向量加减法练习(供参考)

向量的加减法1．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA →C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( )A ．四边形ABCD 一定是矩形B ．四边形ABCD 一定是菱形C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形3．已知a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )（4）（5）A ．BD → B ．DB → C ．BC → D ．CB →5．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________．7．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________．8．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____．9．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________；(3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________．10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______．11．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c12．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( )A ．QP →B ．OQ →C ．SP →D ．SQ →13．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE →14．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( )A ．AD →＝0B ．AB →＝0或AD →＝0C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形15．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)16．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )A ．1 B ．2 C ．32D ． 3 17．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．（17）（19）（21）（22）18．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 19．如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．20．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________．21．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c－a ＝OA →．22．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c ．3．1 数乘向量1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0．若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0B ．45C ．83D ．3 6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．17．若2()y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________________． 8．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．9．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______．(填写正确的序号)（9） （10）①－BC →＋12BA → ②－BC →－12BA → ③BC →－12BA → ④BC →＋12BA → 10．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______．11．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ． 求证：M 、N 、C 三点共线．。

【课堂例题】课堂练习1.作图求,,,a b c d e f g h ----2. 平行四边形ABCD ，用向量,a b 表示下列向量.(1),AB a AD b == (2),AB a AC b ==AC = DA = DB = DB =3.作图验证：()a b a b -+=--4.化简计算：(1)AB AD -= ; (2)BA BC -= ; (3)BC BA -= ; (4)OA OB -= ; (5)OD OA -= ; (6)AB AC DB --= ; (7)AB AC BD CD -+-= .5.已知ABCD ，它的顶点,,,A B C D 相对于点O 的位置向量分别记作,,,a b c d ， 求证：a c b d +=+abcdefghA A C【知识再现】1.若c b a +=，那么向量c 叫做向量a 与向量b 的 ，记作c = ， 如果把向量,a b 的始点放在一起，那么c 就是以 的向量. 2.向量的减法可以转化为向量的加法：a b -= + . 【基础训练】1.已知,a b ，求作a b -： (1)a b b a -=- ( ) (2)0a a -=- ( ) (3)()0a a +-= ( ) (4)OA OB BO AO -=- ( ) (5)AB AC BC -= ( )3.如上图，已知四边形ABCD 为边长为1的正方形,求下列向量的模：AB BC += ; AB AC BC -+= ; AB BD AC +-= ; AC BD -= ;4. 化简：(1)OB OA -= ; (2)BC BD -= ; (3)AB AC BD CD -+-= ; (4)OA OD AD -+= ; (5)AB AD DC --= ； (6)NQ QP MN MP ++-= . 5.如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,AB a DA b OC c ===， 求证：b c a OA +-=6.作图验证：()a b c a b c --=-+a b abababACD A7. 一艘船从A 点出发，船头偏向上游，在水流的作用下，以实际5/km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，江水的速度为向东2/km h ，求该船的速度大小及航向(精确到0.1度)【巩固提高】8.已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠==，则下列哪几个等式是成立的？ (1)||||CA CB CA CB -=+； (2)||||AB AC BA BC -=-； (3)||||CA BA CB AB -=-；(4)222||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-.9.向量,a b 满足||2,||3,||3,a b a b ==+=求||a b -.(选做)10.在求作两个向量的和(或差)时，你可能选择不同的始点求和(或差)，你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和(或差)都相等吗？你可能认为，显然， 作出的向量和(或差)都是相等的.当然，这里你的“显然”是对的. 你能根据下图逻辑地证明这个结论吗？【温故知新】11.在ABC ∆中，,||,||A AB m AC n θ∠===，则||BC = . (用,,m n θ表示)C'B'Ba b a b-a b -b【课堂练习答案】a b =-；(2)DB a b a =-+ 4.(1)DB ；(2)CA ；(3)AC ；(4)BA ； (5)AD ；(6)CB ；(7)0. 5.证：即证a b d c -=-a b OA OB BA -=-=，d c OD OC CD -=-=因为BA CD =，即a b d c -=-. 证毕 【知识再现答案】1.差，a b -，向量b 的终点为始点，向量a 的终点为终点2.,()a b - 【习题答案】1.a b -错误；(2)正确； 3.2AB BC +=;0AB AC BC -+=;1AB BD AC +-=; AC BD -=2.4.(1)AB ;(2)DC ;(3)0;(4)0;(5)CB ;(6)05.证：()b c a DA OC AB +-=+-()OC CB AB OB AB OA =+-=-= 证毕6.如上图/h ，方向北偏西约21.8 8.(1)(2)(3)(4)均正确.abcdef ghab()a b -+a b--ABCDOadbcab a baba bab a b -cb c+a b c--提示：如图，记DAB θ∠= 由余弦定理可得:222||||||2||||cos(180)a b a b a b θ+=+-- 222||||||2||||cos a b a b a b θ-=+-两式相加即得222||||2(||||)a b a b a b ++-=+，其实就是定理：“平行四边形两条对角线长的平方和等于四边长的平方和”10.证：''//''a AB A B AB A B ==⇒⇒四边形''AA B B 是平行四边形'//'AA BB ⇒ 同理，''//''b AC A C AC A C ==⇒⇒四边形''AA C C 是平行四边形'//'AA CC ⇒ 因此'//'BB CC ⇒四边形''BB C C 是平行四边形⇒''CB C B = 证毕ab Ca b+b Ba b -。

(完整版)法向量加减法练习题本练题旨在帮助研究者加深对法向量加减法的理解和应用。

下面是一些练题及其解答，供参考。

练题一设平面A的法向量为n1 = (1, -2, 3)，平面B的法向量为n2 = (4, 5, -6)，求平面C的法向量，其中平面C与平面A和B都垂直。

解答：由于平面C与平面A和B都垂直，所以平面C的法向量与平面A和B的法向量都正交。

因此，平面C的法向量可以通过求平面A和B法向量的叉乘得到：n3 = n1 × n2 = (1, -2, 3) × (4, 5, -6) = (-33, 6, 13)所以，平面C的法向量为n3 = (-33, 6, 13)。

练题二已知平面D的法向量为n4 = (2, 3, -1)，平面E的法向量为n5 = (4, -2, 5)，求平面D和E的夹角。

解答：平面D和E的夹角可以通过它们法向量的点乘来计算：cosθ = (n4 · n5) / (|n4| * |n5|)其中，·表示点乘，|n4| 和 |n5| 分别为向量 n4 和 n5 的模。

计算得到：cosθ = (2 * 4 + 3 * -2 + -1 * 5) / (sqrt(2^2 + 3^2 + -1^2) * sqrt(4^2 + -2^2 + 5^2)) ≈ -0.042所以，平面D和E的夹角θ ≈ acos(-0.042) ≈ 1.612 弧度（或约92.389度）。

练题三已知平面F的法向量为n6 = (2, 5, -3)，平面G的法向量为n7 = (3, 4, 1)，求平面F和G的法向量之和。

解答：平面F和G的法向量之和可以通过将向量 n6 和 n7 相加得到：n8 = n6 + n7 = (2, 5, -3) + (3, 4, 1) = (5, 9, -2)所以，平面F和G的法向量之和为n8 = (5, 9, -2)。

以上是关于法向量加减法的练题及解答，希望对您的研究有所帮助。

向量的加减基础练习题向量的加减基础练习题向量是数学中一个重要的概念，它在物理、几何、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

向量的加减是向量运算中最基本的操作之一，掌握向量的加减运算对于理解和解决问题至关重要。

本文将通过一些基础的练习题来帮助读者巩固和加深对向量加减的理解。

1. 向量加法题目：已知向量A = (3, 4)和向量B = (1, -2)，求向量A + 向量B。

解答：向量的加法是将对应的分量相加，即 (3+1, 4+(-2)) = (4, 2)。

所以向量A + 向量B = (4, 2)。

2. 向量减法题目：已知向量C = (5, 6)和向量D = (2, 3)，求向量C - 向量D。

解答：向量的减法是将对应的分量相减，即 (5-2, 6-3) = (3, 3)。

所以向量C - 向量D = (3, 3)。

3. 向量加法的性质题目：已知向量E = (2, 3)，向量F = (4, 5)，向量G = (1, 2)，求证向量E + 向量F + 向量G = 向量F + 向量G + 向量E。

解答：根据向量加法的交换律，我们知道向量的加法满足交换律，即 a + b = b + a。

所以向量E + 向量F + 向量G = 向量F + 向量G + 向量E。

4. 向量减法的性质题目：已知向量H = (5, 4)，向量I = (2, 3)，向量J = (1, 2)，求证向量H - 向量I - 向量J = 向量H - 向量J - 向量I。

解答：根据向量减法的交换律，我们知道向量的减法不满足交换律，即 a - b ≠ b - a。

所以向量H - 向量I - 向量J ≠ 向量H - 向量J - 向量I。

5. 向量加法与减法的关系题目：已知向量K = (3, 2)，向量L = (1, 1)，求证向量K - 向量L = 向量K + (-向量L)。

解答：向量的加法与减法之间有一个负号的关系，即 a - b = a + (-b)。

向量概念加减法•基础练习、选择题1若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①丨a丨>| b |；②a // b ；③丨—* —*■—Fa | > 0:④丨b | =± 1；⑤==b，其中正确的有（）aA.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤2. 四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（）A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形3•把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A. —条线段B. —个圆面C.圆上的一群弧立点D. —个圆—fe-f—t —1- f f —1-4. 若a ,—ip b是两个不平行的非零向量，并且—¥■—*a // c,b // c,则向量c等于（）A.0B. aC. bD.c不存在5. 向量（AB + MB ) + ( BO + BC ) + OM化简后等于（)A.BC B . AB C.AC D . AM6.—b-a、b为非零向量,且1―b- —fea + b1 = 1 a | + 1b |则()—tf ―—I-―卜-I-―卜—kA. a // b且a、b方向相同B. a = bC. a =- bD.以上都不对7.化简（AB-CD ) + (BE - DE）的结果是( )一A.CAB. 0 C . AC D. AE&在四边形ABCD中, AC =AB + AD，则（) A. ABCD是矩形 B. ABCD是菱形 C. ABCD是正方形D. ABCD是平行四边形9.已知正方形ABCD勺边长为1, AB=a,AC=c, BC =b ,则| a + b+c |为( )9.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB =a ,AC =c , BC =b ,则| a + b +c |为() A. 0 B . 3 C. .. 2D. 2 2 10 .下列四式不能化简为 AD 的是（） A. ( AB + CD ) + BCB . ( AD + MB ) + ( BC + CM ) C. MB +AD -BM D. OC - OA + CD11 .设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A. a 与b 的长度必相等B . a // bC . a 与b 一定不相等D. a 是b 的相反向量 12 .如果两非零向量a 、b 满足：| a | >| b | ,那么a 与b 反向，则（ )―卜 —!■—k ―卜 —F ― A. | a +b | =| a 1 - | b |B. | a -b 1 =| a | - | b |C. | a - b | = | b 1 - | a |D. | a + b 1 =| a | + | b | 、判断题1 . 向量AB 与BA 是两平行向量.（ )2 . 若a 是单位向量， b 也是单位向量，则 —fc> —fe ( )3 . 长度为1且方向向东的向量是单位向量, 长度为1 而方 向为北偏东 30° 的向量就不是单 位向量.（） 4. 与任一向量都平行的向量为 0向量.（ ）5. 若AB = DC ,则A B C D 四点构成平行四边形.（ ）7.设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍.（ ）9. 在坐标平面上，以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆.（ ）10. 凡模相等且平行的两向量均相等. （ ）三、填空题 1 -1 •已知四边形 ABCD 中，AB=— DC ,且| AD | = | BC | ,则四边形 ABCD 的形状2 是 _______ .2.已知 AB = a , BC = b , CD = c , DE =d , AE = e ,贝U a +b +c + d = . 5. a ="向东走4km" , b ="向南走3km",贝U|3. 已知 OA = a , OB =b ,且 | a | = | b | =4, Z AOB=60 ① 求 | a +b | ,| a - b | ② 求a + b 与a 的夹角，a - b 与a 的夹角. 2.已知△ ABC 试用几何法作出向量： BA + BC , CA +CB . 3•已知向量a 、b 的模分别为3，4，则| a -b I 的取值范围为4. 已知 | OA | =4, | OB | =8, Z AOB=60 ,贝, AB四、解答题1•作图。

向量的加减基础练习题向量的加减基础练习题在数学中，向量是一个有方向和大小的量。

它可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

向量的加减是向量运算中的基础操作，它们在物理、工程、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

首先，让我们来看一些向量的基本概念。

向量通常用小写字母加上箭头来表示，比如a→或b→。

一个向量有两个重要的属性：方向和大小。

方向可以用角度或者其他向量来表示，而大小则表示向量的长度或者大小。

现在，我们来练习一些向量的加法和减法。

假设有两个向量a→和b→，它们的分量分别为(a1, a2)和(b1, b2)。

向量的加法可以通过将相应的分量相加来实现，即(a1 + b1, a2 + b2)。

向量的减法可以通过将相应的分量相减来实现，即(a1 -b1, a2 - b2)。

让我们来看一个例子：假设有两个向量a→ = (3, 4)和b→ = (1, 2)。

我们可以通过将它们的分量相加来计算它们的和：a→ + b→ = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)。

同样地，我们可以通过将它们的分量相减来计算它们的差：a→ - b→ = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)。

现在，让我们来解决一些向量的加减练习题。

练习题1：计算向量c→ = (2, 3)和d→ = (4, 1)的和和差。

解答：c→ + d→ = (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)；c→ - d→ = (2 - 4, 3 - 1) = (-2, 2)。

练习题2：计算向量e→ = (-1, 5)和f→ = (3, -2)的和和差。

解答：e→ + f→ = (-1 + 3, 5 - 2) = (2, 3)；e→ - f→ = (-1 - 3, 5 + 2) = (-4, 7)。

练习题3：计算向量g→ = (0, 0)和h→ = (1, -1)的和和差。

解答：g→ + h→ = (0 + 1, 0 - 1) = (1, -1)；g→ - h→ = (0 - 1, 0 + 1) = (-1, 1)。

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

向量加减法练习题（打印版）### 向量加减法练习题题目一：给定两个向量 A = (3, 2) 和 B = (-1, 4)，计算以下向量加法和减法的结果。

1. A + B2. A - B3. B - A题目二：已知向量 C = (4, -1) 和向量 D = (-2, 3)，计算以下向量运算。

1. C + D2. 2C - D3. D - 3C题目三：向量 E = (1, 0) 和向量 F = (0, 1)，求以下结果。

1. E + F2. E - F3. -E + F题目四：向量 G = (-3, 5) 与向量 H = (2, -4)，计算以下向量运算。

1. G + H2. G - 2H3. 3G - H题目五：向量 I = (5, 7) 和向量 J = (-6, 8)，计算以下向量运算。

1. I + J2. I - 3J3. J - I题目六：向量 K = (1, 2, 3) 和向量 L = (4, -2, 1)，计算以下三维向量的加法和减法。

1. K + L2. K - L3. 2K - L题目七：向量 M = (2, 3, 4) 和向量 N = (-1, -2, -3)，计算以下三维向量运算。

1. M + N2. M - 2N3. N - M题目八：已知向量 O = (-1, 2, -3) 和向量 P = (3, -2, 1)，求以下结果。

1. O + P2. O - P3. -O + P题目九：向量 Q = (4, 5, 6) 与向量 R = (-7, -8, -9)，计算以下向量运算。

1. Q + R2. 2Q - R3. R - 3Q题目十：向量 S = (1, -1, 2) 和向量 T = (-2, 2, -3)，求以下结果。

1. S + T2. S - 2T3. T - S答案提示：在进行向量加法时，对应分量相加；进行向量减法时，对应分量相减。

对于标量乘以向量，只需将标量与向量的每个分量相乘。

向量的加减法⑴1、如图已知向量a 与b ，求作向量a b + ,a b -。

2、已知向量a b c ,,求作：⑴a b c -+ ； ⑵a b c --2、填空⑴−→−−→−+BC AB = ⑵++−→−−→−BC AB −→−−→−−→−++EF DE CD = ⑶++−→−−→−BC AB −→−−→−+DA CD = ⑷()()AB CD AC BD ---=⑸ AB AC BD CD -+-= ⑹ OA OD AD -+=⑺ AB AD DC --= ⑻ NQ QP MN MP ++-=向量的加减法⑵1、四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是 。

A.AB 与CD 是共线向量B. AD 与CB是相反向量C. AB 与CD 模相等D.AC 与BD是相等向量2．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示） 。

A ．大小为4km/h ，方向与流速夹角为60° B ．大小为h km /32，方向与流速夹角为60° C ．大小为4km/4，方向垂直于对岸 D ．大小为h km /32，方向垂直于对岸ababab (1)(2)3、已知5AB = ，7CD = ，则AB CD +的取值范围是 。

A ．[]2,12B ．()2,12C ．[]2,7D ．()2,74、知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中不正确的是 。

A.AB CB AC +=B.AB AD AC +=C.AD CD BD +=D.0AO CO OB OD +++= 5、是平行四边形ABCD⑴+ =⑵++⑶EC CB DE ++= ⑷+++=6、a示“向东走了2公里”，表示“向南走了2公里”，表示“向西走了1公里”，表示“向北走了1公里”，则++表示向 走了 公里。

7、量a ，b 6=10=-的最大值是 最小值是8、已知OA a = ，OB b = ，且3a b == ，60AOB ∠=，则a b += 。

向量的加法与减法综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．若且，则2．化简以下各式：（1）；（2）；（3）（4）。

结果为零向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．若，且，则的值是（ ）A ．必小于5B ．必大于10C ．有可能为0D ．不可能为0 4．若，，则的取值范围是（ ）A ．[3，8]B ．（3，8）C ．[3，13]D ．（3，13）5．在平行四边形ABCD 中，若，则必有（ ）A ．ABCD 是菱形B ．ABCD 是梯形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是矩形6．把所有单位向量的起点平移到同一点P ，各向量终点的集合构成什么图形（ ） A ．点P B ．过点P 的一条直线C ．过点P 的一条射线D ．以点P 为圆心，1为半径的圆 7．下列有关零向量的说法正确的是（ ） A ．零向量是无长度，无方向的向量 B ．零向量是无长度，有方向的向量 C ．零向量是有长度，无方向的向量 D ．零向量是有长度，有方向的向量 8．已知，，则的取值范围是（ ）A ．[2，12]B ．（2，12）C ．[2，7]D ．（2，7）9．“”是“A ，B ，C 是三角形三个顶点的”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知两个向量，，则下列说法正确的是（ ） A ．向量可以比较大小B ．向量不可以比较大小，但是模可以比较大小C ．当，是共线向量时，可以比较大小D ．当，两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小11．一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h 。

则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）A ．大小为4km/h ，方向与流速夹角为60°B ．大小为h km /32，方向与流速夹角为60°C ．大小为4km/4，方向垂直于对岸D ．大小为h km /32，方向垂直于对岸 12．已知向量，，则下列有关与的说法正确的是（ ）A ．两者必不相等B ．>C ．两者可能相等D ．无法比较大小二、填空题（每题4分，共16分） 13．如图5—5，在ABCD 中，已知=，，则=_______，=_______。

单招向量运算练习题向量是数学中的重要概念，被广泛应用于几何、物理和工程学等领域。

在学习向量时，熟练掌握向量运算是必不可少的。

本文将提供一些单招向量运算练习题，帮助读者巩固对向量运算的理解和应用。

一、向量的加减法向量的加减法是最基本的运算之一。

分别给出向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：1. A + B = ?2. B - A = ?解答：1. A + B = (3 + 2, -1 + 4, 5 + (-2)) = (5, 3, 3)2. B - A = (2 - 3, 4 - (-1), -2 - 5) = (-1, 5, -7)二、向量的数量积向量的数量积是向量运算中的重要概念。

给定向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：3. A · B = ?4. B · B = ?解答：3. A · B = (3 × 2) + (-1 × 4) + (5 × (-2)) = 6 - 4 - 10 = -84. B · B = (2 × 2) + (4 × 4) + (-2 × -2) = 4 + 16 + 4 = 24三、向量的向量积向量的向量积也称为叉乘，是向量运算中的重要概念。

给定向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：5. A × B = ?6. B × A = ?解答：5. A × B = [( -1 × -2 ) - ( 5 × 4)]i + [(5 × 2) - (3 × -2)]j + [(3 × 4) - ( -1 ×2)]k= (2 - 20)i + (10 + 6)j + (12 + 2)k = -18i + 16j + 14k6. B × A = [(4 × 5) - ( -2 × -1)]i + [( -2 × 3 ) - ( 2 × 5 )]j + [(2 × -1) - (4 ×3)]k= (20 + 2)i + (-6 -10)j + (-2 - 12)k = 22i - 16j - 14k以上是一些关于向量运算的基础练习题，通过理解和熟练掌握这些运算规则，读者可以更好地应用向量概念于实际问题中。

向量加减法基础练习题（打印版）# 向量加减法基础练习题## 一、向量加法练习1. 题目一：已知向量 \(\vec{A} = (3, 2)\) 和向量 \(\vec{B} = (1, -1)\)，求向量 \(\vec{A} + \vec{B}\)。

2. 题目二：向量 \(\vec{C} = (-2, 3)\) 和向量 \(\vec{D} = (4, 1)\)，计算 \(\vec{C} + \vec{D}\)。

3. 题目三：若向量 \(\vec{E} = (x, y)\) 和向量 \(\vec{F} = (2, -3)\)，且 \(\vec{E} + \vec{F} = (5, -1)\)，求 \(x\) 和 \(y\)的值。

## 二、向量减法练习4. 题目四：向量 \(\vec{G} = (5, -4)\) 和向量 \(\vec{H} = (2, 3)\)，求 \(\vec{G} - \vec{H}\)。

5. 题目五：已知向量 \(\vec{I} = (-1, 5)\) 和向量 \(\vec{J} = (3, 1)\)，计算 \(\vec{I} - \vec{J}\)。

6. 题目六：若向量 \(\vec{K} = (a, b)\) 和向量 \(\vec{L} = (-4, 2)\)，且 \(\vec{K} - \vec{L} = (3, -5)\)，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。

## 三、向量加法与减法的综合应用7. 题目七：向量 \(\vec{M} = (2, -1)\)，向量 \(\vec{N} = (-1, 3)\) 和向量 \(\vec{O} = (4, 1)\)。

求 \(\vec{M} + \vec{N} -\vec{O}\)。

8. 题目八：向量 \(\vec{P} = (1, 2)\)，向量 \(\vec{Q} = (0, -4)\) 和向量 \(\vec{R} = (3, 5)\)。

(完整版)立体向量加减法练习题立体向量加减法练题（完整版）一、题目1. 已知立体向量 A = (2, 3, 4) 和 B = (-1, 2, 1)，求 A + B 的结果。

2. 已知立体向量 M = (5, 1, 0) 和 N = (3, -2, 4)，求 M - N 的结果。

3. 已知立体向量 P = (2, 1, 3) 和 Q = (-3, 4, 2)，求 PQ 的模长。

4. 已知立体向量 X = (1, 2, -1) 和 Y = (-2, 3, 1)，求 X · Y 的结果。

（其中叉乘用英文的 "×" 表示）5. 已知立体向量 U = (3, -1, 2) 和 V = (-1, 2, 0)，求 U × V 的结果。

二、答案1. A + B = (2, 3, 4) + (-1, 2, 1) = (1, 5, 5)2. M - N = (5, 1, 0) - (3, -2, 4) = (2, 3, -4)3. PQ = sqrt[(-3-2)^2 + (4-1)^2 + (2-3)^2] = sqrt[25 + 9 + 1] = sqrt(35) ≈ 5.924. X · Y = (1, 2, -1) · (-2, 3, 1) = 1*(-2) + 2*3 + (-1)*1 = -2 + 6 - 1 = 35. U × V = (3, -1, 2) × (-1, 2, 0) = ((-1)*2 - 2*0, 3*0 - (-1)*(-1), 3*2 - (-1)*(-1)) = (-2, 1, 7)三、解析1. 向量的加法是将对应分量进行相加。

例如，A + B = (2+(-1), 3+2, 4+1) = (1, 5, 5)。

2. 向量的减法是将对应分量进行相减。

例如，M - N = (5-3, 1-(-2), 0-4) = (2, 3, -4)。

向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。

3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。

二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。

5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。

6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。

三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。

8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。

9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。

四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。

11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。

3.1.1空间向量加减法习题一、选择题1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →. (3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向．故选C.2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → [答案] B[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → [答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中 (1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.运算的结果为向量AC 1→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的．9．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0， 故选B.10．(2010·上海高二检测)已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )[答案] A[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →＝－b －a ，故选A. 二、填空题11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .12．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________.[答案] OD →[解析] ∵D 为BC 中点， ∴OB →＋OC →＝2OD →， 又OB →＋OC →＝－2OA →∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.13．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为______________________．[答案] 12(AD →－AB →)[解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)14．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是________．[答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确．三、解答题15．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →) ＝DD 1→－DB →＝BD 1→16．如图所示的是平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.17．若G 为△ABC 的重心，求证GA →＋GB →＋GC →＝0.[解析] 证明：延长AG 交BC 于D ，在AD 延长线上取点E ，使DE ＝GD ，则四边形BGCE 为平行四边形，所以GE →＝GB →＋GC →，又由重心知GE →＝－GA →，故GA →＋GB →＋GC →＝0.18．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12(AB →＋DC →)．[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，① EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →， ∴EF →＝12(AB →＋DC →)．。

九年级数学下册平面向量的加减法练习题在九年级数学下册中，平面向量的加减法是一个重要的知识点。

通过练习题的形式来巩固和提升对平面向量加减法的理解和应用能力，对学生的数学素养和解题能力的提升有着积极的作用。

下面将介绍一些平面向量的加减法练习题，以帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 已知平面向量$\overrightarrow{MN}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{NP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{MP}$。

解析：根据平面向量的加法定义，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\begin {pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+1 \\ 3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。

2. 已知平面向量$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{BC}$的模长。

解析：根据平面向量的减法定义，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$。

向量加减题一、向量加减题示例向量这东西啊，就像在空间里到处跑的小箭头。

那向量的加和减呢，也挺好玩的。

（一）向量加法比如说有向量a=(1,2)，向量b=(3,4)。

向量加法就是把对应的坐标加起来呗。

那a + b就等于(1+3,2+4)=(4,6)。

这就好像两个人一起朝着各自的方向走，把他们走的路程合起来就是相加后的向量啦。

（二）向量减法再看向量减法哦。

要是还是向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，那a - b就是(1 - 3,2 - 4)=(-2,-2)。

可以想象成一个向量要从另一个向量的终点走到起点的那个向量。

（三）向量加减的几何意义从几何上看呢，向量加法就是把两个向量首尾相连，然后从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是和向量。

向量减法就是把两个向量起点重合，然后从减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量就是差向量。

（四）练习题1. 已知向量m=(2,3)，向量n=(4, - 1)，求m + n和m - n。

m + n=(2+4,3+( - 1))=(6,2)。

m - n=(2 - 4,3-( - 1))=( - 2,4)。

2. 向量p=( - 1,5)，向量q=(3, - 2)，计算p + q和p - q。

p + q=( - 1+3,5+( - 2))=(2,3)。

p - q=( - 1 - 3,5-( - 2))=( - 4,7)。

（五）答案和解析1. 对于第一题：答案：m + n=(6,2)，m - n=( - 2,4)。

解析：向量加法和减法就是对应坐标的运算，按照前面说的规则计算就好啦。

2. 对于第二题：答案：p + q=(2,3)，p - q=( - 4,7)。

解析：同样是根据向量加减的坐标运算规则，把向量p和向量q的坐标进行相应的加和减操作就得出结果咯。

这向量加减题啊，只要多做做练习，很快就能掌握啦。