计量经济学4_一元线性回归
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第4章-一元线性回归-计量经济学及Stata应用
n
ei 0
i1
n
i1
xiei
0
写为向量内积的形式：
(4.16) (4.17)
22
e1
1
1
0,
x1
en
e1
xn
0
en
(4.18)
定义常数向量、残差向量、解释向量以及拟合值向量为
1
1
,
1n1
e1
e
,
en
x1
x
,
xn
yˆ1
yˆ
yˆn
(4.19)
y
(xi , yi ) • ei
• ••
a•
• a +bx
•
•
•
b
•
1
••
x
图 4.2 数据生成过 程
11
4.2 OLS 估计量的推导
如何根据观测值xi
,
yi
n i1
来估计总体回归直线
xi？
希望在(x, y) 平面上找到一条直线，使得此直线离所有这些点 (观 测值)最近，参见图 4.3。
在此平面上，任意给定一条直线，yi ˆ ˆxi (其中，ˆ读为 alpha hat， ˆ读为 beta hat)，计算每个点(观测值)到这条线的距离， ei y i ˆ ˆ xi，称为“残差”(residual)。
除 xi 以外，影响 yi 的所有其他因素都在i 中。
下标 i 表示个体 i，比如第 i 个人，第 i 个企业，第 i 个国家 等。
i 的取值为1, , n ，其中n 为“样本容量”(sample size)。
方程 (4.5) 右边的确定性部分为 xi ，称为 总体回归线
第四章计量经济学答案
第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。
回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。
本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。
需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。
2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。
3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。
就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。
一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。
（）是拟合值的离散程度的度量。
它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。
（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。
4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。
某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。
5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
计量经济学例题解答
例1（一元线性回归模型） 令kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为：µββ++=educ kids 10（1）随机扰动项µ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
解答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。
有些因素可能与增长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ 相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。
例2（一元线性回归模型） 已知回归模型µβα++=N E ，式中E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年）。
随机扰动项µ的分布未知，其他所有假设都满足。
（1）从直观及经济角度解释α和β。
（2）OLS 估计量αˆ和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。
βˆ（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。
解答：（1）N βα+为接受过N 年教育的员工的总体平均起始薪金。
当N 为零时，平均薪金为α，因此α表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。
β是每单位N 变化所引起的E 的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。
（2）OLS 估计量αˆ和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需随机扰动项βˆµ的正态分布假设。
（3）如果t µ的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。
因为t 检验与F 检验是建立在µ的正态分布假设之上的。
例3（一元线性回归模型） 对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S µβα++=使用美国36年的年度数据得到如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538 023.199ˆ=σ（1）β的经济解释是什么？（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。
计量经济学例题解答
例1（一元线性回归模型） 令kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为：µββ++=educ kids 10（1）随机扰动项µ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
解答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。
有些因素可能与增长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ 相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。
例2（一元线性回归模型） 已知回归模型µβα++=N E ，式中E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年）。
随机扰动项µ的分布未知，其他所有假设都满足。
（1）从直观及经济角度解释α和β。
（2）OLS 估计量αˆ和满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。
βˆ（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。
解答：（1）N βα+为接受过N 年教育的员工的总体平均起始薪金。
当N 为零时，平均薪金为α，因此α表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。
β是每单位N 变化所引起的E 的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。
（2）OLS 估计量αˆ和仍满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需随机扰动项βˆµ的正态分布假设。
（3）如果t µ的分布未知，则所有的假设检验都是无效的。
因为t 检验与F 检验是建立在µ的正态分布假设之上的。
例3（一元线性回归模型） 对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S µβα++=使用美国36年的年度数据得到如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538 023.199ˆ=σ（1）β的经济解释是什么？（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。
计量经济学-第4章
yi2 yˆi2 ei2 ˆ12 xi2 ei2
TSS ESS RSS
4
4.1.1 总离差平方和旳分解
已知由一组样本观察值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
2
即
P(i
t s t s ) P(t 2
i i
si
t ) 1
2
2
i
i
i
2
i
1
21
于是得到:(1-)旳置信度下, i旳置信区间是
(i
t
2
si , i
t
2
si )
在上述收入-消费支出例中，假如给定 =0.01，
查表得：
因为
t (n 2) t0.005 (8) 3.355 2
▪判断成果合理是否，是基于“小概率事件不易 发生”旳原理
➢ 一次抽样中，尽然不能支持原假设，也就是举反 例否决。
13
4.2.2 变量旳明显性检验
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
t ˆ1 1 ˆ1 1 ~ t(n 2)
ˆ 2 xi2
S ˆ1
14
检验环节：
（1）对总体参数提出假设
H0： 1=0，
18
4.3 参ห้องสมุดไป่ตู้旳置信区间检验法
假设检验能够经过一次抽样旳成果检验总体参数 假设值旳范围（如是否为零），但它并没有指出 在一次抽样中样本参数值究竟离总体参数旳真值 有多“近”。
要判断样本参数旳估计值在多大程度上能够“近 似”地替代总体参数旳真值，往往需要经过构造 一种以样本参数旳估计值为中心旳“区间”，来 考察它以多大旳可能性（概率）包括着真实旳参 数值。这种措施就是参数检验旳置信区间估计。
TSS ESS RSS
4
4.1.1 总离差平方和旳分解
已知由一组样本观察值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
2
即
P(i
t s t s ) P(t 2
i i
si
t ) 1
2
2
i
i
i
2
i
1
21
于是得到:(1-)旳置信度下, i旳置信区间是
(i
t
2
si , i
t
2
si )
在上述收入-消费支出例中，假如给定 =0.01，
查表得：
因为
t (n 2) t0.005 (8) 3.355 2
▪判断成果合理是否，是基于“小概率事件不易 发生”旳原理
➢ 一次抽样中，尽然不能支持原假设，也就是举反 例否决。
13
4.2.2 变量旳明显性检验
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
t ˆ1 1 ˆ1 1 ~ t(n 2)
ˆ 2 xi2
S ˆ1
14
检验环节：
（1）对总体参数提出假设
H0： 1=0，
18
4.3 参ห้องสมุดไป่ตู้旳置信区间检验法
假设检验能够经过一次抽样旳成果检验总体参数 假设值旳范围（如是否为零），但它并没有指出 在一次抽样中样本参数值究竟离总体参数旳真值 有多“近”。
要判断样本参数旳估计值在多大程度上能够“近 似”地替代总体参数旳真值，往往需要经过构造 一种以样本参数旳估计值为中心旳“区间”，来 考察它以多大旳可能性（概率）包括着真实旳参 数值。这种措施就是参数检验旳置信区间估计。
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
计量经济学一元线性回归模型总结
计量经济学⼀元线性回归模型总结第⼀节两变量线性回归模型⼀．模型的建⽴1．数理模型的基本形式y x αβ=+ （2.1）这⾥y 称为被解释变量(dependent variable)，x 称为解释变量(independent variable)注意：（1）x 、y 选择的⽅法：主要是从所研究的问题的经济关系出发，根据已有的经济理论进⾏合理选择。
（2）变量之间是否是线性关系可先通过散点图来观察。
2．例如果在研究上海消费规律时，已经得到上海城市居民1981-1998年期间的⼈均可⽀配收⼊和⼈均消费性⽀出数据（见表1），能否⽤两变量线性函数进⾏分析？表1.上海居民收⼊消费情况年份可⽀配收⼊消费性⽀出年份可⽀配收⼊消费性⽀出 1981 636.82 585 1990 2181.65 1936 1982 659.25 576 1991 2485.46 2167 1983 685.92 615 1992 3008.97 2509 1984 834.15 726 1993 4277.38 3530 1985 1075.26 992 1994 5868.48 4669 19861293.24117019957171.91586819871437.09128219968158.746763 19881723.44164819978438.896820 19891975.64181219988773.168662．⼀些⾮线性模型向线性模型的转化⼀些双变量之间虽然不存在线性关系，但通过变量代换可化为线性形式，这些双变量关系包括对数关系、双曲线关系等。
例3-2 如果认为⼀个国家或地区总产出具有规模报酬不变的特征，那么采⽤⼈均产出y与⼈均资本k的形式，该国家或者说地区的总产出规律可以表⽰为下列C-D⽣产函数形式y Akα=（2.2）也就是⼈均产出是⼈均资本的函数。
能不能⽤两变量线性回归模型分析这种总量⽣产规律？3．计量模型的设定（1）基本形式：y x αβε=++ （2.3）这⾥ε是⼀个随机变量，它的数学期望为0，即（2.3）中的变量y 、x 之间的关系已经是不确定的了。
计量经济学：一元线性回归模型习题与答案
一、单选题1、假设检验采用的逻辑推理方法是A.归纳推理法B.类比推理法C.反证法D.演绎推理法正确答案：C2、在Eviews软件操作中，预测是用（）命令。
A.GENERATEB.PLOTC.FORECASTD.SCAT正确答案：C3、对任意两个随机变量X和Y，若EXY=EX*EY,则（）A.X和Y不独立B.X和Y相互独立C.Var(XY)=VarX*VarYD.Var(X+Y)=VarX+VarY正确答案：D4、设随机变量X1,X2,...,Xn（n>1）独立同分布，且方差σ2>0。
令随机变量Y=1n ∑X ini=1，则()A.Var(X1+Y)=n+2nσ2B.Cov(X1,Y)=1nσ2C. Var(X1−Y)=n+2nσ2D. Cov(X1,Y)=σ2正确答案：B5、设随机变量X~t(n)(n>1),Y=1X，则A. Y~F(1,n)B. Y~F(n,1)C. Y~χ2(n−1)D. Y~χ2(b)正确答案：B二、多选题1、变量的显著性T检验的步骤有哪些？A.以原假设H0构造T统计量B.对总体参数提出假设C.给定显著性水平α，查t分布表得临界值tα/2(n-2)D.比较t统计量和临界值正确答案：A、B、C、D2、随机误差项的主要影响因素是A.变量观测值的观测误差的影响B.在解释变量中被忽略的因素的影响C.都不是D.模型关系的设定误差的影响正确答案：A、B、D3、下列中属于最小二乘法基本假设的有A.解释变量X是确定性变量，不是随机变量B.m服从零均值、同方差、零协方差的正态分布：μi~N(0,σμ2) i=1,2, …,nC.随机误差项μ与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,μi)=0i=1,2, …,nD.随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。
正确答案：A、B、C、D4、最小二乘估计量的性质A.有效性B.无偏性C.一致性D.线性性正确答案：A、B、D5、缩小置信区间的途径有哪些A.增大样本容量B.降低模型的拟合优度C.提高模型的拟合优度D.减小样本容量正确答案：A、C三、判断题1、可以通过散点图来确定模型的形式。
计量经济学课件一元线性回归
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS） 给出的判断标准是：二者之差的平方和
ˆ ˆ X )) 2 ˆ ) (Y ( Q (Yi Y i i 0 1 i
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
ˆ Y 顺便指出 ，记 y ˆi Y i
则有
ˆ ˆ X ) ( ˆ ˆ X e) ˆi ( y 0 1 i 0 1 ˆ (X X ) 1 e 1 i n i
可得
ˆx ˆi y 1 i
（**）
（**）式也称为样本回归函数的离差形式。
注意：
在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值 的离差。
易知 故
x k x
i
i
2 i
0
k X
i
i
1
ˆ k i i 1 1
ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
同样地，容易得出
ˆ ) E ( w ) E( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
1 (2 ) n
n 2
1 2
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min m ∑ (Yi − m )
i =1
n
2
∑ (Y − b
i =1 i
n
0
− bi X i ) 2
4.6
称最小化 4.6 式中误差平方和的截距和斜率估计量为β0 和β1 的普通最小二乘（OLS）估计量。
7 8
OLS估计量、预测值和残值
斜率β1和截距β 0的OLS估计量分别为 ˆ β1 =
OLS预测值和残值
TestScore = 698.9 – 2.28×STR
ˆ YAntelope = 698.9 – 2.28×19.33 = 654.8
ˆ u Antelope = 657.8 – 654.8 = 3.0
13 14
拟合优度（ Measures of Fit ）
所得到的回归线描述数据的效果如何评价？ 回归变量说明了大部分还是极少部分的因变量变化？ 观测值是紧密地聚集在回归线周围还是很分散？ • 回归的 R2 是指可由 Xi 解释（或预测）的 Yi 样本方差的 比例。回归的 R2 的取值范围为 0 到 1.
——普通最小二乘估计量
前面讨论过，Y 是总体均值μY 的 最小二乘估计量，即在所有 可能的估计量 m 中， Y 使估计误差总平方和最小：
将 OLS 估计量这种思想应用于线性回归模型。令 b0 和 b1 分 别表示β0 和β1 的某个估计量，则基于这些估计量的回归线 为：b0+b1X，于是由这条线得到 Yi 的预测值为：b0+b1Xi。 因而，第 i 个观测的观测误差为：Yi-b0-biXi，n 个观测的观测 误差平方和为：
Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n 不太可能出现大异常值 Xi 和（或）Yi 的观测中远落在一般数据范围 之外的大异常值是不大可能出现的。 • 表述为：X 和 Y 具有非零有限四阶距: 即 0 < E ( X ) < ∞, 0 < E (Y ) < ∞ • 或表述为：X 和 Y 具有有限峰度。 • 该假设说明 OLS 对异常值是很敏感 的。
•
实践中，出现异常值的一种可能是数据登录错误。画数 据散点图是简单有效的检查方法。
27 28
线性回归分析的概率框架模型
总体
所关注对象的集合 (例如: 所有可能的学区)
一元线性回归 Chapter 4
Linear Regression with One Regressor 一元线性回归
一元线性回归使我们可以估计、推断总体回归 线的斜率系数。我们的最终目标是估计自变量 X发生一个单位的变化， 会导致因变量Y发生多 少的变化。 • 为使问题简化，下面我们分析只有两个变量的 Y和X之间为线性关系的情形。
对于数据中的 Antelope 学区,其 STR = 19.33，与之相应的 Test Score = 657.8，则 Antelope 学区的 成绩预测值: 残差:
------------------------------------------------------------------------| Robust testscr | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] --------+---------------------------------------------------------------str | -2.279808 .5194892 -4.39 0.000 -3.300945 -1.258671 _cons | 698.933 10.36436 67.44 0.000 678.5602 719.3057 -------------------------------------------------------------------------
4 i 4 i
25
26
出现异常值情况举例
OLS估计量的抽样分布
ˆ ˆ OLS 估计量 β 0和β1 是由随机抽取的样本计算得到的，抽取的 ˆ ˆ 样本不同，得到的 β 0和β1 的取值也不同。这些估计量本身就
是随机变量，具有描述在不同可能随机样本中取值情况的概 率分布，即抽样分布。
• 图中孤立点表明 X 和 Y 哪个取值异常?
β1 = 总体回归线的斜率
=
• •
假设检验
•
ΔTest score ΔSTR = STR 变化一单位导致 test score 发生的变动
2. 我们希望知道总体参数β1 的具体数值。 3. 然而，我们并不知道 β的数值是多少，因此要根
1. 为何β0 和β1 被称为总体参数？
置信区间
•
据数据对它进行估计。
（regressand）或左边变量。
• β0 ：总体回归的截距（intercept） • β1 ：总体回归的斜率（slope） • ui ：误差项(error item）
•
误差项构可能因遗漏因素或 Y 的测量误差引起。遗漏因 素指那些除了变量 X 之外的能够对 Y 产生影响的因素。
5 6
1
如何利用数据估计 β0 和 β1 ？
22
随机对照试验中u的条件均值
在随机对照试验中，试验对象被随机分配 到处理组(X=1)或者对照组(X=0)中。 其中随 机分配通常采用与试验对象无关的计算机 程序进行，这样就能确保 X 的分布与试验 对象的所有个体特征独立。 随机分配使 X 和 u 相互独立，这就意味着 给定 X 时，u 的条件均值为零。
3 4
一元线性回归模型的术语
Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n • X 是自变量（independent variable）或回归变量
7个学区的假想观测值 Yi = β0 + β1X为总体回归线 ui为第i个观测的总体误差项
（ regressor）或右边变量。
• Y 是因变量（dependent variable）从属变量
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X
4.8
β 0、β1和ui 真值的估计。
9
10
例：测试成绩和学生/教师比关系的 OLS估计值
截距和斜率估计值的经济含义
TestScore = 698.9 – 2.28×STR
• -2.28 表示：每个教师对应的学生人数增加 1 时，学区测 试成绩平均下降 2.28 分。 ΔTest score • 即, = –2.28 ΔSTR
ˆ ˆ OLS 预测值Yi 和残差ui分别为： ˆ ˆ ˆ Y = β + β X ， i = 1, 2, n
i 0 1 i
∑(X
i =1 n i =1
n
4.9 4.10
i
− X )(Yi − Y )
i
∑(X
=
− X )2
s XY 2 sX
4.7
ˆ ˆ ui = β1i − Yi ˆ ˆ ˆ 估计的截距β 0和β1和残差ui 是 利用X i 和Yi , i = 1, 2 n的n组样本观测值 计算得到的。它们分别是未知总体截距
从 R = 0.05 看，STR 仅仅揭示了测试成绩变动中的一小部 分 。这个结论有意义么？是否可以认为 STR 在政策制定中 不重要呢？
19 20
2
最小二乘假设之1
Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n 零条件均值 给定 Xi 时，ui,的条件分布均值为零。该假设是关于包 含在 ui 中的“其他因素”的规范数学表示，表明在 Xi 取值给定时，其他因素分布均值为零，也就是说， ˆ 这些“其他因素”与 Xi 无关。这意味着 β1 是无偏
SER =
1 n 2 ˆ ∑ ui n − 2 i =1
度量的观测值在回归线附近的离散程度。
SER =
•
除以 n–2 是进行自由度修正。类似于计算样本方差的公式 中除以 n–1，是由于计算时用到一个参数的估计量 (, 用Y 估计μY)。在计算回归标准误差的时候，用到两个参数的估 ˆ ˆ 计量(用 β 和 β 估计β0 ，β1)。
ESS TSS − SSR SSR = = 1− TSS TSS TSS • R2 = 0 表示 ESS = 0 R2 =
• R2 = 1 表示 ESS = TSS • 0 ≤ R2 ≤ 1
•
回归标准误差（standard error of the regression ，SER） 是回归误差 ui 的标准差估计量。
23
相关系数和条件均值
给定一个变量时另一个变量的条件期望为零， 则这两个变量的协方差为零。因此， 条件均值 假设 E(ui｜Xi)=0,意味着 ui 和 Xi 不相关，或 corr(Xi ,ui)=0. 由于相关系数是线性关系的度量， ，上述结论 反过来不成立；即使 ui 和 Xi 不相关，给定 Xi 时，ui 的条件均值也可能不为零。但是如果 ui 和 Xi 相关，则 E(ui｜Xi)必定不为零。
24
4
最小二乘假设之2
Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n (Xi,Yi), i =1,…,n,的观测独立同分布 （iid）.(随机抽样) • 这是关于如何抽样的表述。 • 如果观测是从单个较大总体中通过 简单随机抽样得到的，则(Xi,Yi)独立 同分布。
最小二乘假设之3
• 698.9 表示：对于这个回归线，每个教师对应 0 个学生的
ˆ β1 = – 2.28 ˆ β 0 = 698.9
TestScore = 698.9 – 2.28×STR
11
学区，预计测试成绩为 698.9 分。
•
注意：截距的取值STATA做OLS回归
输入命令：regress testscr str, robust 命令的含义 Regression with robust standard errors Number of obs F( 1, 418) Prob > F R-squared Root MSE = = = = = 420 19.26 0.0000 0.0512 18.581