第一学期高三年级第二次月考理科数学学科

从化中学高三数学月考理科试题（/9）命题：黄小斌 审题： 李希胜一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ， 则表示复数的点是( ) (A) E (B) F (C) G (D) H2、若集合，则=A C R （ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3、设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( ) （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4、 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是( ) （A ） （B ） （C ） （D ）5、已知和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则m 的值为（ ）(A) 2 （B ）3 （C ）4 （D ）56、设0a >，0b >，则以下不等式中，不恒成立的是（ ）(A) 114a b a b++≥()() (B)22b ba a+>+ (C)111a b a b a b a b+<+++++ (D)a b b aa b a b ≥7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 151zi+121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭2(,0][,)2-∞+∞2)2+∞{}n a 12a a <{}n a π[,]42ππsin(2)2y x π=+cos(2)2y x π=+sin()2y x π=+cos()2y x π=+ABC ∆0MA MB MC --→--→--→+=+AB AC AM m --→--→--→+=8、已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一） 必做题(9～13题)9、若点p （m ，3）到直线的距离为4，且点p 在不等式＜3表示的平面区域内，则m= 。

张家界市民族中学2018年下学期高三第二次月考理科数学试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，“A >B” 是“sin A>sin B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A ．35B ．－35C ．45D ．－453．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a－b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．34．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b 5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ 的值为( )A.13 B ．±13 C ．－19 D.196．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1 7．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．2 0198．设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意x ∈R 都有()()'f x f x >成立，则（ ） A ．()()ln 201520150f f < B ．()()ln 201520150f f =C ．()()ln 201520150f f >D ．()ln 2015f 与()20150f 的大小关系不能确定 9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x2B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x10．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )>e x－1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)11．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lg|x |的零点个数是( )A ．多于20B ．20C ．18D ．1012．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )，满足f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数f (x )是区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是区间[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．若函数()ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________． 15．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处． (1)求集镇A ，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；（Ⅱ）该校2017年6月7、8日将作为高考考场，若这两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这两天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．19、(本小题满分12分)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB ＝SC ，M 是BC 的中点，AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：AM ⊥SD ；(2)若二面角B ­SA ­M 的正弦值为63，求四棱锥S ­ABCD 的体积．21、(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2－a)ln x＋1x＋2ax.(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．张家界市民族中学2018年下学期高三第二次月考数学（理）试题时量：120分钟 满分：150分 命题人：李宝平 审题人：杨昭松、何难 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，“A >B” 是“sin A>sin B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A ．35B ．－35C ．45D ．－453．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a－b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．34．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b 5．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ 的值为( )A.13 B ．±13 C ．－19 D.196．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝17．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0172 018，则项数n 为( )A ．2 016B ．2 017C ．2 018D ．2 0198．设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意x ∈R 都有()()'f x f x >成立，则 A ．()()ln 201520150f f < B ．()()ln 201520150f f =C ．()()ln 201520150f f >D ．()ln 2015f 与()20150f 的大小关系不能确定 9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x2B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x10．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e xf (x )>e x－1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) 11．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lg|x |的零点个数是( )A ．多于20B ．20C ．18D ．1012．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )，满足f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数f (x )是区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是区间[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 选择答案：CDDCB BBCCB CA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若函数()ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________． 15．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．(1)求集镇A ，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短． 解：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°， 根据余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120°＝62＋102－2×6×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝196，所以AB ＝14.故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切． 设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，在△OMN 中，由12MN ·OC ＝12OM ·ON ·sin 120°，得12×3c ＝12xy sin 120°，即xy ＝23c ， 由余弦定理，得c 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ≥3xy ，所以c 2≥63c ，解得c ≥63， 当且仅当x ＝y ＝6时，c 取得最小值6 3.所以码头M ，N 与集镇O 的距离均为6 km 时，M ，N 之间的直线航线最短，最短距离为 6 3 km.18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)； （Ⅱ）该校2017年6月7、8日将作为高考考场，若这两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这两天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）． --------- 4分 （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000， -- 6分则： 4162(0)()525P X ===， 1441(10000)210525P X C ==⨯⨯=11417221(20000)()2210105100P X C C ==⨯+⨯⨯=1111(30000)2101050P X C ==⨯⨯=1122(40000)()210100P X C ==⨯=∴ X 的分布列为分1641711010000200003000040000252510050100EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6000=（元）．----- 12分19、(本小题满分12分)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.因为直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M (1，32)，因为直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0，2)，所以|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， 所以λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)>0，所以|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45(1＋13＋4k2)， 因为k 2>14，所以45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)．20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB ＝SC ，M 是BC 的中点，AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：AM ⊥SD ；(2)若二面角B ­SA ­M 的正弦值为63，求四棱锥S ­ABCD 的体积． 【解】 (1)证明：设AD 的中点为N ，连接MN ，由四边形ABCD 是矩形，知MN ⊥BC . 因为SB ＝SC ，M 是BC 的中点，所以SM ⊥BC .因为平面ABCD ⊥平面SBC ，平面ABCD ∩平面SBC ＝BC ， 所以SM ⊥平面ABCD ，所以SM ⊥MN .所以直线MC ，MS ，MN 两两垂直．以M 为坐标原点，MC ，MS ，MN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz ，设SM ＝a .依题意得，M (0，0，0)，A (－1，0，1)，B (－1，0，0)，C (1，0，0)，D (1，0，1)，S (0，a ，0)．所以AM →＝(1，0，－1)，SD →＝(1，－a ，1)． 因为AM →·SD →＝1×1＋0×(－a )＋(－1)×1＝0， 所以AM →⊥SD →，即AM ⊥SD .(2)由(1)可得MS →＝(0，a ，0)，MA →＝(－1，0，1)．设平面AMS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1⊥MS →，n 1⊥MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0－x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0－x ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，0，1)是平面AMS 的一个法向量．同理可得n 2＝(a ，－1，0)是平面ABS 的一个法向量．设二面角B ­SA ­M 的大小为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a 2×a 2＋1. 所以1－cos 2θ＝1－a 22a 2＋2＝sin 2θ＝23，解得a ＝ 2.所以四棱锥S ­ABCD 的体积V ＝13×S 矩形ABCD ×SM ＝13×2×1×2＝223.21、(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x＋2ax .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a. 当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2e x ＋2ax －a 2，a ∈R.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，f (x )≥x 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋2a ，①当a ≥0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在R 上单调递增．②当a <0时，由f ′(x )>0，得x >ln(－a )；由f ′(x )<0，得x <ln(－a )，∴函数f (x )在(－∞，ln(－a ))上单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上单调递增． 综合①②知，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(ln(－a )，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a ))．(2)令g (x )＝f (x )－x 2＋3＝2e x －(x －a )2＋3，x ≥0，则g ′(x )＝2(e x －x ＋a )．又令h (x )＝2(e x －x ＋a )，则h ′(x )＝2(e x－1)≥0，∴h (x )在[0，＋∞)上单调递增，且h (0)＝2(a ＋1)．①当a ≥－1时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0恒成立，∴函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而需满足g (0)＝5－a 2≥0，解得－5≤a ≤5，又a ≥－1，∴－1≤a ≤5；②当a <－1时，则∃x 0>0，使h (x 0)＝0，且x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(0，x 0)上单调递减，x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，即g ′(x )>0，∴g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．∴g (x )min ＝g (x 0)＝2e x 0－(x 0－a )2＋3≥0，又h (x 0)＝2(e x 0－x 0＋a )＝0，从而2e x 0－(e x 0)2＋3≥0，解得0<x 0≤ln 3，又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0.令M (x )＝x －e x 0<x ≤ln 3，则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减，∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1，故ln 3－3≤a <－1，综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.。

广东省佛山市石门中学2014届高三上学期第二次月考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．()tan 600-的值等于（ ）A. B.3-C.D.3【答案】A 【解析】 试题分析：()()tan 600tan 600tan 318060tan 603-=-=-⨯+=-=-，选A.考点：诱导公式2．函数()412x xf x +=的图象（ ） A.关于原点对称 B.关于直线y x =对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 【答案】D 【解析】试题分析：()241212222x xx xx xf x -++===+，定义域为R，()()()2222x x x x f x f x -----=+=+=，故函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，选D.考点：函数的奇偶性3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【答案】D【解析】试题分析：对于命题①，当平面内的两条平行直线垂直两个平面的交线时，则这两条直线与另一个平面平行，但是这两个平面相交，命题①错误；对于命题②，根据平面与平面垂直的判定定理知，命题②正确；对于命题③，若直线a ⊥平面α，直线b α⊂，直线c α⊂，则a b ⊥，a c ⊥，但这两条直线b 与c 平面或相交，故命题③错误；对于命题④，对于平面α和平面β，αβ⊥，l αβ=，a α⊂，直线a 与直线l 不垂直，假设a β⊥，由于l αβ=，则l β⊂，则a l ⊥，这与“直线a 与直线l 不垂直矛盾”，故命题④正确，故选D.考点：1.平面与平面的平行的判定定理；2.平面与平面垂直的判定与性质定理4．设x 、y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y x +-的取值范围是（ ）A.[]0,1B.[]1,0- C.(),-∞+∞ D.[]2,2- 【答案】B 【解析】 试题分析：()2221222x y x y y x x x -++++==+---，令22y z x +=-，则12x yz x +=+-，则目标函数22y z x +=-表示可行域中的动点(),P x y 与点()2,2B -连线的斜率，作不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，当点P 在可行域中运动时，直线PB 的倾斜角为钝角，当点P 与坐标原点重合时，直线PB 的倾斜角最大，此时z 取最大值，则2x y x +-亦取最大值，即max000202x y x ++⎛⎫== ⎪--⎝⎭，当点P 与点A 重合时，直线PB 的倾斜角最小，此时z 取最小值，则2x yx +-亦取最小值，即min 101212x y x ++⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，则2x y x +-的取值范围是[]1,0-，选B.考点：1.线性规划；2.直线的斜率5．设()[)[]2,0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则()20f x dx ⎰的值为（ ）A.34 B.45 C.56 D.76【答案】C 【解析】 试题分析：()()212231010011113522232326f x dx x dx x dx xx x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，选C.考点：1.分段函数；2.定积分6．已知:231p x ->，()22:log 50q x x +-<，则p ⌝是q ⌝的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：解不等式231x ->，得1x <-或2x >，所以:12p x ⌝-≤≤，解不等式()214log 50x x +-<，得251x x +->，即260x x +->，解得3x <-或2x >，故:32q x ⌝-≤≤，因此p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.考点：1.不等式的解法；2.充分必要条件 7．函数()2s i n 5fx x x π=-的零点个数是（ ） A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】试题分析：在同一直角坐标系中作出函数()sin g x x =与()25h x x π=的图象，由图象知，函数()sin g x x =与()25h x x π=的图象有且只有7个公共点，故函数()2sin 5f x x x π=-的零点个数为7，选C.考点：1.函数的零点个数；2.函数的图象 8．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ） A.12 B.23 C.32 D.2【答案】A 【解析】试题分析：对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，取1m =，则有111113n n n n a a a a a a ++=⋅⇒==，故数列{}n a 是以13为首项，以13为公比的等比数列，则111111*********n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，由于n S a <对任意n N *∈恒成立，故12a ≥，即实数a的最小值为12，选A. 考点：1.等比数列的定义；2.等比数列求和；3.不等式恒成立二、填空题 9．设复数z 满足12ii z+=，则z =___________. 【答案】2i -. 【解析】 试题分析：12122i ii z i z i++=⇒==-. 考点：复数的除法10．若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()(),10,-∞-+∞.【解析】试题分析：令()12f x x x =---，由于不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，这说明不等式2121x x a a ---<++在R 上恒成立在，则()2max 1a a f x ++>，由绝对值的几何意义知，函数()f x 的最小值为1，因此有211a a ++>，即20a a +>，解得1a <-或0a >，故实数a 的取值范围是()(),10,-∞-+∞.考点：1.含绝对值的不等式；2.不等式恒成立11．在直角ABC ∆ 中，90C ∠=，30A ∠=， 1BC = ，D 为斜边AB 的中点，则AC BD ⋅= .【答案】32-. 【解析】试题分析：由于ABC ∆为直角三角形，且30A ∠=，90C ∠=，所以60B ∠=，由正弦定理得s i n1i n602sin sin sin sin 302BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒====，()1122BD BA CA CB ==- 1122CA CB =-，222111111222222AC BD AC CA CB AC AC CB AC ⎛⎫∴⋅=⋅-=--⋅=-=-⨯⎪⎝⎭32=-.考点：1.正弦定理；2.平面向量的数量积12．下面为某一几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】43π. 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由一个14球与一个圆柱拼接而成，且14球所在的球的半径为1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，故该几何体的体积为32144111433V πππ=⨯⨯+⨯⨯=.考点：1.三视图；2.球体与柱体的体积 13．数列{}n a 满足：12a =，()1112,3,4,n n a n a -=-=，若数列{}n a 有一个形如()sin n a n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .【答案】23π，3π-.【解析】试题分析：根据题意知，12a =，211111122a a =-=-=，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 3n n a a +∴=，即数列{}n a 的周期为3，23πω∴=，2132n n a πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，则121232a πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，解得2sin 3πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，由于22ππϕ-<<，所以27636πππϕ<+<，因此2333πππϕϕ+=⇒=-. 考点：1.数列的递推式；2.数列的周期性；3.三角函数的解析式 14．在极坐标系(),ρθ中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_______________. 【答案】cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程15．如图所示，AB 、CD 是半径为2的圆O 的两条弦，它们相交于P ，且P 是AB 的中点，43PD =，30OAP ∠=，则CP =____.【答案】94. 【解析】试题分析：由于圆O 是半径为2的圆，则2OA =，由于点P 为弦AB 的中点，所以OP AB ⊥，AP ∴=BP cos 2cos303OA OAP =∠==，由相交弦定理得243A PB PC P P DA PB PC P PD⋅⋅=⋅⇒==39344=⨯=. 考点：1.垂径定理；2.相交弦定理三、解答题16．数列{}n a 中，11a =，前n 项的和是n S ，且21n n S a =-，n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2log 2n n b a =，求123n n T b b b b =++++.【答案】（1）12n n a -=；（2）()12n n n T +=.【解析】试题分析：（1）先利用n a 与n S 之间的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩对2n ≥时，利用1n n n a S S -=-求出数列{}n a 在2n ≥时的表达式，然后就11a =进行检验，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的基础下，先求出数列{}n b 的通项公式，然后利用公式法求出数列{}n b 的通项公式.试题解析：（1）当2n ≥且n N *∈时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，上述两式相减得11222n n n n n a a a a a --=-⇒=，12nn a a -∴=， 故数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=； （2）()()1222log 2log 22log 2n n n n b a n -==⋅==，()12311232n n n n T b b b b n +∴=++++=++++=. 考点：1.定义法求数列通项；2.等差数列求和17．如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=.（1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积. 【答案】（1）24sin 225θ=；（2）AOB S ∆= 【解析】试题分析：（1）先利用三角函数的定义求出cos θ和sinθ的值，然后利用二倍角公式求出sin 2θ的值；（2）先在AOB ∆中利用余弦定理求出cos AOB ∠的值，求出AOB ∠，再由面积公式求出AOB ∆的面积.试题解析：（1）由三角函数定义得3cos 5θ==，4sin 5θ==，4324sin 22sin cos 25525θθθ∴==⨯⨯=；（2）5OA =，且3OB =，7AB =，由余弦定理得2222225371cos 22532OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯， 0AOB π<∠<，所以23AOB π∠=， 设点B的坐标为(),x y ，则2222sin 3sin 3sin cos cos sin 3333y OB ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4133525⎡⎛⎫=⨯⨯-+=⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦11222BOC S OC y ∆∴=⋅=⨯=. 考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积18．已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面A C D ，AC AD CD ===2DE =，1AB =，F 为CE 的中点.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线AC 与平面CBE 所成角的余弦值的大小.【答案】（1）详见解析；（2）直线AC 与平面CBE . 【解析】试题分析：（1）取CD 的中点G ，连接AG 、FG ，证明CD ⊥平面AFG ，进而得到AF CD ⊥；（2）法一是利用四边形ABFG 为平行四边形得到//AG BF ，于是得到点A 和点G 到平面CBE 的距离相等，证明DF ⊥平面CBE ，由于点G 为CD 的中点，由中位线原理得到点G 到平面CBE 的距离为线段DF 长度的一半，于是计算出点A 到平面CBE 的距离，根据直线与平面所成角的原理计算出直线AC 与平面CBE 所成角的正弦值，进一步求出该角的余弦值；法二是分别以GD 、GF 、GA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，利用空间向量法求出直线AC 与平面CBE 所成角的正弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.试题解析：（1）如下图所示，取CD 的中点G ，连接AG 、BF 、FG ，GFEDCBAG 、F 分别为CD 、CE 的中点，则1//2GF DE ， 由于AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ∴，又1AB =，2DE =，12AB DE ∴=，1//2AB DE ∴，所以//AB FG ，FG ∴⊥平面ACD ， CD ⊂平面ACD ，CD FG ∴⊥，AC AD =，且点G 为CD 的中点，所以AG CD ⊥， AG FG G ∴=，CD ∴⊥平面AFG ， AF ⊂平面AFG ，AF CD ∴⊥；（2）法一：由（1）知//AB FG ，故四边形ABFG 为平行四边形，//AG BF ∴， 故点A 到平面CBE 的距离等于点G 到平面CBE 的距离，如下图所示，连接DF 、BD ， 取CF 的中点N ，连接GN ，N GFEDCBA由于AB ⊥平面ACD ，且AD ⊂平面ACD ，AB AD ∴⊥，BD ∴==，同理DE CD ⊥，CE ∴===，因为点F 为CE的中点，1122DF CE ∴==⨯= 由于2AC AD CD ===，故ACD ∆为等边三角形，G 为CD 的中点，AG CD ∴⊥，AG ∴=，由于四边形ABFG 为平行四边形，所以BF AG ==，222BF DF BD ∴+=，DF BF ∴⊥，CD DE =，点F 为CE 的中点，DF CE ∴⊥， 因为BF CE E =，DF ∴⊥平面CBE ，G 、N 分别为CD 、CF 的中点，//GN DF ∴，GN ∴⊥平面CBE ，且122GN DF ==，故点A 到平面CBE的距离为2， 设直线AC 与平面CBE 所成的角为θ，则1sin 224GN AC θ===，cos 4θ∴===，故直线AC 与平面CBE所成角的余弦值为 法二：分别以GD 、GF 、GA 为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系G xyz -，则(B ，()1,0,0C -，()1,2,0E，(CB =，()2,2,0CE =，(CA =，设平面CBE 的法向量为(),,n x y z =，则0220n CB x y n CE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1x =，则()1,1,0n =-，2cos ,n CA n CA n CA⋅==⋅， 设直线AC 与平面CBE 所成角为θ，则14cos ,4n CAθ==， 所以直线AC 与平面CBE 考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面所成的角；3.空间向量法19．如图，已知半径为1的⊙1O 与x 轴交于A 、B 两点，OM 为⊙1O 的切线，切点为M ，且M 在第一象限，圆心1O 的坐标为()2,0，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P 、O 、A 为顶点的三角形与1OO M ∆相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为243y x x =-+-；（2）切线OM的函数解析式为y x =； （3）点P的坐标为⎛ ⎝⎭或34⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）先求出圆1O 的方程，并求出圆1O 与x 轴的交点A 和B 的坐标，然后将点A 和B 的坐标代入二次函数2y x bx c =-++中解出b 和c 的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线OM 过原点，可设切线OM 的函数解析式为y kx =，利用直线OM 与圆1O 求出k 值，结合点M 的位置确定切线OM 的函数解析式；（3）对1AOP OO M ∠=∠或1AOP OMO ∠=∠进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点P 的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆1O 的方程为()2221x y -+=，令0y =，解得1x =或3x =，故点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为()3,0，由于二次函数2y x bx c =-++经过A 、B 两点，则有22110330b c b c ⎧-+⨯+=⎨-+⨯+=⎩，解得43b c =⎧⎨=-⎩，故二次函数的解析式为243y x x =-+-；（2）设直线OM 所对应的函数解析式为y kx =，由于点M 在第一象限，则0k >， 由于直线OM 与圆1O1==，解得k =， 故切线OM 的函数解析式为3y x =； （3）由图形知，在1OO M ∆中，130MOO ∠=，160OO M ∠=，190OMO ∠=， 在AOP ∆中，30AOP ∠=，由于1AOPOO M ∆∆，因为130AOP MOO ∠=∠=，则必有190OAP OMO ∠=∠=或160OAP OO M ∠=∠=，联立()2221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点M 的坐标为3,22⎛ ⎝⎭， 当190OAP OMO ∠=∠=时，直线AP 的方程为1x =，联立1x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，于是点P 的坐标为⎛ ⎝⎭；当160OAP OO M ∠=∠=时，1//AP O M ，由于点A 为线段1OO 的中点，故点P 为线段OM 的中点，此时点P 的坐标为34⎛⎝⎭.综上所述，当点P 的坐标为⎛ ⎝⎭或34⎛ ⎝⎭时，1AOP OO M ∆∆.考点：1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形 20．已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式；（2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若3n n n c b λ=-（λ为非零整数，n N *∈），试确定λ的值，使得对任意n N *∈，都有1n n c c +>成立. 【答案】（1）12n n nx x x ++=；（2）详见解析；（3）1λ=-. 【解析】试题分析：（1）先根据直线1n n A A +的斜率为n k ，利用斜率公式与n k 构建等式，通过化简得到n x 与1n x +的关系式；（2）在（1）的基础上，将12n n nx x x ++=代入1n b +，通过化简运算得出1n b +与n b 之间的等量关系，然后根据等比数列的定义证明数列{}n b 是等比数列；（3）先求出数列{}n b 的通项公式，进而求出数列{}n c 的通项公式，将1n n c c +>进行作差得到10n n c c +->，对n 为正奇数和正偶数进行分类讨论，结合参数分离法求出λ在相应条件的取值范围，最终再将各范围取交集，从而确定非零整数λ的值.试题解析：（1）由题意知1111111112n n n n n n n n n n n n y y x x k x x x x x x x +++++--===-=---+，所以12n n nx x x ++=； （2）由（1）知12n n nx x x ++=，11111111223323232n n n n n n n nx x b x x x x x ++=+=+=+=-++--+--()22121221112223232323n n n n n n x b x x x x -+⎛⎫=-+=--+=--=-+=- ⎪----⎝⎭， 12n nb b +∴=-，故数列{}n b 是以2-为公比的等比数列；（3）111111712112333327b x =+=+=-+=---，()()1222n n n b -∴=-⨯-=-， ()332nn n n n c b λλ∴=-=-⋅-，()()()111323223320n n n n n n n n c c λλλ+++⎡⎤⎡⎤-=-⋅---⋅-=⋅+⋅->⎣⎦⎣⎦，当n 为正奇数时，则有123323320322n n nnnλλ-⋅⎛⎫⋅-⋅>⇒<= ⎪⋅⎝⎭，由于数列132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭对任意正奇数n 单调递增，故当1n =时，n c 取最小值1，所以1λ<；当n 为正偶数时，则有123323320322n n n nn λλ-⋅⎛⎫⋅+⋅>⇒>-=- ⎪⋅⎝⎭，而数列132n n d -⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意正偶数n 单调递减，故当2n =时，n d 取最大值32-，所以32λ>-，综上所述，312λ-<<，由于λ为非零整数，因此1λ=- 考点：1.直线的斜率；2.数列的递推式；3.等比数列的定义；4.数列的单调性；5.不等式恒成立21．已知函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，（其中常数0m >）. （1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性；（3）当[)3,m ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点()()11,P x f x 、()()22,Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P 、Q 处的切线互相平行，求12x x +的取值范围.【答案】（1）函数()f x 的极大值为53ln 222-；（2）详见解析；（3）12x x +的取值范围是6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）将2m =代入函数()f x 的解析式，利用导数求出函数()f x 的极大值即可；（2）先求出导数()f x '，并求出方程()f x '的两根1x m =和21x m=，对这两根的大小以及两根是否在区间()0,1进行分类讨论，并借助导数正负确定函数()f x 在区间()0,1上的单调区间；（3）先利用函数()f x 在P 、Q 两点处的切线平行得到()()12f x f x ''=，通过化简得到121212111x x m m x x x x ++=+=，利用基本不等式转化为 12121214x x m m x x x x ++=>+在[)3,+∞上恒成立，于是有min1241m x x m ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，进而求出12x x +的取值范围.试题解析：（1）当2m =时，()51ln 2f x x x x=+-，定义域为()0,+∞， 所以()()()2222212512521222x x x x f x x x x x ---+'=--=-=-， 令()0f x '=，解得1x =或2x =，列表如下： 故函数()f x 在2x =处取得极大值，即()()2ln 22f x f ==-极大值；（2）()()2222111111111f x m x m x x m x m x x x m x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+⋅--=--++=--- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于0m >，解方程()0f x '=，得1x m =，21x m=， ①当01m <<时，则有101m m<<<， 当0x m <<时，()0f x '<；当1m x <<时，()0f x '>，即函数()f x 在区间()0,1上的单调递减区间为()0,m ，单调递增区间为(),1m ； ②当1m =时，1m m =，则()()22110f x x x'=--<在区间()0,1上恒成立，故函数()f x 在区间()0,1上单调递减；③当1m >时，则有101m m<<<， 当10x m <<，()0f x '<；当11x m<<时，()0f x '>，故函数()f x 在区间()0,1上的单调递减区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）由（2）知，()2111f x m m x x⎛⎫'=+⋅- ⎪⎝⎭， 由于()()12f x f x ''=，从而有221122111111m m m x x m x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得12111m x x m+=+， 即12121x x m x x m +=+，由于1212212121242x x x x x x x x x x ++>=++⎛⎫⎪⎝⎭，则有12121214x x m m x x x x ++=>+， 令()1g m m m =+，故有()124g m x x <+对任意[)3,m ∈+∞恒成立， 而()()()2211110m m g m m m-+'=-=>在()3,+∞上恒成立， 故函数()g m 在[)3,+∞上单调递增，则函数()g m 在3m =处取得最小值，即()()m i n 1033g m g ==， 因此124103x x <+，所以1265x x +>，因此12x x +的取值范围是6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.考点：1.利用导数求函数的极值；2.导数的几何意义；3.函数的单调区间；4.分类讨论。

乌鲁木齐地区2023年高三年级第二次质量监测理科数学参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1~5．AADBD 6~10．CACBD 11~12．DB 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．2y x =14．21516三、解答题17．⑴易知()110.118522911P B ==+++，()310P A =()3100P AB =，()()()311000.131010P AB P B A P A ====；…6分⑵列22⨯列联表得参加校外不参加校外合计成绩优秀或良好103040成绩不为优秀或良好204060合计3070100()22100600400500.794 2.7063070406063k K ⨯-===≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．…12分18．⑴由2n n S a n =+可得11a =-，且2n ≥时，()1121n n S a n --=+-，所以()1212n n a a n -=-≥∴2n ≥时，()1121n n a a --=-，∴数列{}1n a -构成以112a -=-为首项，2q =为公比的等比数列；…6分⑵由⑴知12n n a =-∴()21log 11n n b a n +=-=+∴()()2211111111n n n n n b n =<=-+++，∴21111111111122311nn i iT n n n b =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1n T <成立．…12分⑴证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，11CC A F ⊥,又AB AC =,F 为11B C 中点，∴111A F B C ⊥又1111CC B C C = ，1CC ⊂平面11B C CB ，11B C ⊂平面11B C CB ∴1A F ⊥平面11B C CB ，1B E ⊂平面11B C CB ，∴11A F B E ⊥…4分⑵∵120BAC ∠=︒,12AA AB=以F 为原点，1FC 所在直线为x 轴，1FA 所在直线为y 轴的空间直角坐标系，设2AB a =，1C E b =，则14AA a =，于是(0,0,0)F ,1(0,,0)A a,1(,0,0)B，,0,)E b ，(0,,4)A a a ，∴()()()111,,4,,0,,0,,0AB a a B E b FA a =--==，设平面1AB E 的一个法向量为(),,x y z =m ，有1100AB B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即400ay az bz ++=+=⎪⎩得2463,a a b b ⎫=--⎪⎭m ，又1sin 60cos ,FA ︒==m=，∴134a b =∴1134EC a =，∴34CE a =∴1:3:13CE EC =．…12分20．⑴设00(,)M x y，则0y =02x =又0522px =+，∴1p =，即抛物线C 的方程为22y x =，点M 的坐标为()2,2±；…5分⑵由⑴知(2,2)M ,可设QN l x my n =+：与22y x =联立得：2220y my n --=设221212,,,22y y Q y N y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12122,2y y m y y n +=⋅=-，且222222222MN y k y y -==+-，∴22:2(2)2MN l y x y -=-+∴1221122,2y y y y P y -+⎛⎫⎪⎝⎭，由点P 在直线2+3=0x y -上，可得：12211222302y y y y y -+-+=即：()1212260y y y y -++=，∴2460n m --+=，即：230m n +-=由:0QN l my x n -+=，即:320QN l my x m -+-=∴QN l 过定点()3,2．…12分⑴()21ln a xf x x--'=，令()0f x '=，即1a x e -=，∴()(),,x f x f x '的关系如下表：x()10,ae -1ae -()1,ae-+∞()f x '+0-()f x 极大值∴1a x e -=时，()f x 的极大值为11ae -，()f x 无极小值.…5分⑵由题意得，()1ln 1x x ag x a e x-+=+⋅-，即方程1ln 0x x ax e x a -+⋅--=有4个不相等的实根.令()1ln x h x x ax e x a -=+⋅--，∴()()()111x x x e ax h x xe ----'=令()1x x e ax ϕ-=-，可知要使()h x 有四个零点，则()h x '至少应有三个零点，∴()x ϕ至少有两个零点，()1x x e a ϕ-'=-，其中0x >，①当1a e ≤时，()0x ϕ'≥，则()x ϕ在()0,+∞上单调递增，()x ϕ至多只有一个零点不合题意；②当1a e>时，()0,ln 1x a ∈+时，()0x ϕ'<；()ln 1,x a ∈++∞时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在()0,ln 1a +上递减，在()ln 1,a ++∞上递增，要使()x ϕ有两个零点，()()ln 11ln 1ln 1ln 0a a e a a a a ϕ+-+=-+=-<，解得1a >此时()110a ϕ=-<，01aea -<<，∴111aae e a a aa ae e a e e e a aϕ-------⎛⎫=-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭∵110ae a --<-<，1a -<-，10aea a a e e e a ϕ----⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭，∴()x ϕ在,1a e a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭存在一个零点1x ，且1110x e ax --=下面证明当1x >时，2x e x x >>当1x >时，()210x x x x -=->令()()2,2x x m x e x m x e x '=-=-，令()2x p x e x =-，()2x p x e '=-当1x >时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上递增，()()120p x p e >=->∴()m x 在()1,+∞上递增，()()110m x m e >=->，即2x e x >∵21,11a a e +>->，∴()()()()222122222212220a a ea a a a a a e e a e e a e e e a e a a ϕ++-++++++=-⋅>--⋅>⋅-->⋅+--=∴()x ϕ在()21,a e +存在一个零点2x ，且2120x e ax --=∴()()120,1,x x x ∈ 时，()0h x '<，()()12,1,x x x ∈+∞ 时，()0h x '>∴()h x 在()10,x 和()21,x 上单调递减，在()()12,1,,x x +∞上单调递增∵1ln ln 0aea a a a aa e e e e e h a e a a a a a a a a a -------⎛⎫=+⋅⋅-->++->⎪ ⎪⎝⎭()()222221222ln 22222220a a a a ea a h e e a e e e a e a a a a a ++++-++=+⋅⋅-->-->+--=++>∴只需()()()120100h x h h x <⎧⎪>⎨⎪<⎩，()g x 在()()()21122,,,1,1,,,a a e x x x x ea -+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭各有一个零点其中()110h a a =+->，()111111111ln 1ln 2ln x x e h x x ax e x a x a a aa--=+⋅--=+--=+-令()()12ln ,10t a a a t a a'=+-=-<∴()t a 在()1,+∞上单调递减，()()3ln 310,4ln 420t t =->=-<，存在()03,4a ∈，使得()00t a =，∴当0a a >时，()()120,0h x h x <<又因为a 是整数，∴a 的最小值是4．…12分22.⑴由已知:2sin C ρθ=，∴22sin ρρθ=，即222x y y +=由11222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得):21l y x -=-20y -+=；…5分⑵将直线参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到222x y y +=中得221314444t t t +++++=+，即)2110t t ++=∴)121t t +=-，则由t 的几何意义可知，122t t PQ +=-=.…10分23.⑴∵1a b c ++=，∴111c 3a b c a b c a b c b a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=++=++++++39≥+∴1119abc++≥；…5分⑵∵,,a b c +∈R ，∴a b a c b c +≥+≥+≥≥2221119a b c a b c ⎫=++=++≥=⎪⎭≥…10分。

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

甘肃省张掖中学高三第二次月考理科数学试卷2014年10月第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}0P y y =≥，P Q Q =，则集合Q 不可能是 A ．∅ B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R x y y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x => 2. 设0.53x =，3log 2y =，cos 2z =,则A ．z y x <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．x z y << 3．下列说法错误的是A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件； C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”； D ．已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=A. 5B. 1C. 25．在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x的零点所在的区间为A. )41,0(B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43( 6．已知向量)12()41()3(，，，，，===c b k a ，且c b a ⊥-)32(，则实数k =A. 29-B. 0C. 3D. 2157．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如右 图所示，则ϕω，的值分别是A. 62π-，B. 32π-，C. 321π-，D. 621π， 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当)02(，-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为 A. 2 B.21 C. 21- D.-2 9．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，若22a b -=，sin C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 10．当a>0时,函数f(x)=(x 2-2ax)e x 的图象大致是11．若把函数y=cos x-3sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点)1,3(π错误！未找到引用源。

江西省临川一中2011届高三年级第二次月考数学（理科）试卷命题人：高三数学备课组 满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2}且C U A={2}，则集合A 的真子集共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．已知ααππαα2cos 2sin ),,2(,53sin 则且∈=的值等于 （ ）A ．23B ．43C ．—23D ．—433．若q p x q x p ⌝⌝>>+是则,2:,2|1:|成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在其定义域上是减函数的是 （ ）A ．1)(2++-=x x x fB ．xx f 1)(=C ．||)31()(x x f = D ．)2ln()(x x f -=5．设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <a6．要得到函数2cos()sin()163y x x ππ=+--的图象，只需将函数13sin 2222y x x =+的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移4π个单位7.在ABC ∆中，已知tan sin 2A BC +=，给出以下4个论断： （1）tan cot 1A B = （2）0sin sin 2A B <+≤ （3）22sin cos 1A B += （4）222cos cos sin A B C += 其中正确的是 （ ）A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（1）（4）D ．（2）（3）8．已知函数()()y f x x R =∈满足()()31f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()f x x =，则函数()()5log ,0y f x x x =->的零点个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6︵ ︵9．某宾馆有n(n ∈N )*间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间每间客房的定价 220元 200元 180元 160元 每天的住房率50℅60℅70℅75℅对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 （ ）A ．220元B ．200元C ．180元D ．160元10．设函数()sin cos =+f x x x x 的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数()=k g t 的图像为（ ）11．如图，圆O 过正方体六条棱的中点),6,5,4,3,2,1(=i A i 此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为)5,4,3,2,1(=i i α，弧16A A 所对的圆心角为6α，则4sin4cos4cos4sin642531αααααα+-+等于 （ ）A ．426- B ．462- C ．426+ D ．426+-12．已知 )(x f 为R 上的可导函数，且)(')(x f x f <和)(x f >0对于R x ∈恒成立,则有（ ）A ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<B ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>C ．)0()2010(),0()2(20102f ef f e f ⋅<⋅>．D ．)0()2010(),0()2(20102f ef f e f ⋅<⋅<二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题中横线上）13．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则=yx ．14．已知2()2cos()2f x x x π=++在[-a,a]（a ＞0）上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M+m 的值为15．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩 212为 .16．①命题“若1x ,0232==+-则x x ”的逆否命题为“0231x 2≠+-≠x x ，则若”；②若P 且Q 为假命题，则P 、Q 均为假命题； ③在B A ABC sin sin >∆中， 的充要条件是A>B; ④不等式的解集为x ＋x －1＞a 的解集为R ，则1≤a；⑤点（x ，y ）在映射f 作用下的象是（x2，y21log ），则在f 的作用下，点（1，-1）的原象是（0，2）．其中真命题的是 （写出所有真命题的编号）三、解答题;本大题共6小题，共74分。

天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b 的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：依据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是生疏三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，依据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，依据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象力量、运算力量和推理论证力量，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：依据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发觉数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2022-2021学年高一应抽取的同学数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，娴熟把握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种状况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A ，求出访不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，依据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC 为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的学问点是切线的性质，圆周角定理，其中依据切线的性质，圆周角定理，推断出△ABE 是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先依据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）开放再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，依据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先依据x的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x ）取最小值，所以函数f（x ）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础学问的把握状况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面对量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联马上可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面对量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）依据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线相互垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最终由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC ，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E 的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC 的法向量=（x，y，z），依据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F ，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC ，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等学问点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）依据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n ==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般实行错位相减的方法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最终利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）依据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）依据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n =．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n =﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n =（Ⅲ）∵C n=2n （﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n （﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max =，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1肯定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：由于函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：由于，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数争辩函数单调性的方法及推理和运算力量．。

湖南省岳阳县一中2015届高三10月第二次月考数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1.设集合{1,2,3,4,5,6},{|26}P Q x x ==≤≤,那么下列结论正确的是( ) A. PQ P = B.()PQ Q =≠=⊃C. P Q Q =D. ()PQ P =≠=⊂2.设:p x R ∈,:23q x <<,则p 是q 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.命题“x R ∀∈,都有32x x >”的否定是( )A. 0x R ∃∈,使得3200x x > B. 0x R ∃∉,使得3200x x > C. 0x R ∃∈,使得3200x x ≤ D. 0x R ∃∉,使得3200x x ≤ 4.已知扇形的面积为6π,半径为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( ) A.12πB. 6πC. 3πD. 23π5.已知3cos(),(,2)5x x πππ+=∈,则sin x =( ) A ．35-B ． 45-C ．35D ．456.函数y =的定义域为( ) A. 1{|,1}2x x x ≤-≥或B. 1{|,1}2x x x <->或C. 1{|0,}2x x x ≤≥或D. 1{|0,}2x x x <>或7.若定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,()(5),0x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩,则(2014)f =( )A. 2B. 1C. 0D. －18.若函数()sin 2(0,0)f x A x A ωω=>>在1x =处取得最大值,则(1)f x +的奇偶性为( ) A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数9.函数25()sin()log 22f x x x π=-的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410.已知两条直线1:l y m =和24:(0,1l y m m m =>≠+,1l与函数2|log |y x =的图象 从左至右相交于点A B 、,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D 、.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,ba的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.函数3sin(2)4y x ππ=+的最小正周期为 .12.计算0⎰的结果是 .13.已知1sin cos 4αα=,且(0,)4πα∈,则cos sin αα-= . 14.已知函数2()21f x x mx =-++,若0x R ∃∈,使得1[1,2]x ∀∈都有10()()f x f x <,则实数m 的取值范围是 .15.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程:区间(0,1)中的实数m 对应数轴上 的点M ,如图1;将线段AB 围成一个圆,使两端点,A B 恰好重合(点M 从点A 按逆时针方 向运动至点B ),如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y 轴上,点A 的坐 标为(0,1),如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ,则m 的象就是n ,记作()f m n =.下列说法中正确命题的序号是.(填出所有正确命题的序号) ①1()14f =; ②()f x 在定义域上单调递增; ③方程()0f x =的解是x =12; ④()f x 是奇函数； ⑤()f x 的图象关于点1(,0)2对称. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)m1M A B图①图②图③已知集合233{|1,[,2]},24A y y x x x ==-+∈2{|1}B x x m =+≥.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件,求实数m 的取值集合．．.17.(本小题满分12分)已知函数()sin()(,f x A x x R ωϕ=+∈0,0)2ωϕπ><<的部分图象如图右所示. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位,得到函数()g x ,求()g x 的单调递增．．区间．．.18.(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数12()2xx b f x a +-=+是奇函数.(Ⅰ)求,a b 的值,并判断()f x 的单调性(不必给出证明．．．．．．); (Ⅱ)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值范围.19.(本小题满分13分)现需要对某旅游景点进一步改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足251ln ,5010x y x ax =--且[,)212xt x ∈+∞-,其中为大于12的常数.当10x =时,9.2y =.(Ⅰ)求()y f x =的解析式和投入x 的取值范围; (Ⅱ)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值.20.(本小题满分13分)已知函数()y f x =,若存在0x R ∈,使00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一个不动点.设二次函数2()(1)(1)f x ax b x b =+++-.(Ⅰ)若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若()y f x =的图象上A B 、两点的横坐标是()f x 的不动点,且A B 、两点关于直线2121y kx a =++对称,求b 的最小值.21.(本小题满分13分)已知函数()1()x f x e ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递．增．区间．．; (Ⅱ)若对一切实数x ∈R ,都有()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. (Ⅲ)求证:121()()()()1n n n n n n en nn n e -++++<-,*n N ∈.第二次月考参考答案(理数)一、选择题 D B C C B; A B A C B 二、填空题 11. 1 . 12.π. 13.22. 14.12m m <>或. 15 ②③⑤ . 三、解答题 16.【解】由223371()2416y x x x =-+=-+, 因为3[,2]4x ∈,所以7216y ≤≤……………………………………………………………4分所以7[,2]16A =,由21x m +≥,得21x m ≥-,所以2[1,)B m =-+∞…………………………………………6分 因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件,所以A B ⊆…………………………………………………………………………………9分所以27116m -≤,解得3344m m ≥≤-或.…………………………………………………10分 故实数m 的取值集合为33{|,}44m m m ≤-≥或…………………………………………12分17.【解】(Ⅰ)由图象知,2()1212T 11π5π=-=π,则22Tω==π,………………………………2分又点5(,0)12π在函数图象上,即5sin()06A ϕπ+=,即5sin()06ϕπ+= 又02ϕπ<<,故554663ϕπππ<+<, 所以56ϕπ+=π,即6ϕπ=…………………………………………………………………4分 又点(0,1)在函数图象上,所以sin 16A π=,得2A =.所以()2sin(2)6f x x π=+为所求..………………………………………………………6分(Ⅱ)由题知()()2sin[2()]2sin(2)4463g x f x x x ππππ=-=-+=-…………………………8分令222232k x k ππππ-≤-≤π+,得5,1212k x k k Z πππ-≤≤π+∈………………………10分 所以()g x 的递增区间是5[,],1212k k k Z πππ-π+∈……………………………………12分5π12 x y O 1 11π12 不交待角的范围就直接得出6πϕ=的,应扣除1分【注】本题属容易题,主要考查考生的基础及审题习惯,若考生未按照题意将m 的取值范围写成集合或区间形式,是需扣除2分,望阅卷老师务必把关!【注】若考生未将单调区间写“区间形式”,则应扣除2分! 18.【解】(Ⅰ)因()f x 是定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,即102b a -=+, 解得1b =,从而有112()2xx f x a +-=+.…………………………………………………………2分 又由(1)(1)f f -=知1142(1)a a -=-++,解得2a =, 经检验当2,1ab ==时,112()22xx f x +-=+为奇函数; ………………………………………5分 【注】以特值法求出2,1a b ==未写出“检验步骤”的同学,应扣除1分;又11211(),22221x x x f x x R +-==-+∈++显然,y 随x 的增大而减小,即()f x 在R 上为减函数. ……………………………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 为奇函数,所以不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-, 又()f x 为R 上的减函数,所以2222t t k t ->-, 即对一切t R ∈有2320t t k -->成立,所以4120k ∆=+<,解得13k <-,即求. …………………………………………………12分 19.【解】(Ⅰ)因当10x =时,9.2y =,即2511010ln19.250a ⨯-⨯-=,解得1100a =.………2分 所以251()ln 5010010x xf x x =--,又因为,212x t x ≥-且12t >,解得12621tx t <≤-即投入x 的取值范围是12(6,].21tt -………………………………………………………6分 (Ⅱ)对()f x 求导,得25115150(1)(50)()50505050x x x x x f x x x x-+--'=--=-=-, 又因为6x >,所以从广义上讲有,当650x <<时,()0f x '>,即()f x 递增,当50x >时,()0f x '<,即()f x 递减． 所以当50x =时为极大值点,也是最大值点,于是 ①当125021t t ≥-,即125(,]244t ∈时,投入50万元改造时取得最大增加值; …………………10分 ②当1265021t t <<-时,即25(,)44t ∈+∞时,投入1221tt -万元改造时取得最大增加值. ……13分 【注】第(Ⅱ)问若未分类讨论,算出的结果至多只能得3分,即不超过第(Ⅱ)问的一半分. 20.【解】(Ⅰ)因函数()f x 恒有两个相异的不动点,所以2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根,所以224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立, ……………………………4分 所以22(4)160a a ∆=-<,解得01a <<,即求.…………………………………………6分 (Ⅱ)设A B 、两点的横坐标为12x x 、,由(Ⅰ)知12(01)bx x a a+=-<<,所以1222x x b a +=-,且由题知211,21k y x a =-=-++,…………………………………8分 又由题知AB 的中点E 在直线2121y x a =-++上,即21(,)2221b b E a a a -++, 显然E 点也在直线y x =上,于是212221b b a a a -=++,………………………………10分 可化为21121214222a b a a a=-=-≥-=-++, 当且仅当12a a =,即2(0,1)2a =∈时上式取等号, 所以b 的最小值为24-.…………………………………………………………………13分【注】第(Ⅱ)问若未说明b 取最小值的条件2(0,1)2a =∈,则至少要扣除1分. 21.【解】(Ⅰ)由()x f x e a '=-,.………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时,显然()0x f x e a '=-≥;②当0a >时,由()0f x '=得ln x a =,显然当ln x a >时,()0f x '>;所以当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增;当0a >时,()f x 在(ln ,)a +∞上递增;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)问知,当0a ≤时,()f x 递增,且1(1)10f a e-=+-<,不合题意,舍去.……5分 当0a >时,由(Ⅰ)知,当ln x a <时,()0f x '<,当ln x a >时,()0f x '>所以当ln x a =时,()f x 有极小值也是最小值,即min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==--, 依题意ln 10a a a --≥,…①……………………………………………………………7分令()ln 1,0g a a a a a =-->,则'()ln g a a =-,定性分析、定量计算 ①式可化为111ln a a a a--=≥,而由重要超越不等式知: 1ln 1,0(1a a a a a a -≤≤->=时取到等号),所以比较上下两式可以发现1ln a a a-=, 即ln 10(1a a a a --==时取到等号),下面给出其证明:于是'()0g a =时,1a =,同理知当1a =时,()g a 有极大值也是最大值, 所以()(1)0g a g ≤=……②比较①②式可得,()0g a =,即1a =为所求. …………………………………………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知对R x ∀∈,有e 1x x ≥+,于是令,,,i x n N i N i n n +=-∈∈≤,则有0in i n ie n n --≥1-=≥即有)in n i e n --≥(,即()n i n n i e n --≤(当且仅当0i =时取等号) 所以有1210112111111()()()()()()()()1nn n n n n n n n e n n n n e e e e e ------++++<++++=- 即1112111()()()()111n n n n n n n e e n n n n e e e -----++++<<=---,即证. …………………13分。