第8章思考题与参考答案

第8章思考题参考答案
1． 什么是振型，它与那些量有关？
答：振型是多（无限）自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率（振型对应的频率）作自由振动时的振动形状。

它仅与体系的质量和刚度的大小与分布有关，与外界激励无关。

2． 怎样才能使体系发生按振型的自由振动？
答：并不是任意初始条件都能激发体系按振型振动。

只有当体系中各质量间的初位移比值和初速度比值与振型中各元素的相应比值一致时，才能发生按振型的单频振动。

一般初始条件下，体系作多频振动，也没有固定不变的振动形状。

3． 对称体系的振型都是对称的吗？
答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，究竟受外界作用产生什么变形要取决于外界作用。

对称体系的振型既有对称的，也有反对称的。

振型没有既不对称又不反对称的，在外界作用下所产生的具体振动，既可以是对称的，也可以是反对称的，也可以是既不对称也不反对称的。

这里需注意什么是对称体系。

对称体系是指质量和刚度的大小与分布以及体系中的约束对某轴对称的体系。

这里的约束不仅指那些约束装置也指由于作了一些假定所形成的约束作用。

如图（a ）所示体系，不计杆件轴向变形时是对称体系，对称点A 和B 均没有水平向位移，相当于说两点的水平向约束是一样的；计轴向变形时，则为非对称结构。

再如图(b)所示体系不是对称体系，由于桁架要计轴向变形，A 和B 两点水平约束不一致。

由于不对称，故不会发生每个质点均向下的竖向对称振动。

4． 满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？
答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点间振动位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。

由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量i Y 并不一定满足振型方程
()i
i ω
−=K M Y 20
所以并不一定是振型。

但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一定是振型。

由第九章瑞利-里兹法可进一步加深对上述解释的理解。

5． 振型向量组是线性无关的吗？
答：振型向量组是线性无关的，证明过程如下： 证明：采用反证法
设振型向量线性相关的最小数目为m ，即下式成立
m
i i
i a ==∑X
10
式中，(1,2)i a i m ="不全为0。

对上式左乘T
m X M 可得
T m
m
i i i a ==∑X M X 1
由于振型正交性，上式可改写为
T
m m m a =X MX 0
即0m a =，线性相关的最小数目为1m −。

与所设矛盾，因此得证。

6． 振型正交性有何应用？
答：一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。

而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解耦。

后一点读者可在学习振型分解法中有所体会。

7． 振型正交性的物理意义是什么？ 答：多自由度体系按振型i 振动时，各质点的位移为 sin()i i i t ωα=+y X
惯性力为
2
I ()sin()i i i i t t ωωα=−+F MX
当质点位移达到幅值时，惯性力亦达到幅值，如图(a)
所示。

可见，振型可看作是按振型振动时的惯性力幅值
作为静荷载所引起的弹性位移。

对于振型j 也同样，
如图(b)所示。

振型i 上的惯性力幅值在振型j 上所作的虚功等于
2
δT ji j i i W ω=X MX
由振性正交性 0T
j i =X MX
故δ0ji W =，也即i 振型上的惯性力在j 振型上作的虚功为0。

这就是振型对质量正交的物理意义。

在此基础上，读者试说明振型对刚度正交的意义。

8． 振型分解法的应用前提是什么？
答：只有线弹性体系才有振型，故振型分解法的应用前提是线弹性体系。

9． 什么是振型阻尼比？
答：振型阻尼比的概念与单自由度体系中阻尼比的概念是一致的。

当多自由度体系按振型振动时，只要一个质量位移确定了，其他质量位移即确定了。

相当于一个单自由度体系。

阻尼比的确定也与单自由度体系类似。

10． 什么是比例阻尼？一个体系的比例阻尼矩阵是唯一的吗？
答：用刚度矩阵和质量矩阵线性组合构造的阻尼称为比例阻尼，比例阻尼中的两个常数（组合系数）可由任意两个振型阻尼比来确定，n 自由度体系有n 个振型阻尼比，故不是唯一的。

(b) (a)
211i i m X ω2n i ni
m X ω1j 1j。