等效法处理重力场和电场的复合场问题(可编辑修改word版)

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

等效法处理重力场和电场的复合场问题作者：赵鹏飞来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的带电物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些.此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能得到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现.那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与之前的相关概念之间关系.具体对应如下：等效重力场是重力场、电场叠加而成的复合场等效重力是重力、电场力的合力等效重力加速度等于等效重力与物体质量的比值等效“最低点”是物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”是物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等于等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、等效重力场中的典型模型1.类平抛运动例1如图1所示，倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度E=103N/C，有一个质量为m=3×10-3kg的带电小球，以速度v=1 m/s沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）解析（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图2可知，小球必带正电，且tanα=Eqmg，所以；q=mgtanαE=2.25×10-5C.从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做类平抛运动，处理的基本方法是运动的分解.如图3，小球在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做“自由落体运动”，则有x=vty=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s，g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.解得y=0.25 m，所以t=0.2 s内的总位移大小为s=x2+y2=0.32 m.考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过α角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近.2.单摆类问题例2如图4所示，一条长为L的细线，上端固定，下段拴一质量为m的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平向右.已知当细线偏离竖直位置的夹角为α时，小球处于平衡状态，如果使细线的偏转角由α增大到φ，然后将小球由静止开始释放，则：（1）φ应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零？（2）若α≤5°，那么（1）问中带电小球由静止释放至到达竖直位置需要多少时间？解析（1）从“等效重力场”观点看，小球原来的平衡位置是它的等效“最低点”，初始释放点M和几何最低点N是小球在等效“最低点”两侧做机械振动的两个端点，如图4所示，它们应该关于等效“最低点”对称，所以φ=2α；（2）α≤5°时，小球的振动可近似看成简谐运动，由静止释放至到达竖直位置需要的时间为周期的一半，即t=T2=2πLg′2=πLg′其中g′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球从释放至第一次到达竖直位置的时间为t=πLcosαg.与传统的处理方法相比较，等效重力场法回避了复杂的数学表达式化简和三角函数变换的过程，达到了事半功倍的效果.3.竖直平面内圆周运动例3光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为33mg，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v0，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0大小.解析小球同时受到重力和电场力作用，可认为小球处在等效重力场中.小球所受的等效重力大小为G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，其中g′=233g，且如图5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向与竖直方向成30°.故图6中B为等效“最低点”，C为等效“最高点”.小球能做完整圆周运动的临界条件是恰能通过等效“最高点”C，在C点等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，对小球从A运动到C的过程应用动能定理-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.代入相关物理量解得 v0=2（3+1）gR此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.。

用等效法解决带电体在电场、重力场中的运动等效思维方法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中一类重要而典型的题型。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。

先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a ＝F 合m 视为“等效重力加速度”。

再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。

[典例] 如图6-4-12所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中。

现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？图6-4-12[思路点拨](1)试分析小球的受力情况，画出受力分析图。

提示：(2)小球在斜面上做什么运动？要使小球能安全通过圆轨道，那么临界状态是什么情况？提示：小球在斜面上做匀速直线运动；在圆轨道上临界状态是恰好能过“等效最高点”。

[解析] 小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝(qE )2＋(mg )2＝23mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动。

因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg ′＝m v D 2R ，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－2mg ′R ＝12m v D 2－12m v 02解得v 0＝ 103gR3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR3。

难点分析：为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场： 重力场、电场叠加而成的复合场。

等效重力： 重力、电场力的合力。

等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值。

等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置。

等效“最高点”： 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置。

等效重力势能： 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积。

突破策略在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动问题及相关的能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。

用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。

根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。

“等效重力场”建立方法当一个质量为m 、带电量为q 的物体同时处在重力场和场强为E 的匀强电场中，可将两场叠加为一个等效的重力场。

等效重力场的“重力加速度”可表示为qEg g m'=+，g '的方向与重力mg 和电场力qE 合力的方向一致；若合力的方向与重力mg 方向夹角为θ，则g 也可表示为cos gg θ=。

解题应用解圆周运动例. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度0.40m L =的绝缘细绳把质量为0.10kg m =、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37θ=。

现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。

（210m/s g =，sin 370.60=，cos370.80=）解析： ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角30，大小： 1.25cos 37gg g '==由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功21m ()(cos sin )2OA OC Cg L L mg L mv θθ''''-=-= 代入数值得 1.4C v ≈m/s（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则21sin 2B mg L L mv θ'-=（） ① 2B v F mg mL'-=②联立①②两式子得 2.25F =N 。

高中物理选修3-1题型5（等效场-重力与电场复合场）1、复合场物体仅在重力场中的运动时最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，可以将重力场与电场合二为一，用“复合场”来代替两个分立的场。

形象的把这个复合场叫做等效场或等效重力场。

2、处理思路（1）受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向；（2）在复合场中找出等效最低点、最高点。

过圆心做等效重力的平行线与圆相交。

（3）根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。

1、如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b．不计空气阻力，则（B）A．小球带负电B．电场力跟重力平衡C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．小球在运动过程中机械能守恒2、如图所示，竖直放置的光滑绝缘圆环上套有一带正电的小球，圆心O处固定有一带负电的点电荷，匀强电场场强方向水平向右，小球绕O点做圆周运动，那么以下说法错误的是（D）A．在A点小球有最大的电势能B．在B点小球有最大的重力势能C．在C点小球有最大的机械能D．在D点小球有最大的动能3、如图所示，水平向左的匀强电场场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为L，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。

把小球拉到使细线水平的位置A，然后由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成角θ=60°的位置B时速度为零。

以下说法中正确的是（B）A．A点电势低于的B点的电势B．小球受到的重力与电场力的关系是C．小球在B时，细线拉力为T=2mgD．小球从A运动到B过程中，电场力对其做的功为4、如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环，其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L。

用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动1．等效重力法将重力与电场力进行合成，如图所示，则F 合为等效重力场中的“重力”，g ′＝F 合m 为等效重力场中的“等效重力加速度”，F 合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向． 2．物理最高点与几何最高点在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小的点．【题型1】在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？ (2)小球在B 点的初速度多大？【题型2】如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为h 的A 处由静止开始下滑，沿轨道ABC 运动并进入圆环内做圆周运动．已知小球所受电场力是其重力的34，圆环半径为R ，斜面倾角为θ＝60°，s BC ＝2R .若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)【题型3】如图所示，一质量为m1＝1 kg，带电荷量为q＝＋0.5 C的小球以速度v0＝3 m/s，沿两正对带电平行金属板(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入，极板长0.6 m，两极板间距为0.5 m，不计空气阻力，小球飞离极板后恰好由A点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道ABC的形状为半径R<3 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点竖直线OO′的右边界空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ＝10 V/m.(取g＝10 m/s2)求：(1)两极板间的电势差大小U；(2)欲使小球在圆弧轨道运动时不脱离圆弧轨道，求半径R的取值应满足的条件．【题型4】如图所示，竖直平面内的直角坐标系O–xy中，第二象限内有一半径为R的绝缘光滑管道，其圆心坐标为(0，R)，其底端与x轴相切于坐标原点处，其顶端与y轴交于B点(0，2R)；第一象限内有一与x轴正方向夹角为45°、足够长的绝缘光滑斜面，其底端坐标为(R，0)；x轴上0≤x≤R范围内是水平绝缘光滑轨道，其左端与管道底端相切、右端与斜面底端平滑连接；在第二象限内有场强大小E1=3mg、方向水平向右的匀强电场区域Ⅰ；在第一象限内x≥R范围内有场强大小E2=mgq、方向水平向左的匀强电场区域Ⅱ。

巧用等效变换法寻找复合场中的等效重力ʏ江西省宜春中学 邓子刚等效变换法是科学研究中常用的思维方法之一,其本质是在确保效果相同的前提下,将抽象㊁复杂的情境化问题转换成直观㊁简单的常见模型,达到突出主要因素,显现问题本质的目的㊂当我们遇到一些涉及多个物体㊁多个力作用㊁多个运动过程的复杂物理情境问题时,如果能够找到等效的物理模型,将复杂问题简单化,那么就可以达到事半功倍的效果㊂下面以寻找带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中的等效重力为着力点,探寻利用等效变换法求解物理问题的技巧,供同学们参考㊂一㊁无约束带电物体所受等效重力因为电场与重力场的性质具有一定的相似性,所以当一个带电物体处在重力场和匀强电场共存的区域内时,可以先将二者的叠加场等效为一个重力场,将物体受到的重力和静电力的合力视为等效重力,再采用我们所熟悉的物体在重力场中的运动规律进行分析与求解㊂图1例1 如图1所示,空间内分布着沿水平方向的匀强电场,图中五条虚线表示等间距的匀强电场的等势面,其电势如图中标注㊂一带电油滴以与水平方向成α角的初速度v 0从A 点射入电场,沿与初速度v 0方向相同的直线(实线)运动至B 点后再返回至A 点㊂(1)判断油滴所带电荷的电性㊂(2)若当地重力加速度为g ,求油滴从A 点运动至B 点再返回A 点的过程中所用的时间㊂解析:若油滴自身重力可以不计,则油滴将做曲线运动㊂因此油滴自身重力不可忽略,且重力场和匀强电场叠加后的等效重力场的重力加速度g '与A B 连线在同一条直线上㊂(1)根据图中所标数据可知,匀强电场水平向右㊂因为油滴从A 点运动至B 点,速度减小,动能减小,电势能增大,所以油滴所受静电力做负功,油滴带负电㊂(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,油滴沿A B 连线做竖直上抛运动,根据竖直上抛运动规律可得,油滴从A 点抛出至返回抛出点所用的时间t =2v 0g',其中g '=g s i n α,解得t =2v 0s i n αg㊂点评:利用等效重力场,可以把复杂的叠加场变成简单的单一场,将陌生的问题转化为我们所熟悉的重力场中的问题,从而简化解题过程,提高解题效率㊂二㊁轻绳约束下带电物体所受等效重力轻绳约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力㊁静电力和轻绳拉力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,轻绳松弛时对物体的作用力为0,轻绳绷紧时对物体产生拉力㊂图2例2 如图2所示,在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度E =1ˑ104N /C ,一质量m =0.04k g,带电荷量q =3ˑ10-5C 的小球,用长l =0.4m 的细绳悬挂在O 点,取重力加速度g =10m /s 2㊂(1)当小球处于平衡状态时,求轻绳偏离竖直方向的角度α㊂(2)若使小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动,则在平衡位置至少应以多大的线速度释放小球?解析:(1)因为小球在运动过程中所受的重力与静电力始终保持不变,所以可将二者的合力视为等效重力G ',则等效重力的大小G '=(m g )2+(qE )2=0.5N ,G '的方向与竖直方向间的夹角β满足关系式t a n β=qE m g=4 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月34,即β=37ʎ㊂因此当小球处于平衡状态时,偏离竖直方向的角度α=β=37ʎ㊂(2)类比物体在重力场中的运动情况可知,小球在等效重力场中做圆周运动时,等效最低点是平衡位置A ,等效最高点是过O 点与竖直方向成α=37ʎ角的直径A B 的端点图3B ,如图3所示㊂设小球到达等效最高点B 时的最小速度为v ,根据G '=mv2l,解得v =5m /s ㊂在小球从A 点运动到B 点的过程中,根据动能定理得-G '㊃2l =12m v 2-12m v 20,解得小球从A 点释放时的最小速度v 0=5m /s ㊂点评:轻绳约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,虽然带电物体的受力分析中多了一个轻绳的拉力,但是求解策略依然是先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题㊂三、轨道约束下物体所受等效重力轨道约束下的带电物体在重力场和匀强电场共存的复合场中运动时,物体可能受到重力㊁静电力和轨道弹力的作用,其中重力和静电力的大小和方向均保持不变,可以将二者的合力视为等效重力,单侧外轨道对带电物体提供指向圆心的弹力,单侧内轨道对带电物体提供背离圆心的弹力㊂图4例3 如图4所示,水平轨道A B 与半圆形轨道B C D 相切于B 点,半圆形轨道B C D 的半径为R ,固定在竖直平面内,轨道表面均光滑绝缘㊂在竖直平面内分布着水平向右的匀强电场,电场强度E =3m g 4q ㊂一质量为m ,带电荷量为+q 的小球,从距离B 点为R3处的M 点以一定的初速度v 0沿水平方向向左运动,经过B 点后恰能运动至半圆形轨道的最高点D ㊂已知重力加速度为g ㊂(1)求小球的初速度v 0㊂(2)小球从轨道最高点D 抛出后落在水平轨道上的N 点(图中未标出),求小球落点N 到B 点间的距离x ㊂解析:(1)因为小球在运动过程中所受的重力与静电力始终保持不变,所以可将二者的合力视为等效重力G ',则等效重力的大小G '=(m g )2+(qE )2=54m g ,G '的方向与竖直方向间的夹角θ满足关系式t a n θ=qE m g =34,即θ=37ʎ㊂小球在半圆形轨道上运动,速度减小至最小时,所受等效重力G '与速度垂直,等效重力G '恰好提供小球做圆周运动所需的向心力㊂设小球沿半圆形轨道运动过程中的最小速度为v m i n ,根据牛顿第二定律得G '=m v 2m i n R ,解得v m i n =5g R 4㊂在小球从M 点运动到速度达最小位置的过程中,根据动能定理得-G 'R (1+c o s θ)-q E ㊃R3=12m v 2m i n -12m v 20,解得v 0=52g R ㊂(2)设小球运动到D 点时的速度为v D ,在小球从M 点运动到D 点的过程中,根据动能定理得-G '㊃2R c o s θ-q E ㊃R3=12m v 2D -12m v 20,解得v D =7g R 2㊂小球离开D 点后,在水平方向上受静电力做加速度a =q E m =3g4的匀加速直线运动,在竖直方向上受重力做自由落体运动㊂设小球从D 点运动到N 点所用的时间为t ,则x =v D t +12a t 2,2R =12g t 2,解得x =7+32R ㊂点评:轨道约束下带电物体在复合场中做圆周运动时,带电物体的受力分析中多了一个轨道弹力,先将重力场和匀强电场的叠加场等效为一个重力场,再采用重力场中物体的运动规律求解相关问题,依然可以达到简化解题步骤,化难为易的效果㊂(责任编辑 张 巧)14解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年3月。

用等效重力场法解题作者：闫胜永来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些.此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现.那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系.具体对应如下.等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积.二、方法应用此处，借助等效重力势能的概念使用等效机械能守恒定律也可以求解，不过需要准确理解等效重力场中“参考面”和“高度”的含义.例4如图5，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长l的绝缘细绳一端固定在O 点，另一端系有质量为m的带电小球，小球原来静止在C点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直面内绕O点做匀速圆周运动.若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？解析只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即F1=mg，方向竖直向上.等效“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别.等效重力场法实际上是等效转化思想在电场部分的一种应用，利用等效转化思想可将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.深入理解和体会这种思想，并将其推广应用到其它物理学领域，可以为自己的学习、研究带来极大的方便.。

题型3 “等效法”在复合场中的运用1.等效重力场物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是物体处在匀强电场和重力场中的运动就会变得复杂一些.此时可以将重力场与电场“合二为一”，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”.2.等效重力场的相关知识点及解释等效重力场⇔重力场、电场叠加而成的复合场等效重力⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积3.举例研透高考明确方向7.[多选]如图所示，空间存在一竖直向下的匀强电场，电场强度为E.该空间有一带电小球用绝缘细线悬挂在O点，可在竖直平面内做完整的变速圆周运动，且小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大.已知带电小球的质量为m，带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则（BD）A.小球带正电B.电场力大于重力C.小球运动到最低点时速度最大D.小球运动过程的最小速度为√（qE－mg）lm解析因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力(等效重力)方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；因重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C 错误；由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足qE －mg ＝m v min 2l，即v min ＝√(qE −mg )lm，故D 正确.8.如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r 的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O 是圆心，AB 是竖直方向的直径.一质量为m 、电荷量为＋q （q ＞0）的小球套在圆环上，并静止在P 点，OP 与竖直方向的夹角θ＝37°.不计空气阻力，已知重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：（1）电场强度E 的大小；（2）若要使小球从P 点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件.答案 （1）3mg 4q（2）不小于√5gr解析 （1）当小球静止在P 点时，小球的受力情况如图所示， 则有qEmg ＝tan θ，所以E ＝3mg 4q（2）小球所受重力与电场力的合力F ＝√（mg ）2＋（qE ）2＝54mg .当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为54g 的“重力场”中运动.若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q 点.设当小球从P 点出发的速度为v min 时，小球到达Q 点时速度为零，在小球从P 运动到Q 的过程中，根据动能定理有－54mg ·2r ＝0－12m v min 2，所以v min ＝√5gr ，即小球的初速度应不小于√5gr .方法点拨等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路1.求出重力与电场力的合力F 合，将这个合力视为一个“等效重力”. 2.将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”. 3.找出等效“最低点”和等效“最高点”.4.将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.。

等效重力场专题物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移练习：1. 在光滑水平面上的O 点系一长为L 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电量为q 的小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度0v ，使小球在水平面上开始运动．若0v 很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为A ．2B ．C ．D ．无法确定2. 如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，若在此过程中线始终绷紧，求（1）小球经过最低点时细线对小球的拉力． （2） 小球在什么位置时速度最大．3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强m v E /105.16⨯=，丝线长L=40cm ，上端系于O 点，下端系质量为41.010m kg -=⨯，带电量为104.910q C -=+⨯的小球，将小球从最低点A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ ⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？4. 如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。

等效法处理重力场和电场的复合场问题物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下： 1.等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 2.等效重力重力、电场力的合力3.等效重力加速度等效重力与物体质量的比值4.等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置5.等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置6.等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、例题： 1.单摆类问题（1）如图1-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动， 对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图1-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：αcos mg g m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图1-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

等效法处理重力场和电场的复合场问题我们今天就研究重力和电场力的这个相同点！一、等效法二、 复合场中的典型模型1、振动对称性：如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最2、“竖直上抛运动”在竖直向下的匀强电场中，以V 0初速度竖直向上发射一个质量为m 带电量为q 的带正电小球，求上升的最大高度。

3、“竖直平面圆周运动”水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 0至少应为多大？静止时对球受力分析如右图 :且F=mgtg370=43mg, “等效”场力G ’=22)(F mg =45mg ，与T 反向 “等效”场加速度g ’=45g与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO 连线B 处, 且最小的V B =R g '从B 到A 运用动能定理: G ’2R=21m V 0 2-- 21m V B 2 45mg2R=21m V 0 2-- 21m 45gR ，V 0 =25gREE B练习1、质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于O点，并处于水平向左的大小为E的匀强电场中，小球静止时丝线与铅垂线间的夹角为θ，如图所示，求：（1）小球带何种电荷？电荷量是多少？（2）若将丝线烧断，则小球将做什么运动？（设电场区域足够大）2.图中虚线所示为某电场中一簇相互平行，方向竖直的等势面，相邻等势面间距1cm，各等势面电势如图所示，质量为30g的带电小球从A点以1m/s2的速度沿与竖直方向成53。

“等效法”解决带电体在复合场中运动问题[方法概述]1等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法.例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法.常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易.2带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.[方法应用]1求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”.2将a视为“等效重力加速度”.3将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.例题1在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B点的初速度多大？解析如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝mgcos θ.重力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝gcos θ，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角．小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重力势能类比知，等效重力势能为E p＝mg′h，其中h为小球距等效重力势能零势能点的高度．(1)设小球静止的位置B 点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位于和B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球在A 点的速度为v A ，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg ′＝m v 2A l 得小球的最小速度为v A ＝ gl cos θ(2)设小球在B 点的初速度为v B ，由能量守恒得12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg ′·2l 将v A 的数值代入得v B ＝5gl cos θ 答案 (1)A 点速度最小gl cos θ (2) 5gl cos θ过关检测 1．如图所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的电荷量为q 的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A 点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.(1)求：①小球带电性质；②电场强度E .(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A 点释放小球时应有的初速度v A 的大小(可含根式)．解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．②小球由A 点释放到速度等于零，由动能定理有0＝EqL sin α－mgL (1－cos α)，解得E ＝3mg 3q. (2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G ′，则G ′＝2 33mg ，方向与竖直方向成30°角偏向右下方．若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点．m v 2L ＝2 33mg 12mv 2－12mv 2A ＝－2 33mgL (1＋cos 30°)联立解得v A ＝ 2gL (3＋1)答案：见解析2．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝ (qE )2＋(mg )2＝2 3mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg ′＝mv 2D R，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－2mg ′R ＝12mv 2D －12mv 20 解得v 0＝10 3gR 3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR 3. 答案：v ≥ 103gR 3。

浅析等效重力场思想在复合场问题中的运用作者：吕伟学来源：《神州》2011年第16期等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的、熟悉的现象、过程，从而利用已有知识或模型来研究和处理物理问题的一种思维方法。

这种方法不仅使我们对物理问题的分析和解决变得简捷，而且对灵活运用知识，促使知识、技能和能力的迁移有很大的帮助。

在重力场中，同学们比较熟悉的运动过程有抛体运动（主要是自由落体和平抛运动），比较熟悉的物理模型有单摆、竖直平面内的圆运动（线、杆、环的模型）、斜面等，比较熟悉的物理规律有动能定理、机械能守恒定律等。

在学习了电场和磁场的知识后，我们就会遇到带电物体在电场、磁场、重力场组成的复合场中的运动问题。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大，若采用等效法即建立等效重力场的思想方法来求解，则能避开复杂的运算，过程会显得简捷明了。

具体做法为：（1）先求出重力与电场力(必须是恒力)的合力，将这个合力视为一个“等效重力”（若空间同时还存在磁场，由于洛仑兹力不做功，可将磁场暂放一边）。

（2）将g’=F合/m视为“等效重力加速度”，画出“等效地面”并标出“等效竖直向下”的方向即“等效重力加速度”g’的方向。

（3）将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中求解。

下面通过几个实例说明等效重力场的思想在此类问题中的应用。

例1、半径为R的光滑绝缘竖直环上，套有一电量为q的带正电的小球，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中。

已知小球所受电场力与重力的大小相等，磁场的磁感应强度为B。

求：（1）在环顶端处无初速释放小球，小球在运动过程中所受的最大磁场力。

（2）若要小球能在竖直圆环上做完整的圆周运动，在顶端释放时初速度必须满足什么条件？解析：小球所受匀强电场和重力场的作用力都是恒力，它们的合力大小为mg,方向为斜向左下方且跟竖直方向成450角。

所以可用一个等效场来替代重力场和电场，其方向如图二中直线P的方向。

作出等效地面，显然离等效地面最近的C点即等效重力场中的最低点。

“等效重力场法”物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移例1 如图所示，倾角的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度，有一个质量为的带电小球，以速度沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经内小球的位移是多大？（取）解析：（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图可知，小球必带正电，且，所以；从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分别表示为、。

（2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方向垂直的初速度，所以小球做“平抛运动”（严格地讲是类平抛运动，这里只是为了方便说明和处理，以下带引号的名称意义同样如此。

），基本处理的方法是运动的分解。

如图，小球在轴方向做匀速直线运动，在轴方向做“自由落体运动”，则有，其中，，解得：，所以内的总位移大小为考虑到分析习惯，实际处理时可将上述示意图顺时针转过角，让小球的运动和重力场中的平抛运动更接近。

解答匀强电场问题利器——建立“等效重力场”在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动、能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题．用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐．根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解．一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）“等效重力场”建立方法——概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类1．解直线运动【例1】如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点竖直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，若细绳始终没有发生形变，已知重力加速度为g，求物体在细绳上滑行的时间．2．解抛类运动【例2】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为v竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．AC v0E3．解单摆类问题【例3】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳把质量为m=0.10kg 、带有正电荷的金属小球悬挂在固定点O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，（g=10m/s 2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小；⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力．4．解圆周运动【例4】 如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m 的带正电，电量为Emgq 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力g m '，大小332)()(22mg mg qE g m =+='，tan 3qE mg θ==，得︒=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径EC对应的点B ，则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：Rmv g m B2='假设以最小初速度v 0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：2221212mv mv R g m B -='- 解得：33100gRv =【例5】如图所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的3，圆环的半径为R ，小球得质量为m=0.10kg ，斜面的倾角为θ=45环内能做完整的圆周运动，h 至少是多少？【例6】半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：(1)小球最小动能等于多少？(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经0.04s 时间后，其动能与在A解答匀强电场问题利器——建立“等效重力场”在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动、能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题．用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐．根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解．一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）“等效重力场”建立方法——概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类 1．解直线运动例1 如图1所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L ．杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s 2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）解析 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存 在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角ο30，大小：cos 30gg=o带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g 'ο30cos 2L S AB = ①221t g S AB'= ② 由①②两式解得gLt 3= 2．解抛类运动例2 如图3所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为0v 竖直向上发射一个质量为m 、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．解析 建立等效重力场如图4所示，等效重力加速度g ' 设g '与竖直方向的夹角为θ，则θcos gg =' 其中22arcsin ）（）（mg qE qE +=θ则小球在“等效重力场”中做斜抛运动θsin 0v v x = θcos 0v v y =当小球在y 轴方向的速度减小到零，即0=y v 时，两者的 合速度即为运动过程中的最小速度2200min sin ）（）（qE mg qE v v v v x +===θ3．解单摆类问题如图7所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度L=0.4m 的绝缘细绳把质量为m=0.10kg 、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小；⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力． （g=10m/s 2，sin37º=0.6，cos37º=0.8）解析 ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '，方向：与竖直方向的夹角ο30，大小：gg 25.137cos =='ο由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能 定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功221)sin (cos )(m C C O A O mv L g m L L g =-'=-'''θθ EABC图1图4θ xyg'v ）gmAC图2v 0E图3 O BCEθL图7 +θ g'O ABCθA' C' 图8+代入数值得4.1≈C v m/s（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则221sin B mv L L g m =-'）（θ ① L v m g m F B 2='- ② 联立①②两式子得25.2=F N 4．解圆周运动例4 如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m 的带正电，电量为Emgq 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力g m '，大小332)()(22mg mg qE g m =+='，33==mg qE tg θ，得︒=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B ，则B 点应满足“重力”当好提供向心力即：Rmv g m B2='假设以最小初速度v 0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：2221212mv mv R g m B -='- 解得：33100gRv =例5 如图9所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道，一带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道ABC运动后进入圆环内做圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的43，圆环的半径为R ，小球得质量为m=0.10kg ，斜面的倾角为θ=45º，S BC =2R ，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h 至少是多少？解析 建立“等效重力场”如图10所示，等效重力场加速度g ' 与竖直方向的夹角为ο37arctan==mg qE α，则等效重力场加速度g ' 的大小g g g 45cos =='α． 圆环上的D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内 完成圆周运动，则小球通过D 点的速度的最小值为R g v '=' ①小球由A 点运动到D 点，由动能定理得221)sin 2cot (43)cos (v m R R h mg R R h mg '=++---θθθ ② 代入数值，由①②两式解得R R h 5.17)25.35.12(≈+=例6 半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆θA BO CEhA BC g' hαOD图9图10 图11.BER300mgqE g m 'N R 300图3-1 OB图3-3g m 'R300O心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图11所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：（1）小球最小动能等于多少？(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经0.04s 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？讲析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F （F 即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B 处（该点必在A 点的对称位置），此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得：2AN v F F m R-=，从A 到B ，由动能定理得：2kB kA F R E E -⋅=-，可解得：40kA E J =，8kB E J =，20F N =（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA 方向上匀加速、垂直于OA 方向上匀速直线运动的合运动），根据机械能守恒，0.04s 后，将运动到过A 点且垂直于OA 的直线上.运动过程的加速度为：Fa m=，根据平抛运动规律可得：2122R at =，可解得：20.014Ft m kg R ==．。

“等效法”解决带电体在复合场中运动问题[方法概述]1 等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法. 例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法.常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易. 2 带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.[方法应用]1 求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”.2 将a视为“等效重力加速度”.3 将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.例题1在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B点的初速度多大？mg 解析如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝.重力cos θ场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝g，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角．小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有cos θ等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重力势能类比知，等效重力势能为E p＝mg′h，其中h为小球距等效重力势能零势能点的高度．(1)设小球静止的位置B点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位1于和B点对应的同一直径上的A点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球在Av2A点的速度为v A，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg′＝ml得小球的最小速度为v A＝gl cos θ(2)设小球在B点的初速度为v B，由能量守恒得1 1mv2B＝mv2A＋mg′·2l2 2将v A的数值代入得v B＝5gl cos θgl答案(1)A点速度最小(2)cos θ5gl cos θ过关检测1．如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.(1)求：①小球带电性质；②电场强度E.(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度v A的大小(可含根式)．解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．②小球由A点释放到速度等于零，由动能定理有3mg0＝EqL sin α－mgL(1－cos α)，解得E＝.3q2 3(2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝mg，方向与竖直3方向成30°角偏向右下方．若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点．v2 2 3m＝mgL 31 12 3mv2－mv2A＝－mgL(1＋cos 30°)2 2 3联立解得v A＝2gL(\r(3)＋1)答案：见解析2．如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R2的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中．现3mg有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速3E度应满足什么条件？解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，2 3mg qE 3大小为mg′＝(qE)2＋(mg)2＝，tan θ＝＝，得θ＝30°，等效重力的方向与斜3 mg 3面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D点)满足“等效重力”刚好mv2D提供向心力，即有：mg′＝，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD＝2R，令小R球以最小初速度v0运动，由动能定理知：1 1－2mg′R＝mv－mv2 2D 2 0210 3gR10 3gR解得v0＝，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v≥.3 3答案：v≥10 3gR33。

高中物理选修3—1题型5（等效场-重力与电场复合场）1、复合场物体仅在重力场中的运动时最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场,还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响,问题就会变得复杂一些。

此时，可以将重力场与电场合二为一,用“复合场"来代替两个分立的场。

形象的把这个复合场叫做等效场或等效重力场。

2、处理思路(1）受力分析，计算等效重力(重力与电场力的合力)的大小和方向;（2）在复合场中找出等效最低点、最高点。

过圆心做等效重力的平行线与圆相交。

（3）根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理。

1、如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b．不计空气阻力，则（B)A．小球带负电B．电场力跟重力平衡C．小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小D．小球在运动过程中机械能守恒2、如图所示，竖直放置的光滑绝缘圆环上套有一带正电的小球，圆心O处固定有一带负电的点电荷，匀强电场场强方向水平向右，小球绕O点做圆周运动，那么以下说法错误的是（D）A．在A点小球有最大的电势能B．在B点小球有最大的重力势能C．在C点小球有最大的机械能D．在D点小球有最大的动能3、如图所示，水平向左的匀强电场场强大小为E，一根不可伸长的绝缘细线长度为L，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。

把小球拉到使细线水平的位置A，然后由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平方向成角θ=60°的位置B时速度为零。

以下说法中正确的是（B）A．A点电势低于的B点的电势B．小球受到的重力与电场力的关系是C．小球在B时，细线拉力为T=2mgD．小球从A运动到B过程中,电场力对其做的功为4、如图所示，竖直平面内有一固定的光滑椭圆大环,其长轴长BD=4L、短轴长AC=2L.劲度系数为k的轻弹簧上端固定在大环的中心O，下端连接一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的小环，小环套在大环上且与大环及弹簧绝缘,整个装置处在水平向右的匀强电场中。