中科大信号与系统讲稿3

T −∞
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k =− N
狄里赫利条件

三个基本条件

+∞ 任何周期内，x(t)必须 反例：y (t ) = ∑ x(t − k ) 是模可积的 k = −∞ 任意有限区间内，x(t)的最大值和最小值的数目是有限的 +∞ 2π x(t ) = sin( ), 0 < t ≤ 1, y (t ) = ∑ x(t − k ) t k = −∞ 在x(t)的任何有限区间内， 只有有限个不连续点，而且 在这些不连续点上，函数是 有限值的
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连续时间信号的傅立叶级数举例
1， t < T1 x ( t ) =+ x (t T ) , x (t ) = T 0, T1 < t < 2
求x(t)的傅立叶级数系数
该信号的周期为T,基波频率为 ω0 = 2π 取一个积分周期为-T/2≤t<T/2
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周期傅立叶级数的产生—举例
x (t )
h(t)
y( = t)
x ( t − 3)
分析所示系统的在复指数信号x(t)=est输入下 的系统输出y(t)进一步分析在x(t)=cos4t+cos7t 的系统输出
H ( s ) = e −3 s
j 4t 1 − j 4t 1 j 7t 1 − j 7t x(t ) = 1 e + e + e + 2 2 2 2e − j12 j 4 t 1 j12 − j 4 t 1 − j 21 j 7 t 1 j 21 − j 7 t y=1 e e + e e + e e + e 2 2 2 2e j 4t j12 − j 4 t − j 21 j 7 t j 21 − j 7 t 1 1 1 =1 H − j e + H j e e + H − j e e + H j e e ( 4 ) ( 4 ) ( 7 ) ( 7 ) 2 2 2 2
信号与系统 第三章 傅里叶级数及傅里叶变换
赵明
信号与系统的变换域表示

变换域方法

通过数学变换，将信号与系统的时域表示转换成变换域 表示，并以这样的变换域解析体系来分析研究信号与系 统问题，获得另一套概念、理论和方法。 傅立叶变换（频域方法） 拉普拉斯变换（连续时间）和Z变换（离散时间）变 换）。总称为复频域方法 其他变换。正弦变换，余弦变换，小波变换。
思考，这样的复指数序列最多需要多少个？
1 x(t ) = , 0 < t ≤ 1 t
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狄里赫利条件的理解



数学意义上很多周期信号没有傅立叶级数（如前面 的例子） 现实中我们默认一切周期信号可以得到傅立叶级数， 因为自然界的信号一般满足这三项条件。 特别注意：对包含有限不连续点的信号，在不连续 的孤立的t以外，x(t)和傅立叶级数相等，在不连续 的点上，收敛于不连续点两边的平均值。
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ak 称为频谱系数
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连续时间信号的傅立叶级数表示举例
1、写出x(t)=sin(ω0t)的傅立叶级数系数
1 1 1 jω0t − jω0t a = , a = − 1 2 = x ( t ) sin = e −e ( ω0 t ) 2 j 2j 2j π 2、写出 x ( t ) = 1 + sin (ω0t ) + 2 cos (ω0t ) + cos 2ω0t + 的傅立叶级数系数
k k k = −∞ k
k = −3 jk 2πt a e ∑ k ,
是为傅里叶级数 +3 例：
x(t ) =
1 1 , , = = = = a0 = 1, a1 = a−1 = 1 a a a a 2 3 −2 −3 4 2 3,
理解谐波分量如何构成一个周期信号
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if : x (= t ) x (t + T )
+∞ +∞ jkω0T ak e akφk ( t ) 综合公式 = ∑ x (t ) ∑ k = −∞ k = −∞ 2π 1 − jkω0t = , ak ω0 = x t e dt ( ) 分析公式 ∫ T TT
ω0 = 2π / T
∑
+∞
ak e jkω0t e − jnω0t
∫
∫ ∑
∫
{
k = −∞
∑
+∞
ak ∫ e jkω0t e − jnω0t dt
0
T
T
∫
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连续时间周期信号的傅立叶级数表示

傅立叶级数展开定理

对于一个周期为T的连续时间信号，其可以表示 为一系列基波函数的若干次倍频的线性组合
当 T = 4T1 ,8T1 ,16T1 时系数 Tak 的系数波形
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傅立叶级数的收敛问题

为什么要谈傅立叶级数的收敛问题？ 完全相反的观点


不连续的信号不可能用各次谐波的线性组合得 到。（欧拉，拉格朗日） 所有周期性信号都可以用傅立叶级数表示。 （傅立叶）
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k =1
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如何确定傅里叶级数的系数

如下方法确定系数
x(t )e − jnω0t =
k = −∞ +∞ T T = x(t )e − jnω0t ak e jkω0t e − jnω0t dt 0 0 k = −∞ T jkω t − jnω t 0 e 0e dt = T , k = n 0, k ≠ n 0 1 T an = x(t )e − jnω0t dt 0
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信号信息

以下内容均包含连续时间信号和离散时间信 号 傅立叶级数的产生根源

LTI系统对于复指数信号的响应 傅立叶级数收敛问题

傅立叶级数的性质 LTI系统与傅立叶级数
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为傅立叶级数准备 ——LTI系统对复指数信号的响应

从吉伯斯现象理解狄里赫利条件和傅立叶级数。 方波是具有有限个数不连续点的信号的代表。
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离散时间周期傅立叶级数

离散时间周期信号

x[n]=x[n+N]
φk [n] = e jkΩ n , Ω 0 = 2π N
0

离散时间周期信号相关的若干个复指数序列

变换域种类


快速傅立叶变换（FFT），使得离散信号处理方 法产生质变。
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本章内容介绍

周期信号的傅立叶级数

连续时间周期信号的傅立叶级数及其性质 离散时间周期信号的傅立叶级数及其性质 连续时间傅立叶变换 离散时间变换

傅立叶变换

N k =1 k k sk t
结论2：根据结论1，若输入信号可以表示为若干复指数信 号的线性组合，则输出信号就可以复指数信号的线性组合 表示而成。
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傅立叶级数产生-离散时间系统
x (n)
h(n)
y (n)
讨论：当输入信号为x(n)=zn时，系统的输出形式
h(t)
y (t )
st − sτ
考虑一个复指数信号x(t)=est 作为输入时的输出y(t)
y (t )
e st → H ( s ) e st
h (τ ) e e dτ ∫=
−∞
∞
e
st
∫ h (τ ) e
−∞
∞
− sτ
dτ
结论：一个连续时间LTI系统，输入为复指数信号其 输出也为同样指数的复指数信号，幅度变化量是一 个由复指数和冲激响应决定的常数。于是复指数信 号是连续时间LTI系统的特征函数，特征值是H(s)
jkω0t
−∞
+ ∑ a− k e − jkω0t
k =1
+∞
* − jkω0 ) = a0 + ∑ (ak e jkω0t + ak e
进一步可表达为：
+∞
x(t ) = a0 + 2∑ Ak cos(kω0t + θ k ), ak = Ak e jθ k
k =1
+∞
三角级数
= a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ), ak = Bk + jCk
实周期信号的傅里叶级数
对实周期信号 +∞ k的变换 +∞ jkω0t * − jkω0t * x(t ) = x* (t ) = ∑ ak e = ∑ a− e k 因而有 a
* −k
= ak
+∞
−∞
据此： x(t ) = a0 + ∑ ak e
k =1 k =1
+∞
a− k = ak ，若为实数还有：
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成谐波关系的复指数信号的线性组合