吉林省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理科)试题

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1.已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=

A. 3 B. 10 C. 4 D. 10

【★★答案★★】B

【解析】

由3zi，则3zi，所以223(1)10z，故选B.

2.点 M 的直角坐标是1,3，则点 M 的极坐标为（

）

A. π 2,3 B. π2,3 C. 2π2,3 D.

π2,2π3k kZ

【★★答案★★】C

【解析】

分析：利用cosx，siny，222xy，先将点M的直角坐标是(1,3)，之后化为极坐标即可.

详解：由于222xy，得24,2，

由cosx，得1cos2，

结合点在第二象限，可得23，

则点M的坐标为2(2,)3，故选C.

点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径和极角的意义，利用22xy来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.

3.设1zi（i是虚数单位），则22zz等于（ ）

A. 1i B. 1i C. i D. 1i

【★★答案★★】A 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 【解析】

【分析】

利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，分别求出2z和2z的值，进而求出22zz的值.

【详解】22(1)2zii

22(1)1(1)(1)iizii

222(1)1ziiiz

故选：A.

【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

4. 阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）

A. 14 B. 20 C. 30 D. 55

【★★答案★★】C

【解析】

试题分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 出s的值．

解：∵S1=0，i1=1；

S2=1，i2=2；

S3=5，i3=3；

S4=14，i4=4；

S5=30，i=5＞4

退出循环，

故★★答案★★为C．

点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．

5.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是

A. 51 B. 3

C. 9 D. 17

【★★答案★★】A

【解析】

【分析】

用大数除以小数，直到整除为止，即可得到最大公约数.

【详解】4593571102

357102351

102512

459和357的最大公约数是51

本题正确选项：A

【点睛】本题考查辗转相除法求解最大公约数问题，属于基础题.

6.用秦九韶算法计算多项式234561235879653fxxxxxxx在4x时的值时，3V的值为( )

A. 845 B. 220 C. 57 D. 34

【★★答案★★】C

【解析】 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 试题分析：原多项式变形为654323567983512fxxxxxxx，即

3567983512fxxxxxxx，13457,V

2374634,3447957VV

考点：秦九韶算法求多项式的值

点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为123,,VVV

7.若x＞0，则212xx的最小值为（ ）

A. 32 B. 33 C. 1 D. 32

【★★答案★★】D

【解析】

【分析】

由2211112222xxxxx，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】0x，

则322211111113322222222xxxxxxxx，

当且仅当21122xx即1x时取等号，

212xx的最小值为32.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是掌握利用基本不等式求最值时，注意验证等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（ ）

A. 假设三内角都不大于60°

B. 假设三内角都大于60°

C. 假设三内角至多有一个大于60°

D. 假设三内角至多有两个小于60°

【★★答案★★】B

【解析】 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 【分析】

根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到★★答案★★.

【详解】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，

应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题

9.极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是

A. 两个圆 B. 两条直线

C. 一个圆和一条射线 D. 一条直线和一条射线

【★★答案★★】C

【解析】

1? 由已知可得或所表示的图形为以原点为圆心、半径为的圆或轴的非负半轴，

C.故选

10.已知不等式19axyxy≥对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【★★答案★★】C

【解析】

【分析】

由题意可知，min19axyxy，将代数式1axyxy展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.

【详解】11aaxyxyaxyyx. 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 若0xy，则0yx，从而1axyayx无最小值，不合乎题意；

若0xy，则0yx，0xy.

①当0a时，1axyayx无最小值，不合乎题意；

②当0a时，111axyyayxx，则19axyxy≥不恒成立；

③当0a时，21121211aaxyaxyxyaaaaaxyyxyx，

当且仅当yax时，等号成立.

所以，219a，解得4a，因此，实数a的最小值为4.

故选：C.

【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

11.已知ab，1ab，则22abab的最小值是（ ）

A. 22 B. 2 C. 2 D. 1

【★★答案★★】A

【解析】

【分析】

结合题的条件，将式子变形得到222abababab，之后应用基本不等式求得结果.

【详解】222()22ababababababab，

∵ab

∴0ab 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ ∴222()22abababab（当2ab时等号成立）

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值，考查式子的变形，即化归与转化的数学思想方法.题目已知ab即0ab，由于题目是考查式子的最小值，故考虑用基本不等式来求解，要使原式符合基本不等式的运算，即需配成1xx的形式，需要对式子进行配凑，通过配凑后将原式转化为2abab就可以利用基本不等式来运算了.

12.直线3412xy与椭圆221169xy相交于A，B两点，该椭圆上点P使得PAB△的面积等于4，这样的点P共有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【★★答案★★】B

【解析】

【分析】

联立直线与椭圆方程，得(4,0)A、(0,3)B，得||5AB，结合PAB△的面积等于4，可得P到AB的距离为d为85，然后求出与已知直线平行，且与椭圆相切的直线1l与2l，算出两条直线中一条与椭圆有两个交点而另一条与椭圆无交点，由此即可得到使PAB△的面积等于4的点P个数，即可求得★★答案★★.

【详解】联立直线直线3412xy与椭圆221169xy，

得40xy或03xy，

直线与椭圆的交点为(4,0)A和(0,3)B，

可得22||435AB

设点P到AB的距离为d，

则1||42PABSABd，即1542d 不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 解之得85d

设平行于直线3412xy与椭圆相切的直线为340xym

联立340xym与椭圆221169xy

即：223401169xymxy 联立消去x

可得：223281440ymym

22644321440mm

可得122m

由此可得两条平行于直线3412xy的切线分别为：

1:341220lxy和2:341220lxy

1l与直线3412xy的距离1|12122|128(21)555d

2l与直线3412xy的距离2|12122|128(21)555d

1l与2l中，1l与椭圆相交，有两个交点，而2l与椭圆相离，没有交点.

有2个P点使PAB△的面积等于4，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和点到直线的距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把★★答案★★填写在答题纸上）

13.复数2i1+i的实部是 ．

【★★答案★★】-1

【解析】

【详解】2i1+i=-1-i,所以实部是-1．