猜想_为什么要证明

归纳—猜想—证明归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。

归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—证明”的思想方法，1．什么是归纳法在初中学习平面几何时，常会遇到如下推理：三角形内角和为180°，直角三角形是三角形，所以直角三角形内角和为180°。

这种由一般命题推出特殊命题的推理方法，我们称为演绎法。

但很多时候，往往需要从特殊的事例推出一般的原理，例如，一个人通过若干天的观察，看到“太阳从东方升起”， 就推出一般结论：“今后的每一天太阳都从东方升起”，这种推理方法叫做归纳法。

归纳法在科学发展和社会生活中起着重要作用，如气象工作者、水文工作者根据积累的历史资料作气象预测、水文预测，用的就是归纳法归纳法有什么特点？来看两个问题。

问题1：这里有一袋球共10个，要判断这袋球的颜色是白色，还是其他颜色，请问怎么办？学生：一个个拿出来看一看。

教师：这一袋球都是白色的。

问题2：数列的通项公式()2255n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，可以得到什么结论？学生：该数列的前四项都是1，猜测该数列的所有项都是1教师：这是错误的结论，该数列第五项是25。

解决以上两个问题用的都是归纳法——用一些特殊事例推出一般结论。

为什么问题1的结论正确，问题2的结论错误呢？这是因为问题1中，一共10个球，全部看了一遍，结论当然正确。

问题2中，根据前4 项为1，推测到所有项都是1，由于自然数有无数多个，因此得出的结论不一定正确。

实际上在这两个问题中运用的归纳法是有区别的，问题1中把研究对象都一一考察到了，这样推出结论的归纳法称为完全归纳法（通过验证一切可能的特殊事例，从而得出一般性结论，这种归纳推理称为完全归纳法）。

问题2中，根据部分事实推出了更加一般的事实，这种推理方法称为不完全归纳法（通过验证有限的特殊事例，从中推断出一般性的结论，这种归纳推理称为不完全归纳法）。

北师大版（数学）八年级上册第七章《平行线的证明》7.1《为什么要证明》教学设计说明《为什么要证明》是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容。

本节是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的，本章中所涉及的很多结论在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索,学生了解这些结论。

本节课教材安排了四个数学问题，学生依据平时的观察、实验、归纳、类比等方法得到结论，但结论未必一定正确，所以需要一步一步有根有据地去验证。

此外,教学注意渗透数学思想方法,如合情推理，从特殊到一般的归纳思想，数形结合，类比、转化的思想方法等。

从本节课起,学生开始从有条理的口头表述逐渐过渡到书写自己的理由,要求证明的每一步都要有依据,进行严格的形式化证明。

因此本节课的学习对发展学生演绎推理能力是非常重要的,对培养学生的创新意识也非常有利。

四次学习探究活动：1.比较两条线短长短。

2.用一根比地球赤道长一米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？3.当n为任意自然数时，代数式n²－n+11的值是质数吗？4.三角形中位线问题。

在学生学习过程中，采用学生思考（观察、猜想、归纳等方法）——质疑、小组讨论——小组代表汇报——教师点拨方式进行，学生通过四个问题的自主解决，直观地认识到“为什么要证明”。

一、创设学生喜闻乐见的情境导入，激发学生兴趣几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学，使学生产生了畏惧心理，学生兴趣普遍不浓。

为此，课的开始通过小游戏进行师生互动，“看老师的手，是几就说几（看手指说数）老师伸出手指一根，两根，三根，四根，接着还是伸出四根，学生中有同学可能会脱口而出说是5”，从而引发学生的思考。

课堂一开始就吸引了所有学生的注意力，激发了学生学习的兴趣和热情，并很自然地衔接引入到新课的教学。

二、问题导学贯穿课的始终“问题是数学的心脏”。

在整个教学过程中运用“问题解决”的思想，以问题情境导学，引导学生不断寻求策略，不断解决问题，让学生创造性地学习，将素质教育真正落到实处。

浅谈“猜想——验证”在数学教学中的运用作者：郭建来源：《学校教育研究》2017年第30期《数学课程标准》指出：“学生应经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。

”数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。

它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。

我们应该将“猜想”应用于小学数学教学之中，教师教猜想，学生学猜想，在“猜想——验证”式的学习方式中获得知识与技能、数学思考的思维方式、解决问题的策略，并且在学习中获得愉悦且有成就感的情感体验。

接下来就猜想在小学数学课堂中的应用谈点个人见解。

一、在“猜想——验证”螺旋式中学习猜想教师呈现有利于学生主动进行观察、实验、猜测与验证的数学学习材料，学生大胆猜想，猜想数学规律，猜想特殊性质，猜想解题方法，猜想问题结果，教师继续引导学生进行验证，修正猜想，再验证，学生在不断的猜想——验证的过程中发现数学知识，掌握数学知识。

如我在教学西师版三年级《克和千克的认识》的教学中，我充分地给学生提供了“猜想—验证”的机会，让学生积极、主动地去建构知识。

学生通过掂一掂、猜一猜、称一称的活动，形成了克和千克的表象认识，然后又充分地去掂量、去感受并例举了生活中许多大约重1克的物品。

学生通过大量的操作：称一称2分硬币、数学书、1千克重的食盐、书包等，对克与千克的质量观念是越来越清晰，越来越深刻。

学生由最初的表象“克很轻”、“1千克有点重”逐步发展到用盘秤称物品、估测物品、认识物品的质量，这些生活中的数学不是由教师教的，而是孩子们自己验证到的，并形成了一定的技能，获得了积极的情感体验。

二、猜想在数学课堂中绽放火花在数学课堂教学中应用猜想，关键是在教师在开放心态下，通过正确的引导，诱发学生大胆的猜想。

1.创设情境引发猜想在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。

新校园XinXiaoYuan摘要：“猜想———验证”不仅是学生学习数学知识的重要方法，而且是一种重要的数学思想。

本文归纳了在小学数学教学中运用“猜想—验证”的四个途径，即在问题情境中感知（操作感知、创境感知），在观察分析中猜想（沟通新旧知识间的联系、个例启发），在举例、动手操作中验证，在引导中归纳。

关键词：小学数学；猜想；验证“猜想———验证”是一种重要的数学思想方法。

正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。

”数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题情景—观察分析—提出猜想—验证结论—归纳总结。

一、在问题情景中感知心理学研究表明：学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。

因此，教学中要给学生提供充足的能揭示规律的感性材料，引导学生动手做、动脑想、动口说、动眼看，使学生在做一做、算一算、想一想、说一说、看一看中获得丰富的感性认识，建立清晰的表象，促使学生形成初步的猜想。

1.操作感知如在“长方形面积计算公式”教学中，让学生拿出课前准备好的24张l平方厘米的正方形纸片，然后用这24张纸片拼成尽可能多的长方形，拼好后逐一按长、宽、面积等数据填在记录表格中。

这样，通过拼、量、填、算、说，学生进一步初步感知了长方形的面积。

至此，猜想长方形的面积已是水到渠成。

2.创境感知在“加法交换律与结合律”教学中，教师提出问题：大猴上午吃3个桃子，下午吃4个桃子，小猴上午吃4个桃子，下午吃3个桃子。

大猴小猴谁吃得多？学生发现：大猴小猴吃的桃子的总数相等，即3+4=4+3。

学生观察等式左右两边的特点，初步感知了加法交换律。

二、在观察分析中猜想波利亚曾说过：“一个孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己与该题连在一起，会急切地想知道自己的猜想正确与否。

于是，便主动地关心这道题，关心课堂上的进展。

”因此，在学生大量感知且形成丰富的表象后，教师要给予学生充足的时间和空间，让学生根据自己的感知，用自己的思维方式自由地观察思考、分析推理，逐步从感性认识上升到理性认识，然后相互交流讨论，形成合理的猜想。

验证和形成数学猜想数学猜想在数学领域中扮演着极其重要的角色，它们是由直觉、观察、实验等手段得到的假设，需要通过严密的逻辑推理和严谨的证明来验证。

在本文中，我们将探讨验证和形成数学猜想的方法和过程。

一、数学猜想的形成数学猜想通常是从观察到某种规律或者现象开始的。

数学家通过观察数列、几何图形等，得到一些有趣的性质或者关系，进而形成了数学猜想。

举个例子来说，著名的费马大定理最早提出者为费马，这个猜想是他观察到了自然数幂次之间的某种关系，并且通过大量的实验证据来支持他的猜想。

而类似于费马这样的数学猜想，需要经过深入探究和严密论证才能得到证明。

二、数学猜想的验证1. 观察和归纳在验证数学猜想的过程中，首先需要通过观察和归纳来发现可能的规律。

这一阶段通常是直觉性的，数学家通过分析和整理已有的数据，观察到一些共同的性质或者关系，从而得出初步的猜想。

2. 推理和假设基于观察和归纳得到的猜想，数学家会进一步推理和假设，试图推导出更一般的结论。

这个过程需要运用到数学的各种方法和技巧，包括演绎推理、归纳法、反证法等，以构建严密的证明链条。

3. 实验证据为了验证数学猜想的正确性，数学家通常需要进行大量的实验或者计算。

这些实验可以是通过计算机模拟、数值计算或者通过一些特定的实验方法来实现，以验证猜想在广泛范围内的适用性。

4. 逆向思维和反证法在验证数学猜想的过程中，逆向思维和反证法也是常用的方法。

逆向思维是指从关注点的反方向出发，寻找可能的矛盾或者局限，从而得到结论的方法。

反证法则是通过假设前提条件不成立，进而通过推理得到矛盾的结论，从而推翻了原来的假设。

三、数学猜想的证明验证数学猜想的目的之一是为了证明它的正确性。

数学证明是通过严密的逻辑推理和严谨的演算来建立的，其中有时也需要运用到一些已经得到证明的数学定理和规则。

数学证明的过程通常包括以下几个步骤：1. 建立前提条件在证明过程中，首先要明确所给的假设或者前提条件。

这些前提条件既可以是自明的真理，也可以是以前已被证明的定理。

［摘要］“猜想—验证”是一种重要的探究方式，在小学数学课堂中得到广泛应用。

分析当前“猜想课堂”教学中存在的问题，基于波利亚解题理论、弗莱登塔尔“再创造”理论和建构主义学习理论，提出改进策略。

［关键词］数学猜想；课堂教学；数学验证；思维能力［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2023）14-0073-04美国数学家波利亚认为，数学既要教证明，又要教猜想。

“猜想—验证”是当前小学数学课堂教学中常见的探究方式，其本质内涵是学生通过“提出猜想，然后进行求证，最后得出结论”这一途径进行学习。

不同于传统的教学模式，“猜想—验证”的探究方式旨在帮助学生在解答数学问题时，经过猜想、探索、思考和验证的过程，找到问题的本质，进而更好地理解数学知识点。

在当前的小学数学学习中，猜想是重要的学习方式，教师要引导学生大胆猜想、积极求证。

一、“猜想—验证”的本质内涵及价值意蕴1.猜想的内涵释义所谓猜想，就是从未知事物出发做出某种推测或判断。

人们通常认为数学猜想是对未知问题做出的一种假想假设，一般是一个命题或者是对某个概念进行演绎推理。

数学猜想其实是人们在探究数学规律时产生的一种发散思维，它是一种数学想象，是数学发展的动力。

学生在解题过程中，通常会根据解题需要提出某种猜想。

据此，已有的知识经验和新问题在猜想过程中碰撞出火花，对数感的提高、推理能力的发展、数学思维的锻炼等方面都有一定的积极作用。

2.验证的内涵释义验证是在学习新知识时，学生借助相关材料和知识经验形成有一定根据的猜测后，通过有效的活动完善自己的猜测，发现并掌握新知识的过程。

在小学数学中，验证主要有两个方面的含义。

一方面，是指对事物进行证实的过程，它与证明类似。

数学上“证”是指找出矛盾，或者找出某种关系然后确定它正确与否，“证”也包括对理论、法则、规律、原理等的检验过程。

另一方面，验证是证明的一个组成部分。

在数学证明中，首先要找到一个合理的根据来证明命题正确与否，然后再得出结论，验证就是验证有无矛盾。

哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验,想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语:“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和．”但是哥德巴赫不能证明这个问题,甚至连如何证明的方法也没有,于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道:“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’．”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想．同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的．”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫—欧拉猜想．完整地说，哥德巴赫猜想是:大于1的任何数都是三个素数的和．后来,人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数,都可以表示为两个奇素数的和;命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和．例如：50=19+31； 51=7+13+31；52=23+29; 53=3+19+31．或50=3+47=7+43=13+37=19+31等．1900年,著名数学家希尔伯特在巴黎国际数学家会议上提出了国际数学要研究的23个题目(后被称为希尔伯特问题),其中哥德巴赫猜想命题A与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第8问题．这是著名的世界难题．1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想,即使把它改为较弱的命题：不论是不超过3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样的正数C,而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之和"（称为命题C)，也是当代数学家力所不能及的．1921年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会议上说,哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比，是极其困难的，但是他没有说是不可能的．事情出乎意料,哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机，坚不可摧的哥德巴赫堡垒正在逐个被攻破．1930年，25岁的苏联数学家列夫·格里高维奇·西涅日尔曼（1905—1938），用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C，还估算出这个数C不会超过S，并算出S≤800000．人们称S为西涅日尔曼常数．这是哥德巴赫猜想的第一个重大突破,可惜这位天才数学家只活了33岁．1930年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法作了最准确的分析,竞相缩小S的估值，到1937年,得到S≤67，又是一大进步．重要的是，不论一个数是多么大，都可将它分解成素数的和的问题已被证明了，如对于数835042000000000000000000000或者对于我们已知的999(这个数之大可以写出来编成30大卷的书)，我们同样可以断定，它们可以表示成不超过67个素数的和．甚至休克斯提出的“空前的数”这种比999大得多的数,也能根据西涅日尔曼的证明,表示成不超过67个素数的和的形状．1937年，苏联科学院院士伊凡·马特维奇·维诺格拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：对于充分大的奇数，西涅日尔曼常数不超过3．或者说成：对于充分大的奇数,都可表示为三个奇数之和．维诺格拉多夫基本上解决了命题B、通常称为“三素数定理"．他的工作,相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4．命题B基本上被解决了,然而到命题A的证明竟是如此困难，有人从6～3300000中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和,但这仅是验证,人们追求的仍然是从数学上证明，每个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数之和,再多的有限数，即使大到无法想象的数也无用,除非找到反例否定哥德巴赫猜想．人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念．所谓“殆素数”就是素数因子（包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数．我们知道,除1以外,任何一个正整数,一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子．相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数．例如,从25~30这六个数中，25=5×5 有2个素因子，26=2×13 有2个素因子,27=3×3×3 有3个素因子，23=2×2×7 有3个素因子，29是素数有1个素因子，30=2×3×5 有3个素因子．于是可说25、26、29是素因子不超过2的殆素数,27、28、30是素因子不超过3的殆素数．用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A．命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和．这个命题简化为“m+n”．这样,哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了:如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶教，都能表示成一个素数加上两个素数相乘,或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”．当然如果能证明“1+1"就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了．1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”．1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”．1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”．1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”．1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”．1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1"成立．1956年, 中国数学家王元证明了“3+4"．1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”．1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”．1962年, 中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5"，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5．1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”．1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”．1965年, 维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”．1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”．1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”．这是在经历了240年的漫长的历程中所取得的全世界公认的最好的研究成果，可是由于没有发表详细的证明，因此在国际上反响不大．1973年，陈景润在极其困难的条件下,继续奋战，发表了他的著名论文：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，公布了全部详细的论证．这一成就立即轰动了全世界，在数学界引起了强烈的反响．人们都称道中国年轻数学家陈景润的巨大贡献．英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特合著的数论著作《筛法》已在印刷厂排印，当见到陈景润的论文后，立即增补了专章，并冠以“陈氏定理"，基本上全文转载了陈景润的论文．这使我国在哥德巴赫猜想研究上居于世界领先的地位．当然，从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎只差最后的一步就可以摘取数学皇冠上的这颗明珠-—哥德巴赫猜想的证明了,可这最后的冲刺有多少艰难险阻谁也难以预料，从1966年陈景润证明了“1+2”到现在，多少数论学家、数学家努力改进证明方法,但至今仍无明显进展．。

为什么要学证明在初学证明时，好多同学都认为，前面我们都是通过实验、观察、操作得到正确的结论的，实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，为什么还要学习证明呢？这是因为仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，不能作为推理证明的依据，从下面的几个例子你就会明白的.一、视觉的错误例1、 如图1（1）中的两条线段a 与b 长度相等吗？请先观察再度量一下；图1（2）中三条线段a 、b 、c ，哪一条线段和线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.解：（1）对于图（1）直接观察可能得出结论，线段a 比线段b 长，而实际上经测量，线段a 与线段b 是一样长的；（2）对于图（2）直接观察可能得出结论，线段c 与线段d 在同一直线上，而实际上经测量，线段b 与线段d 在同一直线上.二、猜想的失误例2、当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数吗?你能否得到结论：对于所有自然数n ，241n n ++的值都是质数?解：通过计算，当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数，所以有人猜想：“对于所有的自然数n ，式子241n n ++的值都是质数．”其实可以验证40n =时，代数式241n n ++的值都是质数，但是当n=41时，241n n ++显然是个合数，所以猜想不成立。

三、直觉的误差 a b 图1（1） a b c 图1（2）d图2 例3、假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？解：本题的问题直觉上似乎是否定的，因为1m 与地球赤道相差太远了，1m 对地球赤道的长度来说，太微乎其微了，所以给予否定，但是只要实际计算一下，你会感到非常吃惊.设地球赤道的周长为c ，半径为R 1，铁丝的半径为R 2，则R 2- R 1=π21+c -π2c =π21≈0.16（m ）. 显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.由上面的例子可以看出，我们研究问题时，仅凭实验、观察、操作得到的结论有时却是错误的。

北师大版八年级上册 7.1《为什么要证明》教学设计这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

三、学情分析：㈠、知识基础：在此之前，学生已经学习了很多与几何相关的知识，为今天的学习作好了知识储备；同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．㈡、活动经验基础：八年级学生有一定的表现欲望和学习兴趣，通过一年多的初中数学学习，学生已经具备一定的观察、比较、动手操作、猜想、归纳和概括的能力，具备一定的小组合作交流的能力。

四、设计理念：本着“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”、“以教师为主导，以学生为主体”的教育理念，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课先采用一些错觉图片，让学生对“眼见为实”产生困惑激趣引入，再以五个学生活动素材（“看一看”、“猜一猜”、“做一做”、“读一读”、“量一量”）让学生经历观察、猜想、验证、归纳等过程，通过合作交流，认识到观察、猜想、归纳、实验得到的结论不一定可靠，需要进一步计算或推理论证，从而体会证明的意义和证明的必要性。

五、教学目标：㈠、知识与技能目标：1、了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等；2、会用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论是否正确。

㈡、过程与方法目标：经历观察、猜想、验证、归纳等思维过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识。

㈢、情感态度与价值观：经历观察、猜想、验证、归纳等过程，让学生体会数学的严谨性，培养学生的质疑精神。

六、教学重点和难点：教学重点：让学生充分参与观察、猜想、归纳、实验等学生活动，进而认识到证明的必要性。

教学难点：让学生经历观察、猜想、验证、归纳等思维过程，认识到观察、猜想、归纳、实验方法得到的结论不一定可靠，从而体会证明的必要性。

谈谈“猜想——验证——结论”作者：王小霞来源：《江苏教育》2008年第08期只有学生经历了有根据的猜想，今后他们才能在生活工作中大胆假设；只有学生掌握了各种验证的方法，那么他们才有本领证明自身的猜想，猜想也才能发挥科学价值；只有他们会严谨地概括结论，他们才会明了结论的得出要经历怎样一个探究的过程。

那么，在我们具体教学中，究竟如何培养学生这些方面的能力呢?一、明晰“猜想”、“验证”、“结论”的内涵是不是“想像”就等于猜想呢?心理学表明，“猜想”是“想像”的一种，是一种比较科学的研究方法。

“小鸭子是游过来还是游走?”这依靠学生的看图想像能力，不是猜想过程。

“309+478的和是多少?”这是培养学生的估算能力，也不能归为猜想。

“10个学生间隔排列，分别有多少男生和女生?”学生已经清楚了答案，这是结论，也不是猜想。

那究竟什么时候需要猜想，怎样的过程称为猜想过程呢?“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商会怎样?”“是不是所有的乘法算式中，交换两个乘数的位置，积不变?”……这些时候都需要学生合理猜想。

不是所有的数学学习都需要学生进行猜想的。

那科学的“验证”过程又是怎样呢?用竖式计算一个算式，学生对答案非常肯定了还要回头演示验证过程……这些都不能称为一个完整的、科学的“验证”过程。

相反，在推导运算律时，引导学生列出一个个算式，寻找反例；在解决证明题时，学生根据已有知识不断推导证明……这些严谨的过程才是验证。

验证是为得出结论服务的，是与结论紧密结合的。

如果仅仅停留于表面形式，任何场合都照样子画葫芦，那充其量只能称为“伪验证”、“形式验证”，起不到真正的作用。

另外要让学生意识到验证的重要作用，验证有可能证明猜想是对的，也有可能反驳猜想。

结论的得出必须是科学的。

结论也必须是具有一定挑战性的。

仅仅得到一个算式的结果不能称之为一个结论。

同时要引导学生在得出结论的过程中反思整个过程，结论不一定就和之前的猜想一致，也可能与猜想对立。

高考数学中的猜想与证明数学是一门充满了猜想和证明的科学。

在高考数学中，考生需要掌握各种猜想和证明的方法，才能在试题中游刃有余地解决问题。

猜想，是指根据一些已有的条件，而得到的暂时结论。

在数学中，猜想是一种重要的思维方式。

猜想有时是凭直觉得出的，有时是从已知的结果中推出的。

比如某个数列的前几项为1，2，4，7，11，16，22，……，我们可以猜想它的第n项的通项公式是n²/2 + n/2 + 1/2。

猜想的好处在于它能够激发我们思考的欲望，帮助我们更好地理解问题，也有助于我们寻找证明的方法。

证明，是指利用已知的前提和逻辑推理的方法，来得到合理的结论。

证明是数学中最基本、最重要的思维方式。

有时我们不能直接发现问题的规律或者答案，但可以通过证明找到答案，例如勾股定理。

由于证明是建立在基本定义与定理、公理等基础上的，所以证明非常重要，对于数学的发展与推广具有重大的作用。

在高考数学中，数学证明是非常重要的，也是考察学生数学思维和数学能力的重要方式。

数学证明有不同的类型，最常见的区别就是直接证明和间接证明。

直接证明是指通过逻辑推理，由已知的一些条件得到结论的方法。

而间接证明则是反证法，即假设结论不成立，来推导出矛盾的情况，从而证明结论是正确的。

数学证明的过程中，要运用到各种数学定理、公式、定义等知识。

同时，也要善于观察、总结，要有一定的想象力和创造力。

在解题的过程中，需要分析、思考、推理，然后进行具体的计算。

比如，要证明1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6，我们需要应用到数学归纳法和平方和公式，进行逐步推导，达到最终的结论。

在高考中，数学猜想和证明是不可或缺的。

通过猜想和证明，可以使我们更加深入地理解数学问题，拓展思维，提高数学能力，从而在考试中取得更好的成绩。

在平时学习中，我们可以多进行一些数学猜想和证明的练习，增强锻炼自己的数学思维能力。

第二讲 数学归纳法与归纳—猜想—论证 知识提要1. 数学归纳法可以用来证明与正整数n 有关的恒等式、不等式、整除等数学问题.（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可，结论语也不可少，它把前两步整合成有机证明.（2）第一步是证明的基础，为假设提供合理性依据；第二步是证明的核心，保证命题的传递性.（3）数学归纳法证明的关键是应用归纳假设，归纳假设作为推理论证的条件体现了数学归纳法的优越性.2. 为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法. 典型例题【例1】证明()()3171n n n N *+-∈ 能被9整除.【例2】是否存常数,a b R ∈使等式()3333332211231321()2n n n an b +++++-++++=+ 恒成立？并证明你的结论【例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)25(212++=+n n a S n n（1）求1a 的值，并用n 和n a 表示1+n a ；（2）猜想数列{}n a 的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.巩固练习1、用数学归纳法证明：n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-时，第一步应证明的等式是_________________.2、在数列{}n a 中，311=a 且n n a n n S )12(-=，则=n a _________________. 3、猜想：=+++⨯+⨯+⨯)13(1037241n n _________________.4、有下列各式：211>，131211>++，237131211>++++ ， 215114131211>+++++ ，可以猜想一个更一般的不等式为_________________. 5、用数学归纳法证明3)12(1221222222+=++++++n n n ：的过程中，假设k n =成立后，在证明1+=k n 也成立时，和n k =时相比较，等式左边增加的项是_________________.6、已知(1)(2)(3)(2)n A n n n n n =++++ ，则k A 与1+k A 的关系为_________________.7、用数学归纳法证明时：2)12(sin sin 1)12cos(3cos cos 21ααααα+=-++++n n (21)cos(,)2n k k N ααπ*-≠∈，当验证1=n 时，左边=_________________. 8、),2)((,1,22)(11*-∈≥==+=N n n x f x x x x x f n n ，则=n x _________________. 9、在应用数学归纳法证明等式247532122222+-=++++n n n 时（ ） （A ）n 为任何自然数时都成立 （B ）仅当3,2,1=n 时成立（C ）4=n 时成立，5=n 时不成立 （D ）仅当4=n 时成立10、某个命题与自然数n 有关，如果k n =时，该命题不成立，那么可推出当1+=k n 时，该命题不成立，现已知当5=n 时，命题成立，那么（ ）（A ）当6=n 时，命题不成立 （B ）当6=n 时，命题成立（C ）当4=n 时，命题不成立 （D ）当4n =时，命题成立11、用数学归纳法证明“对任意偶数n ，n n b a -能被b a +整除”时，第二步应该（ ）（A ）假设()2,n k k k N *=≥∈时成立，再证1+=k n 时成立 （B ）假设k n 2=()k N *∈时成立，再证12+=k n 时成立 （C ）假设()2,n k k k N *=≥∈时成立，再证2+=k n 时成立 （D ）假设k n 2=()k N *∈时成立，再证)1(2+=k n 时成立12、求证：2511222n -++++ 能被31整除.13、是否存在常数a 、b 、c 使等式222222246(2)()3n n an bn c ++++=++ 成立？并证明你的结论.14、已知数列{}n a 中，11a =，且点()()1,,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n nb S a =，表示{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得 ()()1211n n S S S S g n -+++=-⋅ 对于一切不小于2的自然数n 都成立. 若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由.。

为什么要证明--教学设计（张建辉）7.1《什么缘故要证明》教学设计江西省萍乡市安源区第二学校：张建辉一、内容和内容解析《什么缘故要证明》是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容，本章是证明的起始时期。

七年级和八年级上册的重点是培养学生的合情推理能力（即动手操作和简单的说理论证），八年级下册和九年级重点是培养学生的演绎推理能力。

在往常的学习中，学生通过探究（观看、测量、实验、归纳等方法）差不多得到了专门多正确的结论，但也给学生造成一种错觉，认为通过探究得到的结论差不多上正确的。

本节课确实是要让学生凝视这一点，重点让学生经历观看、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观看、猜想、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。

在学生心中建立起“应该要证明”的思想意识，培养学生严谨的学习态度，同时也为学生由合情推理转向演绎推理形成过渡，起到承上启下的作用。

二、目标和目标解析1.通过观看比较两条线段的长短；猜想用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大；归纳关于所有自然数n, n²－n+11的值差不多上质数；猜想三角形的中位线与第三边的位置与数量关系的过程，让学生体会到用观看、猜想、归纳的方法得到的结论未必可靠，认识到证明的必要性，培养学生的推理意识。

2.了解运用测量验证线段的长短；运算铁丝与地球赤道之间的间隙大约是0.16米；举反例验证关于所有自然数n, n²－n+11的值差不多上质数是错误的；推理验证三角形中位线定理，在学生心目中建立起“对待问题要有严谨的学习态度”意识。

3.在探究“用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大时”，能运用数形结合、转化、类比等数学思想方法解决问题。

4.在经历观看、猜想、归纳等一系列数学活动的过程中，体验到数学学习充满了探究和制造。

合作探究环节由中国女排里约奥运会夺冠，表达了中国精神引出排球；反馈练习，应用新知环节费马的故事，体会数学学习的严谨性，养成对数学的好奇心、求知欲和探究创新精神；课堂小结，交流收成环节布置的拓展作业“把一张厚度约0.1毫米的纸，对折30次，厚度有江西萍乡武功山金顶高吗？有世界第一高峰珠穆朗玛峰高吗？”学生深切感受到祖国、家乡的美。

为什么要证明--教学设计（聂慧）1．为什么要证明贵阳市第十七中学聂慧内容和内容解析内容感受证明的必要性,了解检验数学结论的常用方法。

内容解析本节课是义务教育教科书数学八年级上册〔北师大版〕第七章第一节。

学生在从小学到初中的三个学段中，认识图形的要求有着明显的层次性，从〝辨认〞到〝初步认识〞，再从〝认识〞到〝探索并证明〞。

这种层次性既表达了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入，循序渐进。

这节内容设置在八年级，已经是第三学段中期。

在七年级时教材已经设置了«基本平面图形»、«相交线与平行线»和«三角形»的学习，学生通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了很多正确的结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但并没有进行严格的证明，因而容易给学生造成一些错觉，认为通过探究得到的结论都是正确的。

本节课就是让学生认识到：通过观察、实验、归纳等活动得到的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的证明，初步感受证明的必要性，从而为后面学习演绎推理埋下伏笔。

根据以上对教材地位和作用的分析，结合课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：知道观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

【二】目标和目标解析目标〔1〕经历观察、验证、归纳等过程，使学生产生认知冲突，对由这些方法所得到的结论产生怀疑，从而认识证明的必要性。

〔2〕了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例论证、推理论证等，并能运用这些方法来验证某些问题的结论正确与否，发展学生合情推理和演绎推理能力，培养学生的推理意识．〔3〕在积极参与数学活动的过程中，激发学生的好奇心和求知欲；通过实验和探究活动，养成合作交流、反思质疑的学习习惯，形成修正错误、严谨求实的科学态度。

2、目标解析目标〔1〕达成的标志是学生通过〝观察图片〞、〝比较线段长短〞的问题、〝铁丝围地球〞的问题、〝费马数〞的问题等，发现通过观察、猜测、归纳等活动得到的结论不一定都正确，从而认识到证明的必要性目标〔2〕达成的标志是通过学生在经历多次错误的观察、猜想判断后，不再随意猜测，而是通过测量、计算、推理、举反例等方法来有理有据地证明这些结论正确与否。

大胆猜想，小心求证对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略，是建立在事实和已有经验基础上的一种假定，是一种合理推想。

学生在猜想过程中，新旧知识的碰撞会激发智慧的火花，思维会有很大的跳跃性，提高数感，发展推理能力，锻炼数学思维。

纵观数学发展历史，很多著名的数学结论都是从猜想开始的。

所以在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，发表独特见解，创新探索地学习数学。

【案例】在教学一个小数的近似数的课堂教学上，教师刚出示了例1：“2.953保留两位小数，它的近似数是多少？”，一些学生就迫不及待地举手回答：生1：老师，是3.00。

生2：不，应该是2.95。

生3：我觉得应该是3.10??课堂气氛瞬即热烈起来了。

我本想让学生从求整数近似数的方法迁移思考求小数近似数的方法，但学生猜想的答案让我意识到，如果在这时我打断学生的争辩再按照原本的教学设计进行引导，对学生的学习热情是一个很大的打击。

于是我让不同意见的学生各自说出自己的猜想过程：“说说你是怎样想到这个答案呢？”生4：因为2.953接近3，所以2.953≈3，但因为要保留两位小数，所以根据小数的性质，2.953≈3.00。

生5：因为2.953要保留两位小数，所以我认为应该看小数部份的第三位，千分位上是3，不满5，要舍去，所以2.953≈2.95。

生6：因为2.953接近3，但是要保留两位小数，十分位和百分位上的数都满5了，要向前一位进1，所以2.953≈3.10。

听完发言后，我再让同学们根据他们的猜想过程，结合求整数近似数的方法去认真地思考、讨论，哪一个猜想的方法是正确的。

同学提出了不少的疑问：生7：要保留两位小数，为什么要把它们先看成整数呢？生8：运用四舍五入方法求整数近似数的时候，要看省略尾数左起的第一位。

那么求保留两位小数的近似数，应该看哪一位呢？??在同学的质疑和思辩中，学生们逐渐对求小数近似数的方法清晰起来了，其实求小数近似数的方法与求整数近似数的方法相似，要看省略尾数左起的第一位，运用四舍五入的方法求出。

数学猜想与证明数学是一门严谨而富有挑战性的学科，数学猜想的提出和证明也是数学研究的重要一环。

数学猜想是数学家在观察、思考和推断的基础上提出的未证实的数学命题，而证明则是通过推理和演绎验证猜想的正确性。

一、数学猜想的提出数学猜想往往源于对数学问题的深入思考和尝试，数学家通过观察到一些规律和现象，提出了猜想。

这些猜想可能是基于已有的数学理论和知识，也可能是根据实际问题的推断。

数学猜想的提出往往需要数学家对问题的深入理解和逻辑思维的发散。

在猜想的提出阶段，数学家需要寻找合适的表达方式，以确保猜想准确、清晰地被阐述出来。

二、数学猜想的证明证明是验证数学猜想正确性的过程。

数学家根据已有的数学理论、公理、定义和推理方法，通过严密的逻辑推理，以专业的数学语言和符号，阐述和演绎前提条件、中间步骤和结论，从而证明数学猜想的正确性。

在证明过程中，数学家需要运用各种数学方法，如代数、几何、概率等，展现出数学的美妙和深邃。

证明数学猜想的过程常常充满挑战和困难。

数学猜想的证明可能需要数学家花费数年甚至数十年的时间和精力进行研究和探索。

一些数学证明甚至需要多位数学家的合作才能完成。

数学证明的过程不仅需要严谨的逻辑思维、丰富的数学知识和深入的数学洞察力，还需要创造性和执着的探索精神。

三、数学猜想的重要性数学猜想的提出和证明对于数学研究和学科发展具有重要的意义。

首先，数学猜想是数学研究的推动力。

它们引发了数学家对问题的思考和探索，促进了新的数学理论和方法的发展。

其次，数学猜想的证明可以验证数学的准确性和可靠性。

通过证明，数学猜想被转化为数学定理，为数学理论的建立提供了重要的基础。

最后，数学猜想的证明也带来了对数学的应用和实际问题的解决，推动了科学技术的发展和社会的进步。

四、著名的数学猜想与证明历史上有许多著名的数学猜想以及经典的证明过程。

其中最著名的之一是费马大定理。

费马大定理是法国数学家费马在17世纪提出的命题，它断言对于大于2的任意整数n，方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。

为什么要学证明在初学证明时，好多同学都认为，前面我们都是通过实验、观察、操作得到正确的结论的，实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，为什么还要学习证明呢？这是因为仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，不能作为推理证明的依据，从下面的几个例子你就会明白的.一、视觉的错误例1、 如图1（1）中的两条线段a 与b 长度相等吗？请先观察再度量一下；图1（2）中三条线段a 、b 、c ，哪一条线段和线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.解：（1）对于图（1）直接观察可能得出结论，线段a 比线段b 长，而实际上经测量，线段a 与线段b 是一样长的；（2）对于图（2）直接观察可能得出结论，线段c 与线段d 在同一直线上，而实际上经测量，线段b 与线段d 在同一直线上.二、猜想的失误例2、当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数吗?你能否得到结论：对于所有自然数n ，241n n ++的值都是质数?解：通过计算，当n =1，2，3，4，5时，代数式241n n ++的值是质数，所以有人猜想：“对于所有的自然数n ，式子241n n ++的值都是质数．”其实可以验证40n =时，代数式241n n ++的值都是质数，但是当n=41时，241n n ++显然是个合数，所以猜想不成立。

三、直觉的误差 a b 图1（1） a b c 图1（2）d图2 例3、假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？解：本题的问题直觉上似乎是否定的，因为1m 与地球赤道相差太远了，1m 对地球赤道的长度来说，太微乎其微了，所以给予否定，但是只要实际计算一下，你会感到非常吃惊.设地球赤道的周长为c ，半径为R 1，铁丝的半径为R 2，则R 2- R 1=π21+c -π2c =π21≈0.16（m ）. 显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.由上面的例子可以看出，我们研究问题时，仅凭实验、观察、操作得到的结论有时却是错误的。