第4讲 平行线的判定和性质综合

平行线的性质和判定【知识要点归纳】1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行；3．两直线平行的判定方法(1)平行线的定义．(2)平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等．(2)两直线平行，内错角相等．(3)两直线平行，同旁内角互补．重点讲解：一个定义(平行线)，一个位置，五个判定，三个性质．【课堂过关训练】平行线的性质1．选择题:（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等; C．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D．同旁内角互补，两直线平行（2）如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1) (2) (3)（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（5）如图4，若AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=∠3-∠2C．∠1+∠2+∠3=180° D．∠1-∠2+∠3=180°（6）如图5，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(4) (5) (6) (7)（7）已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，•则这两个角分别等于（） A．60°，150° B．20°，110° C．30°，120° D．45°，135°（8）如图6所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γ B．β+γ-αC．180°-α-γ+β D．180°+α+β-γ4．如图所示，已知AD、BC相交于O，∠A=∠D，试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，•MG•平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．平行线的判定1．如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = ．2．如图2，直线AB、CD被EF所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = ．3．如图3所示（1）若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（）．（2）若∠2 =∠，则AE∥BF．（3）若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF．4．如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = ．5．如图5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠ E = ．6．如图6，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1于O ，BC 与l 2交于E ，∠1 = 43°，则∠2 = ． 7．如图7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有 ． 8．如图8，AB ∥EF ∥CD ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角（不包括∠1）共有 个． 二、解答下列各题9．如图9，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G ．10．如图10，DE ∥BC ，∠D ∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．11．如图11，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12．如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°．综合练习：1.若α和β是同位角，且a =30°，则β的度数是( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．不能确定2．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A ．30°和150°B ．42°和138°C ．都等于10°D ．42°和138°或都等于10°3．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知，小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．如图所示，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D=192°，∠B －∠D=24°，则C图1212 3AB DF∠GEF=__________．5．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…，a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．6．如图所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD∥BE．8．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB ∥DC．9．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E，∠BDA＋∠ECA=180°，求证：DA⊥EF10．已知，如图所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系，并证明你的结论．11．已知，如图所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．。

平行线的性质与判定平行线是几何学中的一个重要概念，我们都知道平行线永不相交。

在本文中，我们将介绍平行线的性质以及如何判定两条线是否平行。

同时，我们还会探讨平行线与其他图形之间的关系。

一、平行线的性质平行线的性质是几何学中的基础知识，下面我们将讨论几个与平行线相关的重要性质。

1. 对应角相等性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。

这个性质在解决几何问题中具有重要意义，可以通过对应角的等量关系简化问题的解决过程。

2. 内错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的内错角相等。

这个性质常用于解决与平行线相关的证明问题。

3. 外错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的外错角相等。

这个性质也常用于证明和解决几何问题。

4. 交替内角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的交替内角相等。

这个性质在证明平行线的存在性和解决几何问题中经常使用。

以上是平行线的一些重要性质，它们在几何学中被广泛应用，并且有助于解决各种类型的几何问题。

二、平行线的判定在几何学中，判定两条线是否平行是一种常见问题。

下面我们将介绍一些常用的判定方法。

1. 垂直判定：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互为垂直线，即相互垂直。

2. 角度判定：当一条直线与另一条直线所形成的内错角或外错角相等时，这两条直线是平行线。

3. 距离判定：如果两条直线上的任意两个点之间的距离在任意位置都相等，那么这两条直线是平行线。

这些判定方法都是基于几何学中的一些基本原理，通过应用这些原理，我们可以快速准确地判断两条线是否平行。

三、平行线与其他图形的关系平行线与其他图形之间存在着一些特殊的关系，下面我们将介绍一些常见的关系。

1. 平行线与平面角：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的平面角相等。

2. 平行线与四边形：在一个平行四边形中，两对相对的边是平行线，且两对相对的角相等。

3. 平行线与三角形：当一条直线平行于三角形的一边时，它将与另外两条边各自形成相似三角形。

知识总结归纳一. 同位角、内错角、同旁内角（1） 这三种角讲的只是位置关系，而不是大小关系（2） 这三种角都是两条直线被第三条直线所截的情况下，不共点的成对出现的两个角之间的位置关系，并不是任何情况下都可以提及它们（3） 三线八角：两条直线被第三条直线所截形成的八个角中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 二. 平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 三. 平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 四. 两直线平行的性质和判定（1） 同位角相等两直线平行 （2） 内错角相等两直线平行 （3） 两直线平行 五. 其它判定方法：垂直于同一条直线的两直线平行典型例题一. 基本概念【例1】 如图，试判断1∠与2∠，1∠与7∠，1∠与BAD ∠，2∠与9∠，2∠与6∠，5∠与8∠各对角的位置关系．【例2】 如图，已知//////AB CD EF GH ，//AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个CEA DF12 3456 7 8 9BA HGFD EB C【例3】 如图，////AD EG BC ，//AC EF ，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有多少个？若150∠=o ，求A H G∠的度数．【例4】 如图，FAD ∠，DAC ∠，CAB ∠，BCA ∠，ACE ∠和B ∠中，同位角有____________，内错角有______________，同旁内角有______________．二. 基础训练【例5】 如图，已知//AB CD ，且40B ∠=o ,70D ∠=o ，求DEB ∠的度数．【例6】 如图所示，//AE BD ，132∠=∠，225∠=o ，求C ∠．BCADFEA CEDB2 1AEDCB1HGED CB A F【例7】 如图，已知//AE BD ，1130∠=o ，230∠=o ，求C ∠的度数．【例8】 如图，长方形ABCD 的顶点B 在直线m 上，求α∠的度数．【例9】 如图，已知////FC AB DE ，::2:3:4D B α∠∠=，求α、D ∠、B ∠的度数．【例10】 如图，已知12BFM ∠=∠+∠，求证：//AB CD ．DCB EA21 lmCBDADBCC FEC DBA GME 1 2 F【例11】 如图，直线AB 与CD 平行，EF 平分BFG ∠，EG 平分DGF ∠，求证：90E ∠=o ．【例12】 如图，已知CB AB ⊥，CE 平分BCD ∠，DE 平分CDA ∠，90EDC ECD ∠+∠=o ，求证：DA AB ⊥．三. 探索与证明【例13】 （1）如图所示，若12//AA BA ，求证：121A A B ∠+∠=∠．（2）如图所示，若121A A B ∠+∠=∠，求证：12//AA BA ．【例14】 已知：如图，////AB EF CD ，EG 平分BEF ∠，192B BED D ∠∠+∠=o ＋，24B D ∠-∠=o ，求GEF∠的度数．ABA B EC DGFGDCB AEFEDCBA【例16】 如图，//AB EF ，90C ∠=o ，试探究B D E ∠∠∠、、之间的数量关系．【例17】 如图，直线//l m ，将含有45o 角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=o ，求2∠的度数．【例18】 如图，已知CD AB //，BF 平分ABE ∠，且//BF DE ，则ABE ∠和D ∠有什么关系？【例19】 已知：如图，//AB CD ，求证：B D F E G ∠+∠+∠=∠+∠．AGFEBCBA12A BC DFEADBCEFA EDCB【例20】 如图，两直线AB ，CD 平行，求123456∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数．思维飞跃【例21】 如图所示．已知CD 平分ACB ∠，且//DE AC ，//CD EF ．求证：EF 平分DEB ∠．【例22】 如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠【例23】 如图，180ABE DEB ∠+∠=o ，12∠=∠，求证：F G ∠=∠E FGHABCD123 4 56ACBF23 DE 1GABC 1 2DEFOAFDECB【例24】 如图，已知//AB CD ，14EAF EAB ∠=∠，14ECF ECD ∠=∠．求证：34AFC AEC ∠=∠．【例25】 如图，直线//AB CD ，30EFA ∠=o ，ο90=∠FGH ，30HMN ∠=o ，50CNP ∠=o ，求GNM ∠的大小．作业ABCD 是长方形，且174∠=o ，求2∠的度数．2. 如图，D 、G 是ABC ∆边上的任意两点，//DE BC ，//GH DC ，则图中相等的角共有多少对？ABHGEDCA BC DFEHP ABCDEFGMN2 13. 如图，直线AB 与CD 平行，1(370)x ∠=+o ,2(522)x ∠=+o ，求3∠．4. 如图，已知//AB CD ，求A C AEC ∠+∠+∠的度数．5. 如图，//AB CD ，120ABE ∠=o ，35DCE ∠=o ，求BEC ∠的度数．6. 已知：如图，//DE AB ，求证：AED A B ∠=∠+∠7. 如图，//CD BE ，则231∠+∠-∠的度数等于多少？DCEB A1 32DCBADCEBA AC BD E EB DCA 2 13图1FE DC BA1、如图, AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF。

平行线的判定与性质平行线是几何学中常见的重要概念之一。

在我们的日常生活中，平行线也有着广泛的应用。

本文将介绍平行线的判定方法以及它们的性质。

一、平行线判定方法在几何学中，有三种常见的方法可以判定两条线是否平行：1. 共线性判定法如果两条直线上的某个点与另两个不同的点的连线分别平行，那么这两条直线就是平行线。

2. 夹角判定法如果两条直线上的两个夹角相等（不等于 180 度），那么这两条直线是平行线。

3. 斜率判定法如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。

二、平行线的性质平行线具有许多有趣的性质，下面我们逐一介绍。

1. 对应角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的对应角是相等的。

2. 内错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的内错角互补，即它们的和等于 180 度。

3. 外错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的外错角是相等的。

4. 平行线之间的距离性质如果一条直线与一组平行线相交，那么从这条直线到任意平行线的距离都相等。

5. 平行线与平行线之间的距离性质如果有两组平行线相交，那么它们之间的距离是恒定的。

三、平行线的应用案例平行线在我们的日常生活中有许多应用。

以下是几个实际案例：1. 铁路与公路铁路中的两条平行线代表了两条不同方向的铁轨，保持平行关系确保了火车行驶的稳定性。

与之类似，公路中的车道也是平行的，使车辆能够有序行驶。

2. 建筑设计在建筑设计中，平行线常用于规划建筑物的布局。

比如，设计师可能会使用平行线来确定房间的大小和形状，从而达到美观和实用的目的。

3. 数学问题平行线也经常出现在数学问题中。

例如，计算几何中的一些证明和问题解决，会涉及到平行线的性质和判定方法。

四、总结平行线是几何学中的重要概念，具有多种判定方法和性质。

了解平行线的判定方法和性质有助于我们更好地理解几何学和应用它们于实际问题中。

无论是在日常生活还是学习中，平行线都有其重要的作用。

平行线的判定和性质平行线是几何中一个非常基本的概念，它在数学的研究和应用中具有重要的地位。

通过判定两条直线是否平行，我们可以深入了解平行线的性质和特点。

本文将介绍平行线的判定方法和相关性质。

一、平行线的判定1. 直线与直线的判定给定两条直线L₁和L₂，要判定它们是否平行，有以下几种方法：a) 角度判定法：如果两条直线的锐角、直角或钝角相等，那么它们是平行线。

b) 垂直判定法：如果一条直线与第二条直线的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行线。

c) 斜率判定法：如果两条直线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。

2. 直线与平面的判定给定一条直线L和一个平面P，要判定直线和平面是否平行，有以下几种方法：a) 垂直判定法：如果直线L和平面P的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行的。

b) 法线判定法：如果一条直线与平面的法线平行，那么它们是平行的。

二、平行线的性质平行线具有以下重要性质：1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上不相交且不同于的两条直线。

2. 平行线与平移平行线之间可以进行平移变换，即将一条平行线沿着与之平行的方向平移，得到的仍然是一条平行线。

3. 平行线的夹角平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交点。

4. 平行线的性质a) 平行线具有传递性：如果直线L₁与直线L₂平行，直线L₂与直线L₃平行，则直线L₁与直线L₃也平行。

b) 平行线与截线：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线所截线段的比例相等。

c) 平行线与转角：如果两条直线与平行线相交，它们所成转角相等。

d) 平行线与干涉线：如果两组平行线相互交错，即一组平行线与另一组平行线交叉相交，所交干涉线与平行线相交产生的内、外交角相等。

5. 平行线与平行四边形平行线所围成的四边形称为平行四边形。

平行四边形具有以下性质：a) 对边平行：平行四边形的对边都是平行线。

b) 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。

c) 同底角对顶角相等：平行四边形的同底角对顶角相等。

平行线的判定与性质平行线是几何学中一个重要的概念，它在许多数学问题中起着重要的作用。

本文将介绍平行线的判定方法以及平行线的一些性质。

一、平行线的判定判定两条直线是否平行，可以通过以下几种方法进行判断：1. 两线的斜率相等：设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。

如果k1=k2，那么L1和L2是平行线。

2. 两线的倾斜角相等：直线的倾斜角是指与x轴夹角的大小。

如果两条直线L1和L2的倾斜角相等，那么它们是平行线。

3. 两线的截距比相等：设有两条直线L1和L2，它们的截距分别为b1和b2。

如果b1/b2=k，k为常数，那么L1和L2是平行线。

二、平行线的性质平行线有以下几个重要的性质：1. 平行线上的任意一对对应角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。

2. 平行线上的内角和为180度：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB+∠CBA=180度。

3. 平行线上的外角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠ADB=∠EBC。

4. 平行线与直角线的关系：如果两条直线L1和L2相互垂直，而且L1和L2中的任意一条与第三条直线L3(横切线)平行，那么L1和L2也是平行线。

5. 平行线与三角形的性质：如果一条直线与一个三角形的两边分别平行，那么这条直线与第三边也平行。

三、实例分析举个例子来说明平行线的判定和性质。

设有两条直线L1:y=2x+1和L2:y=2x+5。

首先，我们可以通过比较两条直线的斜率，发现它们的斜率相等，即k1=k2=2，因此L1和L2是平行线。

根据平行线的性质，我们可以得到一系列结论：1. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的对应角必定相等，即∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。

2. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的内角和为180度，即∠CAB+∠CBA=180度。

经典教案平行线的性质与判定一、教学目标1. 让学生理解平行线的概念，掌握平行线的性质和判定方法。

2. 培养学生运用平行线的性质和判定方法解决实际问题的能力。

3. 提高学生对几何图形的认识和空间想象力。

二、教学内容1. 平行线的概念及特征2. 平行线的性质3. 平行线的判定方法4. 平行线在实际问题中的应用5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 教学重点：平行线的性质和判定方法，以及其在实际问题中的应用。

2. 教学难点：平行线的判定方法，以及如何在实际问题中灵活运用平行线的性质。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平行线的性质和判定方法。

2. 利用几何画板软件，直观展示平行线的性质和判定过程。

3. 结合实际例子，让学生学会用平行线的性质和判定方法解决问题。

4. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学步骤1. 导入新课：通过复习相关知识点，引入平行线的概念。

2. 探究平行线的性质：引导学生利用几何画板软件，自主探究平行线的性质。

3. 讲解平行线的判定方法：引导学生通过观察、分析、归纳，掌握平行线的判定方法。

4. 应用练习：结合实际例子，让学生运用平行线的性质和判定方法解决问题。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，总结平行线的性质和判定方法。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

7. 课后反思：对本节课的教学进行总结，查找不足，改进教学方法。

六、教学拓展1. 引导学生思考：平行线在现实生活中有哪些应用？2. 举例说明：平行线在建筑设计、道路规划、印刷排版等方面的应用。

3. 引导学生探讨：如何利用平行线的性质解决实际问题？七、课堂互动1. 提问环节：请学生回答平行线的性质和判定方法。

2. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用平行线的性质解决实际问题。

3. 分享环节：每组选一名代表分享讨论成果。

八、课后作业1. 完成练习册相关习题。

2. 结合生活实际，寻找平行线的应用实例，下节课分享。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1） （2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ） 三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识． 根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20o ，则这个角为_____________。

2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。

二、“三线八角”例2 （1） 如图，哪些是同位角内错角同旁内角（2） 如图，下列说法错误的是（ ）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有ED CB A O AB C DE F1 2 3 4 567 8 2 3 4 5 6 11 23同位角 对，内错角 对，同旁内角 。

三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。

初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。

平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。

本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。

一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。

同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。

例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。

根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。

2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。

内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。

例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。

根据内错角性质，可知∠A = ∠B。

3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。

同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。

例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。

根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。

二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。

例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。

2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。

例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。

3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。

平行线的判定条件和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线具有一些独特的判定条件和性质，本文将探讨这些条件和性质，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。

一、判定条件1.等角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，所夹的角对应相等或互补，则这两条直线是平行线。

即如果一对对应角相等或互补，则直线是平行的。

2.同位角定理判定：如果两条直线被一条横截线交叉时，同位角相等，则这两条直线是平行线。

同位角是指在两条直线上，分别位于两条横截线的同一侧且对应的角度。

3.转角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，其中一对内转角相等，则这两条直线是平行线。

内转角是指位于两条直线之间的角。

以上三种判定条件都是通过角度的性质来判断直线是否平行，通过角度的相等或特殊关系来推断直线的平行性。

二、性质1.同一平面内的平行线永不相交，并且在平面上的任一点，只有一条与给定直线平行的直线。

2.通过同一个点外一条直线上的垂线与该直线平行，则这两条直线互相平行。

3.平行线具有相同的斜率。

设有两条直线L1和L2，斜率分别为k1和k2，若k1 = k2，则直线L1与L2是平行线。

4.两条平行线被一条横截线所截时，对应角、同位角、内角均相等。

5.平行线间的距离在平面上始终保持不变。

即两条平行线的任意两个对应点的距离都相等。

6.平行线夹在两条直线上的外角是对应角的互补角，内角是对应角的同位角。

以上列举的是平行线的一些常见性质，这些性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

对于判定两条直线是否平行，可以通过以上提到的判定条件来进行推演。

而了解平行线的性质，可以帮助我们理解形状和图形的关系，进而应用到建筑、工程和设计等领域中。

总结：平行线是几何学中重要的概念之一，判断两条直线是否平行可以通过等角定理、同位角定理和转角定理等几何学定理来确定。

平行线具有一些独特的性质，比如不相交、斜率相等、距离相等等，这些性质在实际生活中有广泛的应用。

平行线的判定和性质知识点详解平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。

在平行线的判定和性质中，我们会涉及到直线和角的相关概念以及它们之间的关系。

1.同位角平行线判定：如果两条直线与一条横截线相交，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

同位角是指两条直线被横截线所形成的内外两对相似角。

2.顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得内侧的两个顶角互补，则这两条直线是平行线。

顶角是指两条直线被截断所形成的内外两个相交角。

3.对顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得对顶角互补，则这两条直线是平行线。

对顶角是指两条直线被截断所形成的相对两侧的相交角。

平行线的性质如下：1.同位角性质：同位角是两条平行线被横截线所形成的内外两对相似角。

性质有：同位角相等；同位角的对应角相等；同位角的内外两个对顶角互补。

2.内错角性质：内部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。

3.外错角性质：外部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。

4.顶角性质：顶角是两条平行线被一条截断线所形成的内外两个相交角。

性质有：顶角相等；顶角的对应角相等；顶角的内外两个对位角互为补角。

5.对顶角性质：对顶角是两条平行线被一条截断线所形成的相对两侧的相交角。

性质有：对顶角互为补角。

6.互补角性质：互补角是指两个角的和为90度。

在平行线中，同位角和对位角都是互补角。

7.直角性质：如果一条直线垂直于一条平行线，则它与这条平行线的对位角都是直角。

8.平行线之间的距离性质：平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。

总结起来，平行线的判定方法包括同位角平行线判定、顶角平行线判定和对顶角平行线判定。

而平行线的性质包括同位角性质、内错角性质、外错角性质、顶角性质、对顶角性质、互补角性质、直角性质以及平行线之间的距离性质等。

这些性质可以帮助我们在解决平行线相关问题时更加便捷地推导和证明结论。

平行线的性质与判定平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角. 常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.尺规作图只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.考点例析：题型一， 平行线的性质与判定例2（盐城市）已知：如图1，l 1∥l 2，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）A.135°B.130°C.50°D.40°分析 要求∠2的度数，由l 1∥l 2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解. 解 因为l 1∥l 2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B .说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例3（重庆市）如图2，已知直线l 1∥l 2，∠1＝40°，那么∠2＝ 度.分析 如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l 1∥l 2，得∠3＝∠1即可求解. 解 因为l 1∥l 2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.例4（烟台市）如图3，已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°分析 要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解 如图3，过∠2的顶点作EF ∥AB .所以∠1＝∠AEF ，图2 图 1 E又因为AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以∠3＝∠CEF ，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A .说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例5（南通市）如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG ＝72°，则∠EGF 等于（ ）A.36°B.54°C.72°D.108°分析 要求∠EGF 的大小，由于AB ∥CD ，则有∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，而EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以可以求得∠EGF ＝54°.解 因为AB ∥CD ，所以∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，又因为EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以∠BEG ＝∠FEG ＝54°.故应选B .说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.题型三 尺规作图例6（杭州市）已知角α和线段c 如图5所示，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.分析 要作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，可以先作出底角∠B ＝α，再在底角的一边截取BA ＝c ，然后以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ，即得.作法（1）作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α；（2）在射线BQ 上截取BA ＝c ；（3）以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ；（4）连接AC .则△ABC 为所求.如图6.例7（长沙市）如图7，已知∠AOB 和射线O ′B ′，用尺规作图法作∠A ′O ′B ′＝∠AOB （要求保留作图痕迹）.分析 只要再过点O ′作一条射线O ′A ′，使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB 即可.作法（1）以O 为圆心，任意长为半径，画弧，交OA 、OB 于点C 、D ；（2）以O ′为圆心，同样长为半径画弧，交O ′B ′于点D ′；A AO B ′ 图7 D C 图5 c α A图6 c α c B C P（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.说明在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.相交线与平行线测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．•在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P•到L的距离一定是1;C．相等的角是对顶角; D．钝角的补角一定是锐角.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对(1) (2) (3)3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c; B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c; D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（1）、（4） D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）A．∠1与∠5，∠2与∠6; B．∠3与∠7，∠4与∠8;C．∠2与∠6，∠3与∠7; D．∠1与∠5，∠4与∠88．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，•则∠2的度数为（）A．36° B．54° C．45° D．68°(4) (5) (6)9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，•则符合条件的直线L的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（• ）A．65° B．80° C．100° D．115°11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）A．30° B．70° C．30°或70° D．100°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．•如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，•∠BOC=___度．17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE 为_________．(7) (8) (9)18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．19．如图9，直线L 1∥L 2，AB ⊥L 1，垂足为O ，BC 与L 2相交于点E ，若∠1=43°，•则∠2=_______度．20．如图，∠ABD=•∠CBD ，•DF•∥AB ，•DE•∥BC ，•则∠1•与∠2•的大小关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，•证明过程或演算步骤）22．（7分）如图，AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，BC 交A ′B ′于点D ，∠B 与∠B•′有什么关系？为什么？23．（6分）如图，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．24．（6分）如图，AB ∥CD ，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA 平分∠EBF 的道理．25．（7分）如图，CD ⊥AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，且∠1=∠2，•∠3=80°．求∠BCA 的度数．26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．。

北京四中编稿：史卫红审稿：责编：一民平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。

二、例题：这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。

解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。

上述类型题目大致可分为两大类。

一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。

其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。

∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。

须证a//c。

法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。

例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。

分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。