旋转体公式

第２２卷第１期　２０１０年２月　宁德师专学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｉｎｇｄｅ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２Ｏ１Ｏ　

计算多面体和旋转体体积的统一公式　

汤茂林　

（武汉商业服务学院，湖北武汉４３００５８）　

摘要：给出了拟柱体体积公式的一种证明，并用公式分别计算了棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台和球的体　积，还用公式计算了正方形、长方形、平行四边形、梯形、三角形的面积．　关键词：多面体；旋转体；多边形；体积；面积；统一公式　中图分类号：Ｏ１２３．２　文献标码：Ａ　文章编号：１００４－２９１１（２０１０）０１－０００９－０２　

拟柱是这样一个多面体，它的所有顶点在两个称为平行平面上，它的侧面不是三角形便是梯形，两　

底间的距离叫做高，与两底平行且等距的截面称为中截面．　设拟柱两底面积为５　，Ｊｓ，，中截面面积为Ｓ２，高为ｈ，则拟柱体体积的计算公式为　

Ｌ　Ｖ拟柱＝等（￥１＋４Ｓ２＋￥３）　（１）　Ｖ　对于拟柱体的定义和体积的计算公式，现行高中数学课本并没有给出，某些参考资料也只是作为　

习题而已．殊不知公式（１）是一个计算多面体和旋转体体积的统一公式，它不仅可以分别计算柱、锥、台、　球的体积，而且还可以计算平面多边形的面积．下面先给出公式（１）的一种证明，再验证棱（圆）柱、棱　（圆）锥、棱（圆）台和球的体积都可用拟柱体体积公式来计算，最后给出当公式（１）中字母意义更换时，　

便可计算多边形的面积．　

１　（１）式的证明　

设某立体Ｑ位于平面ｘ＝０与ｘ＝ｈ之间，如果一组平行截面积可以　ｆ　ｈ　表示为的连续函数Ａ（　），则立体的体积为：　＝Ｊ　Ａ（　）　，见图１。　

又若截面积函数是截距的二次函数，则体积公式　

＝』　（　）　＝　２＋６　＋ｃ）　＝（孚＋等＋ｃ　）ｆ＝＝告（２　２＋３ｂｈ＋６ｃ）　图１式（１）证明图示　

当　ｌ＝ｏ，　—ｈ　，戈３：　时，二次函数相应有　Ａ（ｏ）＝ｃ；Ａ（告）：下ａｈ２＋警＋ｃ；　Ａ（ｈ）＝ａｈＺ＋ｂｈ＋ｃ，从而　

旋转体体积公式

⼀、公式的发现

个⼈06年~07年独⽴提出问题并总结的旋转体体积公式（前⼈也给出过）：V=2π·G·S

其中2π表⽰旋转⼀整周，G为旋转的⼆维平⾯的重⼼到旋转轴的距离（需要把所有⾯积归算到旋转轴的同⼀侧），S为旋转的⼆维平⾯的⾯

积（同G的要求）。

⼆、公式的拓展

个⼈还对这个公式做了⼀些拓展，⽅便应⽤和记忆。

（⼀）旋转任意⾓度：V=α·G·S

其中α为旋转的弧度（超过2π则按照2π计算）

（⼆）⼀维到⼆维的旋转S=α·G·L

其中需要旋转轴变成了⼀个点，旋转的对象变成了⼀维曲线，需要将以为曲线全部投影到径向的长度L（指向旋转点），G为L的重⼼。

（三）0维到⼀维的旋转

这种情况下，旋转对象和旋转轴全都是⼀个点，G就是作为旋转对象的点到旋转点的距离。L=α·G

（四）三维到四维的旋转

会不会就是α·G·V呢？这有点难以想象。

三、公式的应⽤

圆环的体积

⼆维的圆形围绕垂直于平⾯的轴旋转360°即为3D圆环（类似于⼿镯），可以直接套公式2π·G·S就可以得到体积。

四、公式的⼏何证明

任何形状都可以被不同⼤⼩形状的三⾓形完全填满，任何三⾓形⼜可以被直⾓三⾓形填充。在直⾓三⾓形围绕旋转轴旋转成体问题中，直⾓

三⾓形和旋转轴可以分为三种情况，⼀条边与旋转轴重合，⼀个点在旋转轴上，以及完全分离。⽽⼀条斜边与旋转轴重合的情况，可以分解

成两个直⾓三⾓形的直⾓边与旋转轴重合，其他两种情况都可以转化成加法或者减法，变成直⾓边与旋转轴重合的情况（具体过程就没记了）。因此只需要证明这⼀种情况，整个问题就被证明了。

以上情况旋转360°变成了圆锥，体积公式：V=1/3·π·r^2·h=2π·1/3 r·1/2 rh=2π·G·S

当然，这种证明⽅法有问题，需要先有重⼼的性质和圆锥体积公式（圆锥体积实际可以绕过）。常见的是积分⽅法，⽹上都有。

２００８年５月　

第１４卷第２期　安庆师范学院学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　ｃｏＩＩｅｇｅ（ＮａｔｕｒａＩ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍａｙ．２００８　ＶＯＩ．１４　ＮＯ　２　

一般旋转体的体积和侧面积计算公式　

袁俊华，张文武　

（海军蚌埠士官学校基础部，安徽蚌埠２３３０５０）　

摘　要：在一般数学分析教材中，关于旋转体的体积和侧面积的计算都是就旋转体的对称轴是ｘ轴或ｙ轴这两种　

特殊情况进行研究的。但实际上，由于曲线Ｙ一＿厂（ｚ）经坐标变换后，有时会变得非常复杂，为此提出将微元法和解析法相　结合，推出一般旋转体体积和侧面积的计算公式，使这类计算变得简洁明了。　

关键词：曲边梯形；微元法；一般旋转体；体积和侧面积　

中图分类号：０１７２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—４２６０（２００８）０２—００７６—０３　

０　引言　

在高等数学和数学分析教材中，关于旋转体的体积和侧面积的计算都考虑特殊情况，即首先假定旋　

转体是由曲线绕ｘ轴或Ｙ轴旋转一周所形成的，然后利用分割、求和、取极限的方法求其体积和侧面积，　

这种方法已成了求体积和侧面积的既定程序，那么对于曲线绕任意轴Ｌ旋转一周所形成的旋转体的体　

积怎样计算？不少人认为利用坐标变换，以任意轴Ｌ（旋转轴）为Ｘ　轴建立新的坐标系，再利用常规法　

进行求解即可。从理论上讲，这种方法能得到最终的结果，但事实上，由于曲线　一ｆ（ｚ）经坐标变换后，　

有时会变得非常复杂，例如求曲线Ｙ＝＝＝ｅ　（Ｏ≤ｚ≤２）绕直线ｙ—ｚ旋转所形成的体积，当选Ｙ—ｚ为　

ｘ　轴建立新的坐标系后，曲线Ｙ＝＝＝矿经坐标变换化为等ｚ　＋等ｙ　一ｅ　２　，这是一个关于　，Ｙ的隐函　厶　厶　数，由这个方程我们很难得到Ｙ　一ｆ（ｘ　），就更不用说对其积分了。显然，这不是解决问题的办法。为此　

提出将微元法和解析法相结合，对一般旋转体的体积进行研究，并给出侧面积的计算公式。　

旋转体公式

旋转体，作为数学和物理学中一类有趣的几何体，以其独特的形式和形式而闻名。旋转体是由自身和外形共同组成的几何形状，其表面上的每一点均以同一个点为中心，绕同一个轴线旋转而得到。这些起源于外形的轴，有时也称为旋转轴线。

在数学中，旋转体的描述主要基于李斯特公式（Lissajous formula），其表达式如下：Y=A*sin[B(φ+θ)]，其中A和B分别表示投影的峰值和频率。由此可见，当按照这一公式所刻画出的旋转体轴线曲线由多轴线构成时，可以用矢量遮盖法在空间内以有限次数定义该曲线。

除了在几何学中的应用外，李斯特公式也广泛应用于物理学，可以用来求解物体在多轴旋转时的动量变化情况，从而计算出物体的轨迹和侧向力。此外，李斯特公式也被用来解释图像识别，可以准确刻画出图像的形状和特征，从而实现自动图像识别。

旋转体在数学和物理学中均具有一定的应用价值，它帮助我们更清楚地理解实物性质，如角动量，旋转轴线等，从而更好地应用到生活或工业等不同领域。以李斯特公式为基础，旋转体可以更准确地界定，帮助我们深入理解不同物体的性质，从而实现更加精确的科学研究。