2019届北京市西城区高三上学期期末考试数学(文)试卷(word版)

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2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末

数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）

A. |舐；曲| B•卜:讥汗

C•隐:胡 D.卜*|

【答案】B

2•下列函数中，既是偶函数又在区间（ 0, +R）上单调递增的是（ ）

A.卜=/斗心.B.』=討 C. ；：■ 2|：〔 D.卜7注

【答案】C

3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（ ）

正（主靓图 侧（左）视團

俯视厨

A. |制 B. [.. ：] C.卜占：D.,

【答案】C

rx - y -F 3 > 0

4•设x, y满足约束条件 ，则z=x+3y的最小值为（ ）

I斗卜2丫王0

A. B. |-.：； C. 1 D. 2

【答案】A

5.执行如图所示的程序框图，若输入的 m=1，则输出数据的总个数为（ ） 2页

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】B

6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

7设，是不共线的两个平面向量， 已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )

小 ] 1 A. 2 B. - 2 C. - D. -- 2 2

【答案】D

8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )

A. ; B. C. D. 0

【答案】D

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷 _____________ .

【答案】-1-i

10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线 y=x相切的圆的方程为 ___________ .

【答案】(x-2) 2+y 2=2

11. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是 ________________ .

【答案】f (x) =x2 3页

12. 在厶 ABC 中，a=3 , b 瑯，B=2A，则 cosA=

【答案】

实数b的取值范围是

=sin (2x+ )

••• T= n, 13•设函数 e , x<0

-x2 + x+-, x>0 则 f[f( 0)]= ；若方程f (x) = b有且仅有3个不同的实数根，则

【答案】 (1). (2).

14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计) ，并

报告名称 A B C D E F

开始时间 8: 00 8 : 10 8 : 45 8 : 40 9 : 15 9 : 25

结束时间 8: 30 9 : 05 9 : 20 9 : 30 10 : 10 10 : 10

某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总

时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ •

【答案】D

三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)

15.已知函数

(n)若直线x=n为函数f (x+a)图象的一条对称轴，求实数 a的值.

【答案】 1 x

(I)百：(n) a=

r I r

=2cosx 兀v'3

孑 2 1 .匣、百 sinx+ —cosx)-— 2 2 2

=sin xcosx+ cos X- 要求听报告者不能迟到和早退.

(I)求f (x)的最小正周期; 4页

(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),

Pl

•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，

••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，

即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=± 1，

1 1

,k € z

3 2

_ 1

…a= , k € z

b i ? UGr I —

16.在各项均为正数的等比数列 ｛an｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.

(I)求数列｛an｝的通项公式；

(n)设数列｛log2an｝的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

【答案】(I) an=2 n-4 (n) -6

解：(I)各项均为正数的等比数列 ｛an｝的公比设为q , q > 0 ,

，且 a4+a 5=6a 3,

可得 a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,

解得 q=2 , a1= —,

S

nt 1

则 an=a1qn-1= ?2n-1=2 n-4; 8

(n)设 bn =log 2an=log 22n-4=n-4 ,

由 1< nW4 时，bnW 0, n》5 时，bn > 0,

可得Sn的最小值为 S3=S4=-3-2-1=-6 .

17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产

的某种同类产品中随机抽取了 100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量

指标值对应的产品等级如下：

质量指标值 [15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]

等级 次品 二等品 存口

寺口仃 二等品 二纶口 一寺口仃 次品

根据质量指标值的分组， 统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表 (如下面表,

其中a>0). 5页

质量指标值 频数

6页

[15 , 20) 2

[20 , 25) 18

[25 , 30) 48

[30 , 35) 14

[35 , 40) 16

[40 ,

45] 2

合计 100

(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；

(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽 取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于 ［40, 45］的产品的概率；

(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.

解：(I)由频率分布直方图得：

(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,

解得 a=0.008 ,

•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,

故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为 0.14 •

(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于 ［40 , 45］的产品”为事件

M,

记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为 Ai, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分

别为B1, B2, 7页

从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有

（Ai，A2）,（ Ai，Bi）,（ Ai，B2），（ A2，Bi）,（ A，B2），（ Bi，B2），

而事件M包含的结果有4种，分别为：

（Ai，Bi），（ Ai，B2），（ A2，Bi），（ A2，B2）,

•••这两件次品中恰有一件指标值属于 [40 , 45]的产品的概率 P— .

6 3

（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，

由图表可知甲企业产品的合格率约为 0.86，乙企业产品的合格率约为 0.96，

即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，

•认为乙企业产品的食品生产质量更高.

【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查数形结合思想，是基础题.

i8•如图，在三棱柱 ABC-Ai BiCi中，侧面Bi BCG是正方形，M, N分别是Ai Bi, AC的中点，AB丄平面BCM.

（I）求证：平面 BiBCC丄平面AiABBi;

（H）求证：AiN//平面 BCM;

【答案】（I）详见解析（H）详见解析（川）

••• AB n BBi=B，• BC丄平面 AiABBi， ••• BC?平面 BiBCCi，...平面 BiBCCi 丄平面 AiABBi; 6种，分别为:

BCM，「. AB 丄BC， 求棱锥Ci-BBiM的体积.

BC?平面 8页

(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,

••• M , N 分别是 A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且 NQ= " AB, 2

T AB // A1B1，且 AB=AiBi,「. NQ / AiM，且 NQ=A iM ,

•四边形AiMQN是平行四边形，• AiN / MQ,

■/ MQ?平面 BCM，A1N?

•- AiN //平面 BCM.

(川)连结Ai B,根据棱柱和棱锥的体积公式，

得到三棱锥B-AiBiCi的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,

••• M为AiBi的中点，

•棱锥Ci-BBi M的体积 乞 占严=.仝心说=

i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为 A, B,点M是椭圆C上异于A, B的 苕2 2

一点，直线AM与y轴交于点P.

(I)若点P在椭圆C的内部，求直线 AM的斜率的取值范围；

(H)设椭圆 C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:

解：(I)由题意可得 c2=a2-2,

..e忑

-e==,

• a=2 , c=点，

•••椭圆的方程为三+ =i ,

设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m

又T A (-2 , 0),

又M为椭圆C上异于A , B的一点，

<2

…kAM €( — , 0), (0 ,

(n)由题意 F (|.J』，0),设 Q ( 0 , yi) , M (X0 , yo),其中 xo 工土 2 ,

y jQ

直线AM的方程为y (x+2 ),

Xo + 2

2y I

令x=0，得点P的坐标为(0, ), AQ// BM.

【答案】 (I) (: , 0) ( 0, (n)详见解析

•直线AM的斜率kAM= =

0 + 2