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附录1 叶轮机械内流求解器从 1.1 版起，OpenCFD ‐EC 支持叶轮机械内流动的数值模拟。
计算模型为叶轮机械（压气机、涡轮）叶片通道内的流动。
采用直角坐标系， 规定x 方向为轴向。
在控制文件中，设定IF_TurboMachinary=1 启用叶轮机械计算模式。
该模式有如下特点：1） 计算坐标 x 轴固定在叶轮机械轴上，与叶轮机械共同旋转（旋转坐标系，非惯性系）。
2）边界条件 ： 采用旋转叶轮机械专用的边界条件。
见后文。
3）流动的无量纲化有特殊约定。
1.1 控制方程 及无量纲化坐标系建立在叶轮机的轴上 （规定x-轴正方向与叶轮机的轴重合），随叶轮机的轴一起转动。
因而坐标系为非惯性系，流体质点受到惯性力的作用：(2)q F r v ωωω=−××+×G G G G G 流动控制方程为：33v v v S t x y z x y zω∂∂∂∂∂∂∂+++=+++∂∂∂∂∂∂∂1212F (U)F (U)F (U)F (U)F (U)F (U)U 其中S ω为由于坐标系转动而产生的源项（惯性力）：22200(2)(2)()S y w z v vy wz ωρωωρωωρω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥−⎢⎥+⎣⎦其中ω 为叶轮机旋转的角速度。
注意到在旋转坐标系中，单位体积的惯性力为：22f r v ρωρω=−×G G G G。
其余各项的表达式与常规的N-S 方程相同。
图1 计算域示意图 （平行与轴向的截面）选取特征长度R L ，特征速度R u ，特征密度R ρ，特征温度R T ，特征粘性系数R μ 将方程无量纲化。
原则上将，这种特征量的选取可以是任意的。
很多CFD 软件选择各自的单位量（例如1m, 1m/s, 1Kg/m3）作为特征量(实际上是有量纲计算)。
本求解器面向叶轮机械内的流场计算。
通常情况下，计算条件是给定入口处的总温0T ，总压0P 以及出口处给定静压out P ，通过实际计算得到出口处的流速及其他流动条件。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载叶轮有限元分析地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容有限元法分析与建模课程设计报告报告题目：基于ANSYS Workbench的叶轮结构强度和振动模态分析学院：机械电子工程学院指导教师：学生及学号：摘要涡轮增压器是一种高速回转的叶片机械，一旦出现故障，特别是运动部分发生故障，将导致整个增压器在极短时间内损坏。
随着涡轮增压器压比及转速的不断提高，增压器转子叶轮部分的结构可靠性分析变得愈为重要。
对某型号增压器叶轮系统使用Catia建立简化的模型，并使用ANSYS Workbench有限元分析软件对叶轮系统进行静强度分析，得到最大应力与转速的曲线。
以及对叶轮预应力振动模态分析，得到叶轮的自振频率和振型。
为涡轮增压器叶轮系统的优化设计和动力学分析提供依据。
关键词：涡轮增压器叶轮有限元法静强度分析模态分析ABSTRACTThe turbocharger is a high-speed rotating blade mechanic, once a failure, especially moving parts failure will cause the entire turbocharger damage in a very short time. With the continuous improvement of the turbocharger pressure ratio and rotational speed, turbocharger impeller rotor structure reliability analysis become more important. The use of a certain type of turbocharger impeller system by Catia establish a simplified model, and the use of finite element analysis software ANSYS Workbench analysis the impeller system static strength , get a correlative curve with maximum stress and speed. And the impeller prestressed Modal analysis, get the impeller natural frequencies and mode shapes. Provide the basis foroptimizing the design and dynamics analysis turbocharger impeller system.Keywords:Turbocharger, Impeller, FEM, Static strengthanalysis,Modal analysis目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l _Toc12137 第1章引言PAGEREF _Toc12137 1HYPERLINK \l _Toc23436 1.1 有限元法及其优越性 PAGEREF_Toc23436 1HYPERLINK \l _Toc15599 1.2 ANSYS Workbench及其优点 PAGEREF _Toc15599 1HYPERLINK \l _Toc6672 1.3 问题的工程背景 PAGEREF _Toc66721HYPERLINK \l _Toc9922 第2章叶轮强度计算 PAGEREF_Toc9922 2HYPERLINK \l _Toc23709 2.1 静强度分析 PAGEREF _Toc23709 2HYPERLINK \l _Toc3748 2.2 静强度分析步骤 PAGEREF _Toc37482HYPERLINK \l _Toc1916 2.3 材料特性定义 PAGEREF _Toc19164HYPERLINK \l _Toc4894 2.4 网格划分 PAGEREF _Toc4894 5HYPERLINK \l _Toc25828 2.5 载荷和约束施加 PAGEREF_Toc25828 8HYPERLINK \l _Toc4630 2.6 计算结果及分析 PAGEREF _Toc46309HYPERLINK \l _Toc23426 2.6.1 叶轮应力分析 PAGEREF_Toc23426 9HYPERLINK \l _Toc16992 2.6.2 叶轮应变与变形 PAGEREF_Toc16992 14HYPERLINK \l _Toc16853 第3章叶轮振动模态计算 PAGEREF_Toc16853 16HYPERLINK \l _Toc28410 3.1 叶轮的振动与模态 PAGEREF_Toc28410 16HYPERLINK \l _Toc19949 3.2 带预应力模态分析步骤 PAGEREF _Toc19949 16HYPERLINK \l _Toc804 3.3 计算结果与分析 PAGEREF _Toc80418HYPERLINK \l _Toc7609 第4章总结 PAGEREF _Toc7609 20 HYPERLINK \l _Toc19959 参考文献 PAGEREF _Toc19959 21第1章引言1.1 有限元法及其优越性有限元法将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。
基于数值计算的叶轮机械流场分析随着工业领域的不断发展，机械流体力学研究逐渐成为工程领域研究的热点之一。
作为机械流体力学研究的一项重要内容，叶轮机械流场分析技术已经成为工程师，研究人员等专业人士必须掌握和运用的基础知识。
数值计算方法可以用于叶轮机械流场的研究和分析。
数值计算方法不仅可以提供比实验方法更加具有代表性和真实性的结果，而且还可以极大地降低研究成本。
本文旨在介绍基于数值计算的叶轮机械流场分析方法，包括流场模拟的基本原理、计算方法、流场分析的关键技术等方面。
一、流场模拟的基本原理流场模拟是基于数学模型和公式，通过计算机模拟流体流动的一种数学方法。
在叶轮机械的流场模拟中，目的就是模拟出流体在叶轮内部的流动情况，一般使用CFD（Computational Fluid Dynamics）计算流体动力学进行分析。
流场模拟是基于流场的基本方程式进行计算，在现实流动环境中会受到诸如阻力、湍流、边界层等各种因素的影响。
因此，流场模拟中需要有一些理论基础，才能更好地解决这些因素给模拟带来的影响。
二、计算方法基于数值计算的叶轮机械流场分析通常是以计算流体动力学软件为基础的。
这些软件以计算机仿真技术为主要手段，模拟叶轮机械内部流体的运动，从而获得更精确、更真实的流体流动状态。
流场模拟在计算流体力学中有着非常广泛的应用，是获得流体流动特性的主要手段之一。
常用的计算流体动力学软件包括Fluent、Star-CCM+等，这些软件包具有强大的计算功能，可以计算复杂的流场情况，如湍流等。
通过这些软件，可以进行流量，压强等参数的计算，得到一个叶轮机械在流场环境下的各种性能和实际工作情况。
三、流场分析的关键技术在基于数值计算的叶轮机械流场分析过程中，仅仅掌握了基础的模拟原理和计算方法是不够的，还需要了解流场分析的关键技术。
其中，流场分析的关键技术包括：1、选择合适的数值计算模型和算法。
不同的计算模型和算法可能会导致不同的数值计算结果，而不同的数值计算结果又会反过来影响最终的计算效果。
一种新的计算叶轮机械内流场的方法——涡-速度方程组在数值求解叶轮机械内流场的应用研究
李春;王仲奇;冯国泰
【期刊名称】《工程热物理学报》
【年(卷),期】1991(12)4
【摘要】本文以涡-速度形式N-S方程为基础,提出了对惯性与非惯性坐标系均适用的叶轮机械内流场的计算方法,推导了非惯性坐标系下的涡-速度方程组及其在任意非正交曲线坐标系下的展开式,上述方程组与惯性坐标系下的方程组具有相同的形式,证明了该形式的非惯性效应仅表现在初、边值条件的实现上,本方法在很大程度上简化了具有复杂几何域的叶轮机械内流流场的数值求解。
【总页数】5页(P373-377)
【关键词】叶轮机;流场;涡-速度方程;求解
【作者】李春;王仲奇;冯国泰
【作者单位】哈尔滨工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】TK263.61
【相关文献】
1.分离涡模拟类方法发展及在叶轮机械内流场的应用 [J], 高丽敏;李瑞宇;赵磊;杨泽宇
2.叶轮机械内流动动态测量及流场诊断系统软件 [J], 马宏伟;蒋浩康
3.多级轴流叶轮机械内流场数值计算方法研究 [J], 姜健;管继伟;刘旭
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5.粒子图像速度场仪用于叶轮机械内流测量的研究 [J], 张玮;王元;徐忠
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拟流函数法——叶轮机械内三维流动分析问题和设计问题的一种求解方法
虚拟流函数法是用来求解叶轮机械内三维流动分析问题和设计问题的一种求解方法，它把叶轮机械内复杂的三维流动压力场和温度场转化为一组简单的二维虚拟流函数，从而使得叶轮机械内部三维流动分析和设计问题得以简化和解决。
虚拟流函数法基于叶轮机械内部流动压力场和温度场的流动特性，将叶轮机械内部复杂的三维流动转化为一组二维虚拟流函数，这些虚拟流函数之间有一定的关系。
虚拟流函数的计算方法主要有两种：一种是采用有限元法进行计算，另一种是采用有限差分法进行计算。
采用有限元法计算虚拟流函数的基本原理是将叶轮机械内部复杂的三维流动压力场和温度场转化为一组有限元方程，通过求解有限元方程组，获得虚拟流函数。
有限元法计算虚拟流函数的优点是能够准确地表示叶轮机械内部复杂的三维流动压力场和温度场，但计算量大，计算时间长，不易获得精确的解析解。
有限差分法计算虚拟流函数的基本原理是将叶轮机械内部复杂的三维流动压力场和温度场分割成若干个控制面，在每个控制面上应用积分方程求解虚拟流函数。
有限差分法计算虚拟流函数的优点是计算量小，计算时间短，易于获得精确的解析解，但计算误差较大。
虚拟流函数法能够有效地解决叶轮机械内部三维流动分析和设计问题，是流动分析和设计的有效工具。
但是，虚拟流函数的计算仍然是一项费时费力的工作，因此，在计算虚拟流函数时应当尽可能采用简便的方法，使得计算的效率更高，计算的精度更高，以达到更好的流动分析和设计效果。
2005年10月农业机械学报第36卷第10期离心泵叶轮内变流量流动特性的数值模拟张兄文 李国君 李 军 【摘要】 对一离心泵变流量时叶轮内部流动进行了数值模拟。
计算过程中采用标准kΕ二方程紊流模型,S I M PL EC 算法。
结果表明,设计流量时,流道入口段在流道的吸力面附近流体的相对速度比压力面附近大,在流道出口段压力面附近流体的相对速度比吸力面附近大;流量大于设计流量时,在流道入口段中线附近区域流体的相对速度较大,压力面和吸力面附近流体的相对速度均较小;流量小于设计流量时,流道入口段的吸力面附近出现空穴或旋涡,流道出口压力面附近有回流。
大流量时流道出口的“射流 尾迹”减弱,小流量时流道出口的“射流 尾迹”增强。
关键词:叶轮 变流量 数值模拟中图分类号:O 35711文献标识码:ANu m er ica l Si m ula tion of Flow Character istics i n Cen tr ifuga lPu m p I m pellers w ith Var i an tM a ss FlowZhang X i ongw en L i Guo jun L i Jun(X i ’an J iaotong U n iversity )AbstractF low characteristics in cen trifugal p um p i m p ellers at the variati on of m ass flow w ere investi 2gated by u sing num erical si m u lati on .Stand kΕtw o equati on s tu rbu len t m odel and S I M PL EC al 2go rithm s w ere app lied .A t the designed m ass flow ,relative velocity near the sucti on side of i m 2p eller w as h igher than that of the p ressu re side at the in let secti on of i m p eller p assage ,w h ile the relative velocity near the sucti on side of i m p eller w as low er than that of the p ressu re side at the ou tlet secti on of i m p eller p assage .A t the larger m ass flow ,the relative velocity at the m iddle channel w as h igher than that bo th of sucti on side and p ressu re side of the i m p eller at the in let sec 2ti on .A t the s m aller m ass flow ,there ex isted cavity o r vo rtex near the sucti on side of i m p eller at the in let secti on and w as likely to have circum fluence around the p ressu re side of i m p eller at the ou tflow secti on .Jet w ake w as strengthened w ith the m ass flow decreased and w as w eakened w ith m ass flow increased .Key words I m p eller ,V arian t m ass flow ,N um erical si m u lati on收稿日期:20040622张兄文 西安交通大学能源与动力工程学院 博士生,710049 西安市李国君 西安交通大学能源与动力工程学院 副教授李 军 西安交通大学能源与动力工程学院 副教授 引言离心泵叶轮出口液体的流动为典型的“射流 尾迹”流动,这种流动结构的形成和发展与叶轮流道内部的流动密切相关。
离心泵叶轮流场数值模拟研究一、前言离心泵是一种常见的机械设备，广泛应用于水处理、石油化工、空调等领域。
其中，离心泵叶轮是其重要部件之一，其性能对整个离心泵的性能有着至关重要的影响。
因此，对离心泵叶轮进行流场数值模拟研究，进一步优化其设计是非常必要的。
二、离心泵叶轮的结构和工作原理离心泵叶轮是离心泵的核心部件之一，其结构通常由叶片、叶片轴等部分组成。
离心泵叶轮是通过电机的旋转带动液体呈离心运动，从而产生往前的推力，将液体输送至出口。
离心泵叶轮的运行状态对离心泵的性能有着至关重要的影响。
三、离心泵叶轮流场数值模拟研究离心泵叶轮的流场数值模拟研究可以帮助我们深入了解离心泵叶轮内部的流体运动规律，进而对离心泵叶轮的设计做进一步的优化。
1.数值模拟方法利用常见CFD（计算流体力学）软件，如ANSYS CFX、FLUENT等，可以对离心泵叶轮流场进行数值模拟。
数值模拟方法涉及到的关键参数包括离散格式、网格生成、边界条件等。
其中，网格生成对数值模拟结果影响较大，因此需要注意生成网格的密度、精确度等因素。
2.数值模拟结果离心泵叶轮的流场数值模拟结果通常涉及流速分布、压力分布、流动轨迹等参数。
通过这些参数，可以对离心泵叶轮的性能进行分析和评价。
另外，数值模拟结果还可以指导离心泵叶轮的改进设计。
四、离心泵叶轮流场数值模拟的应用离心泵叶轮流场数值模拟的应用范围广泛，主要涉及以下方面：1.离心泵叶轮的设计和优化流场数值模拟可以帮助我们深入了解离心泵叶轮内部的流体运动规律，即可对离心泵叶轮的设计和优化提供理论基础。
2.离心泵叶轮的性能评估根据数值模拟结果，可以对离心泵叶轮的性能进行评估分析，指导制定更为科学合理的使用方案。
3.离心泵的研究和开发离心泵是研究和开发的对象之一，通过离心泵叶轮流场数值模拟研究，可以为离心泵的研究和开发提供重要的参考依据。
五、结语离心泵叶轮的流场数值模拟研究可以为离心泵的设计和优化提供理论基础，加速离心泵产品的研发和应用。
叶轮机械内部流场数值分析方法概论席光第一章叶轮机械气体动力学的一般知识1.1绪论1.2描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法1.3绝对与相对坐标系，标量和矢量函数在两类坐标系下的关联1.4相对和绝对坐标系下作用力和功的概念1.5三元流动控制方程组第二章基于两类相对流面理论的数值分析方法2.1两类相对流面的基本概念2.2流线曲率法2.3有限差分法2.4应用实例第三章三元流动的直接数值求解方法3.1不同坐标系下控制方程的分量表达式3.2压力求解变量类方法（SIMPLE）3.3密度求解变量类方法（时间相关法）3.4通用软件简介第四章非定常流动的数值分析方法4.1叶轮机械中非定常流的概念4.2滑移网格法4.3应用实例1.2 相对、绝对坐标系下各类函数的关联1.2.1 坐标系的基本概念坐标系的定义：一般地，对于某个函数对象的集合，若有使它的元素对应于数量的结构，则称此结构为坐标系。
坐标系的分类：几何⎩⎨⎧），非正交曲线坐标系（系等）卡尔，圆柱，球形坐标正交曲线坐标系（如笛ηξ；图1 非正交曲线坐标系示例运动⎩⎨⎧常）轮上，叶轮内流边界定相对坐标系（固定在转结在一起，惯性系）绝对坐标系（与地面固。
最常用的坐标系：1. 笛卡尔直角坐标系（z y x ,,）特点：坐标线为直线，且相互垂直；坐标面为平面；坐标矢基为单位常向量，不随空间位置变化。
图2 笛卡尔直角坐标系2. 圆柱坐标系（z r ,,θ） r ：空间点到z 轴的距离； θ：x 轴为起点，逆时针为正的角度； z ：与直角坐标的z 轴相同。
【问题】坐标线／面为什么形式？ 图3 圆柱坐标系⎪⎩⎪⎨⎧===zz r y r x θθsin cos 基矢量的特点⎩⎨⎧置变化．是常矢量，不随空间位是空间坐标的函数；ｚe e e r ρρρ,θ 课堂练习：推导直角坐标系与圆柱坐标系单位基矢量之间的关系几何法：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=ke j i e ji e z r ρρρρρρρρθθθθθcos sin sin cos解析法：设空间任一点的矢径k z j r i r k z j y i x R p ϖϖϖϖϖϖϖ++=++=θθsin cos则有 图4⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂=+-=∂∂∂∂=+=∂∂∂∂=kz R z R e j i R R e j i r R r R e p p z pp p p r ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖθθθθθθθcos sin sin cos 1.2.2 流体运动的两种描述方法1. 拉格朗日法：以流场中个别质点的运动作为研究的出发点，从而进一步研究整个流体的运动。
这种方法是质点系力学研究方法的自然延续。
对某个流体质点),,(c b a 在空间运动时，其直角坐标系下的位置与时间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x 其中),,(c b a 为0t t =时刻该质点的空间位置。
对于任意质点，由于各个质点在0t t =时刻的坐标),,(c b a 不一样，各质点在任意时刻的空间位置将是t c b a ,,,四个变量的函数。
⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x k z j y i x R ϖϖϖϖ++= 对于一个确定的质点，即),,(c b a 确定，根据速度的定义有：dtR d t t R t t R V t ϖϖϖϖ=∆-∆+=→∆)()(lim 0当研究所有质点时，),,(c b a 也是自变量，这时t R V ∂∂=ϖϖ tz w t y v t x u ∂∂=∂∂=∂∂=,, 同样质点的加速度： 22t R t Va ∂∂=∂∂=ϖϖϖ， ),,,(t cb a 称为拉格朗日变数。
2. 欧拉法：不着眼于研究个别质点的运动特性，而是以流体流过的空间某点的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。
在欧拉法中，各物理量将是时间t 和空间坐标点),,(z y x 的函数，如：),,,(t z y x V V ϖϖ=1.2.3 相对和绝对坐标系 1. 直角坐标系绝对坐标系记为),,(z y x ；相对坐标系记为)',','(z y x ；其中z 轴和'z 轴相同，都与机器轴线一致。
图5相对坐标系的'''y o x 平面绕z 轴以角速度ϖ逆时针旋转，0=t 时刻'x 与x 坐标轴重合。
其关系为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-='cos 'sin 'sin 'cos 'z z t y t x y ty t x x ϖϖϖϖ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=⇒'cos 'sin 'sin 'cos 'k k t j t i j tj t i i ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=⇒kk t j t i j tj t i i ϖϖϖϖϖϖϖϖ'cos sin 'sin cos 'ϖϖϖϖ 图6注意：由上式可知，',','k j i ϖϖϖ基矢量与时间有关，与空间坐标无关！ 2. 圆柱坐标系绝对),,(z r θ，相对)',,'(z r ϕz 与'z 轴相同都与机器轴线一致，其关系为：⎪⎩⎪⎨⎧=+==''z z t r r ϖϕθ由几何关系可以得知：'r r e e ϖϖ= ；图 7 ϕθe e ϖϖ=k e e z z ϖϖϖ==' 。
1.2.4 物理量在相对、绝对坐标系中的关联 1. 标量场),,,(ΛT p q ρ任一标量函数q ,记为)](),(),(),([),,,('''t t z z t r r q t z r q q ϖϕθθ+==, 则应用复合函数求导法有对坐标的偏导数:同样可以求得:cz c y c t a cz c y ct a a a x q xqz q z q q q ======∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂''''',,ϕθ.即ϖθθϕ∂∂+∂∂=∂∂==q t q t q a c a c ' 对时间的全导数（质点导数） 容易证明DtDqDt q D a = （自证） 3. 矢量函数I ） 坐标偏导数令矢量函数A 为 k A j A i A A z y x ϖϖϖϖ++=则 ''''r A k r A j r A i r A k r A j r A i r A r A z yx z a y a x a a ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ（由于',','r A r A r A r A r A r A zz a y y a x x a ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂。
） 同理可证：zAz A A A a a ∂∂=∂∂∂∂=∂∂ϖϖϖϖ,ϕθ 。
II ） 时间偏导数''''''k A j A i A k A j A i A A z y x z y x ϖϖϖϖϖ++=++=tk A t j A t i A k t A j t A i t A k A j A i A t t A a z a y a x z a y a x a z y x a a ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++∂∂=∂∂'''''')'''('''''''''ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ ＝ϖϖθϖθϖθϖ''''''''''''''''y x z a z y a y x a x A i A j k A k t A j A j t A i A i t A ϖϖϖϖϖϖϖϖ-+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ ＝A A t A ϖϖϖϖ⨯+∂∂-∂∂ϖϕϖA A t A t A a ϖϖϖϖϖ⨯+∂∂-∂∂=∂∂ϖϕϖ考虑0,0=∂∂=∂∂ϕA t A ϖϖ的特例t A A t A tt t t a ∆-=∂∂∆+→∆ϖϖϖlim 0， 图 8 模 2sin lim 0πϖϖA t t A t At a ϖϖϖ=∆∆=∂∂→∆ 方向 AAϖϖϖϖϖ⨯⨯=ϖϖτ .通常把空间点的坐标值和时间t 称为欧拉变数。
4. 质点导数流体质点的物理量对于时间的变化率称作该物理量的质点导数。
质点导数在拉格朗日法中是很自然的，如一流体质点),,(c b a 的速度对时间的变化率就是这个质点的加速度V DtD t c b a a t t c b a V ϖϖϖ==∂∂),,,(),,,( . 但在欧拉法中，物理量是空间变量z y x ,,及时间t 的函数，如),,,(t z y x V V ϖϖ=它对于时间的偏导数tV∂∂ϖ，只表示在固定的空间点上),,(z y x 流体速度对于时间的变化率，而不是确定的流体质点的速度对时间的变化率，那么如何在欧拉法中表示质点导数呢？设t 时刻，P 点的流体质点的速度为),,,(t z y x V V P ϖϖ= .则经过一段时间t ∆后此质点移动的位移为t V P ∆ϖ，到达新的空间点),,,('t t t w z t v y t u x P ∆+∆+∆+∆+,此时的速度为),,,('t t t w z t v y t u x V V P ∆+∆+∆+∆+=ϖϖ .图 9t t o t t Vt w z V t v y V t u x V V t V V Dt V D P P P P p t P P t ∆∆+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=∆-=→∆→∆)(lim lim 0'0ϖϖϖϖϖϖϖϖ V V tVϖϖϖ)(∇•+∂∂=随体导数:由''''''k A j A i A A z y x ϖϖϖϖ++= 易证Dt k D A Dt j D A Dt i D A k Dt A D j Dt A D i Dt A D Dt A D a z a y a x z a y a x a a ''''''''''''ϖϖϖϖϖϖϖ+++++= A DtA D i A j A k Dt DA j Dt DA i Dt DA y x z y x ϖϖϖϖϖϖϖϖ⨯+=-+++=ϖϖϖ''''''''''5．相对速度、绝对速度、加速度及其相互联系 (1) 速度由定义： Dt R D W Dt R D C p p a ϖϖϖϖ==,再由关系式：A DtA D Dt A D a ϖϖϖϖ⨯+==ϖ 取p R A ϖϖ=，则有：pp pp p pa r W r k z W R W R DtR D C DtR D ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⨯+=+⨯+=⨯+=⨯+==ϖϖϖϖ)( 图 10 圆柱坐标下的速度分量形式：kC e C e C k C e DtD r e C kDt z D Dt e D r e Dt r D k z e r Dt D Dt R D C z r r z a r r a r a r a r a p a ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ++=++=++=+==θθθθ)('''''')'''('''''k W e W e W k W e Dt D r e W kDt Dz Dt e D r e Dt Dr k z e r Dt D Dt R D W z r r z r r r r r p ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ++=++=++=+==ϕϕϕϕ 由于ϖϖϕϖϕθϕθr W r DtD r Dt t D r Dt D rC a a a +=+=+==)( p zz rr r W C W C r W C W C ϖϖϖϖ⨯+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==⇒ϖϖϕθ【问题】直角坐标系下相对和绝对速度之间的关系式？(2) 加速度kDtC D e r C C Dt C D e r C Dt C D kDt C D e Dt C D e Dt D C e Dt C D e Dt D C kDtC D e Dt C D Dt e D C e Dt C D Dt e D C kDtC D e C Dt D e C Dt D e C e C e C Dt D Dt C D a z a r a r r a z a a r r r a r z a a a r r a r a r z a a r r a z z r r a a c ϖϖϖϖϖρϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ+++-=++-++=++++=++=++==θθθθθθθθθθθθθθθθθθ)()()()()()()(2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=Dt C D DtC D r CC Dt CD Dt C D r C Dt C D Dt C D z a za r a a r a r a )()()(2ϖϖϖθθθθ 同样可以求得相对加速度的分量形式')()('2k Dt DW e r C C Dt DW e r W Dt DW Dt W D a z r r r W ϖϖϖϖϖ+++-==ϕθϕϕ由于 Λϖϖϖϖϖϖ,,,,,,''z z r r z z r r e e e e e e C W r C W C W ====-==ϕθθϕϖW r Dt W D e W e W e r Dt W D e rr W W e r r r W k DtDW e r W W Dt DW e r W Dt DW k DtDW e r W W r W Dt r D Dt DW e r r r W W Dt DW a Dt C D p r r r r r r z r r r z r r r r C a ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ⨯+⨯⨯+=+--=+++-++++-=+++++++-==ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖθϕθϕθϕϕϕθϕϕϕϕ2)(22)()2(')()('))(()2(2222222 （上式第二项为向心加速度，第三项为哥氏加速度。
