河北省大名县一中中学2020-2021学年高考考前提分仿真卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ）
A ．2i -
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
2．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
3．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；
（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；
（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；
（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.
其中，正确说法的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
5．若x，y满足约束条件
-0
2
10
x y
x y
x
≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
，
，
，
则z=
3
2
x
y
+
+
的取值范围为（）
A．[
24
53
，] B．[
2
5
，3] C．[
4
3
，2] D．[
2
5
，2]
6．已知F是双曲线22
:4||
C kx y k
+=（k为常数）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（）
A．2k B．4k C．4 D．2
7．若样本
123
1,1,1,,1
n
x x x x
++++的平均数是10，方差为2，则对于样本
123
22,22,22,,22
n
x x x x
++++，下列结论正确的是（）
A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4
C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8
8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）
A．(722
+πB．(1022
+π
C．(1042
+πD．(1142
+π
9．集合{|20}N
A x x B
=-≤=
，，则A B=（）
A．1B．1,2C．0,1D．0,1,2
A ．2-
或2 B ．-1或1 C ．1 D ．2
11．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．a ∥(a b -)
D ．a ⊥( a b -)
12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆2
2210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．
14．已知复数()2
2z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是_____，z =_____． 15．设x ，y 满足约束条件3240,460,20,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩
，则22z x y =+的最大值为______.
16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AD DD AB ===，E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点,点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是________________.
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若
220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
18．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F ，M 是椭圆E 上的一个动点，且12MF F △3（1）求椭圆E 的标准方程，
（2）若(,0)A a ，(0,)B b ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，//AB CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，求证:12k k 为定值.
19．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D ，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D ，其中x A x B x C x D 和y A y B y C y D 都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X ＝（x A ﹣y A ）2+（x B ﹣y B ）2+（x C ﹣y C ）2+（x D ﹣y D ）2，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X ＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
20．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，
（1）证明：//BD 平面CEF ；
（2）若PA AC ⊥，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
21．（12分）已知12F F ，为椭圆E 2222:+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦点，离心率为12，点()2,3P 在椭圆上.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A C 、和B D 、，且12l l ⊥，问是否存在常数λ，使得
11,,AC BD λ成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CF DE ，22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.
（1）求证：CG AF ⊥；
（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
【详解】
由()1243i z i +=+，得43i 2i 12i
z +=
=-+，所以2z i =+． 故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.
2、B
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ．
【详解】
∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+, ∴()()111
1a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，
∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3、C
【解析】
【分析】
【详解】
解：对于（1），当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的右上方时，E 到平面BCD 的距离最大，当CD ⊥平面ABE ，且E 在AB 的左下方时，E 到平面BCD 的距离最小，
∴四面体E ﹣BCD 的体积有最大值和最小值，故（1）正确；
对于（2），连接DE ，若存在某个位置，使得AE ⊥BD ，又AE ⊥BE ，则AE ⊥平面BDE ，可得AE ⊥DE ，进一步可得AE ＝DE ，此时E ﹣ABD 为正三棱锥，故（2）正确；
直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），
∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；
对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，
因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．
故选：C．
点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.
4、D
【解析】
【分析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案.
【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；
乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.
因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5、D
【解析】
【分析】
x+
3
数，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图， 目标函数32x z y +=+可表示连接点()3,2D --和可行域内的点(),x y 的直线斜率的倒数， 由图可知，直线DA 的斜率最小，直线DB 的斜率最大，
由010x y x -=⎧⎨+=⎩可得()1,1A --，由210x y x +=⎧⎨+=⎩
可得()1,3B -， 所以121132DA k -+=
=-+，325132DB k +==-+，所以225
z ≤≤. 故选：D.
【点睛】
本题考查了非线性规划的应用，属于基础题.
6、D
【解析】
【分析】
分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】
当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,22
4||4kx y k k +==-,可化为22
144
y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D
【点睛】
本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.
7、D
由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.
【详解】
样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，
所以样本12322,22,22,
,22n x x x x ++++的平均数为21020⨯=,方差为2228⨯=. 故选:D.
【点睛】
样本123,,,
,n x x x x 的平均数是x ，方差为2s ，则123,,,,n ax b ax b ax b ax b ++++的平均数为ax b +,方差
为22a s .
8、C
【解析】
【分析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，
【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,
几何体的表面积为：1442223(1042)2
ππππ+
⨯⨯⨯=+， 故选：C
【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.
9、D
【解析】
【分析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】 {}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
10、B
【解析】
【分析】 由题意得，()()2
111zz ai ai a =+-=+，然后求解即可 【详解】
∵1z ai =+，∴()()2
111zz ai ai a =+-=+.又∵2zz =，∴212a +=，∴1a =±. 【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题
11、D
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量a =（1，﹣2），b =（3，﹣1），∴a 和b 的坐标对应不成比例，故a 、b 不平行，故排除A ； 显然，a •b =3+2≠0，故a 、b 不垂直，故排除B ；
∴a b -=（﹣2，﹣1），显然，a 和a b -的坐标对应不成比例，故a 和a b -不平行，故排除C ； ∴a •（a b -）＝﹣2+2＝0，故 a ⊥（a b -），故D 正确，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
12、B
【解析】
因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B 满足函数定义，故符合；
对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【解析】 【分析】
利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心
到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】
解：由条件得到()1
'f x a x
=
- 又()()1,'11f a f a =-=-
所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()1
10a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()2
21x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离
d =
=
≤
解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题. 14、34i + 5 【解析】 【分析】
直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数z 的共轭复数和z 的模． 【详解】
()2
224434z i i i i =-=-+=-，则复数z 的共轭复数为34i +
，且5z ==.
故答案为：34i +；5. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 15、29 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】
由约束条件3240,460,20,x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图：
联立3240,20,x y x -+=⎧⎪⎨⎪-=⎩
，解得(2,5)A ，
目标函数22
z x y =+z 为半径的圆，
由图可知，此圆经过点A z 最大，此时z 也最大， 最大值为222529z =+=. 所以本题答案为29. 【点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 167【解析】 【分析】
如图，连接11,,AC D A D C ，证明平面1//ACD 平面EFG .因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上. 当1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，再求此时的1D P 得解. 【详解】
如图，连接11,,AC D A D C ，
因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//AC EF ，EF ⊄平面1ACD ， 则//EF 平面1ACD .因为1//EG AD ， 所以同理得//EG 平面1ACD ，又EF EG E =.
所以平面1//ACD 平面EFG .
因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上. 在1ACD △中，12
211127
2,2,2,2222AD C
AD AC CD S
⎛⎫=
===-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 故当1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，最小值为7
721222
=
⨯. 故答案为：7
2
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；
（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，
进而可求出分布列以及数学期望；
（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】 解：（1）
()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+
()()()()22
26047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦
-
()2
2 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈
（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()0
3
300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()1
2
310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，
()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，
所以X 的分布列为：
数学期望30.7 2.1EX =⨯=
（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，
则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， 所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】
本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.
18、（1）22143
x y +=（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △的面积取得
,,a b c ，即可得答案；
（2）根据题意可知(2,0)A ，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD 的方程为
()()
1122
(,,,
2
y x m m D x y C x y
=-+≠，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到12,x x的关系，再代入斜率公式可证得12
k k为定值.
【详解】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，12
MF F
△
所以
222
1
1
2
2
c
c b
a b c
=
⎧
⎪⎪
⨯⨯=
⎨
⎪
=+
⎪⎩
，所以2
a=
，b=
故椭圆E的标准方程为
22
1
43
x y
+=.
（2）根据题意可知(2,0)
A
，B，因为//
AB CD，
所以可设直线CD
的方程为()()
1122
(,,,
2
y x m m D x y C x y
=-+≠.
由
22
1
43
x y
y x m
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，消去y
可得22
64120
x m
-+-=，
所以
12
x x
+=
，即
12
x x
=-.
直线AD
的斜率1
1
1
11
2
22
x m
y
k
x x
+
==
--
，
直线BC
的斜率2
2
2
22
2
x m
y
k
x x
+-
-
==，
所以
12
12
12
22
2
x m x m
k k
x x
++-
=⋅
-
(
)
()
12121
12
33
(
422
2
x x x x x m m
x x
+++
=
-
()
122
12
33
(
42323
2
x x m x m m
x x
⎛⎫
-⋅+-+-
⎪
⎝⎭
=
-
()1221233
4
22x x x x x -=-3
4
=，故12k k 为定值. 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用. 19、（1）（ⅰ）3
8
（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析
【解析】 【分析】
（1）（i ）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有
4424A =种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，
由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii ）根据（i ）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X 的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P （X ＜4）=P （X=0）+ P （X=2）=1
6
，三
轮游戏结果都满足“X ＜4”的概率为152161000
<，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解． 【详解】
（1）（i ）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解， 则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为x A ，x B ，x C ，x D 为1234的情况，家长的排序有4
4A ＝24种等可能结果， 其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为： 2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321， ∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P ＝93248
=． 基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A ，B ，C ，D 按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序x A ，x B ，x C ，x D 为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB ， 再研究y A y B y C y D 的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， ∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为38
．
（ii ）根据（i ）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况， 列出所有情况，分别计算每种情况下的x 的值，
X 的分布列如下表： X
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P
124
18
124
16
112
112
112
16
124
18
124
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解． 理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P （X ＜4）＝P （X ＝0）+P （X ＝2）＝16， 三轮游戏结果都满足“X ＜4”的概率为（16）3＝15
2161000
<，
这个结果发生的可能性很小， ∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20、 (1)证明见解析；(2) 2
6
【解析】 【分析】
（1）连接PD 交CE 于G 点，连接FG ，通过证//BD FG ，并说明FG ⊂平面CEF ，来证明//BD 平面CEF
（2）采用建系法以AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别表示出对应的点,,,B C P E 坐标，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，结合直线对应的CE 和法向量
n ，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可
【详解】
()1证明：如图，
连接PD 交CE 于G 点，连接FG ，点E 为PA 的中点，点D 为AC 的中点，
∴点G 为PAC ∆的重心，则2PG GD =，
2PF FB =，//FG BD ∴，
又
FG ⊂平面CEF ，BD ⊂/平面CEF ，//BD ∴平面CEF ；
()
2AB AC =，PB PC =，PA PA =，PAB PAC ∴∆≅∆，
PA AC ⊥，PA AB ∴⊥，可得2PA =，又AB AC ⊥，
则以AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()002P ,
,，()0,0,1E (1,1,0)BC =-，(1,0,2)BP =-，(0,1,1)CE =-．
设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由·0
·20n BC x y n BP x z ⎧=-+=⎨=-+=⎩
，
取1z =，得(2,2,1)n =．设直线CE 与平面PBC 所成角为θ， 则2sin |cos ,|23
n CE θ=<>==
⨯．∴直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2
6
． 【点睛】
本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式sin |cos ,|n CE θ=<>使用广泛，需要识记
21、（1）22
11612
x y +=；
（2）存在，748. 【解析】 【分析】
（1）由条件建立关于,,a b c 的方程组，可求得,,a b c ，得出椭圆的方程；
（2）①当直线AC l 的斜率不存在时，可求得68AC BD ==，，，求得λ，②当直线AC l 的斜率存在且不为
0时，设(2)AC l y k x =+： 联立直线与椭圆的方程，求出线段22
24(1)
43
k AC k +=+，再由12l l ⊥得出线段
22
24(1)
43k BD k
+=+，根据等差中项可求得λ，得出结论. 【详解】
（1）由条件得222222221216491124
c e a a b a b c a b c
⎧==⎪⎧=⎪
⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆E 的方程为：22
11612x y +=；
（2）1(20)F -，
， ①当直线AC l 的斜率不存在时，11117686824AC BD AC BD ==+=+=，
，，此时7=
48
λ, ②当直线AC l 的斜率存在且不为0时，设(2)AC l y k x =+：,联立22
11612(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩ 消元得
2222(43)1616480k x k x k +++-=，
设1122(,),(,)A x y C x y ，22121222
161648
,4343k k x x x x k k -+=-=++
2122
24(1)
43
k AC x k +∴-==+， 直线BD 的斜率为1k -，同理可得222
21241()24(1)1434()3k k BD k k
⎡
⎤+-⎢⎥
+⎣⎦==+-+ 2222221143437(1)724(1)24(1)24(1)24k k k AC BD k k k +++∴+=+==+++， 72=
24λ∴，所以7=48
λ， 综合①②，存在常数7=48
λ，使得11,,AC BD λ成等差数列.
【点睛】
本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题. 22、（1）证明见解析（2
【解析】
【分析】
（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，AB
BF B =，∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，
CG AF ⊥.
（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可. 【详解】
（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB
平面ABCD ，∴CF AB ⊥.
又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BC
CF C =，∴AB ⊥平面BCF .
∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.
又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵AB
BF B =，∴CG ⊥平面ABF .
∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥. （2）∵CF ⊥平面ABCD ，CF
DE ，∴DE ⊥平面ABCD .
以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
如图所示：
则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F . ∴()2,0,1AE =-，()0,2,1EF =，()0,2,0DC =. 设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，
则·0·0n AE n EF ⎧=⎨=⎩
，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，
令1x =，则()1,1,2n =-.
由题意知()0,2,0DC =为平面BCF 的一个法向量， ∴()
6
cos ,6||||62
n DC n DC n DC =
==-⨯
∴平面BCF 与平面AEF 26301()66
--
=.
【点睛】
本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.
2020-2021高考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．
23
D ．12
-
2．已知函数1
,0()ln ,0x x
f x x x x
⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为
（ ） A ．1
(0,)e
B ．1(0,
)2e
C ．1(,
)2e
-∞ D ．11(
,)2e e
3．复数432
i
z i +=-的虚部为（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
4．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A
B A =
B ．A B B ⋃=
C ．
(
)U
A B =∅ D ．U
B A ⊆
5．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln x
f x x
=
，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦
≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间 B ．3阶区间 C ．4阶区间 D ．5阶区间
6．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A ．﹣3∈A
B ．3∉B
C ．A∩B=B
D ．A ∪B=B
7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.
A ．37,48⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．59,
610⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．715,
816⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．1531,1632⎛⎤
⎥⎝⎦
8．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()
//2c a b +，则λ=（ ） A ．2-
B ．1-
C ．12
-
D ．
12
9．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）
A ．1
B ．2
3
-
C ．13
-
D ．34
-
10．如图，在ABC ∆中， 1
3AN AC =，P 是BN 上的一点，若23
mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）
A ．
13
B ．
19
C ．1
D ．2
11．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥
D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数0.5()log (43)f x x =-的定义域是___________．
14．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________. 15．若正实数，，满足
，则
的最大值是__________．
16．如图，在ABC 中，已知32120AB AC BAC ==∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB EC ⋅的值为__．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，
557b a =-.
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n A ；
（3）设n S 为数列{}
2
n a 的前n 项和，若对于任意n *∈N ，有1
23
n b n S t +
=⋅，求实数t 的值. 18．（12分）已知函数()()ln()x f x x a x a e x =++++.
（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）讨论函数()()x
h x f x e x =--的单调性；
（3）当0a =时，若方程()()x
h x f x e x m =--=有两个不相等的实数根12,x x ，求证：
12ln()ln 21x x +>-.
19．（12分）如图，在棱长为22的正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 边上的中点，现以EF 为折痕将点C 旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．
（1）证明：EF PA ⊥；
（2）求PD 与面ABF 所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆22:12x C y +=，点()00,P x y 为半圆()2230x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C
的两切线分别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，求MN 的取值范围.
21．（12分）已知点()0,2B -和椭圆22
:142
x y M +=.直线:1l y kx =+与椭圆M 交于不同的两点P ，Q .
（1）当1
2
k =
时，求PBQ △的面积； （2）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值. 22．（10分）已知函数2
1()4ln 2
f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间； （2）讨论()1()2f x
g x b x x ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭零点的个数. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1、B 【解析】 【分析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有1i =，3S =，
第一次循环后11
132S ==--，2i =， 第二次循环后
121312
S ==
+，3i =， 第三次循环后
13
213
S =
=-，4i =，
第四次循环后11
132
S =
=--，5i =， 所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当2019i =时，再次循环输出的3S =,2020i =，此时20202019>，循环结束，输出3S =， 故选：B 【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型. 2、B 【解析】 【分析】
根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()
f x k x
=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()2
1f x k x
x
=
=
，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()
f x k x
=有一个零点， 当0x >时，()2
ln f x x
k x
x
=
=
，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==
当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x
在上单调递增，
当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x
在)+∞上单调递减，
所以当x =
()h x 取得最大值
12e
， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()
f x k x
=有2个零点， 如图所示：
所以实数k 的取值范围为1(0,
)2e
综上可得实数k 的取值范围为1
(0,)2e
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 3、D 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部. 【详解】
解：432i z i +=
-=()()()()
43251012225i i i
i i i +++==---+-， 故虚部为-2. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的概念. 4、D 【解析】 【分析】
化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】
由2
230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，
则31,2
A ⎡⎤=-⎢⎥⎣
⎦，故
U 3(,1),2A ⎛⎫
=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A
B =∅，
31,(2,)2A B ⎡⎤
⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦
，(
)U
(2,)A B ⋂=+∞，
3(2,)(,1),2⎛⎫
+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
故选:D 【点睛】
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 5、D 【解析】 【分析】
可判断函数为奇函数，先讨论当0x >且1x ≠时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【详解】
当0x >且1x ≠时，()()
2
ln 1
ln x f x x -'=
.令()0f x '=得x e =.可得()f x '和()f x 的变化情况如下表：
x
0x →
()0,1
()1,e
e
(),e +∞
()f x '
/
-
-
+
()f x ()0f x →
e
令()f x t =，则原不等式变为()3f t ≤-，由图像知()3f t ≤-的解集为(]()[)123,,1,1t t t t ∈-∞-，再次由
图像得到()[)[)123(]
,,1,1f x t t t ∈-∞-的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.
故选：D 【点睛】
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题 6、C 【解析】
试题分析：集合{}|1A y y =≥- A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系 7、C 【解析】 【分析】
框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】
第一次循环：1
,22
S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；
第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115
,5222216
S n =+++=
=； 此时满足输出结果，故715
816
P <≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 8、A 【解析】 【分析】
根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】
()1,2a =，()2,2b =- ()24,2a b ∴+= ()
//2c a b + 24λ∴=-，解得：2λ=-
故选：A 【点睛】
本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=. 9、C 【解析】 【分析】。
