y ，，，则112F M y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，，222F N a y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，，由120F M F N =u u u u r u u u u r g得 212302y y a =-<g ． ①（Ⅰ）由12F M F N ==u u u u r u u u u r= ②= ③ 由①、②、③三式，消去12y y ，，并求得24a =． 故2a =，b ==． （Ⅱ）22222121212121212()22246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+---=-=u u u u r ≥，当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，MN u u u u r．此时，12121212)0)222F M F N a y a y y y F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，，．故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 22．解：（Ⅰ）因为()2101af x x x'=+-+， 所以(3)61004af '=+-=． 因此16a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1)x ∈-+∞，，22(43)()1x x f x x-+'=+．当(11)(3)x ∈-+∞U ，，时，()0f x '>， 当(13)x ∈，时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间是(11)(3)-+∞，，，，()f x 的单调减区间是(13)，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(11)-，内单调增加，在(13)，内单调减少，在(3)+∞，上单调增加，且当1x =或3x =时，()0f x '=，所以()f x 的极大值为(1)16ln 29f =-，极小值为(3)32ln 221f =-． 因为2(16)16101616ln 29(1)f f >-⨯>-=，2(e 1)321121(3)f f --<-+=-<，所以在()f x 的三个单调区间(11)-，，(13)，，(3)+∞，直线y b =与()y f x =的图像各有一个交点，当且仅当(3)(1)f b f <<．因此，b 的取值范围为(32ln 22116ln 29)--，．。
高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）（理科） 试题 2019.091,如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）Ａ．AB B ．BC C ．CD D ．DA2,若数列 {}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．543,给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件4,在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．5,若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．6,已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．7,在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标 是 ．8,设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．109,若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．10,若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．11,若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．12,若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x =．13,若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．14,若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a= ．15,若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z= ．16,不等式11x -＜的解集是 ．17,设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B =ð( ) （Ａ）{}2,3（Ｂ）{}1,4,5（Ｃ）{}4,5（Ｄ）{}1,5 18,复数()221i i +=( )（Ａ）4-（Ｂ）4（Ｃ）4i -（Ｄ）4i19,()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x20,直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133y x =-+（Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =-（Ｄ）113y x =+试题答案1, D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点,∴Q 组成的集合是劣弧DA.2, B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或3, C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”.4, 【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -=5, 【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+6, 【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.7, 【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.8, D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==9, 【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=10, 【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-11, 【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++ 22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=12, 【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,yx =()()2.x f x x R ∴=∈13, 【答案】()2x x R ∈14, 【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒=只有一个公共元素 15, 【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-16, 【解析】由11102x x -<-<⇒<<.17, 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B = 又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B =ð 故选B 18, 【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A19, 【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭ cos cot sin xx x == 故选D20, 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+故选A。
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（）A．b2=3a2B．a2=3b2C．b2=9a2D．a2=9b23．（5分）函数f（x）=﹣x 的图象关于（）A．y 轴对称B．直线y=﹣x 对称C．坐标原点对称D．直线y=x 对称4．（5 分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（5分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．7．（5 分）（1﹣）6（1+）4的展开式中x 的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．（5分）若动直线x=a 与函数f（x）=sinx 和g（x）=cosx 的图象分别交于M，N 两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．29．（5 分）设a＞1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A．B．C．（2，5）D．10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C．D．12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，若向量与向量共线，则λ=．14．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a=．15．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于．16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣，cosC=．（1）求sinA 的值（2）设△ABC 的面积S△ABC=，求BC 的长．18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 ．（I）求一投保人在一年度内出险的概率p；（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB=4，点E 在CC1 上且C1E=3EC．（I）证明：A1C⊥平面BED；（II）求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．20．（12 分）设数列{a n}的前n 项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．（I）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（II）若a n+1≥a n，n∈N*，求a 的取值范围．21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（I）若，求k 的值；（II）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（12 分）设函数．（I）求f（x）的单调区间；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（）A．b2=3a2B．a2=3b2C．b2=9a2D．a2=9b2【考点】A5：复数的运算．【分析】复数展开，化为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部为0 即可．【解答】解：（a+bi）3=a3+3a2bi﹣3ab2﹣b3i=（a3﹣3ab2）+（3a2b﹣b3）i，因是实数且b≠0，所以3a2b﹣b3=0⇒b2=3a2故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．3．（5 分）函数f（x）=﹣x 的图象关于（）A．y 轴对称B．直线y=﹣x 对称C．坐标原点对称D．直线y=x 对称【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．4．（5 分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】根据函数的单调性，求a 的范围，用比较法，比较a、b 和a、c 的大小．【解答】解：因为a=lnx 在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选：C．【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0 或1 的应用，本题是基础题．5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y 的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30 名同学中任选3 名参加体能测试共有C303 种结果，而满足条件的事件是选到的3 名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101 种结果．代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，；3020 10 20 10 ∵试验发生的所有事件从 30 名同学中任选 3 名参加体能测试共有 C 3 种结果，满足条件的事件是选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学共有C 1C 2+C 2C 1 种结果，∴由古典概型公式得到，故选：D ．【点评】本题考查的是古典概型，可以从它的对立事件来考虑，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．7．（5 分）（1﹣）6（1+）4 的展开式中 x 的系数是（） A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】展开式中 x 的系数由三部分和组成： 的常数项与展开式的 x 的系数积 的展开式的 x 的系数与的常数项的积；的的系数与的的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数．【解答】解： 的展开式的通项为∴展开式中常数项为 C 60，含 x 的项的系数为 C 62，含的项的系数为﹣C 61的展开式的通项为∴ 的展开式中的 x 的系数为 C 42，常数项为 C 40，含的项的系数为 C 41故的展开式中 x 的系数是：C 60C 42+C 62C 40﹣C 61C 41=6+15﹣24=﹣3 故选：B ．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（5 分）若动直线 x=a 与函数 f （x ）=sinx 和 g （x ）=cosx 的图象分别交于 M ， N 两点，则|MN |的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象． 【分析】可令 F （x ）=|sinx ﹣cosx |求其最大值即可． 【解答】解：由题意知：f （x ）=sinx 、g （x ）=cosx 令 F （x ）=|sinx ﹣cosx |= |sin （x ﹣）|当 x ﹣=+kπ，x=+kπ，即当 a=+kπ 时，函数 F （x ）取到最大值故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．9．（5 分）设 a ＞1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A ．B ．C ．（2，5）D ．【考点】KC ：双曲线的性质． 【专题】11：计算题． 【分析】根据题设条件可知 ，然后由实数 a的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围．【解答】解：，因为是减函数，所以当a＞1 时，所以2＜e2＜5，即，故选：B．【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用．10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．【解答】解：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E，= ，=（﹣1，﹣1，﹣）∴cos＜＞=故选：C．【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】16：压轴题．【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y=kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx 由题意，l3 到l1 所成的角等于l2 到l3 所成的角于是有，解得k=3 或k=﹣，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．k= ，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A．【点评】两直线成角的概念及公式；本题是由教材的一个例题改编而成．（人教版P49 例7）解题过程值得学习．12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2 为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选：C．【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，若向量与向量共线，则λ= 2 ．【考点】96：平行向量（共线）．【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λα+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λα+b 与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2【点评】考查两向量共线的充要条件．14．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a= 2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵y=e ax∴y′=αe ax∴曲线y=e ax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0∵直线ax﹣y+1=0 与直线x+2y+1=0 垂直∴﹣a=﹣1，即a=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．15．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先设点A，B 的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）由，，（x1＞x2）∴由抛物线的定义知故答案为：【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；充要条件②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；．（写出你认为正确的两个充要条件）【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；L2：棱柱的结构特征．【专题】16：压轴题；21：阅读型．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣，cosC=．（1）求sinA 的值（2）设△ABC 的面积S△ABC=，求BC 的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC 分别求得sinB 和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA．（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故AB×AC=65，又，故，．所以．【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 ．（I）求一投保人在一年度内出险的概率p；（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000 人中出险的人数为ξ，由题意知ξ服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险．（2）写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人应交纳的最低保费．【解答】解：由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000 人中出险的人数为ξ，由题意知ξ～B（104，p）．（I）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000 元赔偿金，则发生当且仅当ξ=0，=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，又P（A）=1﹣0.999104，故p=0.001．（II）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ+50000，盈利η=10000α﹣（10000ξ+50000），盈利的期望为Eη=10000α﹣10000Eξ﹣50000，由ξ～B（104，10﹣3）知，Eξ=10000×10﹣3，Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104．Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．∴每位投保人应交纳的最低保费为15 元．【点评】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB=4，点E 在CC1 上且C1E=3EC．（I）证明：A1C⊥平面BED；（II）求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；15：综合题；35：转化思想．【分析】法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直；（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）求出平面DA1E 和平面DEB 的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．【解答】解：解法一：依题设知AB=2，CE=1．（I）连接AC 交BD 于点F，则BD⊥AC．由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）在平面A1CA 内，连接EF 交A1C 于点G，由于，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE 与∠FCA1 互余．于是A1C⊥EF．A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直，所以A1C⊥平面BED．（6 分）（II）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角．（8分），． ，又，．．所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为．（（12 分））解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 D ﹣xyz ．依题设，B （2，2，0），C （0，2，0），E （0，2，1），A 1（2，0，4）．，．（3 分）（Ⅰ）因为，，故 A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又 DB ∩DE=D ，所以 A 1C ⊥平面 DBE ．（6 分）（Ⅱ）设向量=（x ，y ，z ）是平面 DA 1E 的法向量，则，．故 2y +z=0，2x +4z=0．令 y=1，则 z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9 分） 等于二面角 A 1﹣DE ﹣B 的平面角，所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为．（12 分），．n n n n ﹣n +1 n n +1 n n nnn nn +1 n n +1 nn n nn ﹣1【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12 分）设数列{a n }的前 n 项和为 S n ．已知 a 1=a ，a n +1=S n +3n ，n ∈N *．（I ） 设 b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （II ） 若 a n +1≥a n ，n ∈N *，求 a 的取值范围．【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H ：数列递推式． 【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）依题意得 S =2S +3n ，由此可知 S ﹣3n +1=2（S ﹣3n ）．所以 b =S ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．（ Ⅱ ） 由题设条件知 S =3n + （ a ﹣ 3 ） 2n ﹣ 1 ， n ∈ N * ， 于是， a =S ﹣ S 1=，由此可以求得 a 的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n +1﹣S n =a n +1=S n +3n ，即 S n +1=2S n +3n ，由此得 S ﹣3n +1=2S +3n ﹣3n +1=2（S ﹣3n ）．（4 分） 因此，所求通项公式为 b =S ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．①（6 分） （Ⅱ）由①知 S =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，当 n ≥2 时，a =S ﹣S =3n +（a ﹣3）×2n ﹣1﹣3n ﹣1﹣（a ﹣3）×2n ﹣2=2×3n ﹣1+（a ﹣3）2n ﹣2， a ﹣a =4×3n ﹣1+（a ﹣3）2n ﹣2= ，当 n ≥2 时， ⇔a ≥﹣9．又 a 2=a 1+3＞a 1．综上，所求的 a 的取值范围是[﹣9，+∞）．（12 分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（I）若，求k 的值；（II）求四边形AEBF 面积的最大值．【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2 满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2 的表达式，进而根据求得x0 的表达式，由D 在AB 上知x0+2kx0=2，进而求得x0 的另一个表达式，两个表达式相等求得k．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF 的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2 满足方程（1+4k2）x2=4，故．①由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得；由D 在AB 上知x0+2kx0=2，得．所以，化简得24k2﹣25k+6=0，解得或．（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，故四边形AEBF 的面积为S=S△OBE +S△OBF+S△OAE+S△OAF=•（﹣y1）==x2+2y2===，当x2=2y2时，上式取等号．所以S 的最大值为．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．22．（12 分）设函数．（I）求f（x）的单调区间；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）令g（x）=ax﹣f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0 恒成立，再利用分类讨论的方法求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）．（2 分）当（k∈Z）时，，即f'（x）＞0；当（k∈Z）时，，即f'（x）＜0．因此f（x）在每一个区间（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间（k∈Z）是减函数．（6分）（Ⅱ）令g （x ）=ax ﹣ f （x ），则= = ．故当时，g'（x）≥0．又g（0）=0，所以当x≥0 时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9 分）当时，令h（x）=sinx﹣3ax，则h'（x）=cosx﹣3a．故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，即sinx＞3ax．于是，当x∈（0，arccos3a）时，．当a≤0 时，有．因此，a 的取值范围是．（12 分）【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（5'1260'⨯=）1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C A B =I （ ）A ．{2,3}B ．{1,4,5}C ．{4,5}D ．{1,5}解析：选B ．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．2．复数22(1)i i +=（ ）A ．-4B ．4C ．-4iD ．4i解析：选A ．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x解析：原式 32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x=+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x+= cos sin x x=cot x =， 选D ．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键． 旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ． 本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02απ≤<，sin αα>，则α的取值范围是（ ）A ．(,)32ππB ．(,)3ππC ．4(,)33ππD ．3(,)32ππ解析：sin αα>，即sin 0αα>，即2sin()03πα->，即sin()03πα->； 又由02απ≤<，得5333πππα-≤-<； 综上，03παπ≤-<，即433ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间． 除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）A ．70B ．112C ．140D ．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选C ．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞UC ．[3,)+∞D ．(,1][3,)-∞-+∞U 解析：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3：5：6B ．3：6：8C ．5：7：9D ．5：8：9解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30︒角的直线有且只有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0f = 解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2k πϕπ=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．又'()cos()f x x ωωϕ=+，2k πϕπ=+，'(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2πϕ=±验证． 11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）A ．13B ．2C ．132D ．213解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK =，得=，即2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ． 本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．点评：（1）纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光?（2）真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．（3）进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之．（4）全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失．（5）周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思．二、填空题：（4'416'⨯=）13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是 答案：6-．解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+⋅+⋅+-++L L2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离答案：解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y-+=的距离d ===15柱的体积是 ．答案：2．解析：由题意，2226cos a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩，12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒== 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 . 答案：4．解析：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+． 这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点．（2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+-2284sin cos (12cos )x x x =---282sin 2cos 2x x =--282sin 2(1sin 2)x x =---272sin 2sin 2x x =-+26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- 2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+272sin 2sin 2x x =-+26(1sin 2)x =+-max 10y =，min 6y =．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．（Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =⨯-+-⨯0.20.30.5=+=（Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---=（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008P C ξ==⨯-=123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==⨯-⨯=223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==⨯-⨯= 333(3)0.80.512P C ξ==⨯=ξ的分布列为ξ30.8 2.4E ξ=⨯=．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD BAF ∠=∠=︒，BC //=12AD ，BE //=12AF ． （Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．（Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=︒∴AF ⊥面ABCD ．∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则(0,0,0)A ，(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ． ∴(0,2,2)DF b c =-u u u r ，(0,,)CE b c =-u u u r ，∴2DF CE =u u u r u u u r ， ∴//DF CE u u u r u u u r ，∵E DF ∉，∴//DF CE ，∴C 、D 、E 、F 四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ． 设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ， 由1100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得111020x z y +=⎧⎨=⎩，1(1,0,1)n =-u r 设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r 由2100n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u r u u u r ，得222020z x y =⎧⎨-+=⎩，2(2,1,0)n =u u r12cos ,n n <>u r u u r 1212n n n n ⋅=⋅u r u u r u r u u r == 由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气B AC DE F燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18题用时之和．20．设数列{}n a 满足：2(1)n n n ba b S -=-．（Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求n a 通项公式．解析：由题意，在2(1)n n n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =．由2(1)n n n ba b S -=-得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=-即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………①（Ⅰ）当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+于是11122(1)2n n n n a n a n ----⋅=--⋅212[(1)2]n n a n --=--⋅(2,*)n n N ≥∈又1111210a --⋅=≠，所以1{2}n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下：解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+两边同时除以2n 得111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n n n a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{}2n n a 是等差数列，公差为12，首项为112a = ∴111(1)(1)222n n a n n =+-=+ ∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---⋅=，∴1{2}n n a n --⋅是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+两边同时除以2n 得1112222n n n n a a b --=⋅+ 可设11()222nn n n a a b λλ--+=⋅+ …………② 展开②得1122222n n n n a a b b λ---=⋅+⋅，与1112222n n n n a a b --=⋅+比较， 得2122b λ-⋅=，∴12b λ=-． ∴1111()22222nn n n a a b b b --+=⋅+-- ∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=--∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅-- ∴111()2222n n n a b b b b --=⋅--- ∴11112(1)22()2222n nn n n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．21．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F，离心率e =，右准线l 上的两动点M 、N ，且120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ．（Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u r a 、b 的值； （Ⅱ）当MN u u u u r 最小时，求证12FM F N +u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧． （Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c．由2e =，2212c a =，∴222a c =． 又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ． 延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ． ∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ，∴12F M F N ⊥u u u u r u u u u r ．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =．∵12F M F N ==u u u u r u u u u r∴229c c +=，22c =，22b =，24a =． ∴2a =，b =（Ⅰ）另解：∵120F M F N ⋅=u u u u r r ，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又12F M F N ==u u u u r u u u u r 联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人． （Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=u u u u r u u u u r ，∴21230y y c =-<．22222121212121212222412MN y y y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-=u u u u r ．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN u u u u r取最小值．此时1212(3,)(,)(4,0)2FM F N c c c F F +=+==u u u u r u u u u r u u u u r ． ∴12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． （Ⅱ）另解：∵120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r ，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-． 由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y k k x c ⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k =-=⋅+≥u u u u r ．当且仅当13k k =即213k =，k =时取等号． 即当MN u u u u r最小时，3k =±，此时1212(3,3)(,)(3,)(,)(4,0)2c F M F N c kc c c c c F F k +=+-=+==u u u u r u u u u r u u u u r ． ∴12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．22．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-'()2101a f x x x=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．'(3)404a f =-= 16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞． 2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x x x x -+--=+-==+++ 令'()0f x =，得1x =，3x =．f 和随x 的变化情况如下：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小．又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞；可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．。
2008年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）2=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，99．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=011．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A 在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于．16．（4分）（2008•四川）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．20．（12分）（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n，已知ba n﹣2n=（b﹣1）S n（Ⅰ）证明：当b=2时，{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个【解析】【方法一】组合数讨论法：A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B ．【方法二】分类讨论：①只含一个元素的集合{}0②含二个元素的集合{}{}1,00,1-③含三个元素的集合{}1,0,1-（2）已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（A ）5 （B ）5（C （D ）【解析】 (3)(3)10(2)2(2)422(2)(2)i i i z i i i i i +-+===+=+--+||z ⇒==选D ．（3）41(1)(1)x x++的展开式中含2x 的项的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12 【解析】41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x xx++=+++++展开式中含2x 项的系数为234410C C +=．选C ．（4）已知*n N ∈，则不等式220.011nn -<+的解集为 （A ）{|n n ≥199，*}n N ∈ （B ）{|n n ≥200，*}n N ∈（C ）{|n n ≥201，*}n N ∈ （D ）{|n n ≥202，*}n N ∈【解析】 22220.0111200n n n -=<=++*199200,n n n N ⇒>⇒≥∈．选B ．（5）已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+= （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-【解析】 22(sin cos )(sin cos )sin cos 1tan cos 2(sin cos )(cos sin )cos sin 1tan ααααααααααααααα++++===+---，1123112+==-。
2008年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{1，2，4，5}2．（5分）复数2i（1+i）2=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i3．（5分）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx4．（5分）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．5．（5分）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，） B．（，π）C．（，）D．（，）6．（5分）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种7．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）8．（5分）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，99．（5分）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．（5分）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=011．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为．14．（4分）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．15．（4分）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于．16．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．18．（12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．19．（12分）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．20．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知ba n﹣2n=（b﹣1）S n（Ⅰ）证明：当b=2时，{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．21．（12分）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．22．（14分）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．2008年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{1，2，4，5}【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）2=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【分析】先算（1+i）2，再算乘2i，化简即可．【解答】解：∵2i（1+i）2=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i2=﹣4故选A；3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．【解答】解：∵=故选D；4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，） B．（，π）C．（，）D．（，）【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故选C．6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法，故选C．7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选D．8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：∴r12：r22：r32=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9故选D9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，∴f′（0）=0故选D11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2∴，，，，∴，∴故选C．12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0），根据及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为﹣6．【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（2x）2•C4014（﹣x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6．故答案为：﹣6．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD 为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于2．【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积．【解答】解：：如图可知：∵∴∴正四棱柱的体积等于=2故答案为：216．（4分）（2008•四川）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d 或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1]中的最大值为z max=（﹣1﹣1）2+6=10最小值为z min=（1﹣1）2+6=6故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值618．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4=0.2∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384P（ξ=3）=0.83=0.512所以Eξ=3×0.8=2.419．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC得延长FE交AB的延长线于G′同理可得故，即G与G′重合因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直．所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．故所以二面角A﹣ED﹣B的大小20．（12分）（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n，已知ba n﹣2n=（b﹣1）S n（Ⅰ）证明：当b=2时，{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．=2a n+2n．由此可知a n+1﹣（n+1）•2n=2a n+2n 【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知a n+1﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1），所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知a n=（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，且ba n﹣2n=（b﹣1）S nba n+1﹣2n+1=（b﹣1）S n+1两式相减得b（a n﹣a n）﹣2n=（b﹣1）a n+1+1=ba n+2n①即a n+1=2a n+2n当b=2时，由①知a n+1于是a n﹣（n+1）•2n=2a n+2n﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1）+1又a1﹣1•20=1≠0，所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a n﹣n•2n﹣1=2n﹣1，即a n=（n+1）2n﹣1当b≠2时，由①得==因此=即所以．21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．【解答】解：由a2﹣b2=c2与，得a2=2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2=4故（Ⅱ）证明：|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点即求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（1，3）时，f′（x）＜0所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．。
2008年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）2=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先算（1+i）2，再算乘2i，化简即可．【解答】解：∵2i（1+i）2=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i2=﹣4故选A；【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i2=﹣1；是基础题．3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．【解答】解：∵=故选D；【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是（）A．（，）B．（，π）C．（，）D．（，）【考点】正切函数的单调性；三角函数线．【专题】计算题．【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣）＞0，∴0＜α﹣＜π，∴＜α＜．故选C．【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种B．112种C．140种D．168种【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法，故选C．【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单．7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故选D．【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：∴r12：r22：r32=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9故选D【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，∴f′（0）=0故选D【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系．11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．【考点】函数的值．【专题】压轴题．【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2∴，，，，∴，∴故选C．【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A 在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0），根据及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选B．【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x0是关键；二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为﹣6．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（2x）2•C4014（﹣x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】数形结合．【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积．【解答】解：：如图可知：∵∴∴正四棱柱的体积等于=2故答案为：2【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．16．（4分）（2008•四川）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．【考点】等差数列的前n项和；等差数列．【专题】压轴题．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1]中的最大值为z max=（﹣1﹣1）2+6=10最小值为z min=（1﹣1）2+6=6故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4=0.2∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），故ξ的分布列P（ξ=0）=0.23=0.008P（ξ=1）=C31×0.8×0.22=0.096P（ξ=2）=C32×0.82×0.2=0.384P（ξ=3）=0.83=0.512所以Eξ=3×0.8=2.4【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC得延长FE交AB的延长线于G′同理可得故，即G与G′重合因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直．所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．故所以二面角A﹣ED﹣B的大小【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．20．（12分）（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n，已知ba n﹣2n=（b﹣1）S n（Ⅰ）证明：当b=2时，{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知a n+1=2a n+2n．由此可知a n+1﹣（n+1）•2n=2a n+2n﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1），所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知a n=（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{a n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，且ba n﹣2n=（b﹣1）S nba n+1﹣2n+1=（b﹣1）S n+1两式相减得b（a n+1﹣a n）﹣2n=（b﹣1）a n+1即a n+1=ba n+2n①当b=2时，由①知a n+1=2a n+2n于是a n+1﹣（n+1）•2n=2a n+2n﹣（n+1）•2n=2（a n﹣n•2n﹣1）又a1﹣1•20=1≠0，所以{a n﹣n•2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a n﹣n•2n﹣1=2n﹣1，即a n=（n+1）2n﹣1当b≠2时，由①得==因此=即所以．【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有S n的递推公式的重要手段，使其转化为不含S n的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，（Ⅰ）若，求a，b的值；（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．（Ⅱ）|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．【解答】解：由a2﹣b2=c2与，得a2=2b2，，l的方程为设则由得①（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2=4故（Ⅱ）证明：|MN|2=（y1﹣y2）2=y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2当且仅当或时，|MN|取最小值此时，故与共线．【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；数形结合法．【分析】（Ⅰ）先求导，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x的一个极值点即求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（1，3）时，f′（x）＜0所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21因此f（16）＞162﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣2﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷． 一、选择题：（5'1260'⨯=）1．若集合{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =2,，{234}B =，，，则()U C A B =（ ） A ．{2,3} B ．{1,4,5} C ．{4,5} D ．{1,5}解析：选B ．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．2．复数22(1)i i +=（ ）A ．-4B ．4C ．-4iD ．4i解析：选A ．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福． 3．2(tan cot )cos x x x +=（ ）A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 解析： 原式32sin cos cos ()cos sin cos cos sin sin x x x x x x x x x =+=+ 23sin cos cos sin x x x x +=22cos (sin cos )sin x x x x +=cos sin x x=cot x =， 选D ．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．4．直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ． 本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5．若02απ≤<，sin αα>，则α的取值范围是（ ）A ．(,)32ππB ．(,)3ππC ．4(,)33ππD ．3(,)32ππ解析：sin αα>，即si n 0αα->，即2s i n ()03πα->，即s i n ()03πα->；又由02απ≤<，得5333πππα-≤-<；综上，03παπ≤-<，即433ππα≤<．选C ．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）A ．70B ．112C ．140D ．168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．4410821070140C C -=-=．选C ．本题应注意解题策略．7．已知等比数列{}n a 中，21a =，则该数列前三项和3S 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,0)(1,)-∞+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞解析：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +≥或12x x+≤-，故本题选D ．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8．设M 、N 是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3：5：6B ．3：6：8C ．5：7：9D ．5：8：9解析：由题知，M 、N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：2228()39R R R -=，22225()39R R R -=，故三个圆的半径的平方之比为：22285::99R R R ，故本题选D ．本题着意考查空间想象能力．9．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30︒角的直线有且只有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B ．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10．设()sin()f x x ωϕ=+，其中0ϕ>，则函数()f x 是偶函数的充分必要条件是（ ）A ．(0)0f =B ．(0)1f =C ．'(0)1f = D ．'(0)0f = 解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数()f x 是偶函数，则2k πϕπ=+，(0)1f =±，故排除A ，B ．又'()cos()f x x ωωϕ=+，2k πϕπ=+，'(0)0f =．选D ．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取1ω=，2πϕ=±验证．11．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)13f x f x ⋅+=，(1)2f =，则(99)f =（ ）A ．13B ．2C ．132D ．213解析：由()(2)13f x f x ⋅+=，知(2)(4)13f x f x +⋅+=，所以(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数，周期为4．所以1313(99)(3424)(3)(1)2f f f f =+⨯===．选C ．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由AK AF =，得，即2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解，解得：2x =，4y =±．1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，选B ．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．点评：（1）纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了2008地震的光?（2）真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信．（3）进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之． （4）全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失． （5）周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思．二、填空题：（4'416'⨯=）13．34(12)(1)x x +-的展开式中2x 项的系数是答案：6-． 解析：二项式定理再现，难度高于文科．341221223344(12)(1)(124)(1)x x C x C x C x C x +-=+⋅+⋅+-++2x 项的系数是2112434324624126C C C C -+=-+=-．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14．已知直线:60l x y -+=，圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则圆C 上各点到直线l 的距离的最小值是答案：解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d === 153，则该正四棱柱的体积是 ． 答案：2．解析：由题意，2226cos a a h θ⎧++=⎪⎨==⎪⎩12a h =⎧⇒⎨=⎩，22V a h ⇒== 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是 .答案：4．解析：由题意，11434102545152a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩（图略），画出目标函数即直线413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函数取最大值44a =．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设111213(23)(2)a d a d a d λλ+=+++，由121221323λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得1213λλ=-⎧⎨=⎩，∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++，由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩11(23)53(2)9a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要． 点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点． （2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．三、解答题：（12'12'12'12'12'14'76'+++++=）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值和最小值． 解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2484sin cos 14cos 4cos x x x x =--+- 2284sin cos (12cos )x x x =--- 282sin 2cos 2x x =-- 282sin 2(1sin 2)x x =---272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．解析：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-2272sin 24cos (1cos )x x x =-+-2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ 26(1sin 2)x =+- max 10y =，min 6y =．点评：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路．由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立． （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求ξ的分布列及期望． 解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了． （Ⅰ）0.5(10.6)(10.5)0.6P =⨯-+-⨯0.20.30.5=+=（Ⅱ）1(10.5)(10.6)0.8P =---= （Ⅲ）ξ可取0，1，2，3．033(0)(10.8)0.008P C ξ==⨯-=123(1)(10.8)0.80.096P C ξ==⨯-⨯=223(2)(10.8)0.80.384P C ξ==⨯-⨯= 333(3)0.80.512P C ξ==⨯=ξ的分布列为ξ30.8 2.4E ξ=⨯=．点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍．平和中正之风宜大力提倡．19．如图，面ABEF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD BAF ∠=∠=︒，BC //=12AD ，BE //=12AF ． （Ⅰ）求证：C 、D 、E 、F 四点共面；（Ⅱ）若BA BC BE ==，求二面角A ED B --的大小．解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题． （Ⅰ）∵面ABEF ⊥面ABCD ，90AF AB ⊥=︒ ∴AF ⊥面ABCD ．∴以A 为原点，以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．不妨设AB a =，2AD b =，2AF c =，则(0,0,0)A ，(,0,0)B a ，(,,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(,0,)E a c ，(0,0,2)F c ．∴(0,2,2)DF b c =-，(0,,)CE b c =-，∴2DF CE =，∴//DF CE ，∵E DF ∉，∴//DF CE ， ∴C 、D 、E 、F 四点共面．（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(1,0,1)E ．设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111020x z y +=⎧⎨=⎩，1(1,0,1)n =-设平面BED 的法向量为2222(,,)n x y z =由210n BE n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222020z x y =⎧⎨-+=⎩，2(2,1,0)n =12cos ,n n <>1212n n n n ⋅=⋅==由图知，二面角A ED B --为锐角，∴其大小为． 点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处．心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分．因建系容易，提倡用向量法．本时耗时要超过17题与18B ACDEF题用时之和．20．设数列{}n a 满足：2(1)nn n ba b S -=-．（Ⅰ）当2b =时，求证：1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求n a 通项公式．解析：由题意，在2(1)nn n ba b S -=-中，令1n =，得112(1)ba b a -=-，12a =． 由2(1)nn n ba b S -=-得1112(1)n n n ba b S ----=-(2,*)n n N ≥∈两式相减得：11()2(1)n n n n b a a b a ----=-即112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈ …………①（Ⅰ）当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+ 于是11122(1)2n n n n a n a n ----⋅=--⋅212[(1)2]n n a n --=--⋅(2,*)n n N ≥∈又1111210a --⋅=≠，所以1{2}n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅰ）变：当2b =时，求n a 的通项公式．解法如下：解：当2b =时，由①知，1122n n n a a --=+两边同时除以2n得111222n n n n a a --=+(2,*)n n N ≥∈ 111222n n nn a a ---=(2,*)n n N ≥∈ ∴{}2n n a 是等差数列，公差为12，首项为112a =∴111(1)(1)222n na n n =+-=+ ∴1(1)2n n a n -=+（∴1122n n n a n ---⋅=，∴1{2}n n a n --⋅是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+两边同时除以2n得1112222n n n n a a b --=⋅+ 可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+ …………② 展开②得1122222n n n n a a b b λ---=⋅+⋅，与1112222n n n n a a b --=⋅+比较， 得2122b λ-⋅=，∴12b λ=-． ∴1111()22222nn n n a a b b b --+=⋅+-- ∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=--∴111()2222n n na b b b b --+=⋅-- ∴111()2222n n n a b b b b --=⋅--- ∴11112(1)22()2222n n n n n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦ 点评：这是第一道考查＂会不会＂的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．21．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F，离心率2e =，右准线l 上的两动点M 、N ，且120FM F N ⋅=． （Ⅰ）若1225F M F N ==a 、b 的值； （Ⅱ）当MN最小时，求证12FM F N +与12F F 共线． 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，1(,0)F c -，2(,0)F c ．由2e =，2212c a =，∴222a c =．又222a b c =+，∴22b c =，222a b =．∴l ：2222a c x c c c===，1(2,)M c y ，2(2,)N c y ． 延长2NF 交1MF 于P ，记右准线l 交x 轴于Q ．∵120FM F N ⋅=，∴12F M F N ⊥．12F M F N ⊥ 由平几知识易证1Rt MQF ∆≌2Rt F QN ∆ ∴13QN FQ c ==，2QM F Q c == 即1y c =，23y c =． ∵1225F M F N ==∴22920c c +=，22c =，22b =，24a =．∴2a =，2b =． （Ⅰ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，21230y y c =-<． 又1225F M F N ==联立212221222392020y y c c y c y ⎧=-⎪+=⎨⎪+=⎩，消去1y 、2y 得：222(209)(20)9c c c --=，整理得：4292094000c c -+=，22(2)(9200)0c c --=．解得22c =．但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵1212(3,)(,)0FM F N c y c y ⋅=⋅=，∴21230y y c =-<．22222121212121212222412MN yy y y y y y y y y y y c =-=+-≥--=-=．当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，取等号．此时MN 取最小值． 此时1212(3,3)(,3)(4,0)2FM F N c c c c c F F +=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线． （Ⅱ）另解：∵120FM F N ⋅=，∴12(3,)(,)0c y c y ⋅=，2123y y c =-． 设1MF ，2NF 的斜率分别为k ，1k-． 由1()32y k x c y kc x c =+⎧⇒=⎨=⎩，由21()2y x c c y kk x c ⎧=--⎪⇒=-⎨⎪=⎩1213MN y y c k k =-=⋅+≥．当且仅当13k k =即213k =，3k =±时取等号．即当MN 最小时，k =， 此时1212(3,3)(,)(3,3)(,3)(4,0)2cF M F N c kc c c c c c c F F k+=+-=±+==．∴12FM F N +与12F F 共线． 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．22．已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）2()ln(1)10f x a x x x =++-'()2101af x x x=+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．'(3)404af =-=16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞．2162862(1)(3)'()210111x x x x f x x x x x -+--=+-==+++ 令'()0f x =，得1x =，3x =．f 和随x 的变化情况如下：(f （Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减．∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小． 又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞； 可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知，当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．点评：压轴题是这种难度吗？与前两年相比档次降得太多了．太常规了，难度尚不及20题和21题．天上掉馅饼了吗？此题当为漏掉定义域者戒．。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个【解析】【方法一】组合数讨论法：A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B ．【方法二】分类讨论：①只含一个元素的集合{}0②含二个元素的集合{}{}1,00,1-③含三个元素的集合{}1,0,1-（2）已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（A ）5 （B ）5（C （D ）【解析】 (3)(3)10(2)2(2)422(2)(2)i i i z i i i i i +-+===+=+--+||z ⇒==选D ．（3）41(1)(1)x x++的展开式中含2x 的项的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12【解析】41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x xx++=+++++ 展开式中含2x 项的系数为234410C C +=．选C ．（4）已知*n N ∈，则不等式220.011nn -<+的解集为 （A ）{|n n ≥199，*}n N ∈ （B ）{|n n ≥200，*}n N ∈（C ）{|n n ≥201，*}n N ∈ （D ）{|n n ≥202，*}n N ∈【解析】 22220.0111200n n n -=<=++*199200,n n n N ⇒>⇒≥∈．选B ．（5）已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+= （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-【解析】 22(sin cos )(sin cos )sin cos 1tan cos 2(sin cos )(cos sin )cos sin 1tan ααααααααααααααα++++===+---，1123112+==-。
选C ．（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为 （A（B（C（D） 【解析】设球的半径为r 3143V r π⇒=；正三棱锥的底面面积2S =，2h r =，232123V r ⇒=⨯=。
所以123V V =，选A ．（7）若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=（A（B（C） （D）【解析】设过一象限的渐近线倾斜角为αsin 4512k αα⇒=⇒=⇒= 所以b y x x a =±=±a b ⇒=，因此,cc e a===A ．（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 （A ）15 （B ）12 （C ）23 （D ）45【解析】【方法一】因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。
问题等价于选3本书有文艺书的概率：343644()1()11205C P A P A C =-=-=-=。
选D ．【方法二】分类讨论：①只有一本文艺书有1224C C 种选法；②有二本文艺书有2124C C 种选法。
（9）过点(1,1)的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为 （A） （B ）4 （C） （D ）5【解析】||AB的最小值为4=．（10）已知两个单位向量a 与b 的夹角为135︒，则||1a b λ+>的充要条件是（A）λ∈ （B）(λ∈（C）(,0))λ∈-∞+∞ （D）(,)λ∈-∞+∞ 【解析】22222||121211cos13511a b a a b b λλλλλλ+>⇔++=++⨯⨯⨯=+>200λλλ⇔>⇔<或 C（11）设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）94【解析】23311111()()(1)(1)()()2222224f f f f f -==+=-===．选B ．（12）一个正方体的展开图如图所示，,,B C D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点。
在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（A）10（B）5（C）5（D）10【解析】还原正方体如右图所示设1AD=，则AB=1,AF=BE EF==，3AE=,CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos ABE∠==D．【方法二】用空间向量求。
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中模式横线上。
（13）函数11xy e+=-()x R∈的反函数为l n(1)1y x=+-(1)x>-．解：11111ln(1)x xy e e y x y++=-⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x=+->-．（14）设等差数列{}na的前n项和为nS，且55S a=。
若4a≠，则74aa= 3 ．解：【方法一】直接法：由已知551234142300S a a a a a a a a a=⇒+++=⇒+=+=，71436323232ddadaa d-+=-⇒==-+。
【方法二】特殊值法：551234142300S a a a a a a a a a=⇒+++=⇒+=+=，取特殊值令231,1,a a==-43a⇒=-74129a a a=-=-，所以743aa=．（15）已知函数()sin()6f x xπω=-(0)ω>在4(0,)3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．解：由题意44()sin()1336f πππω=-=4312,36222k k k Z πππωπω⇒-=+⇒=+∈ 又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>。
如0k >，则2ω≥，T π≤与已知矛盾）．（16）已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为2． 解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OC ∠=⊥⇒= ,所以CD =，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值sin 2COD ∠=．三．解答题：本大题共6个小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知2222a c b +=。
（Ⅰ）若4B π=，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．【解】（Ⅰ）由题设及正弦定理，有222sin sin sin 1A C B +==．故22sin cos C A =．因A 为钝角，所以sin cos C A =-．由cos cos()4A C ππ=--，可得sin sin()4C C π=-，得8C π=，58A π=． （Ⅱ）由余弦定理及条件2221()2b a c =+，有22cos 4a c B ac+=，故cos B ≥12．由于△ABC 面积1sin 2ac B =，又ac ≤221()42a c +=，sin B ≤2， 当a c =时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC 面积的最大值为142⨯=（18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望． 【解】（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2.i =i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，1,2.i = C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则121212C A A A B B A =⋅+⋅+⋅． 由已知()0.9i P A =，()0.05i P B = 1,2.i =所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =⋅+⋅+⋅20.920.90.050.9=+⨯⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为 ()10.90.1p P C ==-=，依题意知~(3,0.1)B ξ，ξ的分布列为ξ0 1 2 3 p0.7290.2430.0270.00130.10.3E np ξ==⨯=．（19）（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，AB =．沿它的对角线BD把△0BDC 折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置．（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；（Ⅱ）如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A BD C --的大小．【解】（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，0AB C D =090DBC ∠=︒，90ADB ∠=︒．因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=︒，所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥， 故DB ⊥平面0CBC ． 又DB ⊂平面0ABC D ， 所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．（Ⅱ）解法一：如图，延长0C B 到E ，使0BE C B =，连结AE ，CE ．因为ADBE ，1BE =，1DB =，90DBE ∠=︒，所以AEBD 为正方形，1AE =． 由于AE ，DB 都与平面0CBC 垂直， 所以AE CE ⊥，可知1AC >．因此只有AC AB ==△ABC 为等腰三角形．在Rt △AEC 中，1CE ==，又1BC =，所以△CEB 为等边三角形，60CBE ∠=︒． 由（Ⅰ）可知，,CB BD EB BD ⊥ ⊥， 所以CBE ∠为二面角A BD C --的平面角， 即二面角A BD C --的大小为60︒．解法二：以D 为坐标原点，射线DA ，DB 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)D ．由（Ⅰ）可设点C 的坐标为(,1,)x z ，其中0z >，则有221x z +=． ①因为△ABC 为等腰三角形，所以1AC =或AC =． 若1AC =，则有22(1)11x z -++=． 由此得1x =，0z =，不合题意．若AC =22(1)12x z -++=． ②联立①和②得12x =，2z =．故点C 的坐标为1(,1,)22． 由于DA BD ⊥，BC BD ⊥，所以DA 与BC夹角的大小等于二面角A BD C --的大小．又(1,0,0)DA = ，1(2BC = ，1cos ,.2||||DA BC DA BC DA BC ⋅<>==所以,60DA BC <>=︒．即二面角A BD C --的大小为60︒．（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1)n n a a n+=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【解】（Ⅰ）由条件得1221(1)2n na a n n +=⋅+，又1n =时，21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即212n n n a -=．（Ⅱ）由22(1)21222n n n n n n n b ++=-=得23521222n n n S +=+++ ， 231135212122222n n n n n S +-+=++++ ， 两式相减得 ：23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 2552n nn S +=-．（Ⅲ）由231121()()2n n n S a a a a a a +=+++-+++ 得1112n n n n T a a T S +-+-=．所以11222n n n T S a a +=+-2146122n n n -++=-．（21）（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列． （Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点。
