《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集（含答案）

1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。

图E1.1

解：

系统的动能为：

222121xIlxmT

其中I为杆关于铰点的转动惯量：

2102120131lmdxxlmxdxlmIll

则有：

221221223616121xlmmxlmxmlT

系统的势能为：

2121212414121 cos12cos1glxmmglxmmglxxlgmxmglU

利用xxn和UT可得：

lmmgmmn113223

m l

m1 x 1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2

解：

如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：

22222243212121mRmRmRITB

222212aRkaRkU

利用n和UT可得：

mkRaRmRaRkn343422

k k A

C a

R

 1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。

图E1.3

解：

系统的动能为：

221JT

2k和3k相当于串联，则有：

332232 , kk

以上两式联立可得：

32233232 , kkkkkk

系统的势能为：

232323212332222121212121kkkkkkkkkkU

利用n和UT可得：

3232132kkJkkkkkn

k1 k2 k3 J 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知bamiki , ,3,2,1 和，横杆质量不计。求固有频率。

图E1.4 答案图E1.4

解：

对m进行受力分析可得：

33xkmg，即33kmgx

如图可得：

22221111 ,kbamgakFxkbamgbkFx

mgkkbakbkabaxxaxxxx212221212110

mgkmgkkkbakbkaxxx0321222123011

则等效弹簧刚度为：

2123223123212kkbakkbkkakkkbake

则固有频率为：

222132212321bkakkbakkmbakkkmken

mgbaaF2 mg a b x1

x2 x0

x

mgbabF1 k2 k1

a b

k3

m 1.7 质量1m在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量2m，如图E1.7所示。确定系统由此产生的自由振动。

图E1.7 答案图E1.7

解：

对1m由能量守恒可得（其中1v的方向为沿斜面向下）：

211121vmghm，即ghv21

对整个系统由动量守恒可得：

02111vmmvm，即ghmmmv22110

令2m引起的静变形为2x，则有：

22sinkxgm，即kgmxsin22

令1m+2m引起的静变形为12x，同理有：

kgmmxsin2112

得：

kgmxxxsin12120

则系统的自由振动可表示为：

txtxxnnnsincos00

其中系统的固有频率为：

21mmkn

注意到0v与x方向相反，得系统的自由振动为：

tvtxxnnnsincos00 x0 x2

x x12

h

k m1

m2

 1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？

图E1.9 答案图E1.9

解：

利用动量矩定理得：

llcaakI， 231mlI

033222kaclml， 223mlkan

nmlcl2322， 32 1123mklacmcn

aaklmg02， 202kamgl

1.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为SvFd2，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T，在粘性流体中自由振动的周期为dT。求系数。

ak lc k a

c O

图E1.12

解：

平面在液体中上下振动时：

02kxxSxm

02Tmkn，

dndT212

nnmSmS 22， kS222

kSk2221

2020220222TTTSTmkSkTTddd

2.1 图E2.2所示系统中，已知m，c，1k，2k，0F和。求系统动力学方程和稳态响应。

图E2.1 答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)

解：

等价于分别为1x和2x的响应之和。先考虑1x，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：

xcxkxccxkkxm112121

tAcAkkxxcxm1111111cossin （1）

21ccc，21kkk，mkkn21

（1）的解可参照释义（2.56），为：

22211111222111121cos21sinsstkAcsstkAktY （2）

其中：

ns1，21112sstg

212122122122112121kkcckkkkcs

21212212212122112122121222 121kkccmkkkkcckkmss

故（2）为：

211212212212121212112122122121111111111sincossintccmkkckAccmkktActAktx m xm

xk2 xc2

11xxk 11xxc k2 c2

k1 c1 m

x1 c1 c2 k1 k2 x2 x1

m mkkcctgkkmkkctgsstg2121121121212111211112

11112kctg

考虑到tx2的影响，则叠加后的tx为：

iiiiiiiiiiiiikctgmkkcctgtccmkkckAtx12212112122212221222sin

2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，30，m = 1 kg，k = 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

图 T 2-1 答案图 T 2-1

解：

0sinkxmg，1.049218.91sin0kmgxcm

70110492mknrad/s

ttxxn70cos1.0cos0cm

mg   x0

x m k

