北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1(附答案详解)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

二次函数检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有( A )A．最小值－2 B．最大值－2 C．最小值3 D．最大值3 2．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y ＝x2＋33．将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( D )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋24．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，错误的是( B )A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．b2－4ac＞0,第4题图) ,第6题图) ,第9题图)5．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－2x＋99的零点的个数为( A )A．0 B．1 C．2 D．无法确定6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y ＝bx＋a的图象不经过( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．对于抛物线y＝－13(x＋2)2－5，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(－2，－5)；④x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )A．1 B．2 C．3 D．48．(2015·南昌)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( D )A．只能是x＝－1 B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧9．某幢建筑物，从10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线形状(抛物线所在平面与地面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面403m(如图)，则水流落地点B离墙的距离OB是( B )A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m10．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是( B )二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若抛物线y＝－mx2＋3mx＋6m＋2经过点(1，0)，那么m的值为__－14__．12．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__4__．13．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100 km/h，在前方80 m处停放一辆故障车，此时刹车__会__有危险．(填“会”或“不会”) 14．(2015·龙东地区)抛物线y ＝ax2＋bx＋2经过点(－2，3)，则3b－6a＝__－32__．15．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是__－3＜x＜1__．16．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：__y＝x2－4x＋3__.17．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，则飞机着陆后滑行__600__米才能停下来．18．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B(－52，y1)，C(－12，y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是__①④__.(只填序号)三、耐心做一做(共66分)19．(8分)已知二次函数的图象的顶点是(－1，2)，且经过点(0，1)．(1)求这个二次函数的关系式，并画出它的图象；(2)判断点(－3，－2)是否在这个二次函数的图象上．解：(1)y＝－(x＋1)2＋2，画图象略(2)将x＝－3代入，得y＝－(－3＋1)2＋2＝－2，∴点(－3，－2)在抛物线y＝－(x ＋1)2＋2上20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，－3)，B(－1，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移__4__个单位．解：(1)y＝x2－2x－3 (2)421．(9分)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F.设PE＝x，矩形PFOE的面积为S.(1)求出S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？解：(1)在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，∵AO＝8，BO＝6，∴tanB ＝AO BO ＝PF BF ，即86＝PF 6－x ，解得PF ＝43(6－x)，∴矩形PFOE 的面积为S ＝PE ·PF ＝x ·43(6－x)＝－43x 2＋8x ，即S ＝－43x 2＋8x (2)∵S ＝－43x 2＋8x ＝－43(x －3)2＋12，∴当x ＝3时，矩形PFOE 的面积S 最大，最大面积是1222．(9分)如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．解：(1)y ＝－12x 2＋4x －6 (2)配方得y ＝－12(x －4)2＋2，∴对称轴为x＝4，C(4，0)，∴AC＝2，OB＝6，S△ABC＝12 AC·OB＝623．(10分)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，销售中发现A型汽车的每周销量y A(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式y A＝－x＋20，B型汽车的每周销量y B(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式y B＝－x＋14.(1)求A，B两种型号的汽车的进货单价；(2)已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台，每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A，B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？解：(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，依题意得50 m＝40m－2，解得m＝10，经检验：m＝10是原分式方程的解，故m －2＝8，则A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元(2)根据题意得W＝(t＋2－10)[－(t ＋2)＋20]＋(t－8)(－t＋14)＝－2t2＋48t－256＝－2(t－12)2＋32.∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，∴当t＝12时，t＋2＝14，W有最大值为32，则A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元24．(10分)(1)抛物线m1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设1P的坐标为__(1，4)__，点C的坐标为__(0，3)__．(2)将抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x ＋c2，则当x＝－3时，y2＝__12__.(3)在(1)的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3.设抛物线m1与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线m3与x轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K.问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．解：(3)存在．理由：当y1＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则A(－1，0)，B(3，0)，∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK＝AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA＝CK时，四边形AMKC为菱形，而AC＝12＋32＝10，则CK＝10.当抛物线m1沿水平方向向右平移10个单位，此时K(10，3)；当抛物线m1沿水平方向向左平移10个单位，此时K(－10，3)25．(12分)(2015·河池)如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C 交x轴于E(4，0)．(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P(x，y)是线段BD上的动点(不与B，D重合)，PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′，在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)D(1，4)，直线l的解析式为y＝－34x＋3(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，∴A(－1，0)，B(3，0)．又∵D(1，4)，可求线段BD 所在直线的解析式为y ＝－2x ＋6(1<x<3)，∴梯形OFPC 的面积S ＝12(PF ＋CO)×OF ＝12×(－2x ＋6＋3)×x ＝－x 2＋92x(1<x<3)．当x ＝－b 2a ＝94时，面积S 取最大值，最大面积为S ＝－(94)2＋94×92＝8116(3)存在．设Q(t ，0)(t ＞0)，则M(t ，－34t ＋3)，N(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴MN ＝|－t 2＋2t ＋3－(－34t ＋3)|＝|t 2－114t|，CM ＝t 2＋（－34t ＋3－3）2＝54t ，∵△CMN 沿CN 翻转，M 的对应点为M ′，M ′落在y 轴上，而QN ∥y 轴，∴MN ∥CM ′，NM ＝NM ′，CM ′＝CM ，∠CNM ＝∠CNM ′，∴∠M ′CN ＝∠CNM ，∴∠M ′CN ＝∠CNM ′，∴CM ′＝NM ′，∴NM ＝CM ，∴|t 2－114t|＝54t ，当t 2－114t ＝54t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝4，此时Q 点坐标为(4，0)；当t 2－114t ＝－54t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝32，此时Q 点坐标为(32，0)，综上所述，点Q 的坐标为(32，0)或(4，0)。

【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题（北师大有答案）第二章二次函数一、选择题1.二次函数y=x2+4x?5的图象的对称轴为（）a.x=?4b.x=4c.x=?2d.x=22.二次函数y=（x?1）2?2的顶点座标就是（）a.（1，?2）b.（?1，2）c.（?1，?2）d.（1，2）3.必须获得函数y=2x2-1的图象，应当将函数y=2x2的图象（）a.沿x轴向左平移1个单位b.沿x轴向右平移1个单位c.沿y轴向上位移1个单位d.沿y轴向上位移1个单位4.若a（?3，y1），b（?1，y2），c（2，y3）为二次函数y=x2?2x?3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）a.y1＜y2＜y3b.y2＜y1＜y3c.y3＜y2＜y1d.y3＜y1＜y25.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )a.一、二、三象限b.二、三、四象限c.一、三、四象限d.一、二、三、四象限6.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）a.x＝－3b.x＝－2c.x＝－1d.x＝17.若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）a.y=2（x?1）2?3b.y=2（x?1）2+3c.y=2（x+1）2?3d.y=2（x+1）2+38.二次函数y=3（x?h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（）a.h＞0，k＞0b.h＞0，k＜0c.h＜0，k＞0d.h＜0，k＜09.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）a.a=5b.a≥5c.a＝3d.a≥310.抛物线y=?3x2+2x?1与坐标轴的交点个数为（）a.0个b.1个c.2个d.3个11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac?b2=4a；④（a+c）2?b2＜0．其中正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个二、填空题12.抛物线y=?2（x?3）2+4的顶点座标就是________．13.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2?4x+3的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为________．14.二次函数y=（x?2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的减小而增大，则m的值域范围就是________．15.抛物线y=?x2?2x+3与x轴交点为________．16.）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没公共点，则m的值域范围就是________17.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．18.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右位移3个单位，则税金抛物线的解析式就是________．19.二次函数y=（a?1）x2?x+a2?1的图象经过原点，则a的值为________．三、答疑题20.已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．21.未知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点（?1，8）、（1，0），谋这个二次函数的表达式．22.已知二次函数y=?x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴存有两个交点，谋m的值域范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标．（3）根据图象轻易写下并使一次函数值大于二次函数值的x的值域范围．23.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a和点b，与y轴交于点c，且点a的坐标为（?1，0）（1）谋抛物线的解析式，以及b、c两点的座标；（2）求过o，b，c三点的圆的面积．（结果保留π）参考答案一、选择题cadcdcdbbbd二、填空题12.（3，4）13.y=x2+4x+314.m≥115.（?3，0），（1，0）16.m＞117.x＜?1或x＞518.y=x2-10x+18．19.?1三、答疑题20.解：∵是x的二次函数，∴，Champsaurm=3或m=?1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．21.求解：把（?1，8）、（1，0）代入y=ax2+bx+3得，Champsaur，所以二次函数的解析式为y=x2?4x+322.（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞?1（2）求解：∵二次函数的图象过点a（3，0），∴0=?9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=?x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴b（0，3），设立直线ab的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线ab的解析式为：y=?x+3，∵抛物线y=?x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=?x+3得y=2，∴p（1，2）（3）求解：根据函数图象所述：x＜0或x＞323.（1）解：由题意得：解得：，∴抛物线解析式为：y=x2?4x?5，当x=0时，x2?4x?5=0，（x+1）（x?5）=0，x1=?1，x2=5，∴a（?1，0），b（5，0），当x=0时，y=?5，∴c（0，?5），∴抛物线解析式为y=x2?4x?5，b点坐标为（5，0），c点坐标为（0，?5）（2）求解：相连接bc，则△obc就是直角三角形，∴过o、b、c三点的圆的直径就是线段bc的长度，在rt△obc中，ob=oc=5，∴bc=5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题1（附答案详解）1．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．抛物线2(1)y x =-与y 轴的交点坐标为（） A ．(1,0)B ．(-1,0)C ．(0,-1)D ．(0,1)3．已知二次函数2333(11)y x bx b =-+-≤≤当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它对应的抛物线位置也随之变化，下列关于抛物线的移动过程描述正确的是（ ）． A ．先向左上方移动，瑞向左下方移动 B ．先向左下方移动，再向左上方移动 C ．先向右上方移动，再向右下方移动 D ．先向右下方移动，再向右上方移动 4．将二次函数的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ） A ．B ．C ．D ．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个解的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 y－0.03－0.010.02A ．－0.03＜x ＜－0.01B ．－0.01＜x ＜0.02C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.17＜x ＜6.186．抛物线y =x 2﹣2x ﹣1，则图象与x 轴交点是（ ） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．不能确定7．二次函数2y ax bx c =++与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．8．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2 C ．y=﹣12x 2﹣12x+1 D ．y=﹣x 2+x+2 9．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( ) ①y ＝－3x 2；②y ＝－12x 2；③y ＝－12x 2－1；④y ＝2x 2＋1；⑤y ＝5x 2－3；⑥y ＝－5x 2＋13. A ．①④B ．②③C ．⑤⑥D ．②③④10．函数222y x x =-++的顶点坐标是（ ） A ．(1，3)B ．(1-，3)C ．(1，−2)D ．(−1，2)11．如图，抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜m ＜18B ．﹣3＜m ＜﹣74C ．﹣3＜m ＜﹣2D ．﹣3＜m ＜﹣15812．在直角坐标系中，函数y= 3x 与y= －x 2+1的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．13．二次函数的图象如图所示，则其表达式为__________．14．把抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______．15．请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式_________．16．已知抛物线y=x 2−2x+2-a 与x 轴有两个不同的交点,则直线y=ax+a 不经过第________________ 象限。

第二章二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)C．y＝1x2D．y＝(x－1)2－x22．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点3．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是－3，那么m的值等于() A．10 B．4 C．5 D．64．如图2－Z－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()图2－Z－1A．x＜－2 B．－2＜x＜4C．x＞0 D．x＞45．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b＋c >0；④若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z －3A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③8．如图2－Z －4，正三角形ABC 的边长为4，P 为BC 边上的任意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D .设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )图2－Z －4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E 为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z－10，在直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，6)，点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由点A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ.若设运动时间为t(0＜t＜103)秒，解答下列问题：(1)当t为何值时，△APQ与△ABO相似？(2)设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．图2－Z－1017．(14分)如图2－Z－11，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，AB＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC的周长的最小值；(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．图2－Z－11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x是二次函数；C.y ＝1x 2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C.6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b 2a ＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y＝－14x2＋x.故选C.9．[答案] y＝－2(x＋1)2－310．[答案] (－1，0)11．[答案] ＞[解析] 由y＝(x＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x＝－3.∵抛物线开口向上，而点A(4，y1)到对称轴的距离比点B(－4，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C.设AB与y轴交于点H，∵AB＝12，∴AH＝BH＝6，由题可知：OH＝5，CH＝4，∴OC＝5＋4＝9，∴B(6，5)，C(0，9)．设该抛物线的表达式为y＝ax2＋k，∵顶点为C(0，9)，∴y＝ax2＋9.把B(6，5)代入，得5＝36a＋9，解得a＝－1 9，∴抛物线的表达式为y＝－19x2＋9.当y＝0时，0＝－19x2＋9，解得x＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)，∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)．故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相同，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4.∵CD ＝2－0＝2，∴S △BCD ＝12×2×4＝4. 15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．(3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600，－10(x －50)2＝－250，x －50＝±5，x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10.①当P A AB ＝AQ OA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011；②当AP OA ＝AQ AB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023.综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似． (2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ，∴AP AB ＝PD OB ，即10－3t 10＝PD 6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)．把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∴点C的坐标为(0，3)，∴BC＝32＋32＝3 2，AC＝32＋12＝10.∵点A，B关于对称轴直线x＝2对称，∴P A＝PB，∴P A＋PC＝PB＋PC，此时PB＋PC＝BC，∴当点P在对称轴上运动时，P A＋PC的最小值等于BC，∴△APC的周长的最小值＝AC＋P A＋PC＝BC＋AC＝3 2＋10.(3)(2，－1)。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．32．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．B．C．﹣4D．44．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）C．与y轴相交于点（0，﹣3）D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 6．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜1C．1＜a＜2D．2＜a＜38．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（）A．8B．12C．16D．410．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分24分）11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝．12．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线．13．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）14．将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是．15．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…123456…y…0﹣3﹣4﹣305…则当x＝0时，y的值为．17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是．18．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．20．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），过点A作直线l交抛物线于点B（4，m）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．22．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．23．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？24．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a．（1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值．25．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出260千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．2．解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．3．解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：B．4．解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；故选：C．5．解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜1﹣（﹣3），∴y1＞y2＞y3．故选：B．6．解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝﹣ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，在y轴的右侧，A、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项符合题意；C、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；D、抛物线的对称轴在y轴的左侧，故选项不合题意；故选：B．7．解：双曲线y＝向下平移3个单位后的函数为y′＝﹣3，∵y′＝﹣3交抛物线y＝x2于点P（a，b），∴﹣3＝a2，整理得，a3+3a﹣2＝0，令y＝a3+3a﹣2，且y随a的增大而增大．当a＝0时，y＝﹣2＜0，当a＝时，y＝+﹣2＝﹣＜0，当a＝1时，y＝1+3﹣2＝2＞0，∴若a3+3a﹣2＝0，则a的取值范围为：＜a＜1．故选：B．8．解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．9．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），∴对称轴为直线x＝＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4，∵点A或点B在y轴上，∴AB＝4，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，∴c＝4，∴△AOB的面积为：＝8．故选：A．10．解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；由图象经过点（﹣1，0）可得，a﹣b+c＝0，故②错误；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴x＝0和x＝2时，函数值相等，而x＝0时c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴④错误；∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；∴正确的有③，共1个，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分）11．解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，∴2m﹣1＝2，∴m＝．故答案为：．12．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：x＝2．13．解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．14．解：∵y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是y＝（x++2）2﹣+3，即y＝x2+5x+8，故答案为：y＝x2+5x+8．15．解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），∴抛物线对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得b＝﹣6，故答案为：﹣6．16．解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，∴当x＝0时，y＝5．故答案为：5．17．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．故答案为﹣5≤x≤2．18．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．20．解：（1）∵抛物线L有最高点，∴m﹣2＜0，∴m＜2；（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反，∴m﹣2＝﹣1，∴m＝1．21．解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4ax+3得：0＝4a+8a+3，解得，∴抛物线为，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）；（2）把B（4，m）代入得，m＝﹣4+4+3＝3，将A（﹣2，0），B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为，∵顶点的横坐标为2，把x＝2代入得：y＝2，∴n＝4﹣2＝2．22．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），当x＝0时，y＝﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），二次函数的图象如图所示：（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．23．解：（1）设AB为x米，则BC＝（32﹣2x）米，由题意得：x（32﹣2x）＝96，解得：x1＝4，x2＝12，∵墙长为14米，32米的篱笆，∴32﹣2x≤14，2x＜32，∴9≤x＜16，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝9时，y有最大值是126，答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．24．解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2ax+a2+2a＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1．（2）把a＝2代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝x2﹣4x+8，令x2﹣4x+8＝2x，解得x1＝2，x2＝4，把x＝2代入y＝2x得y＝4，把x＝4代入y＝2x得y＝8，∴直线与抛物线交点坐标为（2，4），（4，8），∴线段长度为＝2．（3）把x＝4代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝16﹣8a+a2+2a＝（a﹣3）2+7，∴点A纵坐标为（a﹣3）2+7，∵（a﹣3）2+7≥7，∴点A到x轴最小距离为7．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，y C＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则，解得：，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则，解得：，∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则，解得：，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合同步练习（附答案）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．2或12．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+93．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（）A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝x2+x﹣2C．y＝x2+3x+2D．y＝﹣x2+x+2 6．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（）A．﹣1和6B．2和6C．﹣1和3D．2和37．已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G8．已知两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣3B．x0≥5C．1＜x0≤5D．x0＞19．已知函数y＝2018﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 10．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4 11．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．（用＞号连接）．13．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．14．已知抛物线y＝﹣2（x+k）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…如果将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象，则当x＝﹣3时，y2＝．17．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数图象对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．18．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．19．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到15元之间（含10元，15元）浮动时，日均销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式．（2）如果规定该种饮料日均的销售量不低于400瓶，当销售单价为多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）最大，最大日均毛利润是多少？（3）老板决定从该种饮料所得的日均毛利润中提取50元，作为销售员小王当天的额外奖励，且又保证提取后日均毛利润不低于1050元，试确定该种饮料销售单价的范围．20．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标？（2）求出△BCD的面积是多少？21．已知二次函数y＝2x2﹣4x+1（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该函数的顶点坐标；（3）当0≤x≤3时，求函数y的最大值．22．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．23．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃AB边为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度；（3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．参考答案1．解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2．故选：A．2．解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．故选：C．3．解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，故③错误；由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；当x＝0时，y＝c＝1，∵a+b+c＜0，b＝2a，∴3a+1＜0，∴a＜﹣∴a+c＜，故⑤正确；综上所述，结论正确的是①②⑤．故选：B．4．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．故选：A．5．解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得2＝﹣2a，解得a＝﹣1故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）整理得：y＝﹣x2+x+2故选：D．6．解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最大值0，可得：﹣（1﹣h）2+4＝0，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值0，可得：﹣（4﹣h）2+4＝0，解得：h＝6或h＝2（舍）．③若1＜h＜4，当x＝h时，y取得最大值4，不合题意；综上，h的值为﹣1或6，故选：A．7．解：∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．故选：C．8．解：∵两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴该函数图象开口向上，有最小值，对称轴在y轴的右侧，当点B在对称轴左侧时，x0＞5，当点B和顶点重合时，x0＝5，当点B在对称轴右侧时，5＞x0＞，5＞x0＞1，由上可得，x0的取值范围是x0＞1，故选：D．9．解：由2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝2018，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．10．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y ＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．11．解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，∵t＝9时，h＝0，∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．∴正确的有①②③④，故选：C．二．填空题（共5小题）12．解：∵y＝（x+1）2+2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，A（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1的对称点是（0，y1），∵0＜1＜2，∴y3＞y2＞y1故答案为y3＞y2＞y1．13．解：由题意知，y1＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则顶点坐标是（﹣1，﹣4）．所以，阴影部分的面积为：2×4＝8．故答案是：8．14．解：∵y＝﹣2（x+k）2﹣3，∴对称轴为x＝﹣k，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x≥1时，y随x的增大而减小，∴﹣k≤1，解得k≥﹣1，故答案为：k≥﹣1．15．解：∵y＝﹣x2+3x﹣2中a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y＝x2+3x﹣．故答案是：y＝x2+3x﹣．16．解：由表中的数据可以得到二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象的对称轴是直线x＝1．所以当x＝﹣3与当x＝5时，所对应的y值相等，均为﹣12．当将二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象的横坐标与原坐标相等，纵坐标互为相反数，所以当x＝﹣3时，y2＝12．故答案是：12．三．解答题（共8小题）17．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连接AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y＝﹣x2+4x+m，得﹣62+4×6+m＝0．解得m＝12．故该抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+12当x＝0时，y＝12，则B（0，12）．设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵A（6，0），B（0，12），∴，解得∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∵y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，∴对称轴是直线x＝2．把x＝2代入y＝﹣2x+12得，y＝﹣4+12＝8，∴P（2，8）；（3）∵A（6，0），B（0，12），使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞6．18．解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．19．解：（1）设y＝kx+b，把（10，560）和（15，160）代入得：解得：，则y＝﹣80x+1360（10≤x≤15）；（2）设毛利润为w元，则w＝（﹣80x+1360）（x﹣9），＝﹣80x2+2080x﹣12240，＝﹣80（x﹣13）2+1280，∵规定该种饮料日均的销售量不低于400瓶，∴﹣80x+1360≥400，解得：x≤12，∵10≤x≤15，∴10≤x≤12，∵﹣80＜0，∴当10≤x≤12时，w随x的增大而增大，∴当x＝12时，w取得最大值，最大值为1200，答：应将售价定为每瓶12元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1200元；（3）由题意得：﹣80（x﹣13）2+1280＝1050+50，解得：x1＝14.5，x2＝11.5，∴11.5≤x≤14.5，答：确定该种饮料销售单价的范围是：11.5≤x≤14.5．20．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，函数的对称轴为：x＝1，点D（1，﹣4）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点H，将点BC的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点H（1，﹣2），则HD＝2，△BCD的面积＝HD×OB＝2×3＝3．21．解：（1）y＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣1，（2）顶点坐标为（1，﹣1），（3））∵对称轴为直线x＝1，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当1＜x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时二次函数有最大值，最大值为2×（3﹣1）2﹣1＝8﹣1＝7，即最大值为7．22．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．23．解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米，这时面积y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，解得：≤x＜8，∴y＝﹣3x2+24x（≤x＜8）；（2）由条件﹣3x2+24x＝45，化简得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝5，x2＝3，∴x＝3不合题意，舍去，即AB的长度为5米；（3）y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48（≤x＜8），∵a＝﹣3＜0，开口向下，∴当x＝时，y有最大值48﹣3（﹣4）2＝46，故最大面积为46m2。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习培优测试卷（附答案详解） 1．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝（x ﹣2）（x ﹣4）﹣2018的图象平移后，所得的函数图象与x 轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移2018个单位B ．向下平移2018个单位C ．向左平移2018个单位D ．向右平移2018个单位2．若y=（m ＋1）265mm x --是二次函数，则m= （ ） A ．－1 B ．7C ．－1或7D ．以上都不对 3．若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于两个不同点A （x 1，0），B （x 2，0）；且二次函数化为顶点式是y=a （x-h ）2+k ，则下列说法：①b 2-4ac ＞0；②x 1+x 2=2h ；③二次函数y=ax 2+bx+2c （a≠0）化为顶点式为y=a （x-h ）2+2k ；④若c=k ，则一定有h=b ．正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 4．如图，一次函数y 1＝2x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －2)x ＋c 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．已知二次函数245y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是（ ）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<6．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x 元（x 为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x 应为多少元？( )A ．41B ．42C ．42.5D ．437．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y 8．已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2﹣1上，下列说法中正确的是（ ） A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=﹣x 2，则y 1=﹣y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2 9．二次函数()231y x =+的图象上有三点()12,A y ，()23,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<10．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实数根是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣1B ．x 1＝﹣1，x 2＝2C ．x 1＝﹣1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝311．将二次函数y = 12x 2的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得图象的函数表达式为________．12．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2如图所示，已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，过点A 4作A 4A 5∥x 轴交抛物线于点A 5，则点A 5的坐标为_____．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线（0≤x≤3）在x 轴上方的部分，记作C 1，它与x 轴交于点O ，A 1，将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，C 2与x 轴交于另一点A 2．请继续操作并探究：将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，与x 轴交于另一点A 3；将C 3绕点A 2旋转180°得C 4，与x 轴交于另一点A 4，这样依次得到x 轴上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，及抛物线C 1，C 2，…，C n ，…．则点A 4的坐标为 ；Cn 的顶点坐标为 (n 为正整数，用含n 的代数式表示) ．14．若二次函数y ＝mx 2-6mx ＋1（m >0）的图像经过A (2，a )，B (-1，b )，C (3＋2，c )三点，则a ，b ，c 从小到大．．．．排列是____． 15．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣1，x 2=2，则b+c 的值是__．16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．如图，是二次函数k h x y +-=2)(的图象，则其解析式为__________________．18．抛物线y ＝12（x ﹣2）2的顶点坐标是_____． 19．二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴的一个交点的坐标是（－1，0），则图像与x 轴的另一个交点的坐标是_____．20．请写出一个开口向上，顶点为(2，1)的抛物线的解析式_____．21．动物园计划用长为120米的铁丝围成如图所示的兔笼，（不包括顶棚）供学习小组的同学参观，其中一面靠墙，（墙足够长）怎样设计围成的面积最大？22．某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫．试销中发现，当销售单价是60元时，售出400件；销售单价每降低1元，多售出10件．设试销中销售单价x （元）时的销售量为y （件）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式；（3）若要销量不低于200件，且获利至少5250元，则售价应在何范围内？23．某公司生产某种商品每件成本为20元，这种商品在未来40天内的日销售量y (件)与时间x (天)的关系如下表： 时间x （天）1 3 6 10 ... 日销售量y （件） 94 90 84 76 ...未来40天内，前20天每天的价格m （元/件）与时间x （天）的函数关系式为(1≤x ≤20），后20天每天的价格为30元/件（21≤x ≤40）.（1）分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y （件）与x （天）之间的函数关系式.（2）当1≤x ≤20时，设日销售利润为W 元，求出W 与x 的函数关系式.（3）在未来40天中，哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？24．（本小题满分10分）在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+122y x a y x 中． （1）若3a =，求方程组的解；（2）若)3(y x a S +=，当a 为何值时，S 有最小值． 25．如图，若二次函数2y x x 2=--的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点.（1）求A 、B 两点的坐标：（2）若(),2P m -为二次函数2y x x 2=--图像上一点，求m 的值.26．已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？（3）若A （m ，y 1），B （m+1，y 2）两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．27．如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．28．以A（-1，4）为顶点的二次函数的图象经过点B（2，-5），求该函数的表达式．参考答案1．A【解析】【分析】根据平移规律上加下减，即可判断．【详解】二次函数y=(x−2)(x−4)−2018向上平移2018个单位后得到二次函数y=(x−2)(x−4)，该函数与x轴交于(2,0)和(4,0)，两交点之间的距离为2，符合题意，故选：A.【点睛】考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键.2．B【解析】【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．3．C【解析】试题分析：首先根据抛物线与x轴交于两个不同点可得到b2-4ac＞0，根据抛物线的顶点坐标公式为（-，），对称轴x=x==-来进行判断．试题解析：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），∴b2-4ac＞0，故①正确；由二次函数化为顶点式是y=a（x-h）2+k，可知x==h，∴x1+x2=2h，故②正确；由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化为顶点式是y=a（x-h）2+k可知：-=h，=k，∴二次函数y=ax2+bx+2c的顶点横坐标为：-=h，纵坐标为：=≠2k，故③错误；∵=k，c=k，∴=c，解得b=0，∴h=-=0，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．4．A【解析】【分析】由图像可知一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，即一元二次方程ax2＋bx＋c=2x由两个不等的正实数根，即可得出答案.【详解】由图可知一元二次方程ax2＋bx＋c=2x由两个不等的正实数根即y＝ax2＋(b－2)x＋c与x轴正半轴有两个交点故答案选择A.【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图像与性质问题.5．A【解析】【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数245y x x =--+中， 对称轴为：4222(1)b x a -=-=-=-⨯-， ∵1230x x x <<<，10a =-<，∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小，∴123y y y >>；故选择：A.【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．6．B【解析】【分析】售价为x 元，则涨价为（x-40）元，可用x 表示出每星期的销量，并得到x 的取值范围．根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，利用二次函数的最值可得出答案.【详解】解：由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x 为整数），每星期少卖10（x-40）件， ∴每星期的销量为：150-10（x-40）=550-10x ，设每星期的利润为y 元，则y=（x-30）×（550-10x ）=-10（x-42.5）2+1562.5， ∵x 为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，又∵要求销量较大，∴x 取42元．答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x 应为42元.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式，另外要求我们熟练二次函数最值的求法.7．C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．8．D【解析】试题分析：A 、若y 1=y 2，则x 1=﹣x 2；B 、若x 1=﹣x 2，则y 1=y 2；C 、若0＜x 1＜x 2，则在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2；D 、正确．故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．9．A【解析】【分析】首先求出二次函数对称轴1x =-，30a =>，开口向上，再分段讨论函数的增减性即可解答.【详解】二次函数()231y x =+，对称轴为1x =-，30a =>，开口向上当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x >-时，y 随x 的增大而增大531>>>-∴ y 随x 的增大而增大123y y y ∴<<故选A【点睛】本题考查二次函数增减性的分析，熟练掌握利用顶点式求抛物线对称轴以及分段讨论二次函数增减性是解题关键.10．D【解析】【分析】根据抛物线与x 轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．【详解】∵二次函数y=x 2-4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）∴关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0的另一根是t ．∴1+t=4，解得 t=3．即方程的另一根为3．故答案选：D ．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点 ，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点 .11．y=12（x+1）2﹣2 【解析】分析：平移的与解析式的关系：左右平移，横坐标变化（左加右减），上下平移，纵坐标变化（上加下减）；解：∵二次函数y =12x 2的图象向左移1个单位，再向下移2个， ∴y －2=12（x+1）2,即y =12 (x +1)2﹣2故答案是y =12(x +1)2﹣2。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习优生提升测试卷（附答案详解） 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A ．y=2(x+1)2+8B ．y=18(x+1)2-8C ．y=29(x-1)2+8 D ．y=2(x-1)2-82．在同一坐标系内，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在抛物线y=-x 2+1 上的一个点是( )． A ．(1，0)B ．(0，0)C ．（0，-1)D ．（1，I)4．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y…﹣6466…给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴在y 轴的左侧； ③抛物线一定经过（3，0）点；④在对称轴左侧y 随x 的增大而减增大． 从表中可知，其中正确的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 是抛物线上的动点，若PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则tan CDP ∠的值为（ ） A ．12或12- B ．21+或21-C ．212+或212- D ．12+或12-6．抛物线 y=x2-4的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（0，—4）C．（1，—3）D．（—2，0）7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（bc，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，平移的方法可以是（）A．向左平移3个单位再向下平移3个单位B．向左平移3个单位再向上平移3个单位C．向右平移3个单位再向下平移3个单位D．向右平移3个单位再向上平移3个单位9．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．11．某抛物线有以下性质：①开口向下；②对称轴是y轴；③与x轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x2具有的性质是_____．（填序号）12．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a（x+m）2+k的形式_____．13．将抛物线y=-x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为__________________．14．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21x y =（x≥0）与22x y 5=（x≥0）于B 、C两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=_．15．抛物线y=x 2﹣5x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的长为__．16．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 ________ ．（精确到0.1）．17．若A （11,y -）、B （23,y ）、C （34,y -）为二次函数245y x x =--+的图象上的三个点，则请你用“<”连接123y y y ，，得_____________．18．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－2，3)，作点A 关于x 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向右平移3个单位得到点A ''，则点A ''的坐标是________．19．已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a+c ＜b ；③2a +b>0；④4a+2b+c ＜0；⑤2ax bx c 20++-=有两个不相等的实数根.其中结论正确的有_____________.（填写正确结论的序号）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象y 1=kx+b 与反比例函数2ny x=的图象交于点A （1，5）和点B （m ，1）．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式nx≥kx+b的解集；（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．22．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．23．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）求二次函数的图像与x轴的交点坐标.24．如图，抛物线DG GE的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段OD=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，,连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点．（1）求这个二次函数以及直线BC的解析式；（2）直接写出点A的坐标；（3）当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x 轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．27．如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=﹣12x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．28．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．参考答案1．D【解析】试题分析：由图可知函数图像的对称轴是x=1,函数图像过点（3,0）顶点坐标是（1，-8），设二次函数表达式为y=a（x-h）2+k,对称轴是x=1,所以h=1,将点（3,0），（1，-8）代入表达式可求出解析式为y=2(x-1)2-8.故选D.2．C【解析】试题分析：令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一、三象限，从而得解．x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．考点: 1. 二次函数的图象；2.一次函数的图象．3．A【解析】分析：根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可．解答：解：∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0，当x=0时，y=-x2+1=0+1=1，抛物线过（1，0）或（0，1）两点．故选A．4．B【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x+6=﹣（x ﹣）2+，当x=0时y=6，∴抛物线与y 轴的交点为（0，6），故①正确； 抛物线的对称轴为x=，故②不正确；当x=3时，y=﹣9+3+6=0， ∴抛物线过点（3，0），故③正确； ∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故④正确； 综上可知正确的个数为3个， 故选B ．考点：二次函数的性质． 5．B 【解析】 【分析】当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时,则P 点在线段CD 的垂直平分线上,由C 、D 坐标可求得线段CD 中点的坐标,从而可以知道P 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P 点坐标． 【详解】解：作CD 中垂线交抛物线于1P ，2P （1P 在2P 左侧），交y 轴于点E ;连接P 1D ,P 2D ．易得(0,3)C (0,1)D (0,2)E ． ∴122P P y y ==，1DE =．将2y =代入2y x 2x 3=-++中得112x =212x =．∴11PE =，21P E ．∴11tan 1PE CDP ED ==∠，22tan 1P E CDP ED=∠． 故选B ． 6．B【解析】形如y=ax 2+k 的顶点坐标为（0，k ）直接求顶点坐标． 解：抛物线y=x 2-4的顶点坐标为（0，-4）． 故选B ． 7．A 【解析】试题分析：根据抛物线图象与系数的关系即可判断出各系数的符号，进而得出点M （bc，a ）所在的象限.解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上， ∴a ＞0，2ba-＞0，因此b ＜0， ∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴， ∴c ＜0， ∴a ＞0，b c ＞0，则点M （bc，a ）在第一象限． 故选A ．点睛：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系.结合二次函数的图象得出各系数的符号是解题的关键所在. 8．A 【解析】试题分析：根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．∵抛物线y=-（x-2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=-（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），∴顶点由（2，1）到（-1，-2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位． 故选A ．考点：二次函数图象与几何变换． 9．C【解析】根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0) 可以判断各备选函数是否为二次函数.函数①：在该解析式的等号右侧不存在含自变量x的二次项，故①不是二次函数；函数②：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=3，b=0，c=-1)，故②是二次函数；函数③：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=-20，b=0，c=0)，故③是二次函数；函数④：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=1，b=-6，c=5)，故④是二次函数；综上所述，本题中一共有②③④三个函数是二次函数.故本题应选C.10．B【解析】【分析】分三种情况：（1）当0≤x≤12时，（2）当12＜x≤2时，（3）当2＜x≤4时，根据勾股定理列出函数解析式，判断其图象即可求出结果．【详解】解：（1）当0≤x≤12时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB=2，∴BM=1，∵∠B=60°，∴BE=12，ME=3PE12﹣x，在R t△BME中，由勾股定理得：MP2=ME2+PE2，∴y=22 312x⎛⎫+-⎪⎝⎭⎝⎭=x2﹣x+1；（2）当12＜x≤2时， 如图2，过M 作ME ⊥BC 与E ，由（1）知BM=1，∠B=60°，∴BE=12，ME=3，PE=x ﹣12， ∴MP 2=ME 2+PE 2，∴y=22312x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =x 2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连结MC ，∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，∴∠BMC=90°，221=3-∵AB ∥DC ，∴∠MCD=∠BMC=90°，∴MP 2=MC 2+PC 2，∴y=223)(2)x +-=x 2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B 选项符合题意．故选B ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．11．①②④．【解析】y =－2x 2开口向下，对称轴是y 轴，与x 轴有一个交点，最高点是原点.故答案为①②④.点睛：掌握二次函数的图像及性质.12．y=2(x+34)2-18 【解析】 根据y=ax 2+bx+c 写成y=a （x+m ）2+k 的形式为y=ax 2+bx+c= a （x+2)2b a +244ac b a - 可得： y=2x 2+3x +1=2（x +34）2﹣18． 故答案是：y=2（x +34）2﹣18． 13．y=-(x-3) 2 -2 (或y=-x 2 +6x-11)【解析】【分析】【详解】解：抛物线2y x =-先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为2(3)2y x =---即2611y x x =-+-，故答案为y=-(x-3) 2 -2 (或y=-x 2 +6x-11)．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换．14．【解析】试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C 的坐标为（1，15），则点B 的坐标为，15），点D 的坐标为（1，1），点E 的坐标为1），则，1，则DE AB=5 考点：二次函数的性质15．1【解析】【分析】首先求出抛物线与x 轴的交点，进而得出AB 的长．【详解】当y=0，则0=x 2﹣5x+6，解得：x 1=2，x 2=3，故AB 的长为：3﹣2=1．【点睛】考点：抛物线与x 轴的交点．此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，得出图象与x 轴交点是解题关键．16．1.4【解析】由题意得1.4＜x ＜1.45时，-0.24＜y ＜0.0025，二次函数y = x 2＋2x －5与x 轴必有一个交点在1.4到1.45之间，所以方程x 2＋2x －5＝0必有一个实数根在1.4到1.45之间.这个根的近似值为1.4.故答案为1.4.17．231y y y <<【解析】解：当x =﹣1时，y 1=﹣x 2-4x +5=﹣1+4+5=8；当x =3时，y 2=﹣x 2-4x +5=﹣9-12+5=-16；当x =-4时，y 3=﹣x 2-4x +5=﹣16+16+5=5，所以y 2＜y 3＜y 1．故答案为y 2＜y 3＜y 1．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18．(1，－3)【解析】∵点A 的坐标是(－2，3)，∴点A 关于x 轴的对称点A′的坐标为(－2，-3)，∴点A′向右平移3个单位的点A ′′的坐标为(1，-3).19．72【解析】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1， ∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1， ∴两个交点间距离为57(1)22--=. 故答案为72. 20．①②③【解析】试题解析：∵函数的开口向下，∴a <0，∵函数与y 轴的正半轴相交，∴c >0， ∵对称轴02b x a =->， ∴b >0，∴abc <0，故①正确.当1x =-时，0.y a b c =-+<即.a c b +<故②正确. ∵对称轴12b x a=->，整理得：2.b a >-即20.a b +>故③正确. 当x =2时，函数的纵坐标大于0，则y =4a +2b +c >0，故④错误.2ax bx c 20++-=即22ax bx c ++=没有实数根.故正确的是：①②③.故答案为：①②③.21．（1）m 的值为5，比例函数的解析式为5y x=； （2）不等式n x≥kx+b 的解集为0＜x≤1或x≥5； （3）该抛物线的解析式是()21154y x =--+. 【解析】试题分析：（1）把点A （1，5）代入y 2=n x ，求得n=5，再把 B （m ，1）代入y 2=5x得m=5， 再把A （1，5）、B （5，1）代入y 1=kx+b ， 即可得解；（2）根据函数图象及交点坐标即可求解；（3）设二次函数的解析式为设抛物线的解析式为()215y a x =-+，把B （5，1）代入解析式即可得解.试题解析：（1）∵反比例函数2n y x =的图象交于点A （1，5）， ∴5=n ，即n=5，∴y 2=5x， ∵点B （m ，1）在双曲线上．∴1=5m， ∴m=5，∴B （5，1）；（2）不等式n x≥kx+b 的解集为0＜x≤1或x≥5； （3）∵抛物线的顶点为A （1，5），∴设抛物线的解析式为()215y a x =-+，∵抛物线经过B （5，1），∴()21515a =-+，解得14a =-． ∴()21154y x =--+． 22．（1）抛物线解析式为y=x 2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x≥﹣1．【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出m ，再根据对称性求出点B 坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据二次函数的图象在一次函数图象的上面即可写出自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y =（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0=1+m ，∴m =﹣1，∴抛物线解析式为y =（x +2）2﹣1=x 2+4x +3，∴点C 坐标为（0，3），∵抛物线的对称轴是直线x =﹣2，且B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标为（﹣4，3），∵y=kx+b 经过点A 、B ，∴430k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为y =﹣x ﹣1，（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数的解析式等知识，解答的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，能充分利用函数的图象根据条件确定自变量的取值范围. 23．（1）(2，2)，x =2；(2)(3，0) ， (1，0)【解析】试题分析：（1）直接把二次函数的解析式化为顶点式的形式即可得出结论； （2）令y =0，求出x 的值即可．解：(1)∵二次函数y =−2x 2+8x −6=−2(x 2−4x +3)=−2(x 2−4x +4−4+3=−2(x −2)2+2，∴二次函数图象的顶点坐标为(2,2)，对称轴为x =2；(2)∵令y =0,即−2x 2+8x −6=0，解得x =3或1，∴二次函数的图象与x 轴的交点坐标为：(3,0),(1,0).24．（1）21212y x x =-++ (2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，515，( 15-，5-) (3)存在，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为2． 【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3. 将C （0，1）代入求得a 的值即可；（2）①C 为直角顶点时，作CM ⊥CD ，CM 交抛物线与点M ，先求得直线CD 的解析式，然后再求得直线CM 的解析式，然后求得CM 与抛物线的交点坐标即可；②D 为直角顶点坐标时，作DM ⊥CD ，先求得直线CM 的解析式，然后将直线CM 与抛物线的交点坐标求出即可；（3）存在. 作点C 关于直线QE 的对称点C /，作点C 关于x 轴的对称点C //，连接C /C //，交QE 于点P ，则△PCE 即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE 的周长等于线段C /C //的长度，然后过点C /作C /N ⊥y 轴，然后依据勾股定理求得C /C //的长即可. 解：（1）设抛物线的解析式为()223y a x =-+将C （0，1）代入得：()21023a =-+解得:12a =-∴()2211232122y x x x =--+=-++ (2)①C 为直角顶点时如图①:CM⊥CD设直线CD 为1y kx =+,∵OD=OC∴OD=1∴D(1,0)把D(1,0)代入1y kx=+得:1k=-∴1y x=-+∵CM⊥CD,∴易得直线CM为:1y x=+则:211212y xy x x=+⎧⎪⎨=-++⎪⎩解之得:M(2 , 3 ),恰好与Q点重合.分②D为直角顶点时:如图②,易得：直线ＤＭ为1y x=-则：211212y xy x x=-⎧⎪⎨=-++⎪⎩则Ｍ为515或 ( 15，5-综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，515)，( 15，5-． (3) 在．如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图④所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y 轴于点N ，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在=综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为“点睛”本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（2）的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段C /C //的长是解答问题（3）的关键.25．（1）直线BC 的解析式为y=x ﹣3；抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）A （﹣1，0）；（3）0＜x ＜3时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】试题分析：(1) 由于点B 与点C 既在一次函数的图象上又在二次函数的图象上. 考虑运用待定系数法确定这两个函数的解析式. 先将该一次函数的解析式设为一次函数的一般形式，再将点B 与点C 的坐标代入所设的解析式中得到关于待定系数的方程组，解这个方程组可以确定各待定系数的值，进而确定一次函数的解析式. 由于二次函数解析式的形式已经给出，所以将点B 与点C 的坐标代入该解析式并求得系数b 和c 的值，进而得到二次函数的解析式.(2) 由于该二次函数的图象与x 轴交于A 与B 两点，所以将y =0代入二次函数的解析式并求得相应的x 的值. 根据点B 的坐标，判断对应于点A 坐标的x 值，进而求得点A 的坐标.(3) 若一次函数的值大于二次函数的值，则该一次函数的相应图象应该在该二次函数相应图象的上方. 根据上述结论，观察本题给出的函数图象可知，一次函数图象在点C 与点B 之间的部分位于二次函数图象相应部分的上方. 根据点C 与点B 的横坐标即可得到符合题意的x 的取值范围.试题解析：(1) 设直线BC 的解析式为y =kx +b 1.由题意知，点B (3, 0)和点C (0, -3)在直线BC 上，故将点B 和点C 的坐标分别代入直线BC 的解析式，得113003k b k b +=⎧⎨⋅+=-⎩， 解之，得113k b =⎧⎨=-⎩. ∴直线BC 的解析式为y =x -3.由题意知，点B (3, 0)和点C (0, -3)在二次函数的图象上，故将点B 和点C 的坐标分别代入二次函数的解析式，得22330003b c b c ⎧++=⎨+⋅+=-⎩， 解之，得23b c =-⎧⎨=-⎩. ∴该二次函数的解析式为y =x 2-2x -3.综上所述，该二次函数的解析式为y =x 2-2x -3，直线BC 的解析式为y =x -3. (2) 点A 的坐标为(-1, 0). 具体求解过程如下. 根据题意，将y =0代入该二次函数的解析式，得 x 2-2x -3=0，解这个关于x 的一元二次方程，得 x 1=3，x 2=-1.∵点B 的坐标为(3, 0)， ∴点A 的坐标为(-1, 0).(3) 由函数的图象可知，在位于点C 与点B 之间的部分图象中，一次函数的图象在二次函数图象的上方.∵点B 的坐标为(3, 0)和点C 的坐标为(0, -3)， ∴当0<x <3时，一次函数的值大于二次函数的值. 点睛：本题考查了二次函数图象和性质的相关知识. 本题的一个难点在于如何通过图象的特征求解相关的不等关系. 一般情况下，当一个函数的函数值大于另一个函数的函数值时，前者的相应图象应该在后者相应图象的上方. 根据这一规律，按照题目所要求的不等关系在图象上找到符合题意的部分，进而找出这些部分所对应的横坐标的范围即可. 26．（1）①10，0，8，10；②（4，8）；③y=x 2﹣3x+5.（2）不变．S 1•S 2=189．【解析】试题分析：（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．②在RT△BKF 中利用勾股定理即可解决问题．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．（2）不变．S1•S2=189．由△GHN∽△MHG，得，得到GH2=HN•HM，求出GH2，根据S1•S2=•OG•HN••OG•HM即可解决问题．试题解析：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，∴点B坐标（10，0），∵四边形OBKC是矩形，∴CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10．②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，∴FK==6，∴CF=CK﹣FK=4，∴点F坐标（4，8）．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，∴（8﹣x）2+42=x2，∴x=5，∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，∴抛物线为y=x2﹣3x+5．（2）不变．S1•S2=189．理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，∴DG==15，∴CG=CD﹣DG=2，∴OG==2，∵CP⊥OM，MH⊥OG，∴∠NPN=∠NHG=90°，∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，∴∠HGN=∠NMP，∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，∴△GHN∽△MHG，∴，∴GH2=HN•HM，∵GH=OH=，∴HN•HM=17，∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．考点：二次函数综合题.27．（1）二次函数的表达式为y=﹣12x2+2x；（2）6；（3）点E的坐标为：（83，0）或（83，43）或（23，223）或（4，0）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO=90°，由对称计算∠QCB=60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，当F在边OA上时，分三种情况：①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E；当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．试题解析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：﹣12×42+4b=0，解得b=2，∴二次函数的表达式为y=﹣12x2+2x．（2）∵y=﹣12x2+2x=﹣12（x﹣2）2+2，∴B（2，2），抛物线的对称轴为x=2．如图1所示：由两点间的距离公式得：，．∵C是OB的中点，∵△OB′C为等边三角形，∴∠OCB′=60°．又∵点B与点B′关于CQ对称，∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．∵OA=4，，∴OB2+AB2=OA2，∴∠OBA=90°．在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，∴tan60°=BQ BC，．（3）分两种情况：i）当F在边OA上时，①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，∴OF=FE，由（2）得：， ∵点D 在线段BO 上，OD=2DB ，∴OD=23 ， ∵∠BOA=45°， ∴cos45°=OFOD，=43， 则OE=2OF=83， ∴点E 的坐标为（83，0）； ②如图3，过D 作DF⊥x 轴于F ，过D 作DE∥x 轴，交AB 于E ，连接EF ，过E 作EG⊥x 轴于G ，∴△BDE∽△BOA， ∴BD DE OB OA = =13， ∵OA=4， ∴DE=43， ∵DE∥OA，∴∠OFD=∠FDE=90°， ∵DE=OF=43，DF=DF ， ∴△OFD≌△EDF， 同理可得：△EDF≌△FGE， ∴△OFD≌△EDF≌△FGE，∴OG=OF+FG=OF+DE=43+43=83，EG=DF=OD•sin45°=43， ∴E 的坐标为（83，43）；③如图4，将△DOF 沿边DF 翻折，使得O 恰好落在AB 边上，记为点E ， 过B 作BM⊥x 轴于M ，过E 作EN⊥BM 于N ， 由翻折的性质得：△DOF≌△DEF，，∵BD=12OD=3，∴在Rt△DBE 中，由勾股定理得：3，则×2，，BM ﹣BN=2，∴点E 的坐标为：（2； ii ）当点F 在AB 上时，过D 作DF∥x 轴，交AB 于F ，连接OF 与DA ， ∵DF∥x 轴， ∴△BDF∽△BOA， ∴BD BFBO BA= ， 由抛物线的对称性得：OB=BA ， ∴BD=BF，则∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD， ∴OD=OB﹣BD=BA ﹣BF=AF ， 则△DOF≌△DAF，∴E 和A 重合，则点E 的坐标为（4，0）；综上所述，点E 的坐标为：（83，0）或（83，43）或（，2）或（4，0）．点睛：本题是二次函数的综合题，考查了利用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、三角形全等和相似的性质和判定、特殊的三角函数、等边三角形，第三问有难度，正确画图、采用分类讨论的思想是关键．28．（1）b=13，c=4；（2）△APQ不可能是直角三角形，理由见解析；（3）655205-+4）Q′（67，227）．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD 交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=45t，AG=35t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=45t，MD=PE=3+25t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=12QO=12t，RH∥OQ，NR=12AP=12t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4），将a=﹣13代入得：y=﹣13x2+13x+4，∴b=13，c=4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴C（0，4）．∵AP=OQ=t，∴PC=5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t=4.5不和题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x 轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．∵PG∥y轴，∴△PAG∽△ACO，∴PG AG APOC OA AC==，即435PG AG t==，∴PG=45t，AG=35t，∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣35t+t=3+25t，DF=GP=45t．∵∠MPQ=90°，∠D=90°，∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，∴∠DMP=∠EPQ．又∵∠D=∠E，PM=PQ，∴△MDP≌PEQ，∴PD=EQ=45t，MD=PE=3+25t，∴FM=MD﹣DF=3+25t﹣45t=3﹣25t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+45t﹣35t=3+15t，∴M（﹣3﹣15t，﹣3+25t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3+25t=﹣13×（﹣3﹣15t）2+13×（﹣3﹣15t）+4，解得：t=655205-±．∵0≤t≤4，∴t=655205 -+．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴EH=12QO=12t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（﹣32，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR=12AP=12t，∴RH=NR，∴∠RNH=∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN=∠HNO，∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：304m nn-+=⎧⎨=⎩，解得：m=43，n=4，∴直线AC的表示为y=43x+4．同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y=43x+s，将点N的坐标代入得：43×（﹣32）+s=0，解得：s=2，∴直线NR的表述表达式为y=43x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：4234y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：x=67，y=227，∴Q′（67，227）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，能结合图形运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等进行解题是关键.。