微积分思想在几何中的应用

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摘 要

微积分是高中数学新增加的容,也是大学数学的重要的基础课程,容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础,提供以直代曲,把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式,在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.

在高中阶段开设部分微积分的容,不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求,也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容,在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中,没有得到它应有的体现,难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.

论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书 数学》第三册〔选修2—2〔人民教育 ,从微积分产生的时代背景和历史意义出发,简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义,论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性,通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究,结合现代教育教学理论,归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.

关键词：微积分；导数；应用

目 录

1引言1

2文献综述3

2.1国外研究现状3

2.2国外研究现状评价3

2.3提出问题4

3微积分在中学数学教学中的应用4

3.1微积分与中学数学的联系4

3.2微积分在中学数学中的地位和作用4

3.3微积分在中学数学解题中的应用5 .

2 / 15 导数在求曲线的切线中的应用5

导数在不等式证明中的应用5

导数在恒等式证明中的应用的6

导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用7

导数在几何上的应用9

导数在方程解的问题上的应用9

导数在数列问题中的应用9

运用微分学知识研究函数图像[4]10

4定积分在中学数学中的应用10

4.1定积分在求曲边形面积上的应用10

浅析微积分中求旋转体体积的技巧

求旋转体的体积是微积分中的重要内容之一，主要应用于求解如圆锥体、圆柱体、圆盘等等的体积。在微积分中，常用到的技巧有：用定积分进行求解、套用几何体的公式、使用截面积的方法、用旋转曲线的微元法等等。

一、用定积分进行求解

当旋转体的截面是一个薄片，其面积可以表示为一个关于自变量x的函数A(x)，则可以通过定积分来求取旋转体的体积V。

假设旋转体是由曲线y=f(x)与x轴所围成，曲线在区间[a,b]上连续、非负并且可微。则薄片的面积可以表示为：

A(x) = π[f(x)]^2

薄片的体积可以表示为：

dV = A(x)dx = π[f(x)]^2dx

整个旋转体的体积可以通过将所有薄片的体积相加求得：

V = ∫[a,b]dV = ∫[a,b]π[f(x)]^2dx

二、套用几何体的公式

在求解旋转体体积的过程中，有时候可以直接套用几何体的公式，而不需要进行定积分求解。

当旋转曲线是一个直线y=kx时，旋转体是一个圆锥体。圆锥体的体积公式为：

V = 1/3 * 底面积 * 高 = 1/3 * πr^2 * h

底面积为πr^2，r为底面半径，h为高。

r为圆盘的半径，h为圆盘的厚度。

三、使用截面积的方法

对于一些形状复杂的旋转体，可以使用截面积的方法来求解体积。这种方法的基本思想是将旋转体划分为无数个截面，然后计算每个截面的面积，最后将它们累加起来。

当旋转曲线是一个较复杂的曲线y=f(x)时，可以通过将旋转体划分为无数个微小的扇形截面来计算体积。 将旋转曲线划分为一系列微小的线段，然后将每个微小线段旋转一周，形成一个微小的扇形截面。

根据扇形的面积公式A = 1/2 * θ * r^2，其中θ为扇形的弧度，r为扇形的半径，可以计算每个扇形截面的面积。然后，将所有扇形截面的面积相加，即可得到旋转体的体积。

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浅谈微积分在高中数学解题中的应用

作者：陈昊东

来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第02期

摘要：微积分是数学发展史中的重要历程点，为近代数学的发展提供了有利基础，让人们重新定义函数与变量关系。微积分是高中数学中的重要内容，其能够帮助我们培养数学思维，从而有效解决数学难题，同时也为大学高等数学的学习建立良好的基础。文章主要针对微积分在高中数学解题中的应用展开讨论。

关键词：微积分；高中数学；解题思维

随着现代教育改革的不断深入，教育部门越来越重视高中与大学之间的教育衔接问题。高中数学也有许多内容与大学高数有着密切的相关性，甚至将高等数学作为高中数学的延伸。近些年来，高中数学逐渐加入一些反三角函数、微积分、数列极限等内容，虽然一定程度上增加了高中数学的难度，但同时对于培养良好的数学基础具有积极影响。

一、微积分在高中数学解题中的应用

1.导数在几何问题中的应用

导数知识点在几何求解中的应用，能够简化计算过程，提高解答效率。例如在切线方程中，若给出曲线外一点，要求计算该点的切线方程，可以通过导数知识对于该问题进行快速解答。

2.微分中值定理在方程根判断中的应用

传统高中数学知识点中对于方程根的判断主要是利用判别式进行分析的，但是对于高等数学来说，判别式的计算过程相对比较复杂，容易导致计算错误。但利用微分中值定理则能够有效简化计算流程，如图1所示。

3.利用导数描绘函数图像和判断函数的单调性和区间

通过一阶导数能够确定函数图像的上升区间和下降区间，同时能够确定极值点的位置；通过二阶导数能够确定函数图像的凹凸区间、拐点，同时可以根据这些参数了解函数的单调性，从而准确绘出函数图像。

二、高中数学学习微积分的积极影响

微积分基本定理的理解与应用

微积分基本定理揭示了定积分与不定积分的内在联系，运用其求定积分baxf)(dx，是求f（x）的一个原函数F（x），并计算其在端点的函数值的差，与用定积分的定义计算定积分比较显得简单，具有比较大的优越性，为计算定积分提供了一种十分简捷的方法．

一．微积分基本定理的理解

1．微积分基本定理：一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且)(xF=f（x），那么baxf)(dx=F（b）－F（a）．

2．微积分基本定理中，通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．一般地，有baxf)(dx=F（x）ba|=F（b）－F（a）．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．

3．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有baxf)(dx=[F（x）+C]ba|=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）．

4．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有baxf)(dx=[F（x）+C]ba|=[F（b）+C]－[F（a）+C]=F（b）－F（a）．

5．利用微积分基本公式求定积分．其步骤为：第一步：求f（x）的一个原函数F（x）；第二步：计算F（b）－F（a）．

6．应用微积分基本公式还可以得到定积分的一些简单性质：如：

（1）aaxf)(dx=0，这是因为aaxf)(dx=F（a）－F（a）=0；

（2）baxf)(dx=－abxf)(dx，这是因为baxf)(dx=F（b）－F（a），而abxf)(dx=F（x）ab|=F（a）－F（b）=－[F（b）－F（a）]．

二．微积分基本定理的应用

1．计算问题

利用微积分基本定理求函数f（x）在某个区间上的定积分问题是定积分部分最重要的应用之一．有时是对单一的函数进行积分，有时也对分段函数进行积分，要注意加以区分和应用．