2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用 2-8a

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0.故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D.故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0. 再由|φ|<π2，可得φ＝π6， 故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4.故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案D解析 作出函数y ＝f (x )与 y ＝k 的图象，如图所示： 由图可知k ∈(0,1]．故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x 是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由f (x )＝x cos x ，得 f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B ，D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x 与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝－f(x＋1)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，若关于x的方程f(x)＝kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是________．答案(5－26，1)∪{－3＋22}解析因f(x)＝－f(x＋1)，故f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f(x)＝－f(x＋1)及周期性，画出函数y＝f(x)的图象如图，易知仅当直线y＝kx位于l1与l2之间(不包括l1，l2)或与l3重合时满足题意，对y＝x(1－x)求导得y′＝1－2x，y′|x＝0＝1，∴l2的斜率为1.以下求l3的斜率：当1≤x≤2时，易得f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)[1－(x－1)]＝x2－3x＋2，令x2－3x＋2－kx＝0，得x2－(3＋k)x＋2＝0，令Δ＝(3＋k)2－8＝0，解得k＝－3±22，由此易知l3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x≤3时，f(x)＝－x2＋5x－6，可得l1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k<1或k＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·安庆二模)若函数y ＝a e x ＋3x 在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 答案 B解析 y ＝a e x ＋3x ，求导，y ′＝a e x ＋3， 由若函数y ＝a e x ＋3x 在R 上有小于零的极值点， 则y ′＝a e x ＋3＝0有负根，则a ≠0， 则e x ＝－3a 在y 轴的左侧有交点， ∴0<－3a <1，解得：a <－3，实数a 的取值范围为(－∞，－3)．故选B.2．(2018·太原模拟)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析 ∵当x <0时，f ′(x )·g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， ∴当x <0时，f (x )g (x )是增函数，故当x >0时，f (x )g (x )也是增函数．∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )为奇函数，f (x )g (x )的图象关于原点对称， 函数f (x )g (x )的单调性的示意图，如图所示：∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴由不等式f (x )g (x )<0，可得x <－3或0<x <3，故原不等式的解集为{x |x <－3或0<x <3}．故选D.3．(2017·冀州月考)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83 D.163答案 C解析 由图象可得f (x )＝0的根为0,1,2，故d ＝0，f (x )＝x (x 2＋bx＋c )，则1,2为x 2＋bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－3，c ＝2，故f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由图可得x 1，x 2为3x 2－6x ＋2＝0的根，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝83.故选C.4．(2017·合肥期中)已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x ＋1对于任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为4答案 A解析 a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x ＋1对于任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，转化为a 2＋2a ＋2≤4x －1＋x ＝f (x )的最小值．f ′(x )＝(x ＋1)(x －3)(x －1)2，可得x ＝3时，函数f (x )取得极小值即最小值f (3)＝5. ∴a 2＋2a ＋2≤5，化为a 2＋2a －3≤0， 即(a ＋3)(a －1)≤0，解得－3≤a ≤1. 因此a 的最小值为－3.故选A.5．(2018·兴庆区模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝2018，则不等式e x f (x )>e x ＋2017(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(2017，＋∞)D ．(－∞，0)∪(2017，＋∞)答案 B解析 设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]，∵f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，∴g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0， ∴g (x )是R 上的增函数． 又g (0)＝f (0)－1＝2017， ∴g (x )>2017的解集为(0，＋∞)，即不等式e x f (x )>e x ＋2017的解集为(0，＋∞)．故选B.6．(2017·五华区校级模拟)设函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )在区间(0,2)上有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2＋14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12 答案 D解析 f (x )＝x (ln x －ax )，求导f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题意，关于x 的方程2ax ＝ln x ＋1在区间(0,2)有两个不相等的实根，则y ＝2ax 与y ＝ln x ＋1有两个交点，由y ＝ln x ＋1，求导y ′＝1x ，设切点(x 0，y 0)，ln x 0＋1x 0＝1x 0，解得x 0＝1，∴切线的斜率k ＝1，则2a ＝1，a ＝12， 则当x ＝2，则直线斜率k ＝ln 2＋12，则a ＝ln 2＋14，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12.故选D. 7．(2017·江西模拟)若函数f (x )＝a (x －2)e x ＋ln x ＋1x 存在唯一的极值点，且此极值大于0，则( )A ．0≤a <1eB ．0≤a <1e 2C ．－1e <a <1e 2D ．0≤a <1e 或a ＝－1e答案 A解析 f (x )＝a (x －2)e x＋ln x ＋1x ，x >0，∴f ′(x )＝a (x －1)e x＋1x －1x 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a e x ＋1x 2，由f ′(x )＝0得到x ＝1或a e x＋1x 2＝0(*)．由于f (x )仅有一个极值点，关于x 的方程(*)必无解， ①当a ＝0时，(*)无解，符合题意， ②当a ≠0时，由(*)得，a ＝－1e x x 2，∴a >0，由于这两种情况都有，当0<x <1时，f ′(x )<0，于是f (x )为减函数， 当x >1时，f ′(x )>0，于是f (x )为增函数， ∴x ＝1为f (x )的极值点， ∵f (1)＝－a e ＋1>0，∴a <1e .综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1e .故选A. 8．(2017·濮阳期末)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析 对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对于区间[－3,2]上的任意x ，都有f (x )max －f (x )min ≤t .∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， ∵x ∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1， f (x )min ＝f (－3)＝－19， ∴f (x )max －f (x )min ＝20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20.故选A.9．(2018·黄陵县模拟)已知函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 答案 B解析 函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点， 就是x e x ＋x 2＋2x ＋a ＝0恰有两个不同的实数解， 设g (x )＝x e x ＋x 2＋2x ，则g ′(x )＝e x ＋x e x ＋2x ＋2＝(x ＋1)(e x ＋2)，x <－1，g ′(x )<0，函数是减函数，x >－1，g ′(x )>0，函数是增函数，函数的最小值为g (－1)＝－1－1e ，则－a >－1－1e ，即a <1＋1e .函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋1.故选B.10．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝22或x ＝－22(舍去)，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.故选D.二、填空题11．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .要使f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则必须有f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，即29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.12．(2017·信阳模拟)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析 由函数图象可知f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0的解集为(－1,1)．由(x 2－2x －3)f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，f ′(x )>0，① 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0，f ′(x )<0， ② 解①得x <－1或x >3； 解②得－1<x <1.∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 故答案为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．13．(2017·七里河模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x >0时，不等式f (x )>－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg |x ＋1|的零点的个数是________．答案 3解析 定义在R 上的奇函数f (x )满足： f (0)＝0＝f (3)＝f (－3)， 且f (－x )＝－f (x )，又x >0时，f (x )>－xf ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )>0， ∴[xf (x )]′>0，函数h (x )＝xf (x )在x >0时是增函数， 又h (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴h (x )＝xf (x )是偶函数；∴x <0时，h (x )是减函数，结合函数的定义域为R ，且f (0)＝f (3)＝f(－3)＝0，可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg |x＋1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg |x＋1|的零点的个数为3个．14．(2015·安徽高考)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案①③④⑤解析令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x －1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x 轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x －1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b ＝0仅有一个实根；对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．B级三、解答题15．(2017·西城区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．解(1)因为f(x)＝(x＋a)e x，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a －1，＋∞)．(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程x e x－a＝x2，显然x＝0为此方程的一个实数解，所以x＝0是函数g(x)的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x－a＝x.设函数F(x)＝e x－a－x，则F′(x)＝e x－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.当x变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下：即F (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，a )． 所以F (x )的最小值F (x )min ＝F (a )＝1－a .因为a <1，所以F (x )min ＝F (a )＝1－a >0，所以对于任意x ∈R ，F (x )>0，因此方程e x －a ＝x 无实数解．所以当x ≠0时，函数g (x )不存在零点．综上，函数g (x )有且仅有一个零点．16．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0，x 1，x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0.即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0.解得a ＝±2，经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2＋x ＋a 2－1＝－13x ·(x －x 1)(x －x 2)， 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2.故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12，且x 1＋x 2＝3，又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x 1≤1<x 2，则f (1)＝－13(1－x 1)(1－x 2)≥0，而f (x 1)＝0不符合题意．②若1<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 1≥0，x －x 2≤0，所以f (x )＝－13x (x －x 1)(x －x 2)≥0. 又f (x 1)＝0，所以f (x )在[x 1，x 2]上的最小值为0. 于是对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立的充要条件为f (1)＝a 2－13<0，解得－33<a <33. 综上得12<a <33，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，33.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案　C解析　对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝Error!则f 的值为( )[1f (2)]A.B ．151689C ．－D ．182716答案　A解析　f (2)＝4，f ＝f ＝1－2＝.故选A.[1f (2)](14)(14)15163．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( )A ．lg 2B ．lg 32C ．lgD.lg 213215答案　D解析　令x 5＝t ，则x ＝t (t >0)，∴f (t )＝lg t ＝lg t ．∴f (2)＝lg 2.故选D.15154．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案　B解析　f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则Error!⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.B ．[－a 2，1－a 2][－a 2，1－a ]C ．[－a,1－a ] D.[－a ，1－a 2]答案　A 解析　Error!⇒－≤x ≤.故选A.a 21－a 26．函数y ＝的值域为( )(12) A.B ．(－∞，12][12，1]C.D ．[12，1)[12，＋∞)答案　C解析　由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<≤1，结合函1x 2＋1数y ＝x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝的值域为.故选C.(12)(12) [12，1)7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝Error!且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案　B解析　由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝.12故f (－3)＝－3＋1＝9，(12)从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ＝－f (x )的函数，我们称(1x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －；②y ＝x ＋；③y ＝Error!1x 1x 其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①答案　B解析　对于①，f (x )＝x －，f ＝－x ＝－f (x )满足；对于②，f 1x (1x )1x ＝＋x ＝f (x )，不满足；对于③，(1x )1x f ＝Error!即f ＝Error!(1x )(1x )故f ＝－f (x )，满足．(1x )综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －B ．f (x )＝e x －11xC ．f (x )＝x ＋D ．f (x )＝tan x 4x答案　C解析　A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝－1∈(－1,0)，2≥(－1)2不成立；D 项，1e (1e －1)当x ＝时，f (x )＝1，12≥2不成立；对于C ，f 2(x )5π4(5π4)＝x 2＋＋8>x 2，符合题意．故选C.16x 210．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝Error!则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.B ．[0,1][23，1]C.D ．[1，＋∞)[23，＋∞)答案　C解析　①当a <时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)23－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，23故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a ，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥.故选C.23二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝Error!其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案　－26,14,65解析　注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝Error!的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案　[0，12)解析　当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝Error!的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则Error!解得0≤a ＜.1213．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案　1解析　[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b＝Error!设f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)，若函数g(x)＝f(x)＋k 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是________．答案　(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析　因为(x2－2x)－(x＋3)－1＝(x－4)(x＋1)，所以f(x)＝(x2－2x)⊕(x＋3)＝Error!作出函数y＝f(x)的图象如图所示．函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有两个公共点，结合图象可得－k＝－1 或2<－k<3或7≤－k<8，所以实数k的取值范围是k∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝log a(x＋2)＋log a(4－x)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a的值．解　(1)依题意得Error!解得－2<x<4，∴f(x)的定义域为(－2,4)．(2)f(x)＝log a(x＋2)＋log a(4－x)＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝<1(舍去)，15若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝，又0<a <1，∴a ＝.1913综上，得a ＝.1316．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求＋＋＋…＋＋＋的值．f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2014)f (2013)f (2016)f (2015)f (2018)f (2017)解　(1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知＝2，＝2，＝2，…，＝2，f (2)f (1)f (4)f (3)f (6)f (5)f (2018)f (2017)故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即＝f (1)＝2，故f (n ＋1)f (n )＝＝…＝＝2，故原式＝2×1009＝2018.f (2)f (1)f (4)f (3)f (2018)f (2017)。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x 答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x ＝104·x (9－2x )≥9×104. ∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B. 4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎨⎧ 2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x 5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280， 依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2. ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a .e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2， ∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316， ∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增． ∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； 又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x ＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8， 解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )；当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。