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几种离散型变量的分布及其应用..共78页

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几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列
当 时，即只取一次就取到合格品，故 ；
当 时，即只取一次就取到次品，而第二次取到合格品，故
；
类似地，有
。
所以 的分布列为：
1
2
3
4
10/13
5/26
5/143
1/286
（2）由于取球后放回，所以 的取值为1，2，3，…，n，…，则随机变量 服从几何分布。
当 时，即第一次就取到合格品，故 ；
当 时，即第一次没有到合格品，而第二次取到合格品，故 ；
（2）每次取出的产品都立即放回次批产品中，然后再取一件产品；
（3）每次取出一件产品后总把一件合格品放回此批产品中。
分析：（1）由于取求后不放回，每次取产品的结果互相影响；
（2）由于取球后放回，各次取产品相互独立，它是一个几何分布；
（3）有放回取且放回正品，基本事件总数发生变化。
解：（1）由题知 的取值为1，2，3，4。
类似地，有 , ,
因此 的分布列为:
3
4
点评:此题主要考查等可能事件的概率问题,有放回和没有放回的基本事件总数是不一样的,特别是第2问是有放回摸球问题,表示第 次独立重复试验时事件第一次发生,而前 次独立重复试验时,事件都没有发生,这样的独立重复试验可以无限的进行下去,因而是一个典型的几何分布问题.
解：在批量为40的多批保险丝中，某一批有10%的不合格品，因此在这一批中不合格品的根数为4，所以由超几何分布可知，抽检的4根保险丝中有1根为不合格品的概率为：
；该批被接受的概率为：
由此可见，即使不合格品为10%的一批任有64%的接受概率。
点评：在应用超几何分布时，适用的条件是从有限总体中无放回抽样问题，在解题时一定要分清是否放回，正确使用概率模型。

离散型随机变量及其分布列 课件

离散型随机变量及其分布列 课件

X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；

医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用

医学统计学课件：第六章 几种离散型变量的分布及其应用

2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为 的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效， 每个病案的有效率相同； 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存； 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非 感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学 第六章 几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布

概率第五讲——离散型随机变量的常见分布我们之前介绍了离散型随机变量，本节我们将介绍几种常用的离散分布。

1、两点分布例1 100件产品中有95件正品，5件次品，现从中任取1件，考查取出的次品数。

试用变量描述该试验的结果并写出概率分布。

一般地，只取两个可能值 x1，x2 的随机变量 X，其概率分布可写为称 X服从两点分布。

特别地，若x1=0，x2=1，这时称X服从0-1分布。

0-1分布描述只有两个可能的结果的随机试验，0-1分布的概率分布一般写为其中参数p:0<p<1.若以概率分布表表示，则为注：两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验。

2、二项分布(the Binomial Distribution)（记住这个英文单词，后面要考的）其中n是试验独立重复的次数， p是每一次基本试验中事件A发生的概率。

随机变量 X 指n 次试验中事件A发生的次数。

注：二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型：例2 设张三做某事的成功率为1%，他重复努力 100次，则至少成功1次的概率为多少？这说明，有百分之一的希望，就要做百分之百的努力。

这里，小伙伴会问了，这里的二项分布表达式如此复杂，该怎么计算呢？我们可以借助Excel软件来计算。

操作方法如下：打开Excel→公式→插入函数（统计）BINOM.DIST（你一定发现了，这就是前面提到的二项分布的单词前面几个字母）例3 设一批产品共10000个，其中废品数为500个，现从这批产品中任取10个，求10个产品中恰有2个废品的概率。

3、泊松分布引例观察下列随机试验：(1)某地区某一时间间隔内发生的交通事故的次数；(2)北京某医院一天内的急诊人数；(3)放射性物质在单位时间内的放射次数；(4)《新编线性代数与概率统计》教材一页中印刷错误数；(5)北京地区居民中活到百岁的人数。

这些试验有一个共同点：描述在单位时间(空间)中随机事件的发生次数。

它们都服从或近似服从泊松分布。

常见离散型随机变量的分布

常见离散型随机变量的分布

P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk
k 0,1, 2, ..., n
称X所服从的分布为二项分布. 记为 X~B(n,p)或X~b(n,p).
二项分布X的分布列表（q=1-p)
X0
1
k
n
P qn Cn1 pqn1
Cnk pk qnk
pn
说明：若X ~ B(n, p),则
二项分布 n 1 两点分布
28
EX E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n np DX D( X1 X 2 X n ) DX1 DX 2 DX n np(1 p) npq 注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。
例2 设X表示 10次独立重复射击命中目标的次 数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期 望E(X2)=( 18.4 )
k 0
k0 k !
e
k 1
k1 (k 1)!
ee
E(X )
D(X )
E( X 2 ) k 2P{X k} [k (k 1) k ] k e
k 0
k 0
k!
2e
k 2
E(X )
k2 (k 2)!
2ee 2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
P ( X 3 ) P ( A1 A2 A3 ) (1 p)2 p
所求射击次数X的概率分布为：
P ( X k ) (1 p )k1 p k 1, 2,
四、几何分布
在独立重复伯努利试验中，若成功率（事件A发 生的概率）为p，如果X为首次成功（事件A首次 发生）时的试验次数，X的分布列为
例4、设随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，且已知

几种离散型变量的分布及其应用

几种离散型变量的分布及其应用

二项分布有两个参数：
总体率

n
样本含量
记作：X～B(n，π)
在n个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下 式求出：
n! P( X ) X (1 )n X X !(n X )!
P( X )
X 0,1, 2, , n
实际 上就是二 项函数 (1 )n 展 开式中的 通项，式中 的
P(X k) P( X )
X 0
k
k
X 0
n! X (1 ) n X X !( n X )!
（2）出现“阳性”的次数至少为k次的概率为
P(X k) P( X )
X k
n
n
X k
n! X n X (1 ) X !(n X )!
阳性数X
图 6-2.
=0.4 时，不同 n 值下的二项分布图
二、二项分布的应用 (一)总体率的区间估计 1. 查表法 2. 正态近似法


1. 查表法 对于n 50的小样本资料，直接 查附表 6 百分率的 95% 或 99% 可信区间表， 即可得到其总体率的可信区间。 例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶 腹部- 壶腹部吻合术后，观察其受孕情况， 发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇 女受孕率的95%可信区间。
n n! 称为二项系数。总有： P ( X ) 1 。 X ! ( n X )! x0
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的有 效率为 0.70 。今用该药治疗该疾病患者 10 人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人 有效的概率。 本 例 n=10 ， π=0.70 ， X=6 ， 7 ， 8 。 按 公 式 （6-1）计算相应的概率为

常见的离散型随机变量的分布


30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai )
P(Y
2)
k 2
e0.3 0.3k k!
0.0369 i 1,2,3
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件 A1 A2 A3 3
PA1 A2 A3 1 P( Ai )
i1
1 (1 0.0369)3 0.1067 0.013459
例1 独立射击5000次，每次的命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于2 次的概率.
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5
P5000(5) C55000(0.001)5 (0.999)4995 0.1756
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
90
P( X N ) C9k0 (0.01)k (0.99)Nk
k N 1
令 90 0.01 0.9

第六章 几种离散型变量的分布及其应用(正式)


n−x
× × 死 0.2×0.2×0.8=0.032
3 × × 生 0.2×0.8×0.2=0.032 p (x = 1 ) = (1 )π 1 (1 − π )2 = 0.096
2
1
生 死 生
× × 生 0.8×0.2×0.2=0.032 × × 死 0.2×0.8×0.8=0.128 × × 死 0.8×0.2×0.8=0.128 p (x = 2 ) = ( 3 )π 2 (1 − π )1 = 0 .384 2 × × 生 0.8×0.8×0.2=0.128 × × 死 0.8×0.8×0.8=0.512 p(x = 3) =
25
10
10
结论： 结论： 水准， 按α=0.05水准，拒绝 0，接受H1， 水准 拒绝H 接受 认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率 认为实施峡部 峡部吻合术妇女的受孕率 要高于壶腹部-壶腹部吻合术妇女的受孕 要高于壶腹部 壶腹部吻合术妇女的受孕 率。
26
直接法(双侧检验 直接法 双侧检验) 双侧检验 回答的是“有无差别” 回答的是“有无差别”，所要计算的双 侧 检验概率P值应为实际样本(记“阳性” 检验概率 值应为实际样本 记 阳性” 值应为实际样本 次 数为k次)出现的概率与更背离无效假设 数为 次 出现的概率与 出现的概率 的极端样本(“阳性 次数i≠k)出现的概 阳性” 的极端样本 阳性”次数 出现的概 率之和。 率之和。
n=3,π=0.5的二项分布 的二项分布
0.4 0.3 pX () 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=10,π=0.5的二项分布 的二项分布
0.5 0.4 pX () 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

第六章 几种离散型变量的分布


累积概率函数：
P( X k )
k x n x
P( X
X 0 n x
k
k)
C (1 )
x 0
由上可知： n次Bernoulli试验中，事件A发生的次数K服从二项 分布。 n次Bernoulli试验有如下特点： A、各次试验结果相互独立； B、每次试验只有二种可能的结果； C、每次试验事件A发生的概率是固定的。
k n k
n k
0<π<1, K=0，1，2，……, n 则称随机变量X服从参数为n, π的二项分布， 记为X ~ B (n, π )或B（X； n, π ）
例：临床用针灸治疗某型头痛，有效的概率 为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效 的概率是多少？
例：据报道，有10%的人对某药有胃肠道反 应。为考察某厂的产品质量，现任选5人服 用此药。求：2个人有胃肠道反应的概率； 不多于2个人有胃肠道反应的概率。
假定符合一定条件的病人可视为相同的个体。若某药治愈概 率为60%，现用该药治疗10例病人，求治愈病人数的概率分布
X
Pi
样本率P=x/n
0
1
0.0001
0.0016
0.00%
10.00%
2
3 4 5 6 7 8 9 10
0.0106
0.0425 0.1115 0.2007 0.2508 0.2150 0.1209 0.0403 0.0060
>5 合计
12 96
12.5 100.0
96 ——
100.0 ——
对此资料我们可均数、标准差等数值特征指标来概括 资料的特点，均数、标准差可利用原始资料计算。
但更进一步的了解，需知道每一事件所对应的发生概率。

6卡方检验2002


H0：1


，任两对比组的总体有效率相等
2
H1： 1


，任两对比组的总体有效率不等
2
0.05
36
检验水准调整：
' =

k(k 1) / 2+1
三种疗法治疗周围性面神经麻痹的实例中，检验
水准调整为：
' 0.05 0.05 / 4 0.0125
3(3 1) / 2 1
26
144
4.59
合计
282
44
326
P值
<0.0125 <0.00227 >0.0125
38
第六节 有序分组资料的线性趋势检验
年龄与冠状动脉硬化的关系
年龄(岁） （X）
20～ 30～ 40～
≥50 合计
冠状动脉硬化等级（Y）
— + ++ +++
70 22 4
2
27 24 9
3
16 23 13 7
绝H0，接受H1，可以认为两组降低颅内压总体有效率
不等，即可认为异梨醇口服液降低颅内压的有效率 高于氢氯噻嗪+地塞米松的有效率。
21
四格表资料连续性校正公式
(| ad bc | n)2 n

2 c

(a

b)(c

d )(a
2 c)(b

d)
1
22
对于四格表资料，通常规定：
（1）当n≥40且所有的T≥5时，用检验的基本公 式；当P≈α时，改用四格表资料的Fisher确切概率 法。
11
假设检验: H0：π1=π2 H1：π1≠π2 α=0.05
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