五年级公因数公倍数

第三讲公因数与公倍数知识点：﹤1﹥因数、倍数概念：﹤2﹥最大公因数概念：表示：﹤3﹥最大公因数求法：﹤4﹥最小公倍数概念：表示：﹤5﹥最小公倍数求法：﹤6﹥最大公因数与最小公倍数应用：我要上名校示例﹤1﹥把一张长120厘米、宽80厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形纸（无剩余），能裁多少张？练一练：将一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？示例﹤2﹥有336个苹果、252个桔子、210个梨，用这些水果最多可分成多少份同样的礼物？每份礼物中三种水果各有多少个？练一练：有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？示例﹤3﹥用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？练一练：用一张长1065毫米、宽568毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？示例﹤4﹥从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根一共有25根电线杆，现在改为每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不要移动外，中间还有多少根不必移动？练一练：插一排红旗共26面，原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米，如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？示例﹤5﹥甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多长时间三人又同时从出发点出发？练一练：甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米。

若三人同时从一端出发，再经过多长时间三人又从此处同时出发？示例﹤6﹥两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，则这两个数分别是多少？练一练：两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数和是多少？示例﹤7﹥大雪后的一天，儿子和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同。

五年级（公因数、公倍数）专项练习题五年级（公因数、公倍数）专项练习题例题：1、一个房间长450厘米，宽330厘米，现在计划用方砖铺地，问：需要边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块）正好将房间的地面铺满？2、两个自然数的最小公倍数是180，最大公因数是12，并且小数不能整除大数，求这两个数各是多少？3、有一个数在700—800之间，用15、18和24去除，都不能整除。

如果在这个数上加1，就能同时倍15,18和24整除.这个数是多少?提高拔尖：1、三个连续自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和是多少？2、有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，只知道十位上的数字是1，个位上的数字是2。

如果这个数减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，那么这个四位数是多少？3、一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数。

这个数最小是多少？4、三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和是多少？5、从运动场一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小旗。

现在要改成每隔6米插一面小旗，问：可以不拔出来的小旗有多少面？6、两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126。

这两个数的和是多少？7、今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。

每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分成多少堆？8、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。

中午12点整，电子钟响铃又亮灯，问：下一次响铃又亮灯是几点钟？9、有一些小朋友排成一行，从左面第一个人开始每隔2人发一个苹果，从右面第一个人开始每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到。

那么这些小朋友最多有多少人？10、有一个大于1的整数，除300，262，205，得到相同的余数，这个数是多少？11、两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16。

五年级最大公因数和最小公倍数公因数问题1：用短除法求下列各组数的最大公因数。

①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。

两个数的最大公因数用（ ）表示。

1218269323①②34102217511713③④155053101224362612182369312（34、102）= 2×17＝34（15、50）= 5（15、24、36）= 2×2×3=123试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）①20和30②28和84③54和90④30、45和60问题2：求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？想：这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。

我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。

24601322123066261533325（24、60、132）= 2×2×3=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=22×3，得（2+1）×（1+1）=6，所以，24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。

解：11试一试：先用短除法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。

解：同时除以公因数2同时除以公因数2同时除以公因数3除到三个商只有公因数1为止（12、18）= 2×3＝6①16和24 ②28和70 ③150和180 ④60、75和150问题3：有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？想：把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。

五年级公因数和公倍数的题120道一、公因数相关题目（60道，先20道带解析）1. 求12和18的最大公因数。

- 解析：分别列出12和18的因数。

12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。

它们共有的因数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和18的最大公因数是6。

2. 求24和36的最大公因数。

- 解析：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

共有的因数为1、2、3、4、6、12，最大公因数是12。

3. 求15和25的最大公因数。

- 解析：15的因数是1、3、5、15，25的因数是1、5、25。

它们的公因数有1和5，最大公因数是5。

4. 求8和12的最大公因数。

- 解析：8的因数有1、2、4、8，12的因数有1、2、3、4、6、12。

共有的因数为1、2、4，最大公因数是4。

5. 求20和30的最大公因数。

- 解析：20的因数有1、2、4、5、10、20，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。

公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。

6. 求16和24的最大公因数。

- 解析：16的因数有1、2、4、8、16，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。

共有的因数为1、2、4、8，最大公因数是8。

7. 求9和15的最大公因数。

- 解析：9的因数有1、3、9，15的因数有1、3、5、15。

公因数为1和3，最大公因数是3。

8. 求14和21的最大公因数。

- 解析：14的因数有1、2、7、14，21的因数有1、3、7、21。

共有的因数为1、7，最大公因数是7。

9. 求28和42的最大公因数。

- 解析：28的因数有1、2、4、7、14、28，42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。

公因数有1、2、7、14，最大公因数是14。

10. 求10和15的最大公因数。

- 解析：10的因数有1、2、5、10，15的因数有1、3、5、15。

五年级数学最大公因数和最小公倍数知识点份 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第三单元最大公因数和最小公倍数知识点：一、公倍数：2×4=8，8既是2的倍数，也是4的倍数，那么就称8是2和4的公倍数。

2和4的公倍数不止一个，还有4、12、16、20……，其中最小的那个叫做2和4的最小公倍数。

（两个数的公倍数的个数是无限的）二、公因数：2既是8的因数，也是12的因数，那么就称2是8和12的公因数。

8和12的公因数不止一个，还有 1、4，其中最大的那个就叫做8和12的最大公因数。

（两个数的公因数的个数是有限的）例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数: 1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12【练习】1.写出下面每组数的最大公因数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 4和9 （） 17和51 （）21和36 （） 22和55 （）2.写出下面每组数的最小公倍数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 22和55 （） 21和36 （）4和9 （） 17和51 （） 30和45 （）三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。

2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。

3.若不互质，运用短除法计算。

2 ∣24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止3 |6 9 最大公因数：2×2×3=122 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72四、性质一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

五年级春季第二讲公因数和公倍数一、公因数与公倍数的定义1、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

3、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。

二、公因数与公倍数的求法例1. 分别求出下列各组数的公因数与公倍数。

12和18 15和30 5和6 解：（1）12的因数有（1、2、3、4、6、12）； 12的倍数有（12、24、36、48、60、72……）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）； 18的倍数有（18、36、54、72、90……）；12和18的公因数是（1、2、3、6）； 12和18的公倍数是（36、72……）；其中最大的公因数是（6）。

其中最小的公倍数是（36）。

三、用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数。

注意：用短除法求最大公因数或最小公倍数时，要除到商的每两个数是互质数为止。

四、两种特殊情况的最大公因数和最小公倍数的求法。

1. 如果两个数成倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。

2. 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。

例2. 分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。

24和48 17和18 9、18和36 解：（1）因为48是24的倍数，所以24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48。

（2）因为17和18是互质数，所以17和18的最大公因数是1，最小公倍数是17×18＝306。

（3）因为36是18的倍数，18是9的倍数，所以它们的最大公因数是9，最小公倍数是36。

使学生明确：①因为两个数最大公因数只包含这两个数全部公有质因数，所以只把这两个数全部公有质因数连乘起来，也就是把所有的除数乘起来，就得到它们的最大公因数。

②而两个数的最小公倍数不仅包含这两个数全部公有的质因数，还包含它们各自独有的质因数，所以要把这两个数全部公有的质因数以及各自独有的质因数连乘起来，也就是把所有的除数和商乘起来，就得到它们的最小公倍数。

人教版五年级下册数学《最大公因数和最小公倍数》知识点及重点题分析最大公因数一、基础知识（1)定义:几个数公有的因数中，其中最大的公因数叫做它们的最大公因数。

,（2）求最大公因数的方法①列举法：②短除法:把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，（也可以用较大的合数质公因数去除)然后把左半圈所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。

3 2 4此时3与2,4都互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。

（即用短除法求最大公因数时，要使所有的数最后所得的商没有公因数就可，如果其中几个商有公因数，也不再除）。

因此，36，24，48的最大公因数是2×2×3＝12。

（3）求两个数最大公因数的特殊情况:①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

②互质的两个数最大公因数是1。

（如连续的非零自然数、不同的质数等）(4）最大公因数和公因数的关系：所有的公因数都是这两个数的因数，最大公因数是这些公因数中最大的。

二、求最大公因数在计算中的应用作用：最大公因数在计算中的最重要的作用是约分，即把分数的分子和分母约成最大公因数为1的最简分数。

化最简分数最简捷的方法:①短除法求出最大公因数②用划线法分别约去分子分母的最大公因数，分别写出分子、分母被最大公因数除的商。

③练习:（1）填空：A α，b 都是非0自然数，如果a ÷b=10 ,那么α,b 的最大公因数是( ），最小公倍数是( ）。

解题分析：由题可知，α是b 的倍数,此时两数的最大公因数是其中的较小数b ，最小公倍数是其中的较大数α。

B 甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（ ）。

（2)化最简分数6318、9824、7545、5036 (3）判断： A 6318比216的分数单位小，所以6318比216小.（ ) B 分子分母是不同的质数,分子、分母的最大公因数一定是1。

第四讲最大公因数和最小公倍数经典例题：例1.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

15和12 90和45 42和70 39和65例2.一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，请你把它锯成同样大小的正方体木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩。

算一算可以锯成几块？例3. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数的和是多少？例4. 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？例5.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？巩固练习：1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？4. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工。

问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？5. 一张长方形的纸，长为96厘米，宽为60厘米，把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余，问至少可以裁多少张？6. 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？9.从甲地到乙地原来每隔45米栽一根电线杆，连同两端共有53根电线杆，现在改为每隔60米栽一根电线杆。

除两端的两根不需移动，中间还有多少根不需移动？10.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一个方向分别用脚步测量一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

问：这个花圃的周长是多少米？。

找最大公因数和最小公倍数的几种方法（质数又叫做素数，公因数又叫做公约数）一、找最小公倍数的方法1、列举法方法1、先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它 们的（最小公数）。

方法2： 先找较大数的（倍数），再找其中哪些是（较小）的倍数，最后找它们 的（最小公倍数）这种方法是分解质因数后，找出二个数相同的（质因数） ，及二个数各自 独有的（质因数），然后把二个数相同的（质因数，只取一个。

）和二个数各自 独有的（质因数），全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

6862、60 禾口 42的最小公倍数=2X 3 X 2X 5X 7=420。

3、短除法。

用短除法求两个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数）一直除到所得的两个商（只有公因数 1）为止。

把所有的（除数）和最后的两个4、特殊方法（观察法）1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中（较大）的数。

2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数 1）,它们的最小公倍数是 二个数的（乘积）。

2 1为 18和24的最小公倍数是 2X 3X 3X 4=72（商）连乘起来，就得到这两个数的 （最小公倍二、找最大公因数的方法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）2、分解质因数法。

用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出相同的（质因数），把相同的（质因数）相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

3、短除法。

用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。

然后把最后所有的（除数）连乘，就得到了二个数最大公因数。

例题9:用短除法求16和24的最大公因数：2 16 24 .2 8 12 .2 4 62 3最后所有的除数有2、2、2.所以16和24的最大公因数是2^2X2=84、观察法1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中（较小）的数。

第4讲最大公因数与最小公倍数一、教学目标1.掌握公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数的概念．2.学会求多个数的最大公因数与最小公倍数的方法．3.学会利用最大公因数与最小公倍数解决实际应用题．二、知识要点1.公因数与最大公因数：公因数，亦称“公约数”，即多个自然数公共的因数．它是一个能同时整除若干个整数的整数．其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，a、b 的最大公因数记作：(a,b).公因数只有1的两个数，叫互质数．例如，8和9是一组互质数，也可以说8和9互质．注意：对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数．2.最小公倍数：同理，公倍数即几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数，a、b的最小公倍数记作：[a,b]．3.短除法：短除符号与除式倒过来的符号十分相似，待分解的数放在被除数位置，除数位置放能整除待分解数的一个共有约数，一直除到商互质为止．格式如图：口诀：最大公因算一边，最小公倍算一圈．被除数待分解21812396324.最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；①几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；①几个数都乘一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．5.最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．①两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．①两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．三、例题精选【例1】51与87的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(51,87)=3，[51,87]=1479．51=3×17，87=3×29，(51,87)=3，[51,87]=3×17×29=1479．【巩固1】24与60的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(24,60)=12，[24,60]=120．24=23×3，60=22×3×5，(24,60)=22×3=12，[24,60]=23×3×5=120．【例2】12、28与36的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(12,28,36)=4，[12,28,36]=252．12=22×3，28=22×7，36=22×32；(12,28,36)=22=4，[12,28,36]=22×32×7=252．【巩固2】15、20与45的最大公因数与最小公倍数分别是？【①①①①①】【解析】(15,20,45)=5，[15,20,45]=180．15=3×5，20=22×5，45=32×5；(15,20,45)=5，[15,20,45]=22×32×5=180．【例3】有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】60厘米，10段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是120、180、300的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（120,180,300）=60，所以每小段最长为60厘米．（120+180+300）÷60=10（段）【巩固3】长48分米,宽40分米的长方形卧室铺地砖，请问最大可以选用边长为多少分米的方砖，能铺的又整齐又节约？【①①①①①】【解析】8分米．正方形边长相等，所以要求的边长长度必须是48和40的公因数，又问边长最大可取多少，则所求应为其最大公因数．（48,40）=8，所以边长最大可取8分米．【例4】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶.平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？【①①①①①】【解析】60人．由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数，首先求出2、3、4的最小公倍数：[2,3,4]=12，故参加会餐的人数应是12的倍数，又12人共需：12÷2+12÷3+12÷4=13（瓶），即12人需要13瓶饮料．一共用了65瓶饮料，65÷13=5，则知参加会餐的总人数应是12的5倍，12×5=60（人），即得参加会餐的总人数为60人．【巩固4】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【①①①①①】【解析】第一道工序10人，第二道工序3人，第三道工序6人．要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总件数应是3、10、5的公倍数．要求三道工序“至少”要多少工人，首先求3、5、10的最小公倍数．[3,5,10]=30，均衡各道工序，一轮最少应加工30个零件，各道工序最少需要：3÷3=10（人），30÷10=3（人），30÷5=6（人）【例5】两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，两个数是多少？【①①①①①】【解析】25、100或50、75．125÷25=5，5=1+4=2+3，所以两数可以为1×25=25、4×25=100或2×25=50、3×25=75．【巩固5】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【①①①①①】【解析】105或147．假设这两个数是21a和21b，易得21×a×b=126，所以a×b=6，由a和b互质，就有6=1×6=2×3这两种情况．所以甲乙是21×1=21、21×6=126或21×2=42、21×3=63这两种情况，它们的和是147或105．【例6】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份．如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【①①①①①】【解析】28段．首先求10、12、15最小公倍数：[10,12,15]=60．60÷10=6、60÷12=5、60÷15=4，则知将木棍分成60小份后，每隔6小份有一个红标记，5小份有一个黄标记，4小份有一个蓝标记，因此断点为：4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，则知木棍一共被锯成28段．【巩固6】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米．在120米内一共留下多少个脚印？【①①①①①】【解析】301个．首先求60、80最小公倍数：[60,80]=240．则知每240厘米，即2.4米有一个脚印踩到了一起，120÷2.4=50，则知120米可以分成50个2.4米，每2.4米中，爸爸脚印有240÷80=3（个），儿子脚印有240÷60=4（个），排除重复脚印则一共有3+4-1=6（个），50个2.4米则有50组6步，故有50×6=300（个），又在0米处二人开始走时也有一个脚印，即共有脚印300+1=301（个）．四、回家作业【作业1】18与48的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(18,48)=6，[18,48]=144．18=2×32，48=24×3，(18,48)=2×3=6，[18,48]=24×32=144．【作业2】12、24与36的最大公因数与最小公倍数分别是多少？【①①①①①】【解析】(12,24,36)=12，[12,24,36]=72．12=22×3，24=23×3，36=22×32；(12,24,36)=12，[12,24,36]=23×32=72．【作业3】有三根棉线，长度分别是9厘米、18厘米和36厘米．现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【①①①①①】【解析】7段．需要截成相等的小段且无剩余，则每段长度必须是9、18、36的公因数．又要求每段尽可能长，则所求应为其最大公因数．（9,18,36）=9，所以每小段最长为9厘米．（9+18+36）÷9=7（段）【作业4】一个汽车站有1路车和3路车，1路车每隔20分钟发一辆车，3路车每隔25分钟发一辆车．已知上午8时正1路车和3路车同时出发，再过多长时间两车又同时从车站出发？是几时几分？【①①①①①】【解析】100分（1时40分）后，9时40分；首先求20、25最小公倍数：[20,25]=100．则知100分后辆车又同时出发，100分=1时40分．8时+1时40分=9时40分．【作业5】已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为60，两个数是多少？【①①①①①】【解析】4与60、12与20．这两个数分别除以最大公约数所得的商乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，60÷4=15，将30分解成两个互质数的乘积，有1、15，3、5。

五年级第八讲 最大公因数数和最小公倍数我与知识手拉手★知识提要★求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法可以用短除法、分解质因数法或辗转相除法。

辗转相除法还可以判断两个数是否成互质关系。

★ 知识一、分数有关知识是公因数和公倍数的应用1、（ ）的分数，叫做最简分数，把一个分数约分应用分子、分母的（ ）分子、分母。

2、一个最简分数，它的分子和分母的积是24，这个分数是（ ）或（ ）3、分母是8的所有最简真分数的和是（ ）．4、一个最简分数，把它的分子扩大3倍，分母缩小2倍，是 ，原分数是（ ），它的分数单位是（ ）．5、5738 的分子、分母的最大公因数是（ ），约成最简分数是（ ）． 6、通分时选用的公分母一般是原来几个分母的（ ）．★ 知识点二、学习分解质因数及利用分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数例1 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，已知甲数是36，求乙数。

例2 甲、乙两个数的最大公因数是12，最小公倍数是252，求甲、乙两个数分别是多少？（甲比乙小）例3 已知A 、B 两个自然数的和为50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数分别是多少？例4 甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次。

如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？例5 做衬衣需要三道工序，第一道工序每人每小时可完成15件，第二道工序，每人每小时可完成9件，第三道工序每人每小时可以完成12件，现在要均衡生产，三道工序至少各配多少名工人？1、两个自然数的最大公因数是7，最小公倍是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。

2、A 、B 两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数商是12。

A 、B 两数差为18，求A 、B 两个数各是多少？3、用一个数分别去除31、61、76，所得的商都余1，这个数最大是多少？4、一个数被8除余6，被7除余5，被6除余4，这个数最小是多少？★★★★ 四星擂台 E5、一个数减去1后是2的倍数，减去2后是3的倍数，减去3后是4的倍数，减去4后是5的倍数，减去5后是6的倍数，减去6后是7的倍数。

一、知识点整理：1、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身,一个数因数的个数是有限的.一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.一个数倍数的个数是无限的.一个数最大的因数等于这个数最小的倍数.2、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,用符号,表示.几个数的公倍数也是无限的.3、两个数公有的因数,叫做这两个数的公因数,其中最大的一个,叫做这两个数的最大公因数,用符号, .两个数的公因数也是有限的.4、两个素数的积一定是合数.举例：3×5=15,15是合数.5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数.举例：6,8=24,6,8=2,24是2的倍数.6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数.举例：15和5,15,5=15,15,5=5素数关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.举例：3,7=21,3,7=1一个素数和一个合数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.5,8=40,5,8=1相邻关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.9,8=72,9,8=1特殊关系的数两个都是合数,一个是奇数,一个是偶数,但他们之间只有一个公因数1,比如4和9、4和15、10和21,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积.一般关系的两个数,求最大公因数用列举法或短除法,求最小公倍数用大数翻倍法或短除法.二、经典例题：例1,写出每组数的最大公因数7和9 5和25 10和4写出每组数的最小公倍数8和10 51和3 5和4例2：有一批地砖,每块长45厘米、宽30厘米,至少要用多少块这样的地砖才能铺成一个正方形在一张长40厘米,宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小,面积最大的正方形,并且没有剩余.一共可以裁出多少个这样的正方形例3：五1班学生人数不超过50人,在分小组做游戏时,可以分为每组6人或者每组8人,两种分法都刚好分完.这个班的学生可能有多少人例4：甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日三、课堂练习1,暑假期间,小华,小明和小芳都去图书馆借书,小华每3天去一次,小明每4天去一次,小芳每6天去一次,8月1日他们都去借了书,那么小芳每次去借书的那天也去了,三人同一天去借书的时间是.2、一个数的最大因数是13,这个数的最小倍数是.3、两个自然数a、b的最大公因数是1,它们的最小公倍数是.4、如果A＝2×2×3,B＝2×3×3,那么它们的最大公因数是,最小公倍数是.5、一个数是3的倍数,又是5的倍数,还有因数7.这个数最小是.6、一个数既是30的因数、又是45的因数,最大的是.7、如果两个数的最大公因数是1,它们最小公倍数是91,那么这两个数的和最大是.8、任何两个奇数的和是.A、奇数B、合数C、偶数9、12是的最大公因数.A、1和12B、12和24C、3和410、任何两个自然数的的个数是无限的.A、公倍数B、公因数C、倍数11、A是B倍数,那么它们的最小公倍数是.A、ABB、AC、B12、两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,这两个数一定不是.A、15和90B、45和90C、45和30用短除法求出每组数的最大公因数和最小公倍数.32和612和1872和4813,在周长是400米的椭圆形跑道上插彩旗,原来每间隔8米插一面彩旗,现在改为每隔10米插一面彩旗,如果以其中的一面彩旗为起点不改变,那么一共需要移动多少面彩旗14、把两根长度分别是45厘米和60厘米的铁丝,截成长度相等的小段,每根都不能有剩余.每小段最长多少厘米可以剪成多少段15、李刚和李强是兄弟,两人都在外地工作.李刚隔6天回家一次,李强隔8天回家一次,十月一日这天他们同时回家,再过多少天他们才能再一次见面16,把48米,60米的两根钢管锯成长度一样的钢管且没有剩余.（1）,锯好的钢管每段最长是多少米2,如果每锯一次需要2分钟,一共需要锯多少分钟17、在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每隔5厘米染一个蓝点,有多少个点同时染了红色和蓝色18、植树节那天,园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树,一共栽了40棵,现在改成每隔5米栽一棵树,那么有多少棵树不用移动四：课堂检测1、两个数的最大公因数是1,最小公倍数是21,这两个数分别是和,或者和2、已知A=5B,则A,B=,A,B=3、已知a=b+2,则a,b=4、a是一个素数,则a的倍数有个A、1个B、2个C、无数个5、如果b是一个整数,那么2b一定是A、合数B、偶数C、素数写出每组数的最小公倍数和最大公因数.4和155和790和306、甲,乙两人到图书馆借书,甲每4天去一次,乙每6天去一次,如果3月16日他们两人到图书馆相遇,那么下一次都到图书馆是几月几日7、有一包糖果.如果平均分给8个小朋友,正好分完；如果平均分给10个小朋友,也正好分完.这包糖果至少有多少块8、有两根彩带,一根长45厘米,另一根长30厘米.现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米9、在一张长60厘米的纸条上,从左端起,先每隔3厘米画一个红点,再从左端起,每隔4厘米画一个红点.纸条的两端都不画.最后,纸条上共有多少个红点五、课后作业1、如果A=2×3×7,B=2×5×7,那么A和B的最大公因数是,最小公倍数是.2、要使601□既是2的倍数,又是3的倍数,那么□里可以填.3、如果a÷b=4a、b为整数那么a和b的最大公因数是4.4、一个数最小的倍数与它最大的因数相等.5、任何一个自然数的因数至少有2个.6、1和任何自然数0除外都没有公因数.7、写出每组数的最大公因数7和9 5和25 10和48、写出每组数的最小公倍数8和10 51和3 5和49、a与b的最大公因数是6,最小公倍数是72,a是18,b是多少10、从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆,加上两端的两根一共是25根电线杆,现在改成每隔6米安装一根电线杆,除两端的两根不需要移动外,中间有多少根不必移动。

小学五年级数学第三单元《公倍数和公因数》教案在四年级（下册）教材里，学生已经建立了倍数和因数的概念，会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。

本单元继续教学倍数和因数的知识，要理解公倍数、最小公倍数和公因数、最大公因数的意义，学会找两个数的最小公倍数和最大公因数的方法。

为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

全单元的教学内容分三部分编排。

第22~25页教学公倍数。

主要是两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。

第26~31页教学公因数。

包括两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。

在练习五里还安排了最小公倍数与最大公因数的比较。

第32~36页实践与综合应用。

利用邮政编码、身份证号码等实例，教学用数字编码表示信息。

在你知道吗里，介绍了我国古代曾经用辗转相除法求最大公因数，也介绍了现代人们经常用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。

在阅读这篇材料后，如果学生愿意用短除法求两个数的最大公因数或最小公倍数，是允许的。

但是，不要求全体学生掌握和使用短除法。

编排的一道思考题，是可以用公因数知识解决的实际问题。

1?在现实的情境中教学概念，让学生通过操作领会公倍数、公因数的含义。

例1教学公倍数和最小公倍数，例3教学公因数和最大公因数，都是形成新的数学概念，都让学生在操作活动中领会概念的含义。

例1先用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，分别铺边长6厘米和8厘米的正方形，发现正好铺满边长6厘米的正方形，不能正好铺满边长8厘米的正方形，并从长方形纸片的长、宽和正方形边长的关系，对铺满和不能铺满的原因作出解释。

再想像这张长方形纸片还能正好铺满哪些正方形，从倍数的角度总结规律，为形成新的数学概念积累丰富的感性材料。

然后揭示公倍数与最小公倍数的含义，把感性认识提升成理性认识。

教材选择长方形纸片铺正方形的活动教学公倍数，是因为这一活动能吸引学生发现和提出问题，能引导学生思考。

学生用同一张长方形纸片铺两个不同的正方形，面对出现的两种结果，会提出为什么有时正好铺满、有时不能，什么时候正好铺满、什么时候不能这些有研究价值的问题。

小学数学找最大公因数与最小公倍数知识梳理：同学们，我们已经学习了找两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：找最大公因数：对比法，筛选法，分解质因数法，短除法；找最小公倍数：列举法，试除法，分解质因数法，短除法。

其实找两个数的最大公因数与最小公倍数的方法还有很多，下面，我们一起学习两个新的方法：找最大公因数：小数缩小法把较小的数缩小（除以2开始），每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

例如：求18和48的最大公因数先用小数18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数是6。

找最小公倍数：大数扩大法将较大的数依次扩大2倍，3倍，4倍……等，直到出现第一个为较小数的倍数的数，就是它们的最小公倍数。

例如：求6和10的最小公倍数。

先用10×2＝2020不是12的倍数。

再用10×3＝3030是6的倍数，那么30就是6和10的最小公倍数。

通过比较我们发现：1. 当既要求最大公因数又要求最小公倍数时，用短除法或分解质因数法比较简便；2. 当只求最大公因数时，用小数缩小法比较简便；3. 当只求最小公倍数时，用大数扩大法比较简便；4. 当这两个数比较大、比较复杂时，用短除法比较简便。

【规律总结】特殊情况下找最大公因数或最小公倍数的方法① 1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

例如：15和5，（15，5）=5，[15，5]=15③互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

例如：3和7，（3，7）=1，[3，7]=21④相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

例如：9和8，（9，8）=1 ，[9，8]=72注：（a，b）表示a，b的最大公因数，[a，b]表示a，b的最小公倍数。

考点精讲:例题1 用小数缩小法求24和32的最大公因数。