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高考上海数学理科试题含答案全版

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2008年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量?a 、?b 满足|?a |＝1，|?b |＝2，且?a 与?b 的夹角为?3，则|?a +?b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(?2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面?，条件“直线l 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面?垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点P(x ,y )、P ’(x ’满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点， 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +?6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点⑴当t ＝?4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,?2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围AODBC21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎨⎧a n +c ，a n <3a n d， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.. 6.2. 7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞. 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞.二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D 三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EFBC ⊥，交BC 于F ，连接CO .EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分由题意，得1112EF CC ==.112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan 5EF EDF DF ∠==.……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分 由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米） AEB 1D 1 D C 1A 1BC AOD BCAODBCH答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分 [解法二]连接AC ，作OHAC ⊥，交AC 于H ， ……2分由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH=（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==. 点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x x f x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tt tt t m -+-≥ 即24(21)(21)ttm -≥--，2210t->∵，2(21)tm ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a代入方程，得2212()b q c a a =-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102qc qc >≠且时，2221()21142a b c q c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，,1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+ （3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴；11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31dm ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。

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高考真题理科数学(上海卷)解析版含答案

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2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab bc c a b ab++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=，又0ρ≥． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b+=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，22221019)30||D d ξ=++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC D C AD ===，故132AD C S ∆=所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有C 11A34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F 的直线x =与C 1交于(，与C 2交于(1))±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =； （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

20１6年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共５0分）一、填空题(本大题共14小题,共5６分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.(1)【２01６年上海，理１,4分】设x R ∈,则不等式31x -<的解集为 . 【答案】()2,4【解析】由题意得：131x -<-<,解得24x <<.【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用．(２）【20１6年上海,理2，4分】设32iiZ +=，期中i 为虚数单位，则Im z = ．【答案】3-【解析】32i23i,Imz 3iz +==-=-.【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． (3)【２0１6年上海，理３，４分】已知平行直线12:210,:210l x y l x y +-=++=,则12,l l 的距离 . 【答案】25【解析】利用两平行线间距离公式得1222222521d a b ===++. 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． (4）【201６年上海，理4,4分】某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72，1.78,1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是 (米)． 【答案】1.76【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72，1.75,1.77,1.78,1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.【点评】本题考查中位数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意中位数的定义的合理运用． （5）【2０16年上海，理5，4分】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数()1f x -= .【答案】()()2log 11x x ->【解析】将点()3,9带入函数()1x f x a =+的解析式得2a =,所以()12x f x =+，用y 表示x 得()2log 1x y =-，所以()()12log 1f x x -=-．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. （6）【2016年上海，理６，４分】如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于 . 【答案】22【解析】由题意得11122tan 223332DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=. 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角.(７)【2０16年上海，理7,4分】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 ． 【答案】566ππ或【解析】化简3sin 1cos2x x =+得:23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1sin 2x =或sin 2x =-(舍去)，所以在区间[]0,2π上的解为566ππ或．【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力．(８)【２０16年上海,理8，４分】在2nx ⎫⎪⎭的二项式中,所有项的二项式系数之和为25６,则常数项等于 ．【答案】11２【解析】由二项式定理得:二项式所有项的二项系数之和为2n ,由题意得2256n =，所以8n =,二项式的通项为848331882()(2)r r rr r r r T C C x x --+=-=-，求常数项则令84033r -=，所以2r =,所以3112T =.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.（9)【2０１6年上海，理９,4分】已知ABC ∆的三边长分别为3,５,７，则该三角形的外接圆半径等于 ．【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯,，由正弦定理得2R =，所以R .【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力,属于基础题．（１0)【２01６年上海，理１0，４分】设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 ． 【答案】()2,+∞【解析】解法1:将方程组中的(１）式化简得1y ax =-,代入（2）式整理得(1)1ab x b -=-，方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>.解法２：∵关于x ，y 的方程11ax y x by +=⎧⎨+=⎩组无解，∴直线1ax y +=与1x by +=平行，∵0a >，0b >,∴1111a b =≠,即1a ≠,1b ≠,且1ab =，则1b a=，则1a b a a +=+,则设()()101f a a a a a =+>≠且, 则函数的导数()222111a f a a a -'=-=，当01a <<时,()2210a f a a-'=<,此时函数为减函数，此时()()12f a f >=，当1a >时，()2210a f a a-'=>,此时函数为增函数,()()12f a f >=，综上()2f a >,即a b +的取值范围是()2,+∞. 【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数,求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．（1１）【20１6年上海,理11,4分】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意n N *∈，{}2,3n S ∈，则k 的最大值为 ．【答案】４【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅,所以最多由4个不同的数组成.解法2：对任意*n N ∈,{}23n S ∈，,可得当1n =时，112a S ==或3;若2n =,由{}223S ∈，,可得数 列的前两项为２，０；或２,1;或3,0;或3，1-;若3n =,由{}323S ∈，,可得数列的前三项为2，0， ０;或2,０,1;或2,1,0；或2,1，1-;或３,0，0；或3，０，1-;或３,1，0；或３，1,1-；若4n =，由{}423S ∈，,可得数列的前四项为2,0，0,０;或2，0，０，１;或２,0，1，０;或２,0， 1,1-;或2,1，０，0;或２,1，0,1-；或２,1,1-，０;或2，1，1-,1；或3,0，０,0；或3，0,0，1-;或3,0,1-,0；或3，０,1-，1；或3,1-，0,0；或３,1-,0,1;或3，1-,1,０;或3,1-，1，1-；…即有4n >后一项都为0或1或1-，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为 2，0，1,1-，或３，０,1,1-．故答案为:４．【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想，属于中档题.(1２）【２016年上海,理１2,4分】在平面直角坐标系中,已知()1,0A ,()0,1B -，P 是曲线21y x =-上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是 ． 【答案】0,12⎡⎤+⎣⎦【解析】由题意得知21y x =-表示以原点为圆心，半径为１的上半圆.设()cos ,sin P αα，[]0,α∈π,()1,1BA =，()cos ,sin 1BP =αα+，所以cos sin 12sin 10,124BP BA π⎛⎫⎡⎤⋅=α+α+=α++∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．(13)【２01６年上海，理13,4分】设[),,0,2a b R c ∈∈π，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ．【答案】4【解析】解法1:2,3a b =±=±,当,a b 确定时，c 唯一,故有4种组合．解法2：∵对于任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,∴必有2a =,若2a =，则方程等价为()sin 3sin 3x bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则函数的周期相同,若3b =,此时53C π=,若3b =-,则43C π=，若2a =-，则方程等价为()()sin 3sin sin 3x bx c bx c π⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭，若3b =-,则3C π=,若3b =,则23C π=,综上满足条件的有序实数组(),,a b c 为52,3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,42,3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2,3,3π⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22,3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭，共有4组.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．（14）【20１6年上海,理1４,4分】如图,在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，()11,0A .任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=,则点P 落在第一象限的概率是 .【答案】528【解析】共有2828C =种基本事件,其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件，故概率为528.【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式,理解题意是关键,是中档题.二、选择题（本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （１5）【2016年上海，理１５，5分】设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的( ）（Ａ)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 (D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或,所以是充分非必要条件，故选A. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础.（16)【２０1６年上海，理1６，5分】下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )（A ）65cos ρθ=+ (B ）65sin ρθ=+ （C ）65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=- 【答案】D【解析】依次取30,,,22ππθπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，故选D ．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （１7）【20１6年上海，理17,５分】已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=.下列条件中，使得()2n S S n N *<∈恒成立的是（ )（Ａ）10,0.60.7a q ><< （Ｂ)10,0.70.6a q <-<<- (C)10,0.70.6a q <-<<- （Ｄ)10,0.80.7a q <-<<- 【答案】B【解析】解法1：由题意得：11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立,当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，故选Ｂ.解法2:∵()111n n a q S q -=-，1lim 1n n aS S q→∞==-,11q -<<，2n S S <,∴()1210n a q ->,若10a >,则12n q >，故Ａ与C 不可能成立;若10a <，则12n q <，故Ｂ成立，D 不成立．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用． (18）【２016年上海,理１8，5分】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )(A ）①和②均为真命题 （B)①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （Ｄ）①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】解法１:因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=必为周期为π的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定,故选D ．解法2：①不成立．可举反例：()2,13,1x x f x x x ≤⎧=⎨-+>⎩．()23,03,012,1x x g x x x x x +≤⎧⎪=-+<<⎨⎪≥⎩,(),02,0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩．②∵()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++()()()()h x g x h x T g x T +=+++,前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+，结合第三式可得:()()g x g x T =+，()()h x h x T =+,同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题． 三、解答题(本题共5题,满分7４分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. （19）【2016年上海,理19,12分】将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱,如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．(1）求三棱锥111C O A B -的体积;（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．解:(1）由题意可知，圆柱的高1h =,底面半径1r =.由11A B 的长为3π,可知1113AO B π∠=． 111111111113sin 2A O B S O A O B AO B ∆=⋅⋅∠=,111111C 13V 3O A B O A B S h -∆=⋅=. （２）设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//BB AA ,所以1CB B ∠或其补角为直线1B C 与1AA 所成的角.由AC 长为23π,可知23AOC π∠=,又1113AOB AO B π∠=∠=,所以3COB π∠=， 从而COB ∆为等边三角形，得1CB =．因为1B B ⊥平面AOC ,所以1B B CB ⊥．在1CB B ∆中，因为12B BC π∠=,1CB =，11B B =，所以14CB B π∠=,从而直线1B C 与1AA 所成的角的大小为4π． 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(2０）【2０１6年上海，理20,14分】有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。

5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ， 由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。

2023高考上海数学理科试卷含详细解答

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2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）　数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。