(完整版)数学必修五数列练习题(含答案)

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．354．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13297．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．28．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）．A ．2B ．1C ．32D ．129．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202210．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-11．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________． 15．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .24．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.（1）求证数列{}1n a +是等比数列； （2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272nn n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.4．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 7．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26． 【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++， 依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-， 故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-.【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，所以2332n nn S +=-． 【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2nn n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭，得324522b b b =+， 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，解得2q，或12q =，由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意， 所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =，则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，122n n S +∴=-当2n ≥时，()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时，12b =也满足上式.2n n b =（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用定义证明12n n b b +=即得证；（2）分析得到211321n n a -≤⋅-，再利用等比数列求和得证. 【详解】 解：（1）121n n b a n =+-，1223241n n n a a n ++-=-， 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--， 又11312b a =+=， 所以数列{}n b 是等比数列； （2）由（1）得，1232322n n n b --=⋅=⋅，N n *∈， 213221n n a n -∴=⋅--，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，211321n n a -∴≤⋅-， 当2n ≥时，21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-，又11123S a ==<， 综上，3n S <，n *∈N . 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）数学归纳法；（5）放缩法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=， 所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12.【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n=++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。

必修5 数列2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，，又4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。

1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64794121215a a a a a +=+∴= A2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．543． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++，要使得T n n 都成立，三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n－1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④解析二：∵｛a n｝为等比数列∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．解析：当x=1时，S n=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵S n=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1，①等式两边同乘以x得：xS n=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)x n．②21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010112．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1894．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2595．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．126．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S7．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n8．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2110．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ）A ．50B ．51C ．100D ．10111．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1212．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．16．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________.18．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________． 19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N（1）求证：数列{}3nna 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：37.324n n S n >- 22．已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数且n *∈N 若.130n n a a ++⋅>恒成立，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前n 项和n S .23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.25．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.2．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．3．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.4．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.5．D解析：D【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.6．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．7．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q ==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.12．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析：110 【分析】根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，7a 是3a 与9a 的等比中项，()()2111(12)416a a a ∴-=--，解得120a =，()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．故答案为：110． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果.【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --，整理得到1{}nS 是等差数列，公差2d =，然后由等差数列的通项公式得答案． 【详解】由题意可得：()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-， ∴1140n n n n s s s s ---+=．两边除以1n n s s -，并移向得出1114,(2)n n n S S --=， 1{}nS ∴是等差数列，公差4d =， 11111S a ==． ∴114(1)43nn n S =+-=-， 故143n S n =-． ∴当2n 时，()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----． 当1n =时，11a =不符合上式．()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩． 故答案为：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．18．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】 由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254． 【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）233nn a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用已知条件通分计算或者直接整理，证明11133n nn n a a ++-=，即证结论； （2）利用（1）求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即求得{}n a 的通项公式； （3）结合（2）的结果，利用错位相减法求得n S ，并计算整理3n n S ，根据7043n>⨯即证得结论. 【详解】解：（1）解法1：由()1*133n n n a a n N ++=+∈，得111111333313333n n n n n n nn n n n a a a a a a ++++++-+--===. 又11133a =，故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以1为公差的等差数列. 解法2：由()1*133n n n a a n N ++=+∈，得11133n nn n a a ++=+，即11133n n n n a a ++-=. 又11133a =，故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）得()111133n n a n =+-⨯，*N n ∈， 即233n n a n =-，故233n n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭；（3）由（2）可知()121222213231333333n nn S n n -⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭① ()2312222313231333333n n n S n n +⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭②由①②得1112397723133262n n n n S n n +++-⎫⎫⎛⎛=-⨯--=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 故17732124n n n S +⎫⎛=-⨯+ ⎪⎝⎭，从而1737377372123343244324n n n n n n n S n n +⎫⎛-⨯ ⎪⎫⎛⎝⎭=+=-+>- ⎪⨯⨯⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（6）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.22．（1）*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩；（2）2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【分析】 （1）先令12n nx t =，根据所给方程，得到()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，构造函数()()214log 2n g x x n x +=+，确定122n n n t +<<，再讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，结合题中条件，即可求出数列的通项；（2）根据（1）的结果，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，利用分组求和的方法，结合等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根，令12n n x t =，则12n nx t =， 所以()()2312log 23n n n t n t n n ++=+，记()()214log 2n g x x n x +=+，显然()g x 单调递增，且2221log 32n n g n n n n n n n +⎛⎫=+<+<+ ⎪⎝⎭，()()222111log 13132n n g n n n n n n n ++⎛⎫=+++=++>+ ⎪⎝⎭， 所以122n n n t +<<， 当*21()n k k N =-∈时，2112n k k t k --<<<，则[]11122n n n n a t k x ⎡⎤-===-=⎢⎥⎣⎦； 当*2()n k k N =∈时，21122n k k t k +<<=+，则[]122n nn n a t k x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦； 综上，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩； （2）由（1）可得，*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩， 当*21()n k k N =-∈时，()()1352461......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++211121002412461122222......22222222224n n n n n n n +---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当*2()n k k N =∈时，()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2220024224622222 (222)22222224n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于由n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根，求出12n x 的范围，利用12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，通过讨论n 的奇偶，得出数列通项，即可求解.23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式； （2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n=-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法． 25．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式； （2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．（1）()*21n a n n N =-∈，()1*3n nbn N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈.【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；当n=1时符合上式， ∴()*21n a n n N=-∈；∴111b a ==，359==b a ， ∴数列{}n b 的公比3q =， ∴()1*3n n b n N -=∈；（2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31nn T n n N =-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。

一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。

一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20204．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．435．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．98．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ）A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞9．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--10．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－211．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1212．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．设数列{}2()n n n a +是等比数列，且116a =，2154a =，则数列{3}n n a 的前15项和为__________．15．在数列{}n a 中，已知11a =，()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，则n a =____________．16．在数列{a n }中，已知a 1＝1，1(1)sin 2n n n a a π++-=，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019＝______17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.18．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．19．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.20．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝；②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）．从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 22．在数列{}n a 中，11a =，()*21221,,k k k a a a k N -+∈成等比数列，公比为0k q >.（Ⅰ）若2k q =，求13521k a a a a -+++⋅⋅⋅+； （Ⅱ）若()*22122,,k k k a a a k N ++∈成等差数列，公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 为等差数列；②若12d =，求数列{}k d 的前k 项和k D . 23．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①246a a +=，945S =②222n n n S =+③()121n n a n n a n -=≥-，11a =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________，数列{}n b 为等比数列，112b a =，222a b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．25．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=，当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．3．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.4．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.5．C解析：C【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立， 所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.10．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.11．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.12．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n -【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．【解析】等比数列首项为第二项为故是首项为公比为的等比数列所以所以其前项和为时为【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法考查利用裂项求和法求数列的前项和题目给定一个数列为等比数列并且给出和也就是要 解析：1516【解析】等比数列首项为1123a =,第二项为2169a =,故是首项为13,公比为13的等比数列.所以()21111333n n n nn a -+=⋅=,所以211131n n a n n n n ==-++,其前n 项和为111n -+,15n =时,为11511616-=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前n 项和.题目给定一个数列()2n n n a +为等比数列,并且给出1a 和2a ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到211131n n a n n n n ==-++,利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 15．【分析】（1）直接根据已知条件得到即进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】∵∴数列是以为首项以3为公比的等比数列当时不适合上式数列的通项公式为故答案为：解析：21(1)23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩【分析】（1）直接根据已知条件得到112n n n S S S ---=，即13nn S S -=，进而求出数列{}n S 的通项公式；再根据前n 项和与通项之间的关系即可求出数列{}n a 的通项公式； 【详解】∵()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，∴112n n n S S S ---=，∴13nn S S -=， ∴数列{}n S 是以111S a ==为首项，以3为公比的等比数列，13n n S -∴=．当2n 时，12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅．11a =不适合上式，∴数列的通项公式为21(1)23(2).n n n a n -=⎧=⎨⋅⎩ 故答案为：21(1)23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩ 【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.16．1010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中；可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等解析：1010 【分析】 推导出1(1)sin2n n n a a π++=+，从而得到4n n a a +=，数列{}n a 是一个以4为周期的数列，由此能求出2019S 的值． 【详解】数列{}n a 中，11a =，1(1)sin2n n n a a π++-=， 1(1)sin2n n n a a π++∴=+， 21sin 1a a π∴=+=，323sin1102a a π=+=-=，43sin 20a a π=+=，545sin0112a a π=+=+=， 511a a ∴==；可以判断4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个以4为周期的数列.201945043=⨯+，20191234122504()504(1100)1101010S a a a a a a a ∴=⨯++++++=⨯++++++=，故答案为：1010． 【点睛】本题考查数列的求和，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.18．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-，32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．20．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得 1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③.故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.三、解答题21．（1）证明见解析，2nn a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据条件可得112112n n n n a n a n n a n a n++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得21212n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-112112n n n n a n a n n a n a n++++-++∴==++即公比12,12q a =+=∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；2n n a n ∴+=（2）由题意，21212n n n n n b a n ++==+ 所以123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212?··222222n n n ++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭()1111122121512251222212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-=-+⋅ ⎪⎝⎭- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据21212n n n n n b a n ++==+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.22．（Ⅰ）413-k ；（Ⅱ）①证明见解析；②(3)2+=k k k D . 【分析】（Ⅰ）根据题中条件，得到221214k k k a q a +-==，求出21k a -的通项，利用等比数列的求和公式，即可求出结果；（Ⅱ）①先由条件，得到212222k k k a a a ++=+，推出112k kq q +=+，得出11k k b b +-=，即可证明数列是等差数列；②根据12d =，由①的结论，根据等差数列的通项公式，求出k b ，推出11k q k=+，得到221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据212k k k d a a +=-，求出{}k d 的通项，判断其是等差数列，由等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】 （Ⅰ）由已知，221214k k k a q a +-==，所以1214k k a --=， 又11a =，所以数列{}21k a -是以1为首项，以4为公比的等比数列，所以()132111414413k k k a a a -⨯-=-++⋅⋅⋅+=-； （Ⅱ）①对任意的*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列， 所以212222k k k a a a ++=+，即22221212k k k k a a a a +++=+，即112k kq q +=+， 所以111111111k k kq q q +==+---，即11k k b b +-=，所以{}n b 成等差数列，其公差为1.②若12d =，则21a q =，231a q =，322a a -=，所以21120q q --=，又0k q >，所以12q =，从而111111k k k q q =+-=--，即11k q k=+. 所以221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得235212111323k k k a a a a a k a a a ---=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=， 则221(1)k k k a a q k k -==+，所以2212(1)(1)1k k k d a a k k k k +=-=+-+=+，即{}k d 为等差数列，所以()1(3)22k k k d d k k D ++==. 【点睛】思路点睛：求解等差数列与等比数列的综合问题时，一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，进行求解.（有时需要根据递推公式，先证明数列是等差数列或等比数列，再进一步求解）23．（1）选①②③均有2nn a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 【分析】（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （2）求得22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和． 【详解】（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），所以2nn a =；选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，则122n n S ++=，即为122n n S +=-，当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，12a =也满足上式，所以2nn a =，*n N ∈；选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），当2n 时，12121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=， 又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =，*n N ∈；（2）由（Ⅰ）可得2nn a =，22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，所以1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．选①或②或③，()1122n n T n +=-⨯+.【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组，求出这两个量，并求出q 的值，可得出数列{}n a 、{}n b 的通项公式，进而利用错位相减法可求得n T ；选②，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T ；选③，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T . 【详解】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由已知条件可得2419124693645a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=，22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选②，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =也满足n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选③，()121n n a nn a n -=≥-，且11a =， 由累乘法可得321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-. 22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 因此，()1122n n T n +=-⨯+.【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.25．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--. 【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2n n a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2n n a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2n n a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =，当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n n n n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.若选择②，设数列{}n b 公差为d ，由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---. 【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法.26．（1）()*21n a n n N=-∈，()1*3n n b n N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈. 【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-； 当n=1时符合上式，∴()*21n a n n N =-∈；∴111b a ==，359==b a ，∴数列{}n b 的公比3q =，∴()1*3n n b n N -=∈； （2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈， ∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31n n T n n N=-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。

一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞4．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51015．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 7．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．28．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a9．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．236610．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．1211．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 19．已知数列{}n a 与{}nb 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，*n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值； （2）求{}n b 的通项公式.23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．2．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.3．D解析：D 【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.4．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.5．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，6．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．7．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 8．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.9．C解析：C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 10．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号，又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称， 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.19．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查 解析：1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n nn a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析：2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果． 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=．所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）条件性选择见解析，n a n =；（2）12n n T n +=⋅.【分析】（1）选择①，由累加法求得2n a ，从而得n a ；选择②，由当2n ≥时1n n n a S S -=-得出数列{}n a 的递推关系，利用0n a >排除一个，由另一个得出通项公式n a ；选择③，类似选择②求出通项2211n n a ++，从而得n a ．（2）由（1）可得n b ，然后用错位相减法求和n T ． 【详解】 （1）选择①，因为22121n n a a n +-=+，*n ∈N ，所以2n ≥时，2221211a a -=⨯+， 2232221a a -=⨯+，()221211n n a a n --=-+，2n ≥，所以当2n ≥时，()()221212311n a a n n -=++++-+-⎡⎤⎣⎦，因为11a =，所以当2n ≥时，22n a n =，当1n =时，也满足上式. 因为0n a >，所以n a n =. 选择②，因为22n n S a n =+，所以当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，两式相减，得22121n n n a a a -=-+，即()2211n n a a --=，所以11n n a a --=或11n n a a --=，因为21121a a =+，所以11a =，因为0n a >，所以11n n a a --=舍去， 所以11n n a a --=，即11n n a a --=，2n ≥， 所以n a n =. 选择③，因为数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n ，所以当2n ≥时，()221111n n n n a +=--=+，即22n a n =， 当1n =时，211111a +=+，即211a =，也满足上式， 所以22n a n =，因为0n a >，所以n a n =. （2）()()11122212n n a n nn nn n S b n a n+++⨯===+⋅， 所以()1212223212n n n T b b b n =+++=⋅+⋅+++⋅，()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅，所以()()231422212n n n T n +-=++++++⋅()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 22．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥，()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）22n nT n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ． 【详解】解：（Ⅰ）因为n n S a 和2n a 的等差中项为1，所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=． 在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n nn a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩， 故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。

1．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ） A ．18 B ． 24 C ．60 D ． 904．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =( ) A ．21B ．22C ．2D ．25．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且854,18S a a 则-==（ ） A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 6．等比数列{}n a 中，44=a ，则=⋅62a a （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 7．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.6308．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160-9．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且311=16a a ⋅，则6a = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 10．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．111．已知等比数列{}n a 中，121a a +=， 458a a +=-，则公比q =（ ）（A ）2- （B ）2 （C ）12-（D ）1212．观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，其中x 是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1513．若n n n a a a a a -===++1221,6,3，则33a = （ ）A. -3B. 3C. -6D. 6 14．已知数列{a n }满足，那么的值是（ ）A ．20112B ．2012×2011C ． 2009×2010D ．2010×2011 15． 数列K ,431,321,211⨯⨯⨯的一个通项公式是A ．)1(1-n n B ．)1(1+n n C ．)2)(1(1++n n D ．以上都不对16．数列{}n a 是等差数列，494,4,a a =-= n S 是{}n a 的前n 项和，则（ ） A. 56S S < B. 56S S = C. 57S S = D. 67S S =17．各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，，22a 成等差数列，)A.1B.3C.6D.918．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，若）A19．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则公差为 20．在等差数列{}n a 中，S 10=120，则a 1+a 10等于 （ ） A ．12 B.24 C.36 D.4821．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．122．已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.23．若数列}中的最大项是第k 项,则k= . 24．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若*2(N )nnS n S ∈是非零常数，则称该数列{}n a 为 “和等比数列”．若数列{}n b 是首项为3，公差为(0)d d ≠的等差数列， 且数列{}n b 是“和等比数列”，则d = ．25．如果数列}{n a 的前n 项和n n S n 322-=，那么这个数列是 数列26m=________． 27．已知等比数列{}n a 中，n S 为前n 项和且135a a +=，415S =， （1）求数列{}n a 的通项公式。