山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（山东卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A. 2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为 （A ）33【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 3663a πππ===故选D.4.曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)155.已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 (A)若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 (B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 【答案】A【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,故选A. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C )2 (D)3 【答案】B【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选B. 7.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线231z x y =++平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值为10,故选B. 8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+, 令x=6得ˆy =65.5,选B. 9.设M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4<r,因为点M(0x ，0y )为抛物线C ：28x y =上一点，所以有2008x y =,又点M(0x ，0y )在圆222(2)x y r +-= ,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2008(2)16y y +->,即有2004120y y +->,解得02y >或06y <-, 又因为00y ≥, 所以02y >, 选C.的距离为02y +,【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O)(c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D.第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】16【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40820⨯=16. 14.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是 【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.15.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cosC 2c-a=cos B b=2sin sin sin C AB-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.18.（本小题满分12分）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为49. （2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为62155=. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以BD=3a ,所以222AD BD AB +=,故BD⊥AD,又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,故1AA BD ⊥.(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为AC 、11A C ，故11AC AC ，又因为AB=2a,BC=a, ABC=120∠，所以可由余弦定理计算得AC=7a ，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=32a , 111A B C =120∠，所以可由余弦定理计算得A 1C 1=7a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面. 20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=123n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =+++=1212()(ln ln ln )n n a a a a a a +++-++=2(13)13n ---12ln na a a =31n --121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯⨯=31n --(1)2ln(23)n n n-⋅,所以2n S =231n --2(21)22ln(23)n n n-⋅=91n --22ln 2(2)ln 3n n n --.21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r . 【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2l). （Ⅱ）因为'y =216016r rππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:3202r c >-;令'0y <得:32002r c <<-,所以3202r c =-米时, 该容器的建造费用最小. 22.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=,设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kn y kx n k n k -=+=⨯+=+213nk +,所以中点E 的坐标为E 23(,13kn k -+2)13n k +,因为O 、E 、D 三点在同一直线上，所以OE OD k K =，即133mk -=-，解得1m k =，所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号,即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）（i ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3m y x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+,又因为213E n y k =+,D y m =,且2OG OD =∙OE ，所以222313m n m m k =⋅++,又由（Ⅰ）知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+,即有:(1)l y k x =+,令1x =-得,y=0,与实数k 无关,所以直线l 过定点(-1,0).（ii ）假设点B ，G 关于x 轴对称,则有ABG 的外接圆的圆心在x 轴上,又在线段AB 的中垂线上, 由（i ）知点G(23(,3m -+2)3m m +,所以点B(2(,3m +2)3m +,又因为直线l 过定点(-1,0),所以直线l 的斜率为223313m k m +=-++，又因为1m k =，所以解得21m =或6，又因为230m ->,所以26m =舍去,即21n =，此时k=1，m=1，E 3(,4-1)4，AB 的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为1(,0)2-，G(3(,2-1)2,圆半径为52，圆的方程为2215()24x y -+=.综上所述, 点B ，G 关于x 轴对称,此时ABG 的外接圆的方程为2215()24x y -+=.。

普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i -(B) 34i +(C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根 (C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<>(D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 233(C) 0(D) 3(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的xEO顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

高考山东文科数学试题及答案1. 选择题1. 设函数 f(x) = ax + b，已知 f(2) = 4，f(4) = 8，则 a + b =?【答案】a + b = 2【解析】根据题意，可以列出以下两个方程：f(2) = 2a + b = 4f(4) = 4a + b = 8解方程组得：a = 2，b = 0所以，a + b = 2 + 0 = 22. 若 a 是正数，则方程 a^x = a^(x+1) - a^2 的解 x 满足的条件是？【答案】x > 2【解析】对方程两边同时取对数得：x * loga = (x+1) * loga - 2 * loga化简得：x - x - 1 = -2解得：x > 23. 已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(x + π/2) 的值等于？【答案】f(x + π/2) = cos(x) - sin(x)【解析】根据三角函数的性质得：sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)将 a = x，b = π/2 代入得：sin(x + π/2) = sin(x) * cos(π/2) + cos(x) * sin(π/2)化简得：sin(x + π/2) = cos(x) * sin(π/2) = cos(x)所以，f(x + π/2) = cos(x) - sin(x)4. 已知函数 f(x) = 4sin(x) + 5cos(x)，则f(π/4) 的值等于？【答案】f(π/4) = 6√2【解析】将x = π/4 代入函数 f(x) = 4sin(x) + 5cos(x) 得：f(π/4) = 4sin(π/4) + 5cos(π/4) = 4 * 1/√2 + 5 * 1/√2 = 6√22. 解答题（1）已知点 A(-1, 3)，经过该点的直线 L 的斜率 k = 2，求直线 L 的方程。

word格式文档2021 年山东省高考数学试卷〔文科〕一、选择题：此题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

．〔5分〕设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，那么M∩N=〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔﹣1，2〕C．〔0，2〕D．〔1，2〕．〔5分〕i是虚数单位，假设复数z满足zi=1+i，那么z2=〔〕A．﹣2iB．2i C．﹣2D．2．〔5分〕x，y满足约束条件那么z=x+2y的最大值是〔〕A．﹣3B．﹣1C．1D．34．〔5分〕cosx=，那么cos2x=〔〕A．﹣B．C．﹣D．5．〔5分〕命题p：?x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：假设a2＜b2，那么a＜b，以下命题为真命题的是〔〕A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q6．〔5分〕假设执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，那么空白判断框中的条件可能为〔〕专业整理word格式文档A．x＞3B．x＞4C．x≤4D．x≤57．〔5分〕函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为〔〕A．B．C．πD．2π8．〔5分〕如下图的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据〔单位：件〕．假设这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，那么x和y的值分别为〔〕A．3，5 B．5，5C．3，7D．5，79．〔5分〕设f〔x〕=假设f〔a〕=f〔a+1〕，那么f〔〕=〔〕A．2 B．4 C．6 D．810．〔5分〕假设函数e x f〔x〕〔是自然对数的底数〕在f〔x〕的定义域上单调递增，那么称函数〔fx〕具有M性质，以下函数中具有M性质的是〔〕A．f〔x〕=2x B．f〔x〕=x2C．f〔x〕=3﹣x D．f〔x〕=cosx专业整理二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分11．〔5分〕向量=〔2，6〕，=〔﹣1，λ〕，假设，那么λ=．12．〔5分〕假设直线=1〔a＞0，b＞0〕过点〔1，2〕，那么2a+b的最小值为．13．〔5分〕由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，那么该几何体的体积为．14．〔5分〕f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x+4〕=f〔x﹣2〕．假设当x∈[﹣3，0]时，f〔x〕=6﹣x，那么f〔919〕=．15．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的右支与焦点为F的抛物线x2=2py〔p＞0〕交于A，B两点，假设|AF|+|BF|=4|OF|，那么该双曲线的渐近线方程为．三、解答题16．〔12分〕某旅游爱好者方案从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．〔Ⅰ〕假设从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；〔Ⅱ〕假设从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括专业整理B1的概率．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，=6，S△ABC=3，求A和a．18．〔12分〕由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如下图，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，〔Ⅰ〕证明：A1O∥平面B1CD1；〔Ⅱ〕设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．19．〔12分〕{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．〔1〕求数列{a n}通项公式；〔2〕{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，S2n+1=b n b n+1，求数列的前n项和T n．20．〔13分〕函数f〔x〕= x3﹣a x2，a∈R，1〕当a=2时，求曲线y=f〔x〕在点〔3，f〔3〕〕处的切线方程；2〕设函数g〔x〕=f〔x〕+〔x﹣a〕cosx﹣sinx，讨论g〔x〕的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．专业整理〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕动直线l：y=kx+m〔m≠0〕交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF 与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．专业整理word格式文档2021年山东省高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：此题共10小题，每题5分，共50分。

普通高等学校招生全国统一考试数学文（山东卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( D )A.0B.1C.2D.4 2.复数31ii--等于（C ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( A).A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+D. 2343π+ 5.在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为( B ).A.(0,2)B.(-2,1)C.),1()2,(+∞--∞D.(-1,2)6. 函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( A ).7. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( B )A.-1B. -2C.1D. 2.8.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ B ）A.0PA PB +=B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D.0PA PB PC ++=22侧(左)视图222正(主)1xy 1OxyO 11BxyO 1 1 Cx y 1 1 DOABC P第8题图俯视图9. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(B ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =11.在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.π2C.21D.32 12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( D ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2021年山东省高考文科数学试题及答案数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试终止后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直截了当填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：假如事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}===，则()U A BA B=U（A）{2,6}（B）{3,6}（C）{1,3,4,5}（D）{1,2,4,6}（2）若复数21i z =-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时刻（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时刻的范畴是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).依照直方图，这200名学生中每周的自习时刻许多于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33（B ）123 （C ）12+π36（D ）21+π6（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y （-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )bc a b A ,则A =（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6 (9)已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1（C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是学科&网（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B U ð为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} (3)函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]-(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 (6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 (A)23- (B)0 (C)－1 (D)13-- (9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 (10)函数cos622x xxy -=-的图象大致为(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = (12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.(15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿＿＿.(16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一于(2，1)时，OP u u u r的点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位坐标为＿＿＿＿.三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.(19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .(20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .(21) (本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 【答案】A(2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U Y ）（为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U Y ,选C. 【答案】C (3)函数1()ln(1)f x x =++(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]-【解析】要使函数有意义则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠+>+040)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，选B.【答案】B(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D.【答案】D(5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是(A)p 为真 (B)q ⌝为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 π2【答案】C(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A. 【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B.【答案】B(8)函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为 (A)23- (B)0 (C)－1 (D)13-- 【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3sin(2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A. 【答案】A【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r Rr R +<<-17，所以两圆相交，选B. 【答案】B (10)函数cos622x xxy -=-的图象大致为【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-xx xy ，排除B ，选D.【答案】D(11)已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y =(B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【解析】抛物线的焦点 )2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x aby =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a pa ，即cb a ap 4422=+=，所以4p a c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==pa c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.【答案】D (12)设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <，则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得3141x -=，故31122x =-.3121202x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 【答案】B第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△1ADD 为底面，则易知三棱锥的高为1，故111111326V =⋅⋅⋅⋅=.【答案】61(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9. 【答案】9函数，则a ＝＿＿＿＿.【解析】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x x =-为减函数，不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意.【答案】14（16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP u u u r的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,,则22π-=∠PCA ,所以2cos )22sin(-=-=πPB ，2sin )22cos(=-=πCB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=.另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .【答案】)2cos 1,2sin 2(--三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S . 【答案】(17)(I)由已知得：sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，∴2223cos 24a cb B ac +-==，27sin 1cos C C =-=， ∴△ABC 的面积1177sin 1222S ac B ==⨯⨯⨯=.(18)(本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310P =. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815P =.(19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知 ，CO BD ⊥， 又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE . 所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =.∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ， ∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC .(20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S . 【答案】 (I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=. (II)由277m n a n =≤，得217m n -≤， 即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列，∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.(21) (本小题满分13分)如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 【答案】(21)(I)222334c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②(II)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=，由226420(44)0m m ∆=-->得m <.||PQ =. 当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，||||PQ ST =其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST .③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST由此知，当0m =时，||||PQ ST .综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST .(22) (本小题满分13分) 已知函数ln ()(e xx k f x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.【答案】(I)1ln ()e xx k x f x --'=， 由已知，1(1)0ek f -'==，∴1k =. (II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. (III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立. 当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln ex x x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<，所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。

2024年山东省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。

普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.（1）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =（A ）()1,1- （B ）()1,2-（C ）()0,2（D ）()1,2（2）已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z = (A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2（3）已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 （4）已知3cos 4x =,则cos2x = (A)14-(B)14 (C)18- (D)18（5）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是 (A)p q ∧ (B)p q ∧⌝ (C)p q ⌝∧ (D)p q ⌝∧⌝（6）执行右侧的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为（A ）3x > （B ）4x > （C ）4x ≤ （D ）5x ≤ （7）函数3sin 2cos 2y x x =+最小正周期为（A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ） 2π（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为（A ） 3,5 （B ） 5,5 （C ） 3,7 （D ） 5,7（9）设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8 （10）若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是 （A ）()2xf x -=（B ）()2f x x=（C ）()-3xf x =（D ）()cos f x x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分(11)已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ-,若a ∥b ,则λ= .(12）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . (13）由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为 .(14）已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)= .(15）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.(16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游.(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.(17）（本小题满分12分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.（21题）19.（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . (I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,z.x.x.k 讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C截直线y =1所得线段的长度为22(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求 EDF的最小值.普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、选择题(1) C (2) A (3) D (4) D (5) B (6) B (7) C (8) A (9) C (10) A 二、填空题（11）3- （12）8 （13）π22+ （14）6 （15）2y x =± 三、解答题 （16）解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,,A A A A A A 共3个,学科&网则所求事件的概率为：()31155P A ==. (Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B 共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个. 则所求事件的概率为：29P =. （17）解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-， 又 3ABC S ∆=，所以sin 6bc A =， 因此tan 1A =-， 又0A π<<所以34A π=，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得29823()292a =+-⨯⨯-=，所以a =（18） 证明：（Ⅰ）取11B D 中点1O ，连接111,CO AO ，由于1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以1111//,=AO CO AO CO ， 因此四边形11A OCO 为平行四边形， 所以11//A O O C ，又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ， 所以1//AO 平面11B CD ， （Ⅱ）因为 AC BD ⊥,E,M 分别为AD 和OD 的中点， 所以EM BD ⊥,又 1A E ⊥面ABCD ，BD ABCD ⊂平面 所以1,A E BD ⊥ 因为 11//B D BD所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，又 A 1E, EM 11,A EM A E EM E ⊂⋂=平面 所以11B D ⊥平面111,A EM B D ⊂又平面11B CD ， 所以 平面1A EM ⊥平面11B CD 。

⎪ ⎪ ⎩ ⎩2021 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学第Ⅰ卷(共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若复数 z 满足 z (2 - i ) = 11 + 7 i(i 为虚数单位)，则 z 为(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i【解析】 z =【答案】A11 + 7i 2 - i= (11 + 7i )(2 + i ) (2 - i )(2 + i ) = 15 + 25i 5 = 3 + 5i .故选 A.(2)已知全集U = {0,1, 2, 3, 4}，集合 A = {1, 2, 3} ， B = {2, 4}，则（C U A ） B 为(A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}【解析】C U A = {0,4},所以（C U A ） B = {0,2，4},选 C.【答案】C(3)函数 f (x ) = 1 +ln(x + 1)的定义域为 (A) [-2, 0) (0, 2] (B) (-1, 0) (0, 2] ⎧x + 1 > 0 (C) [-2, 2]⎧x > -1 (D) (-1, 2] 【解析】要使函数有意义则有 ln(x + 1) ≠ 0，即 x ≠ 0 ，即 - 1 < x < 0 或0 < x ≤ 2 ，选B.【答案】B⎨ ⎪4 - x 2 ≥ 0 ⎨ ⎪- 2 ≤ x ≤ 2(4)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则 A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差【解析】设 A 样本的数据为变量为 X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足Y = X + 2 ，根据方差公式可得 DY = D ( X + 2) = DX ，所以方差相同，标准差也相同，选 D.【答案】D(5)设命题 p ：函数 y = sin 2x 的最小正周期为π；命题 q ：函数 y = cos x 的图象关于直线 x = π对称.2 2则下列判断正确的是(A)p 为真 (B) ⌝q 为假 (C) p ∧ q 为假 (D) p ∨ q 为真2π 【解析】函数 y = sin 2x 的周期为 2 = π，所以命题 p 为假；函数 y = cos x 的对称轴为x = k π, k ∈ Z ,所以命题 q 为假，所以 p ∧ q 为假，选 C.【答案】C3 ⎨ ⎩ ⎩ ⎪ ) ⎧x + 2 y ≥ 2, (6)设变量 x , y 满足约束条件 ⎪2x + y ≤ 4, ⎪4x - y ≥ -1, 则目标函数 z = 3x - y 的取值范围是(A) [- 3 , 6] 2 (B) [- 3 , -1] 2 (C) [-1, 6] (D) [-6, 3] 2【解析】做出不等式所表示的区域如图 ，由 z = 3x - y 得 y = 3x - z ，平移直线 y = 3x ，由图象可知当直线经过点 E (2,0)时，直线 y = 3x - z 的截距最小， ⎧4x - y = -1 此时 z 最大为 z = 3x - y = 6 ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时 z 最小，由⎨2x + y = 4 ，⎧x = 1 3 3 3 解得 ⎨ 2 ，此时 z = 3x - y = - 3 = - ，所以 z = 3x - y 的取值范围是[- ,6]，选 A. 2 2 2 ⎪⎩ y = 3【答案】A(7)执行右面的程序框图，如果输入 a ＝4，那么输出的 n 的值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】当 a = 4 时，第一次 P = 40 = 1, Q = 3, n = 1，第二次P = 41 = 4, Q = 7, n = 2 ，第三次 P = 42 = 16, Q = 15, n = 3 ，此时 P < Q 不满足，输出 n = 3，选 B.【答案】B(8)函数 y = 2sin ⎛πx - π⎫ (0 ≤ x ≤ 9) 的最大值与最小值之和为6 3 ⎪(A) 2 - 3⎝ ⎭ (B)0 (C)－1 (D) -1 - 3 π 【解析】因为0 ≤ x ≤ 9，所以0 ≤ x ≤6 9π， - π ≤ 6 3 π x - π ≤ 6 3 9π - π，即 6 3 - π ≤ π x - π ≤ 7π，所以当π x - π = - π时，最小值为 2 s in(- π = - ，当3 6 3 6 6 3 3 3 π x - π = π时，最大值为 2 sin π = 2，所以最大值与最小值之和为 2 - 3 ，选 A.6 3 2 2 【答案】A(9)圆(x + 2)2 + y 2 = 4 与圆(x - 2)2 + ( y -1)2 = 9 的位置关系为17 a 2 + b 2 2 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离【解析】两圆的圆心分别为(-2,0)， (2,1) ，半径分别为 r = 2 ， R = 3 两圆的圆心距离为【答案】B(10)函数 y =cos 6x 2x - 2- x = ，则 R - r <的图象大致为 < R + r ，所以两圆相交，选 B.【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除 A,令 y = 0得cos6x = 0 ，所以6x = π+ k π， 2 x = π + 12 k π，函数零点有无穷多个，排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为( π 6 12,0) ，又函数 y = 2 x - 2- x 为增函数，当0 < x < π12时， y = 2 x - 2- x > 0 ， cos6x > 0 ，所以函数 y = cos 6x 2 x - 2- x > 0 ，排除 B ，选 D. 【答案】Dx 2 (11)已知双曲线C 1 ： a 2 y 2 - b 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 2.若抛物线C 2 : x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点到双 曲线C 1 的渐近线的距离为 2，则抛物线C 2 的方程为(A) x 2 = 8 3 y 3(B) x 2 = 16 3 y 3 p (C) x 2 = 8y (D) x 2 = 16 y b b【解析】抛物线的焦点 (0, ) ，双曲线的渐近线为 y = ± a x ，不妨取 y = x ，即bx - ay = 0 ， aa ⨯ p 焦点到渐近线的距离为 = 2，即 ap = 4 = 4c ，所以 c = a p 双曲线的离心 4 率为 c = 2 ，所以 c = p = 2，所以 p = 8 ，所以抛物线方程为 x 2 = 16 y ，选 D.a a 4【答案】D(12)设函数 f (x ) = 1 ， g (x ) = -x 2 + bx .若 y = f (x ) 的图象与 y = g (x ) 的图象有且仅有两个不同的公 x共点 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，则下列判断正确的是(A) x 1 + x 2 > 0, y 1 + y 2 > 0 (C) x 1 + x 2 < 0, y 1 + y 2 > 0 (B) x 1 + x 2 > 0, y 1 + y 2 < 0(D) x 1 + x 2 < 0, y 1 + y 2 < 0【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图(-2 - 2)2 + (0 - 1)2 17 a 2 + b 23 3 2 2 3 2 1 2，做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为(-x 1,- y 1 ) ，由图象知- x 1 < x 2 ,- y 1 > y 2 , 即 x 1 + x 2 > 0, y 1 + y 2 < 0 ，故答案选 B.方法二：设 F (x ) = x 3 - bx 2 + 1 ，则方程 F (x ) = 0 与 f (x ) = g (x ) 同解，故其有且仅有两个不同零点 x , x . 由 F '(x ) = 0 得 x = 0 或 x = 2 b .这样，必须且只须 F (0) = 0 或 F ( 2 b ) = 0 ，因为 F (0) = 1，故必有3 3 2 = 0 由此得b = .不妨设 x < x ，则 x = 2 b = .所以 F (x ) = (x - x )(x - 3 2) 2 ，比较 F ( b ) 3 1 2 2 3 1 系数得 -x = 1，故 x = - 1 3 2 . x + x = 1 3 2 > 0 ，由此知 y + y= 1 + 1 = x 1 + x 2 < 0 ， 故 答 1案为 B.【答案】B 1 2 1 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2第Ⅱ卷(共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.(13)如图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E 为线段 B 1C 上的一点，则三棱锥 A - DED 1 的体积为＿＿＿＿＿.【解析】以△ ADD 为底面，则易知三棱锥的高为 1，故V = 1 ⋅ 1 ⋅1⋅1⋅1 = 1 . 1 1【答案】 63 2 6(14)右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5, 21.5) ， [21.5, 22.5) ， [22.5, 23.5) ，[23.5, 24.5) ， [24.5, 25.5) ， [25.5, 26.5] .已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.【解析】最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1＝0.22，总城市数为 11÷0.22＝50，最右面矩形面积为 0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.3 4 1 2x ⎩2 ⎪ 【答案】9 (15)若函数 f (x ) = a x (a > 0, a ≠ 1) 在［－1，2］上的最大值为 4，最小值为 m ，且函数 g (x ) = (1 - 4m ) 在[0, +∞) 上是增函数，则 a ＝＿＿＿＿.【解析】当 a > 1时，有 a 2 = 4, a -1 = m ，此时 a = 2, m = 1 ，此时 g (x ) = - 为减函数，不合题意. 2 若0 < a < 1 ，则 a -1 = 4, a 2 = m ，故 a = 1 , m = 1 ，检验知符合题意.4 16 【答案】 1 4（16)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时， OP 的坐标为＿＿＿＿.【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 PA = 2 ，即圆心角∠PCA = 2, ,则∠PCA = 2 - π,所以 PB = sin(2 - π = - cos 2 ， CB = cos(2 - π 2 = sin 2 ，所以 x p 2 = 2 - CB = 2 - sin 2 ， y p 2= 1 + PB = 1 - cos 2，所以 OP = (2 - sin 2,1 - cos 2) . ⎧x = 2 + cos θ 另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为 ⎨ y = 1 + sin θ，且 ⎧x = 2 + cos( 3π - 2) = 2 - sin 2 3π ⎪ ∠PCD = 2,θ= - 2 ，则点 P 的坐标为 ，即 2 OP = (2 - sin 2,1 - cos 2) .【答案】(2 - sin 2,1 - cos 2) ⎨ 3π y = 1 + sin( ⎩ 2- 2) = 1 - cos 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.(17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，已知sin B (tan A + tan C ) = tan A tan C .(Ⅰ)求证： a , b , c 成等比数列；x ) )(Ⅱ)若a = 1, c = 2 ，求△ ABC 的面积S.【答案】(17)(I)由已知得：sin B (sin A cos C + cos A sin C ) = sin A sin C ，sin B sin( A + C ) = sin A sin C ，sin 2 B = sin A sin C ，再由正弦定理可得： b 2 = ac ，所以 a ,b , c 成等比数列.(II)若 a = 1, c = 2 ，则b 2 = ac = 2 ， a 2 + c 2 - b 2 3 ∴ cos B = = ，sin C = 2ac 4= 7 ， 4 ∴△ ABC 的面积 S = 1 ac sin B = 1 ⨯1⨯ 2 ⨯ 7 = 7 .2 2 4 4(18)(本小题满分 12 分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2. (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种：红 1 红 2，红 1 红 3，红 1 蓝 1，红 1 蓝 2，红 2 红 3，红 2 蓝 1，红 2 蓝 2，红 3 蓝 1，红 3 蓝 2，蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且 标号之和小于 4 的有 3 种情况，故所求的概率为 P = 3 . 10(II)加入一张标号为 0 的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的 10 种情况外，多出 5 种情 况：红 1 绿 0，红 2 绿 0，红 3 绿 0，蓝 1 绿 0，蓝 2 绿 0，即共有 15 种情况，其中颜色不同且标号之和 小于 4 的有 8 种情况，所以概率为 P = 8 . 15(19) (本小题满分 12 分)如图，几何体 E - ABCD 是四棱锥，△ ABD 为正三角形，CB = CD , EC ⊥ BD .(Ⅰ)求证： BE = DE ；(Ⅱ)若∠ BCD = 120︒ ，M 为线段 AE 的中点，求证： DM ∥平面 BEC .【答案】(19)(I)设 BD 中点为 O ，连接 OC ，OE ，则由 BC = CD 知 ，CO ⊥ BD ，又已知CE ⊥ BD ，所以 BD ⊥ 平面 OCE .所以 BD ⊥ OE ，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以 BE = DE .(II)取 AB 中点 N ，连接 MN , DN ，∵M 是 AE 的中点，∴ MN ∥ BE ，∵△ ABD 是等边三角形，∴ DN ⊥ AB .由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC ⊥ AB ， 所以 ND ∥BC ，所以平面 MND ∥平面 BEC ，故 DM ∥平面 BEC .1 - cos2 C3 5 5 2 - m ⎪ -4 ⎛ 8 ⎫2 ⎝ ⎭5 4m 2 - 4 5 4 2 5 - m 2 5 4 5 - m 2 5 (3 + m )24 5 - 4 + 6 -1 t 2 t n ⎩ ky(20) (本小题满分 12 分)已知等差数列{a n } 的前 5 项和为 105，且 a 20 = 2a 5 .(Ⅰ)求数列{a n } 的通项公式；(Ⅱ)对任意 m ∈ N * ，将数列{a } 中不大于72m 的项的个数记为b .求数列{b } 的前 m 项和 S .n【答案】 (I)由已知得： ⎧5a 1 +10d = 105, m m m ⎨a + 9d = 2(a + 4d ),解得 a 1 = 7, d = 7 ,⎩ 1 1 所以通项公式为 a n = 7 + (n - 1) ⋅ 7 = 7n .(II)由 a = 7n ≤ 72m ，得 n ≤ 72m -1 ， 即b m b = 72m -1 .72m +1 ∵ k +1 = = 49 ，b 72m -1∴ {b m } 是公比为 49 的等比数列， 7(1 - 49m ) 7 m∴ S m = 1 - 49 = (49 48- 1) .(21) (本小题满分 13 分)x 2 y 2 如图，椭圆 M : + = 1(a > b > 0) 的离心率为 a 2 b 2 面 积 为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程；，直线 x = ±a 和 y = ±b 所围成的矩形 ABCD 的 2(Ⅱ) 设直线l : y = x + m (m ∈ R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P ,Q ,l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S ,T .求 | PQ | 的最大值及取得最大值时| ST |m 的值. c a 2 - b 2 3 【答案】(21)(I) e = = ⇒ a 2 a 2 = ……① 4矩形 ABCD 面积为 8，即 2a ⋅ 2b = 8 ……②由①②解得： a = 2,b = 1，∴椭圆 M 的标准方程是 ⎧x 2 + 4 y 2 = 4,x 2 + 24 = 1. (II) ⎨ y = x + m , ⇒ 5x 2 + 8mx + 4m 2 - 4 = 0 ， 8 4m 2 - 4设 P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = - 5 m , x 1 x 2 = 5， 由∆= 64m 2 - 20(4m 2 - 4) > 0 得 - < m < .| PQ |= = . 5当l 过 A 点时， m = 1，当l 过C 点时， m = -1. ①当- < m < -1时，有 S (-m -1, -1),T (2, 2 + m ),| ST |= | PQ |2(3 + m ) ，= = ， | ST | 3其中t = m + 3 ，由此知当1 = 3 ，即t = 4 , m = - 5 ∈ (- 5, -1) 时， | PQ | 取得最大值 2 5 .t 4 3 3 | ST | 5 ②由对称性，可知若1 < m < 5 ，则当 m = 5 时，| PQ | 取得最大值 2 5 . 3 | ST | 5③当-1 ≤ m ≤ 1时， | ST |= 2 ， | PQ | = 2 5 - m 2 ， | ST | 5 由此知，当 m = 0 时， | PQ | 取得最大值 2 5 .| ST | 5 综上可知，当 m = ± 5 和 0 时， | PQ | 取得最大值 2 5 .3 | ST | 5(22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x ) = ln x + k (k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处 ex 的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的 值 ； (Ⅱ)求 f(x ) 的单调区间；(Ⅲ)设 g (x ) = xf '(x ) ，其中 f '(x ) 为 f (x ) 的导函数.证明：对任意 x > 0, g (x ) < 1 + e -2 .1 - ln x - k【答案】(I) f '(x ) = x， ex 由已知， f '(1) = 1 - k = 0 ，∴ k = 1. e 1 - ln x - 1(II)由(I)知， f '(x ) = x . e x 设 k (x ) = 1 - ln x - 1 ，则，即 k (x ) 在(0, +∞) 上是减函数， x由 k (1) = 0 知，当0 < x < 1时 k (x ) > 0 ，从而 f '(x ) > 0 ，当 x > 1时 k (x ) < 0 ，从而 f '(x ) < 0 .综上可知， f (x ) 的单调递增区间是(0,1) ，单调递减区间是(1, +∞) .(III)由(II)可知，当 x ≥ 1时， g (x ) = xf '(x ) ≤0＜1+ e -2 ，故只需证明 g (x ) < 1 + e -2 在0 < x < 1时成立.当0 < x < 1时， e x ＞1，且 g (x ) > 0 ，∴ g (x ) = 1 - x ln x - x < 1 - x ln x - x . ex 设 F (x ) = 1 - x ln x - x ， x ∈ (0,1) ，则 F '(x ) = -(ln x + 2) ，当 x ∈ (0, e -2 ) 时， F '(x ) > 0 ，当 x ∈ (e -2 ,1) 时， F '(x ) < 0 ，所以当 x = e -2 时， F (x ) 取得最大值 F (e -2 ) = 1 + e -2 .所以 g (x ) < F (x ) ≤ 1 + e -2 .综上，对任意 x > 0 ， g (x ) < 1 + e -2 . 2。