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2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.2 弧度制[学习目标］ 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3。
掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．［知识链接]1．初中几何研究过角的度量,当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的错误!做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l＝错误!,S＝错误!.［预习导引］1．弧度制（1)定义：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制．（2）任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3）角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝错误!. 2．角度制与弧度制的换算（1）角度化弧度弧度化角度360°＝2π2π＝360°180°＝ππ＝180°1°＝错误!≈0。
3．3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．[知识链接]1．在如图所示的单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？ 答 sin α＝MP ；cos α＝OM2．设实数x 对应的角的正弦值为y ，则对应关系y ＝sin x 就是一个函数，称为正弦函数；同样y ＝cos x 也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？ 答 正弦函数和余弦函数的定义域都是R .3．作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答 作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线． [预习导引]1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可.要点一“五点法”作正、余弦函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．解(1)列表：描点连线，如图(2)列表：描点连线，如图规律方法作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x 或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪演练1 (1)作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图；(2)作出函数y＝1－cos2x的图象．解(1)列表：(2)将y ＝1－cos 2x 化为y ＝|sin x |，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，－sin x π＋2k π<x <2π＋2k π，k ∈Z其图象如图要点二 正弦、余弦函数图象的应用例2 (1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是________． 答案 (1)2 (2)3解析 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的简图，如图所示，可知原方程有两个实数解．(2)用五点法画出函数y ＝sin x 的简图． 描出点⎝⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．规律方法 利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题．跟踪演练2 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据右图可得k 的取值范围是(1,3)．要点三 利用三角函数图象求函数的定义域 例3 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解 为使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数图象或单位圆如图所示，∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪错误!规律方法 求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集． 跟踪演练3 求函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos x 的定义域． 解 由22＋cos x >0，得cos x >－22. 在[0,2π]内，cos x ＝－22的解为x ＝3π4或x ＝5π4.作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]及y ＝－22的图象：由图知在[0,2π]内cos x >－22的解为0≤x <3π4或5π4<x ≤2π，所以所求函数的定义域为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋3π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋5π4，2k π＋2π(k ∈Z )，即⎝⎛⎭⎪⎫2k π－34π，2k π＋34π (k ∈Z ).1．方程2x＝sin x 的解的个数为( ) A ．1B ．2 C ．3 D ．无穷多答案 D2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限伸展； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个答案 D解析 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确．3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 如图所示．4．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lgsin(cos x )的定义域． 解 (1)0≤cos x <1⇒2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Z )． ∴所求函数的定义域为x ∈[2k π－π2，2k π)∪(2k π，2k π＋π2)，k ∈Z .(2)由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z )． 又∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求函数定义域为x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .1.正弦、余弦曲线在研究正弦、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、基础达标1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π2答案 D2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝－sin x B ．g (x )＝sin x C ．g (x )＝－cos x D ．g (x )＝cos x 答案 B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )答案 D4．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )答案 C解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时， y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.6．关于三角函数的图象，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称；④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 对②，y ＝cos (－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos (－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知①、③均不正确．7．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图． 解 (1)取值列表如下：(2)二、能力提升8．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫5π4，7π4答案 A 解析∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.9．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.当x ＝π时，f (π)＝－π＜0，排除A ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时y ＞0，排除C ，选D.10．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．解 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z ，sin x >12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．11．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系． 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .12．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin xk π≤x ≤2k π＋π，－sin x k π＋π<x ≤2k π＋2π(k ∈Z )． 其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin xx ，－sin x x，其图象如图所示，三、探究与创新13．画出函数y ＝1＋2cos2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解 按五个关键点列表：令y ＝0，即1＋2cos2x ＝0，则cos2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是[0，π3]∪[2π3，π].。
2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.2 任意角的三角函数3.2.3 诱导公式（二）学案湘教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.2 任意角的三角函数3.2.3 诱导公式（二）学案湘教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.2 任意角的三角函数3.2.3 诱导公式（二）学案湘教版必修2的全部内容。
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2.3 诱导公式（二)［学习目标］1。
掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题。
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。
3。
继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．［知识链接］1．2kπ＋α（k∈Z），π＋α，π－α,－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．2．在直角三角形中,根据正弦、余弦的定义有sinα＝ac，cosα＝错误!,sin错误!＝错误!，cos错误!＝错误!。
根据上述结论，你有什么猜想？答sin错误!＝cosα；cos错误!＝sinα.3．若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？答角α的终边与错误!－α的终边关于直线y＝x对称．[预习导引］1．诱导公式五～六(1)公式五:sin错误!＝cosα；cos错误!＝sinα；sin错误!＝cosα；cos错误!＝－sinα.（2)公式六:tan错误!＝cotα错误!；tan错误!＝－cotα错误!.2．诱导公式五~六的记忆错误!－α，错误!＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面添上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限".要点一利用诱导公式求值例1 (1)已知cos （π＋α）＝－12，α为第一象限角，求cos错误!的值．(2)已知cos错误!＝错误!，求cos错误!·sin错误!的值．解(1）∵cos （π＋α)＝－cosα＝－错误!，∴cosα＝错误!，又α为第一象限角．则cos错误!＝－sinα＝－错误!＝－错误!＝－错误!.（2)cos错误!·sin错误!＝cos错误!·sin错误!＝－cos错误!·sin错误!＝－错误!sin错误!＝－错误!cos错误!＝－错误!。
3．3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质(一)[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．[知识链接]1．在如图所示的单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？ 答 sin α＝MP ；cos α＝OM2．设实数x 对应的角的正弦值为y ，则对应关系y ＝sin x 就是一个函数，称为正弦函数；同样y ＝cos x 也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？ 答 正弦函数和余弦函数的定义域都是R .3．作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答 作函数图象最基本的方法是描点法，其步骤是列表、描点、连线． [预习导引]1．正弦曲线、余弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可.要点一“五点法”作正、余弦函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．解(1)列表：描点连线，如图(2)列表：描点连线，如图规律方法作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x 或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪演练1 (1)作出函数y＝－sin x(0≤x≤2π)的简图；(2)作出函数y＝1－cos2x的图象．解(1)列表：(2)将y ＝1－cos 2x 化为y ＝|sin x |，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，－sin x π＋2k π<x <2π＋2k π，k ∈Z其图象如图要点二 正弦、余弦函数图象的应用例2 (1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是________． 答案 (1)2 (2)3解析 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的简图，如图所示，可知原方程有两个实数解．(2)用五点法画出函数y ＝sin x 的简图． 描出点⎝⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．规律方法 利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题．跟踪演练2 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据右图可得k 的取值范围是(1,3)．要点三 利用三角函数图象求函数的定义域 例3 求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解 为使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数图象或单位圆如图所示，∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪错误!规律方法 求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集． 跟踪演练3 求函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos x 的定义域． 解 由22＋cos x >0，得cos x >－22. 在[0,2π]内，cos x ＝－22的解为x ＝3π4或x ＝5π4.作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]及y ＝－22的图象：由图知在[0,2π]内cos x >－22的解为0≤x <3π4或5π4<x ≤2π，所以所求函数的定义域为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋3π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋5π4，2k π＋2π(k ∈Z )，即⎝⎛⎭⎪⎫2k π－34π，2k π＋34π (k ∈Z ).1．方程2x＝sin x 的解的个数为( ) A ．1B ．2 C ．3 D ．无穷多答案 D2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限伸展； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个答案 D解析 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确．3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．答案 2解析 如图所示．4．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lgsin(cos x )的定义域． 解 (1)0≤cos x <1⇒2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Z )． ∴所求函数的定义域为x ∈[2k π－π2，2k π)∪(2k π，2k π＋π2)，k ∈Z .(2)由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z )． 又∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求函数定义域为x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .1.正弦、余弦曲线在研究正弦、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、基础达标1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π2答案 D2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝－sin x B ．g (x )＝sin x C ．g (x )＝－cos x D ．g (x )＝cos x 答案 B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )答案 D4．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )答案 C解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时， y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.6．关于三角函数的图象，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称；④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 对②，y ＝cos (－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos (－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知①、③均不正确．7．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图． 解 (1)取值列表如下：(2)二、能力提升8．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫5π4，7π4答案 A 解析∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.9．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.当x ＝π时，f (π)＝－π＜0，排除A ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时y ＞0，排除C ，选D.10．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．解 要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.如图所示．cos x ≤12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，k ∈Z ，sin x >12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，它们的交集⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即为函数的定义域．11．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系． 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .12．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin xk π≤x ≤2k π＋π，－sin x k π＋π<x ≤2k π＋2π(k ∈Z )． 其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin xx ，－sin x x，其图象如图所示，三、探究与创新13．画出函数y ＝1＋2cos2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解 按五个关键点列表：令y ＝0，即1＋2cos2x ＝0，则cos2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是[0，π3]∪[2π3，π].精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
第三章三角函数1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R错误!，错误!(k∈Z) 值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1无最大、最小值周期性周期T＝2kπ＋2π(k∈Z)周期T＝2kπ＋2π(k∈Z)周期T＝kπ＋π(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数；在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上都是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都是减函数在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上都是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)k∈Z轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0k∈Z中心对称图形，对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)5.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 例1 求函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域．解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 跟踪演练1 设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值． 解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．题型二 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．例2 已知2＋tan θ－π1＋tan 2π－θ＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．解 方法一 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sinθ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝4tan θ－tan 2θ－3tan 2θ＋1＝8－4－34＋1＝15. 方法二 由已知2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ. ∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1tan 2θ＋1＝15.跟踪演练2 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解 (1)方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 题型三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一． 例3 函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，故α＝π3.跟踪演练3 已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 答案 C解析 由图象知周期T ＝4π，则ω＝12，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A.题型四 三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．例4 f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴y ＝f (x )的周期为2. ∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同． ∴f (x )在[－1,0]上单调递减．∵f (x )是偶函数， ∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反． ∴f (x )在[0,1]上单调递增．① ∵α，β是锐角三角形的两个内角， ∴α＋β>π2，∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β， 即sin α>cos β.②由①②，得f (sin α)>f (cos β)．跟踪演练 4 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．。
