广东省汕头市2016年高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，那么函数y=f（x）的定义域为（）A．[2，4] B．[1，2] C．[0，1] D．（0，1]2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1763．若m为实数且（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．在三角形ABC中，已知AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），则=（）A．12 B．6 C．24 D．45．给出下列4个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”；②“tanx＞0”是“sin2x＞0”的充要条件；④计算：9192除以100的余数是1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（）A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、187．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）A．64 B．56 C．53 D．519．已知正三棱锥S﹣ABC的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．11．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）12．已知定义在R上的函数满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）A．函数y=f（x）是周期函数，且周期T=3B．函数y=f（x）在R上有可能是单调函数C．函数y=f（x）的图象关于点对称D．函数y=f（x）是R上的偶函数二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足约束条件，则的最小值为．14．已知等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），那么f′（0）= ．15．二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式中的常数项是．16．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）．三、解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤．）17．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=AD=1， =﹣1，sin∠BCD=．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积；（3）求sinB的值．18．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．（1）求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）若异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．19．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M 必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．21．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2016年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，那么函数y=f（x）的定义域为（）A．[2，4] B．[1，2] C．[0，1] D．（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，求得log2x的范围即可得到函数y=f（x）的定义域．【解答】解：∵函数y=f（log2x）的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得0≤log2x≤1，即函数y=f（x）的定义域为[0，1]．故选：C．2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．3．若m为实数且（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（2+mi）（m﹣2i）=﹣4﹣3i，∴4m+（m2﹣4）i=﹣4﹣3i，∴，解得m=﹣1．故选：A．4．在三角形ABC中，已知AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），则=（）A．12 B．6 C．24 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，再利用数量积的运算性质计算．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，点E是AD的一个三等分点（靠近点A），∴=， =，，∴==（）==4．故选：D．5．给出下列4个命题，其中正确的个数是（）①若“命题p∧q为真”，则“命题p∨q为真”；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”；②“tanx＞0”是“sin2x＞0”的充要条件；④计算：9192除以100的余数是1．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误．二项式定理判断④的正误．【解答】解：①若“命题p∧q为真”，则p，q都为真命题，所以“命题p∨q为真”，故正确；②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x﹣lnx≤0”，满足命题的否定形式，正确；③“tanx＞0”可得x∈（kπ，kπ+），k∈Z；“sin2x＞0“可得2x∈（2kπ，2kπ+π），即x∈（kπ，kπ+），k∈Z；所以“tanx＞0”是“sin2x＞0“的充要条件．正确；④由于9192=92=C920•10092•（﹣9）0+…+C9291•1001•（﹣9）91+C9292•1000•（﹣9）92，在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于C9292•1000•（﹣9）92=992除以100的余数，而992=（10﹣1）92=C920•1092•（﹣1）0+…+C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92，故992除以100的余数等价于C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92除以100的余数，而C9291•101•（﹣1）91+C9292•100•（﹣9）92=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是81．不正确．故选：C．6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b分别可能为（）A．15、18 B．14、18 C．13、18 D．12、18【考点】程序框图．【分析】由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前a，b的值．【解答】解：根据题意，执行程序后输出的a=3，则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是3，分析选项中的四组数，满足条件的是选项A．故选：A．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）A．64 B．56 C．53 D．51【考点】计数原理的应用．【分析】对数真数为1和不为1，对数底数不为1，分别求出对数值的个数．【解答】解：由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0．从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7=56个对数式，log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94重复了4次，要减去4．共有1+56﹣4=53个故选：C．9．已知正三棱锥S﹣ABC的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为，所以此三棱锥一定可以放在棱长为的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入球的体积公式计算即可．【解答】解：∵正三棱锥S﹣ABC的所有棱长都为，∴此三棱锥一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此三棱锥．∴正方体的棱长为=，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=××=2，∴球的体积为V=πR3=π，故选：A．10．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象．【分析】由f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数，利用奇函数的性质可得f（0）=Aco sφ=0结合已知0＜φ＜π，可求φ=，再由△EFG是边长为2的等边三角形，可得=A，结合图象可得，函数的周期T=4，根据周期公式可得ω，从而可得f（x），代入可求f（1）．【解答】解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数∴f（0）=Acosφ=0∵0＜φ＜π∴φ=∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx∵△EFG是边长为2的等边三角形，则=A又∵函数的周期 T=2FG=4，根据周期公式可得，ω=∴f（x）=﹣Asin x=﹣则f（1）=故选D11．设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）【考点】等比数列．【分析】取一个具体的等比数列验证即可．【解答】解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．故选D12．已知定义在R上的函数满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）A．函数y=f（x）是周期函数，且周期T=3B．函数y=f（x）在R上有可能是单调函数C．函数y=f（x）的图象关于点对称D．函数y=f（x）是R上的偶函数【考点】函数的周期性．【分析】题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【解答】解：对于A：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到，∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（﹣+x），用+x换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立，令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，D对．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足约束条件，则的最小值为﹣2 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率联立，解得B（1，1），联立，解得C（2，2）∴的最小值为=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），那么f′（0）= 21008．【考点】导数的运算．【分析】由题意，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），利用导数的运算，得到f'（x），得到所求为g（0）．【解答】解：由已知，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），则f（x）=xg（x），f'（x）=g（x）+xg'（x），所以f'（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）...（﹣a2016）=a1a2 (2016)等比数列{a n}，满足a1=1，a2016=2，得到a1a2…a2016=（a1a2016）1008=21008；故答案为：21008．15．二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式中的常数项是15 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（4x）6﹣r•（﹣1）r•（2﹣x）r，令2的指数次幂为0即可求得答案．【解答】解：设二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=•（4x）6﹣r•（﹣1）r•（2﹣x）r=（﹣1）r••212x﹣3rx，∵x不恒为0，令12x﹣3rx=0，则r=4．∴展开式中的常数项是（﹣1）4•==15．故答案为：15．16．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的值域先求出满足条件的条件x，结合函数的定义域进行求解即可．【解答】解：由f（x）=﹣1=0得=1，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，由f（x）=﹣1=1得=2，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2），故答案为：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2），三、解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤．）17．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=AD=1， =﹣1，sin∠BCD=．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积；（3）求sinB的值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形．【分析】（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用=﹣1，利用向量的数量积的性质求得cos∠DAC的值，进而求得∠DAC，进而利用余弦定理求得DC的长．求得BC2+AC2=AB2．判断AC⊥CD，（2）在直角三角形中求得cos∠ACB的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACB，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．（3）在△ACB中利用余弦定理求得AB的长，最后利用正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）CB=CA=AD=1， =﹣1，∴•=||•||•cosA=1×2•cos∠CAD=1，∴cos∠CAD=，∴∠CAD=由余弦定理CD2=AC2+AD2﹣2AD•ACcos∠CAD=1+4﹣2×2×=3．∴CD=，∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=．∴AC⊥CD，（2）由（1）∠ACD=，∴sin∠BCD=sin（+∠ACB）=cos∠ACB=．∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACB=．∴S△ACB=×1×1×=．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+．（3）在△ACB中，AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB=1+1﹣2×1×1×=．∴AB=，∴=，∴sinB==18．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．（1）求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）若异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】（1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边角关系即可求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；（2）根据异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．【解答】解：（1）∵DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．∴CD=AD=2，BC=AB=2，AC=2，即三角形ABC是正三角形，则AC⊥BD，取BC的中点P，则AP⊥BC，AP⊥平面BB1C1C，则∠ACB是直线AC与平面BB1C1C所成的角，则∠ACB=60°，则sin∠ACB=sin60°=，即直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值是；（2）∵A1C1∥AC，∴直线BC1与A1C1所成的角即是直线BC1与AC所成的角，连接A1B，设A1A=m，则A1B==，BC1==，A1C1=AC=2，则cos∠A1C1B===，∵异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为，∴=，即=4，则12+m2=16，则m2=4，m=2，取A1C1的中点F，连接FO，则FO⊥A1C1，∵A1B=BC1=，∴BF⊥A1C1，即∠BFO是二面角B﹣A1C1﹣A的平面角，则tan∠BFO==．19．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5件作检验，这5件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取2件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x（单位：元），求x的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为P（k）=，由此能求出这批产品通过检验的概率．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）由题意知：第一次取5件产品中，恰好有k件优质品的概率为：P（k）=，k=0，1，2，3，4，5，∴这批产品通过检验的概率：p==+5×+（）5=．（2）由题意得X的可能取值为1000，1200，1400，P（X=1000）=（）5=，P（X=1200）==，P（X=1400）=++=，X的分布列为：X 1000 1200 1400P20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M 必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即点M在直线y=﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时， =．21．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．【分析】=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB 并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论；（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，再结合∠ADE=∠BDA，得到△EAD∽△ABD，最后结合第一问的结论即可得到 AC=AE成立．【解答】证明：（Ⅰ）由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理∠ACB=∠D AB，所以△ACB∽△DAB，从而，即AC•BD=AD•AB．（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，得△EAD∽△ABD，从而，即AE•BD=AD•AB．结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）首先把直角坐标方程转化成极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转化成极坐标．（Ⅱ）利用二元二次方程组解得交点坐标再转化成参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转化成极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ，所以：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②所以：①﹣②得：x=1，y=，即（1，﹣），（1，）．所以公共弦的参数方程为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第 Ⅰ 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e2. 复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=( )A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i3. 函数22()sincos 33f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．43πC ．32πD ．76π 4. 下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，00x e≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b=－1C ． x R ∀∈，22x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件5. 现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12B ．24C ．36D ．486. 已知向量(1,),(1,1),a x bx ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=( )ABC ．2D 7. 已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±8. 在ABC ∆中，A =6π，AB AC =3，D 在边BC 上，且2CD D B =，则AD =( )ABC ．5D ．9. 某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ， 22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(10)-x ，，则数组中的x =( ) A ．32 B ．24 C ．18D ．1610. 如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的 正视图面积等于()A ．212a B．214aC 2D 2a11. 已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．14032πB ．14032C ．12016π D ．1201612. 已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2|1|,70()ln ,x x f x x e x e，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使 ()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ．,1][3,)-∞-+∞（U D ．,3]-∞（ 第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．．在三棱柱﹣111中，，侧面11是边长为的正方形，点，分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或． 故选：C ．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B ．9．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k•，令=x4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为+1．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2cosα，由正弦定理可得sinβ=，∴BD2=3+4﹣2cosα﹣2×××cos（90°+β）=7﹣2cosα+2sinα=7+2sin（α﹣45°），∴α=135°时，BD取得最大值+1．故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1， 又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ， 两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， ∴T n =1+（n ﹣1）•2n ．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数”概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人． ①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．22∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC 中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2016年8月24日。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}{}2|02,|20A x x B x x x =<<=+-≥,则AB =（ ）A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,2 【答案】B考点：交集及其运算. 2.已知复数31iz ai-=+是纯虚数, 则实数a =（ ） A ．3 B ．3- C ．13D ．13- 【答案】A 【解析】 试题分析：∵()()()()()()11331113132++--=-+--=+-=a i a a ai ai ai i ai i z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧≠+=-01303a a ，解得：3=a ．故选：A ．考点：复数代数形式的乘除运算.3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和, 且满足等式：75689S a a a a =+++,则74a a 的值为（ ） A ．74 B ．47 C ．78 D ．87【答案】A 【解析】 试题分析：∵()4717727aa a S =⨯+=，798654a a a a a =+++，∴7447a a =，∴4747=a a ．故选：A ．考点：等差数列的前n 项和.4.学校开展运动会活动, 甲、乙两位同学各自报名参加跳高、跳远游泳三个项目中的一个, 每位 同学参加每个项目的可能性相同, 则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．38 D ．23【答案】B考点：古典概型及其概率计算公式.5.已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示, 网络上小正方形的边长为1,则该几何体的体 积等于（ ）A ．11πB ．5πC ．113π D ．3π 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体．∴该几何体的体积πππ311323122=⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：D ． 考点：由三视图求体积.6.已知圆22:3C x y +=,从点()2,0A -观察点()2,B a ,要使视线不被圆C 挡住, 则a 的取值范围是（ ）A ．4,3,3⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞ D ．((),43,-∞-+∞【答案】D考点：直线与圆的位置关系.7.如图, 在菱形ABCD 中,2,60,AB DAB E =∠=︒ 为CD 的中点, 则AD AE 的值是（ ）A B ．5 C D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：∵E 为CD 的中点，∴=+=，又ABCD 为菱形，且2=AB ，60=∠DAB ，∴ ⎝⎛+⋅=⋅21cos 602AD AD AB =+⋅11422522=+⨯⨯⨯=．故选：B ．考点：平面向量数量积的运算.8.执行如图所示的程序框图, 则输出S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．247 【答案】B考点：程序框图.【方法点睛】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，难度不大；分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S 的值，并输出4>K 时，变量S 的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．9.已知实数x 、y 满足条件2450x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩,若目标函数3z x y =+的最小值为5,则a 的值为（ ）A ．17-B ．2-C ．2D ．17 【答案】B考点：简单的线性规划.【方法点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 10.已知直线6x π=是函数()()sin 22f x x πφφ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象的一条对称轴, 则()y f x =取得最 小值时x 的集合为（ ） A ．7|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．11|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．2|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．5|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C考点：正弦函数的图象.11.函数()f x 的部分图象如图所示, 则 ()f x 的解析式可以是（ ） A ．()sin f x x x =+ B ．()cos xf x x=C ．()cos f x x x =D ．()322f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析：依题意函数是奇函数，排除D ，函数图象过原点，排除B ，图象过⎪⎭⎫⎝⎛0,2π显然A 不正确，C 正确；故选C ．考点：由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式.12.已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根, 则实数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及数形结合的思想应用，同时考查了分类讨论与转化思想的应用及导数的综合应用，属于中档题．方程()10f x mx --=恰有两个不同实根可转化为函数()(),12,1xe xf x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩与直线1+=mx y 的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解，在结合图象的过程中，需注意临界位置的取舍.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()x xf x e=在点()()1,1f 处的切线方程是 ． 【答案】1y e=考点：利用导数研究曲线上某点处的切线.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 首项11a =,且满足：121n n S a +=-,则345a a a ++= ．【答案】117 【解析】试题分析：∵121n n S a +=-，∴121+=+n n S a ，∴11=a ，31122=+⨯=a ，()913123=++⨯=a ，()27193124=+++⨯=a ，()8112793125=++++⨯=a ，故11781279543=++=++a a a ，故答案为：117． 考点：数列递推式.15.三棱锥D ABC -内接于表面积为100π的球面,DA ⊥平面ABC ,且8,,30AB AC BC BAC =⊥∠=︒,则三棱锥D ABC -的体积为 ．【答案】 【解析】试题分析：∵三棱锥ABC D -内接于表面积为100π的球面，DA ⊥平面ABC ，且8,,30AB AC BC BAC =⊥∠=︒，∴三棱锥ABC D -的四个顶点在以34=AC 、4=BC 、AD 为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5，∴()222252⨯=++AD BC AC ，即10016482=++AD ，解得6=AD ，∴三棱锥ABC D -的体积：31663442131=⨯⨯⨯⨯=-ABC D V ，故答案为： 考点：球的表面积和体积.16.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F C 的准线和对称轴交于点M ,点P 是C 上一点, 且满足PM PF λ=,当λ取最大值时, 点P 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上, 则双曲线的离心率为 ．1+考点：抛物线的简单性质.【方法点晴】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当λ取得最大值时，αsin 最小，此时直线PA 与抛物线相切，属中档题．过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得PF PN =，可得λ1=PAPN ，设PM 的倾斜角为α，则当λ取得最大值时，αsin 最小，此时直线PM 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足()cos 2cos c c B a b C ==-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的周长的最大值.【答案】（1）3π=C ；（2）试题解析：（1）依题意,cos cos 2cos c B b C a C +=, 由正弦定理得,sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=,()1sin()2sin cos ,sin 2sin cos ,sin 0,cos ,0,,23B C A C A A C A C C C ππ+==≠∴=∈=.（2）()()22222222cos ,3,33,12,c a b ab C a b ab a b ab a b a b a b =+-+-=+=++≥∴+≤+≤(当且仅当a b ==),ABC ∴∆ 的周长最大值为考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.18.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中,PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平 面,,,BA AD BCAD M ⊥ 是PC 的中点, 且2,4AB AD AP BC ====.（1）求证：DM 平面PAB ； （2）求三棱锥M PBD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】（2）1184,233BCD P BCD BCD S BC CD V S PA ∆-∆====,1118422233M PBD C PBD P BCD V V V ---===⨯=. 考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）棱柱、棱锥、棱台的体积.【一题多解】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．对于（2）还可采用 ∵⊥PA 平面ABCD ，∴34222213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-PA S V ABD ABD P ， ()42242213131=⨯⨯+⨯⨯==-ABCD ABCD P S V 梯形．∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离121==PA h ． ∴34124213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-h S V BCD BCD M ． ∴3434344=--=--=----BCD M ABD P ABCD P PBDM V V V V ．19.（本小题满分12分）菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒, 以防止害虫的危害, 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药, 食用时需要用清水清洗干净, 下表是用清水x (单位：千克) 清洗 该蔬菜1千克后, 蔬菜上残留的农药y (单位：微克) 的统计表：（1）在下面的坐标系中, 描出散点图, 并判断变量x 与y 的相关性；（2）若用解析式2y cx d =+作为蔬菜农药残量y 与用水量x 的回归方程, 令2x ω=,计算平均值ω与y ,完成以下表格(填在答题卡中) ,求出y 与x 的回归方程. (,c d 精确到0.1)()图（3）对于某种残留在蔬菜上的农药, 当它的残留量低于20微克时对人体无害, 为了放心食用该蔬菜, 请 估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1, 2.236≈) (附：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式分别为；1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑, a y bx =- )【答案】（1）散点图见解析，负相关；（2）0.600.22+-=x y ；（3）5.4. 【解析】试题解析：（1）负相关：（2）11,38y ω==()()()()()()()222221020716215914287512.008 2.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-===-≈--+-+-++, 38 2.01160.0d y c ω=-=+⨯-,22.060.0 2.060.0y x ω∴=-+=-+.(3) 当20y <时,22.060.020, 4.5x x -+<>≈,∴为了放心食用该蔬菜, 估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.考点：线性回归方程.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2,左、右顶点分别为A 、B ,P 是椭圆上一点, 记直线PA 、PB 的斜率为1k 、2k ,且有1212k k =-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于M 、N 两点, 以M 、N 为直径的圆经过原点, 且线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距为15-,求直线l 的方程.【答案】（1）1222=+y x ；（2）1y x =+.试题解析：（1）依题意,()(),0,,0A a B a -, 设(),P x y ,则有 22221x y a b +=,即()22222b y a x a=-,()2222222122222221,2b a x y y y b b a k k x a x a x a x a a a -====-∴=+-+-,又2222222,,2,1c a b c a b ==+∴==, 即椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点为()00,Q x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到()222124220k xkmx m +++-=,()22221621021k m m k ∆=-+>⇒<+ ①212121200022224222,,,121221212x x km m km mx x x x x y kx m k k k k+-+=-===-=+=++++ ② 因为以,M N 为直径的圆经过顶点,0OM ON ∴=,()()121212120,0,x x y y x x kx m kx m +=+++=()()()()2222222121222122410,01212k m k m k x xkm x x mm k k+-++++=-+=++,化简得22223k m =+ ③将②式代入得到222131k m +=-代入①式得,212m >. 由于线段MN 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭,00112y x k+∴=-,将②代入得到 2122k m += ④ 联立③④得13m =-或1,21,1,2m m k >∴==, ∴直线l 的方程为1y x =+. 考点：椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程以及直线的斜率公式，考查直线的方程的求法，当直线与圆锥曲线相交时，注意联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式以及设而不求整体代换的思想，以及直线垂直的条件转化为02121=+y y x x 和121-=⋅k k ，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()22ln ,1212f x a x x g x x x λλ=-=-+--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）2a =时, 有()()f x g x≤恒成立, 求整数λ最小值. 【答案】（1）x ⎛∈ ⎝ 上递增，在⎫+∞⎪⎪⎭递减；（2）2.试题解析：（1）定义域为()()220,,'2a a x f x x x x-+∞=-=,0a ≤时,()()'0,f x f x < 在()0,+∞上单调递减；0>a 时, 令()'0f x = ,得x =(舍去负的).x ⎛∈ ⎝ 上递增,在⎫+∞⎪⎪⎭递减. （2）2a =时,()()()2222ln 121222ln 22x x x x x x x x λλλ-≤-+--+≥++,22ln 220,2x x x x x λ++>∴≥+在()0,x ∈+∞上恒成立, 令()22ln 222x x g x x x++=+,则()()()()22212ln '2x x x g x xx +--=+.令()()()22ln ,'10,h x x x h x h x x=--=--<∴在()0,+∞递减, 且0x →时, ()h x →+∞,x →+∞时, ()h x →-∞,因此()h x 在()0,+∞必存在唯一零点, 不妨设()00h x =,即002ln x x =-,当()00,x x ∈时,()()()0,'0,h x g x g x >> 单调递增；当()0x x ∈+∞时,()()()0,'0,h x g x g x << 单调递减；因此()()000max 022000002ln 222122x x x g x g x x x x x x +++====++, ()0011111ln 20,10,1,122422h h x x ⎛⎫=->=-<∴<<<< ⎪⎝⎭,即()()max 1,2g x ∈,依题意有2λ≥,即整数λ的最小值为2.考点：（1）利用导数求闭区间上函数的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 割线PAB 交圆O 于A 、B 两点,PO 交圆O 于C ,D 在AB上,且满足2CD DA DB =. （1）求证：OD CD ⊥； （2）若226,,123PA AB PO ===,求PC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）4=PC.试题解析：（1）延长CD 交圆O 于E ,由相交弦定理得CD DE DA DB =,由已知2CD DA DB =,故CD DE =,即D 是CE 的中点, 由垂径定理得,OD CD ⊥,（2）延长PO 交圆O 于F ,由切割线定理得PC PF PA PB =,设圆O 的半径为r ,则()()221212663r r ⎛⎫-+=⨯+⎪⎝⎭,得8,4r PC =∴=.考点：与圆有关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的正半轴建立平 面直角坐标系, 若倾斜角为3π的直线l 经过点()4,2P .（1）写出直线l 的参数方程, 并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ,求PA PB +的值.【答案】（1）142(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),()2224x y -+=；（2）322+. 【解析】试题分析：（1）直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3sin 23cos 4ππt y t x ，化简即可得出（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，即θρρcos 42=，把222y x +=ρ，θρcos =x 代入可得直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的方程可得：()043222=+++t t ．由于A ，B 两点在点P 的同侧，可得2121t t t t PB PA +=+=+．试题解析：（1）直线l 的参数方程为4cos 3(2sin3x t t y ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数),即142(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线222:4cos ,4C x y x ρρθ=+=,∴曲线C 的直角坐标方程化为()2224x y -+=.（2）将1422x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C的方程得(2240t t +++=,,A B 两点在P 的同侧,12122PA PB t t t t ∴+=+=+=+.考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化为普通方程.【方法点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在极坐标方程与直角坐标方程互化过程中主要是利用⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，根据直线的参数方程中参数t 的意义即直线上的点到直线上定点的距离t ，将参数方程代入到曲线方程中，运用韦达定理即可得结果. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x x a =++-.（1）当2a =时, 解不等式：()5f x ≥；（2）若存在0x R ∈,使得()02f x <,试求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}32≥-≤x x x 或；（2）31a -<<.考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）绝对值三角不等式.。

2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)DA．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O 的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N *，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧qC．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F （1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C 上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号1 2 3 4 5 6 7 i数学成60 65 70 75 85 87 90 绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93 绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 52619．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM 所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B． C．﹣D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin （）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n 的最小值．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为T r+1=••x2n﹣5r，令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n 的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O 的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N *，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧qC．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x+x4=2，x5+x6=4，∴x1+x2+x+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，=||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F （1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C 上，则椭圆C的方程为+=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x 的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S==∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n 项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n ﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号1 2 3 4 5 6 7 i数学成60 65 70 75 85 87 90 绩x i物理成70 77 80 85 90 86 93 绩y i（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时，=0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM中，．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．∴，，．设平面BDM的法向量为=（x，y，z），由n•，n•，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m （x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m ﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g （x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f （0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立． (8)分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）． (9)分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．…2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9． (7)分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE 的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，． (10)分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x ﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．2016年10月6日。

2016年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科)一。

选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1．已知集合A=｛x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x｜﹣3＜x＜3｝,则A∩B=（)A．（﹣3，3）B．（﹣3，6) C．（﹣1,3）D．（﹣3,1）2．若复数（i是虚数单位），则=(）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．函数y=sinxsin的最小正周期是(）A．B．πC．2πD．4π4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．45．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N(0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2)=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1,+∞),x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1),x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2:x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知等比数列｛a n}中，a5+a7=dx，则a6(a4+2a6+a8）的值为（) A．16π2 B．4π2C．2π2D．π27．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是(）A．［，+∞）B．[,+∞）C．（1,］D．（1,]8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（)A．36种B．72种C．144种D．288种9．展开式中不含x4项的系数的和为（)A．﹣1 B．0 C．1 D．210．如图,网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．11．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列｛a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． + C．D．12．已知函数f(x）=，若关于x的不等式［f（x）］2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（)A．2 B．3 C．5 D．8二．填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．已知平面向量，满足｜|=1，|｜=2,且（+）⊥，则与的夹角为________．14．设实数x,y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．15．设A，B,C，D是半径为4的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是________．16．已知数列｛a n｝的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n｝的通项公式为，设，若在数列｛c n}中，(n∈N*，n≠10)，则实数p的取值范围是________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1)求C；（2)若△ABC的面积为2，a+b=6,求∠ACB的角平分线CD的长度．18．某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如表：测试指标[70,76) [76,82）[82，88）[88，94）[94，100］芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元．在（I)的前提下，（i)记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．在边长为5的菱形ABCD中,AC=8．现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD;（2）若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）如图所示,设直线l与圆x2+y2=r2(1＜r＜）、椭圆C同时相切,切点分别为A,B，求|AB|的最大值．21．已知f（x)=e x﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）．(Ⅰ）设f′（x）为f（x）的导函数，证明:当a＞0时，f′（x）的最小值小于0;（Ⅱ）若a＞0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD,弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．(Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．［选修4—4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点,过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．[选修4—5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1｜．（Ⅰ）若f（x)≥|m﹣1｜恒成立，求实数m的最大值M;（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．2016年广东省汕头市潮南区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A=｛x|x2﹣5x﹣6＜0}，B=｛x｜﹣3＜x＜3｝，则A∩B=（）A．（﹣3，3）B．（﹣3,6）C．（﹣1,3）D．（﹣3，1)【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再求A∩B的值．【解答】解：∵集合A={x｜x2﹣5x﹣6＜0}={x|﹣1＜x＜6｝，B=｛x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜3｝=（﹣1，3）．故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=(）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．函数y=sinxsin的最小正周期是()A．B．πC．2πD．4π【考点】二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解【解答】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B4．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后,x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后,x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P(﹣2≤ξ≤2）=0.6,则P（ξ＞2)=0。

2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．23．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣ D．﹣4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．4+6πB ．8+6πC ．4+12πD ．8+12π11．已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2﹣y 2=λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON|•|MN|的值为（ ） A ．B ．C ．λD ．无法确定12．设函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=f （x ），f （x ）=f （2﹣x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 3．则函数g （x ）=|cos （πx ）|﹣f （x ）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ） A ．7 B ．6 C ．3 D ．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f （x ）=+3x 在点（1，f （1））处的切线方程为______． 14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），点F 关于直线y=x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为______．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a+c=4，（2﹣cosA ）tan =sinA ，则△ABC 的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1=3，a n+1=2S n +3（n ∈N ） （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表： 学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩x i60 65 70 75 85 87 90物理成绩y i70 77 80 85 90 86 93（i ）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii ）根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程（系数精确到0.01）； 若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526 19．如图，在多面体ABCDM 中，△BCD 是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ． （Ⅰ）求证：CD ⊥AM ；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．21．已知函数f （x ）=e ﹣x ﹣ax （x ∈R ）．（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ） 若x ≥0时，f （﹣x ）+ln （x+1）≥1，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC=CD ，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，过C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ． （Ⅰ）证明：CF 是圆O 的切线； （Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．2（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z====，∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68故选B．5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b有最小值为﹣4，故选：A．6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．=••x2n﹣5r，【解答】解：（x2+）n（n∈N）展开式的通项公式为Tr+1令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=，∴R2=故球O的表面积S=4πR2=π，故选：D．9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）A．B．C．λD．无法确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，由勾股定理可得|ON|===，可得|ON|•|MN|=•==．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g （x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…x 6，则x 1，x 2关于x=0对称，x 3，x 4关于x=1对称，x 5，x 6关于x=2对称． ∴x 1+x 2=0，x +x 4=2，x 5+x 6=4， ∴x 1+x 2+x+x 4+x 5+x 6=6．故选：B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f （x ）=+3x 在点（1，f （1））处的切线方程为 y=x+4 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：函数的导数f ′（x ）=﹣+3，则f ′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1， ∵f （1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5）， 则切线方程为y ﹣5=x ﹣1，即y=x+4， 故答案为：y=x+414．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出． 【解答】解：||=2， =||||cos=||，∵|﹣2|=2，∴（）2=，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2． 故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），点F 关于直线y=x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 +=1 ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆的方程为+=1（a ＞b ＞0），由题意可得c=1，设点F （1，0）关于直线y=x 的对称点为（m ，n ），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程． 【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a ＞b ＞0），由题意可得c=1，即a 2﹣b 2=1，设点F （1，0）关于直线y=x 的对称点为（m ，n ）， 可得=﹣2，且n=•，解得m=，n=，即对称点为（，）． 代入椭圆方程可得+=1，解得a 2=，b 2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为： +=1．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a+c=4，（2﹣cosA ）tan =sinA ，则△ABC 的面积的最大值为 ． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a ，b ，c 的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC 中，∵（2﹣cosA ）tan =sinA ，∴（2﹣cosA ）=sinA ，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC ， ∴2b=a+c=4，∴b=2． ∵a+c=4，∴a=4﹣c ． ∴S==∵（3﹣c ）（c ﹣1）≤=1，∴S ≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1=3，a n+1=2S n +3（n ∈N ） （I ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =（2n ﹣1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II ）利用“错位相减法”与等比数列的其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：（I ）∵a n+1=2S n +3，∴当n ≥2时，a n =2S n ﹣1+3， ∴a n+1﹣a n =2（S n ﹣S n ﹣1）=2a n ，化为a n+1=3a n ． ∴数列{a n }是等比数列，首项为3，公比为3．∴an=3n．（II）bn =（2n﹣1）an=（2n﹣1）•3n，∴数列{bn }的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴Tn=（n﹣1）•3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩xi60 65 70 75 85 87 90物理成绩yi70 77 80 85 90 86 93（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，18名男同学中应抽取的人数为18=3名，故不同的样本的个数为．（Ⅱ）（ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=．（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．∴线性回归方程为=0.65x+33.60当x=96时， =0.65×96+33.60=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB⊂平面OMAB，OM⊂平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM⊂平面OMAB，∴CD⊥AM．（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD 是等边三角形，BC=2， ∴，CD=2． 在Rt △ANM 中，．∵△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD=90°， ∴．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O 为坐标原点，以OC ，BO ，OM 为坐标轴轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则M （0，0，1），，D （﹣1，0，0），． ∴，，．设平面BDM 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由n •，n •，∴，令y=1，得=． 设直线AM 与平面BDM 所成角为θ， 则==．∴直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值为．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，从而点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程． （Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，由x 0＞1，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ． （Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ）， 直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1， ∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0， 同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2yt ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x ）在区间[0，+∞）上单调递增． 由于φ（0）=2+a ＜0，．…6分故∃x 0∈（0，﹣a ），使得φ（x 0）=0．…7分则当0＜x ＜x 0时，φ（x ）＜φ（x 0）=0，即g'（x ）＜0． ∴函数g （x ）在区间（0，x 0）上单调递减．∴g （x 0）＜g （0）=0，即（*）式不恒成立．…8分 综上所述，实数a 的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g （x ）=e x ﹣2x+ln （x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增． 则，即．…10分∴．…11分 ∴，即．…12分．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC=CD ，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，过C 作CF ⊥AE ，垂足为点F ． （Ⅰ）证明：CF 是圆O 的切线； （Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF 的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 【分析】（Ⅰ）连接OC ，AC ，证明：AE ∥OC ，利用CF ⊥AE ，可得CF ⊥OC ，即可证明CF 是圆O 的切线；（Ⅱ）由割线定理：EC •EB=ED •EA ，且AE=9，得，利用勾股定理求CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC ，AC ， ∵BC=CD ，∴∠CAB=∠CAD ．…1分 ∵AB 是圆O 的直径， ∴OC=OA ．∴∠CAB=∠ACO ．…2分 ∴∠CAD=∠ACO ．∴AE∥OC．…3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．…4分∴CF是圆O的切线．…5分（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．…6分由割线定理：EC•EB=ED•EA，且AE=9．…7分得．…8分在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD中，．…10分∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos2θ+sin2θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，由，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=（6m）2﹣4×4×（3m2﹣3）=0，解得m=±2．∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l'之间的距离为．∴点Q到直线l的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．24．已知函数f（x）=log2（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．& 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2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）2016年广东省广州市高考数学二模试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|= A．B．1 C．D．2 ）的值是3．已知cos=，则sin ，且P=，则P=A．B．C．D．5．不等式组b）的解集记为D，若A．﹣4 B．﹣1 C．1 6．使n展开式中含有常数项的n 的最小值是C．5 D．6 ）的图象的一个对称中心为，则函7．已知函数f=sin0＜φ＜数f的单调递减区间是A．[2kπ﹣C．[kπ﹣，2kπ+，kπ+] B．[2kπ+，2kπ+] ]D．[kπ+，kπ+] 8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为A．π B．π C．π D．π ，则下列命题9．已知命题p：?x∈N*，x≥x，命题q：?x∈N*，2x+21﹣x=2中为真命题的是A．p∧q B．C．p∧D．∧q ∧10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是第1页A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π 11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ上，过点M作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|?|MN|的值为A．B．C．λ D．无法确定12．设函数f的定义域为R，f=f，f=f，当x∈[0，1]时，f =x3．则函数g=|cos|﹣f在区间[﹣，]上的所有零点的和为A．7 B．6 C．3 D．2 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f=+3x在点）处的切线方程为______．14．已知平面向量与的夹角为，=，|﹣2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F，点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，tan=sinA，则△ABC 的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3 求数列{an}的通项公式；令bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩对应如表： 2 3 4 5 6 7学生序号i 1 数学成绩60 65 70 75 85 87 90 xi 物理成绩70 77 80 85 90 86 93 yi 若规定85分以上为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；第2页根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526 19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD．求证：CD⊥AM；若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F，点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．求点P的轨迹C的方程；若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f=e﹣x ﹣ax．当a=﹣1时，求函数f的最小值；若x≥0时，f+ln≥1，求实数a的取值范围；求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O 的直径，BC=CD，AD的延长线与BC 的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．证明：CF是圆O的切线；若BC=4，AE=9，求CF的长．第3页[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为．以点O 为极=．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin将曲线C和直线l化为直角坐标方程；设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f=log2．当a=7时，求函数f的定义域；若关于x的不等式f≥3的解集是R，求实数a的最大值．第4页2016年广东省广州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M ∪N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|= A．B．1 C．D．2 【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z=∴|z|=1，故选：B．3．已知cos=，则sin的值是===，【考点】三角函数的化简求值．【分析】已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos=sin[﹣]=sin=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N ，且P=，则P=A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，P=的概率可求出P=P=，即可求出P．【解答】解：∵P=，第5页∴P=1﹣= ∴P=P=，∴P=P﹣P=﹣= 故选B．5．不等式组b）的解集记为D，若A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【考点】简单线性规划．【分析】题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．【解答】解：题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a=﹣2，b=0，即过点A时，z=2a﹣3b 有最小值为﹣4，故选：A．6．使n 展开式中含有常数项的n的最小值是C．5 D．6 【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．【解答】解：n展开式的通项公式为Tr+1=??x2n﹣5r，令2n ﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，故选：C．第6页7．已知函数f=sin0＜φ＜数f的单调递减区间是A．[2kπ﹣C．[kπ﹣，2kπ+，kπ+] B．[2kπ+，2kπ+] ）的图象的一个对称中心为，则函] D．[kπ+，kπ+] 【考点】正弦函数的图象．【分析】题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．【解答】解：题意可得sin，≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，+φ）=0，故2×可得φ=，+φ=kπ，∴f=sin的单凋递减区间为[kπ+故选：D．，kπ+]，k∈Z．8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O 的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O 的表面积为A．π B．π C．π D．π 【考点】球的体积和表面积．【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而正弦定理求出平面ABC 截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：在△ABC中，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC= =2，正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径，r==2，又∵球心到平面ABC的距离d=R，∴球O的半径R=∴R2=第7页，故球O的表面积S=4πR2=故选：D．π，9．已知命题p：?x∈N*，x≥x，命题q：?x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是A．p∧q B．C．p∧D．∧q ∧【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：2x+21﹣x=22﹣2?2x+2=0，解得2x=，化为：，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：?x ∈N*，x≥x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：2x+21﹣x=2，化为：2﹣2?2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧，故选：C．10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π 【考点】三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，∴该几何体的体积V==6π+8，故选：B．11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|?|MN|的值为A．B．C．λ D．无法确定第8页【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M，即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．【解答】解：设M，即有m2﹣n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=，勾股定理可得|ON|===，可得|ON|?|MN|=?==．故选：B．12．设函数f的定义域为R，f=f，f=f，当x∈[0，1]时，f =x3．则函数g=|cos|﹣f在区间[﹣，]上的所有零点的和为A．7 D．2 【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f的对称性和奇偶性可知f在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g在[﹣，]上3条对称轴，根据f和y=|cos|在[0，1]上的函数图象，判断g在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f=f，∴f关于x=1对称，∵f=f，∴f根与x=0对称，∵f=f=f，∴f=f，∴f是以2为周期的函数，∴f在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g的对称轴．作出y=|cos|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：B．6 C．3 第9页图象可知g在和上各有1个零点．∴g在[﹣，]上共有6个零点，设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称．∴x1+x2=0，x∴x1+x2+x+x4=2，x5+x6=4，+x4+x5+x6=6．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f=+3x在点）处的切线方程为y=x+4 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′=﹣+3，则f′=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，∵f=2+3=5，∴切点坐标为，则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，故答案为：y=x+4 14．已知平面向量与的夹角为，=，|﹣2|=2．则||= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．【解答】解：||=2，∵|﹣2|=2，∴2=第10页=||，，即4||2﹣4||+4=12，解得||=2．故答案为：2．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F，点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为++=1 ．=1，题意可得c=1，设点F关于直线y=x的对称点为，两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F关于直线y=x的对称点为，可得=﹣2，且n=?，+=1，解得m=，n=，即对称点为．代入椭圆方程可得解得a2=，b2=，+=1，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．在△ABC中，a，b，c 分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．【解答】解：在△ABC 中，∵tan=sinA，∴第11页=sinA，即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+s inC，∴2b=a+c=4，∴b=2．∵a+c=4，∴a=4﹣c．∴S=∵≤==1，∴S≤．故答案为：．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3 求数列{an}的通项公式；令bn=an，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2Sn+3，∴当n≥2时，an=2Sn﹣1+3，∴an+1﹣an=2=2an，化为an+1=3an．∴数列{an}是等比数列，首项为3，公比为3．∴an=3n．bn=an=?3n，∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+?3n，3Tn=32+3×33+…+?3n+?3n+1，∴﹣2Tn=3+2﹣?3n+1=2n）?3n+1﹣6，∴Tn=?3n+1+3．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩对应如表： 2 3 4 5 6 7 学生序号i 1 数学成绩60 65 70 75 85 87 90 xi 物理成绩70 77 80 85 90 86 93 yi 若规定85分以上为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？第12页﹣3﹣?3n+1=根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．【解答】解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为18名男同学中应抽取的人数为故不同的样本的个数为．18=3名，名，解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，∴ξ的取值为0，1，2，3．∴P==，P==，P==，P==，∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P Eξ=0×+1× 3 +3×，a==．=83﹣×75=．+2×解：∵b=∴线性回归方程为=+ 当x=96时，=×96+=96．可预测该同学的物理成绩为96分．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD．求证：CD⊥AM；若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．第13页【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：取CD的中点O，连接OB，OM．∵△BCD是等边三角形，∴OB⊥CD．∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴OM ⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面CMD，∴OM⊥平面BCD．又∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB．∴O，M，A，B四点共面．∵OB∩OM=O，OB?平面OMAB，OM?平面OMAB，∴CD⊥平面OMAB．∵AM?平面OMAB，∴CD⊥AM．作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．∵△BCD是等边三角形，BC=2，∴，CD=2．在Rt△ANM 中，∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，∴．．∴AB=AN+NB=AN+OM=2．以点O 为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则M，，D，．∴，，．设平面BDM的法向量为=，n?，n?，∴，令y=1，得=．设直线AM与平面BDM所成角为θ，第14页则==．∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知点F，点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．求点P的轨迹C的方程；若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】点P到点F的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，此能求出曲线C的方程．设P，点M，点N，直线PM的方程为x﹣y++m=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心到直线PM的距离为1，x0＞1，得m2+2y0m﹣=0，同理，，此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：∵点F，点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．设P，点M，点N，直线PM的方程为：y﹣m=，化简，得x﹣y++m=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心到直线PM的距离为1，即=1，∴=第15页，题意得x0＞1，∴上式化简，得m2+2y0m﹣=0，同理，有∴m，n是关于t的方程t2+2y∴m+n=，mn=，，t﹣=0的两根，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在上单调递增，∴，∴，∴0＜∴＜．的取值范围是．21．已知函数f=e﹣x﹣ax．当a=﹣1时，求函数f的最小值；若x≥0时，f+ln≥1，求实数a 的取值范围；求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；得到ex+ax+ln﹣1≥0．令g=ex+ax+ln﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；第16页令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：当a=﹣1时，f=e ﹣x+x，则．…1分令f’=0，得x=0．当x＜0时，f’＜0；当x ＞0时，f’＞0．…2分∴函数f在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当x=0时，函数f取得最小值，其值为f=1．…3分若x≥0时，f+ln≥1，即ex+ax+ln﹣1≥0．令g=ex+ax+ln﹣1，则．①若a≥﹣2，知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x．∴∴函数g在区间[0，+∞）上单调递增．∴g≥g=0．∴式成立．…5分②若a＜﹣2，令，．…4分则∴函数φ在区间[0，+∞）上单调递增．于φ=2+a＜0，．．…6分故?x0∈，使得φ=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ＜φ=0，即g’＜0．∴函数g在区间上单调递减．∴g＜g=0，即式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．...9分证明：知，当a=﹣2时，g=ex﹣2x+ln ﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．...10分∴∴． (11)分，即．…12分．第17页四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O 的直径，BC=CD，AD的延长线与BC 的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．证明：CF是圆O的切线；若BC=4，AE=9，求CF的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；割线定理：EC?EB=ED?EA，且AE=9，得【解答】证明：连接OC，AC，∵BC=CD，∴∠CAB=∠CAD．…1分∵AB是圆O的直径，∴OC=OA．∴∠CAB=∠ACO．...2分∴∠CAD=∠ACO．∴AE∥OC．...3分∵CF⊥AE，∴CF⊥OC．...4分∴CF是圆O的切线．...5分解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．∵∠CAB=∠CAD，∴点C为BE的中点．∴BC=CE=CD=4．...6分割线定理：EC?EB=ED?EA，且AE=9． (7)分得．…8分，利用勾股定理求CF的长．在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．∴．…9分在Rt△CFD 中，．…10分第18页∴CF的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为．以点O为极=．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin将曲线C和直线l化为直角坐标方程；设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】曲线C的参数方程为曲线C的直角坐标方程．ρsin利用cos2θ+sin2θ=1可得，，点解法1：于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．解法2：设与直线l平行的直线l’的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．【解答】解：解：曲线C的参数方程为∴曲线C 的直角坐标方程为ρsin可得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．解法1：于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为点Q到直线l的距离为=．，当时，．第19页∴点Q 到直线l的距离的最大值为．解法2：设与直线l平行的直线l’的方程为x+y=m，，消去y得4x2﹣6mx+3m2﹣3=0，令△=2﹣4×4×=0，解得m=±2．∴直线l’的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．∴两条平行直线l与l’之间的距离为∴点Q到直线l的距离的最大值为[选修4-5：不等式选讲] ．．24．已知函数f=log2．当a=7时，求函数f的定义域；若关于x的不等式f≥3的解集是R，求实数a的最大值．【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．【分析】a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f的定义域；f≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．【解答】解：题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；∴函数f的定义域为∪；解：不等式f≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|﹣|=3；又不等式|x+1|+|x ﹣2|≥a+8解集是R；∴a+8≤3，即a≤﹣5；∴a的最大值为﹣5．第20页2016年10月6日第21页。

2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=A C．A=B D．A∩B=B2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知条件p：|x+1|＜2，条件q：3x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．1 D．45．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+π B．8+4πC．16+4πD．16+π6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知正数组成的等比数列{a n}，若a2•a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在8．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1） B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e） D．（0，1）∪（e，+∞）9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．1710．已知k∈Z， =（k，1），=（k﹣2，﹣3），若||≤，则△ABC是直角三角形的概率是（）A．B．C．D．11．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．12．已知0＜θ＜，f（θ）=1+m+m（）+（m＞0），则使得f（θ）有最大值时的m的取值范围是（）A．（，2） B．（，3） C．[1，3] D．[，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为_______．14．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是_______．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P （x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为_______．16．已知数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1﹣a n≤2n，a n﹣a n+2≤﹣3×2n，则a2016=_______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4S△ABC=a2+b2﹣c2．（1）求角A；（2）求△ABC的面积．18．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：k2=，其中n=a+b+c+d． P（k2≥k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.0763.845.0246.6357.87910.82819．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=OC，OP=OC．（1）证明：AB⊥平面POC；（2）求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．20．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣2a﹣，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明PC=PA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，曲线C2：（θ为参数），曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7．（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值．[选修4-5：不等式证明选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，求实数a的取值范围．2016年广东省潮州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A∩B=∅B．A∩B=A C．A=B D．A∩B=B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求解一元二次函数的定义域化简集合A，求解值域化简集合B，再逐一判断则答案可求．【解答】解：集合A={x|y=x2+1}=R，B={y|y=x2+1}=[1，+∞），则A∩B=B，故A，B不正确，则A≠B，故C不正确，则A∩B=B，故D正确．故选：D．2．在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．【解答】解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．3．已知条件p：|x+1|＜2，条件q：3x＜3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵p：|x+1|＜2，∴﹣3＜x＜1，∵q：3x＜3，∴x＜1，∴p⇒q，∴p是q的充分不必要条件，故选A4．正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．1 D．4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意和正态分布曲线的对称性可得2a﹣3+a+2=2a，解方程可得．【解答】解：∵正态分布ξ～N（a，32），且P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴由图象的对称性可得2a﹣3+a+2=2a，解得a=1，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+π B．8+4πC．16+4πD．16+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是：上圆柱、下长方体的组合体，圆柱的底面圆半径是1、母线长是1，长方体的长、宽、高分别是4、2、2，∴该几何体的体积V=π×12×1+4×2×2=16+π，故选：D．6．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线和直线平行，求出渐近线方程，得到a，b的关系，结合离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x﹣2y+1=0平行知，双曲线的渐近线方程为x﹣2y=0，即y=x，∵双曲线的渐近线为y=±，即=，离心率e======，故选：B．7．已知正数组成的等比数列{a n}，若a2•a19=100，那么a8+a13的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正数组成的等比数列{a n}，可得a2•a19=100=a8a13，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数组成的等比数列{a n}，∵a2•a19=100，∴a2•a19=100=a8a13，∴a8+a13≥2=20，当且仅当a8=a13=10时，a8+a13的最小值为20，故选：A．8．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A．（，1） B．（0，）∪（1，+∞） C．（，e） D．（0，1）∪（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，函数单调递减，可得，当x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，进而将不等式f（ln（x））＞f（1），转化为一个对数不等式，再根据对数的单调性，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数，当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，则x＜0时，函数为增函数，若f（lnx）＞f（1），∴|lnx|＜1，∴﹣1＜lnx＜1，即＜x＜e，故答案选：C．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．10．已知k∈Z， =（k，1），=（k﹣2，﹣3），若||≤，则△ABC是直角三角形的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据向量模长公式求出满足条件的k的个数，分类讨论，求得k的值，再根据古典概型的计算公式进行求解．【解答】解：||≤，k∈Z，知知k∈{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，由=（k，1），=（k﹣2，﹣3）垂直，求得k=﹣1，3；=（k，1）与=（2，4），k=﹣2，所以△ABC是直角三角形的概率是，故答案选：B．11．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=r，四棱锥的体积为=，解得r=，四棱锥的外接球的体积为：V==，故选：B．12．已知0＜θ＜，f（θ）=1+m+m（）+（m＞0），则使得f（θ）有最大值时的m的取值范围是（）A．（，2） B．（，3） C．[1，3] D．[，1]【考点】三角函数的最值．【分析】利用三角函数的诱导公式把已知函数化成正切函数，令（0＜t＜1），构造一个新函数g（t），再根据不等式的基本性质得到g（t）在（0，1）上必有最大值，然后求出m的取值范围．【解答】解：f（θ）=1+m+m（）+=，令（0＜t＜1），则=，当且仅当时等号成立，即g（t）在（0，1）上必有最大值，∴m的范围为（，2）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知变量x，y满足，则u=log2（2x+y）的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合图象先求出2x+y的最大值，从而求出u的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：易知可行域为一个三角形，由，解得A（1，2），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过A（1，2）时，z最大，z的最大值是4，此时u==2，故答案为：2．14．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到 2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．【解答】解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由 0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于P （x1，2），Q（x2，y2）两点，则抛物线的准线方程为x=﹣2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得P的坐标为（，2），抛物线的焦点为F（，0），运用直线的斜率公式，可得p的方程，解得p=4﹣2，即可得到抛物线的准线方程．【解答】解：将y=2，代入抛物线的方程可得x1==，即有P（，2），抛物线y2=2px的焦点F（，0），由斜率为1的直线l，可得=1，化为p2+4p﹣8=0，解得p=4﹣2，则抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2．16．已知数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1﹣a n≤2n，a n﹣a n+2≤﹣3×2n，则a2016= 22016﹣1 ．【考点】数列递推式．【分析】a n+1﹣a n≤2n，可得a n+2﹣a n+1≤2n+1，又a n﹣a n+2≤﹣3×2n，可得a n+1﹣a n≥2n，于是a n+1﹣a n=2n，再利用“累加求和”方法即可得出．【解答】解：∵a n+1﹣a n≤2n，∴a n+2﹣a n+1≤2n+1，又a n﹣a n+2≤﹣3×2n，∴a n+1﹣a n≥2n，∴2n≤a n+1﹣a n≤2n，∴a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣1+…+2+1==2n﹣1．∴a2016=22016﹣1．故答案为：22016﹣1．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA，a=2，4S△ABC=a2+b2﹣c2．（1）求角A；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由条件利用二倍角的余弦公式，求得cosA的值，可得A的值．（2）由条件利用余弦定理求得tanC的值，可得C的值，利用正弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积S=ac•sinB，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，由cos2A=cosA得 2cos2A﹣cosA﹣1=0，所以，cosA=﹣，或cosA=1．因为0＜A＜π，所以，cosA=﹣，A=．（2）由a=2，4S△ABC =ab•sinC=a2+b2﹣c2，可得2ab•sinC=a2+b2﹣c2，即sinC=cosC，即tanC=，∴C=．又由正弦定理有=，可得c=2，又sinB=sin （π﹣﹣）=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．18．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数 525 3025 15表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80]人数10 2040 2010（1）若该中学共有女生600人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上午时间与性别有关”；（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，再从中任取2人，记被抽取的2人中上午时间少于60分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．表3上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：k2=，其中n=a+b+c+d． P（k2≥k0） 0.50 0.400.25 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.0763.845.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，求解即可得出结论；（2）根据所给数据完成表3的2×2列联表，利用公式求出k2，与临界值比较，可得结论；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，得到10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，代入公式即可求出X的分布列和数学期望．【解答】解．（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数为x，依据题意有，解得x=180，∴估计其中上网时间不少于60分钟的有180人；（2）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200其中k2==＜2.706，故不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；（3）因男生中上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为3：2，∴10人中上网时间少于60分钟的有6人，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所求分布列为X012P数学期望为．19．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．PA=OC，OP=OC．（1）证明：AB⊥平面POC；（2）求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出OC⊥平面OAB，从而AB⊥OC，取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD，从而AB⊥PO，由此能证明AB⊥平面POC．（2）过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，则∠PAH为二面角P﹣OA ﹣B的平面角，由此能求出二面角P﹣OA﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC，∴OC⊥OA，OC⊥OB，又OA∩OB=O，∴OC⊥平面OAB，又AB⊂平面OAB，∴AB⊥OC．…取AB中点D，连结OD，PD．则AB⊥OD，AB⊥PD．…∵OD∩PD=D，∴AB⊥平面POD，∵PO⊂平面POD，∴AB⊥PO．…AB⊥OC，OC∩PO=O，∴AB⊥平面POC．…解：（2）由（1）知AB⊥平面POD，∴平面OAB⊥平面POD，且平面OAB∩平面POD=OD，过点P作PH⊥平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH，PA=，OP=，由OA=OB=OC，在△POA中，OP2=PA2+OA2，∴OA⊥PA，又PH⊥OA，∴OA⊥平面PAH，∴∠PAH为二面角P﹣OA﹣B的平面角，…在直角△PHA中，cos，…由（1）知∠AOD=45°，∴△OAH为等腰直角三角形，∴AH=OA=OC，∴cos=，∴二面角P﹣OA﹣B的余弦值为．…20．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2： +=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为，利用曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，求出a，b，即可求曲线C1的方程；（Ⅱ）由于研究直线恒过定点，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x与直线AB斜率k 无关），可证直线AC恒过定点就可解决．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…令y=0，可得x===…∴直线AC过定点（，0）．…21．已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣2a﹣，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f′（x）=2x﹣﹣1，分情况讨论，即可求函数f（x）的单调区间；（2）求出k==（x2+x1）﹣﹣1=﹣2a﹣，进而ln=，可得=0，a=﹣与a＞﹣矛盾，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣﹣1=，t=2x2﹣x﹣a，△=1+8a≤0，a≤﹣，f′（x）≥0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞﹣时，令f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞，故函数f（x）的单调递增区间为（0，），（，+∞）；令f′（x）＜0，得0＜x＜，故函数f（x）的单调递减区间为（，）．（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴x2+x1=，x2x1=﹣，x1=，x2=∵k==（x2+x1）﹣﹣1=﹣2a﹣，∴=2，∴ln=，设t=，则y=ln﹣t，∴y′=﹣1=＞0，∴函数在（﹣1，1）上单调递增，∴=0，a=﹣与a＞﹣矛盾，故不存在．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP．（1）证明：∠ADE=∠AED；（2）证明PC=PA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（2）通过内角相等证明出△APC∽△BPA，根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=30°．利用直角三角形中正切的定义，得到=，即可证明结论．【解答】证明：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE∴∠ADE=∠AED；…（2）由（1）知∠BAP=∠C，又∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，∴，∵AC=AP，∠BAP=∠C=∠APC，由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180°，∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°∴∠C+∠APC+∠BAP=90°，∴∠C=∠APC=∠BAP=30°，在Rt△ABC中， =，∴=，∴PC=PA …[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，曲线C2：（θ为参数），曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7．（1）以t为参数将C1的方程写成含t的参数方程，化C2的方程为普通方程，化C3的方程为直角坐标方程；（2）若Q为C2上的动点，求点Q到曲线C3的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，利用cos2t+sin2t=1可得参数方程．由曲线C2：（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，可得普通方程．由曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．（2）设Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲线C3的距离为d==（其中tanφ=）．利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（1）由曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，可得参数方程：（t为参数）．由曲线C2：（θ为参数），消去参数θ，可得普通方程： =1．由曲线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，可化为直角坐标方程：x﹣2y﹣7=0．（2）设Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲线C3的距离为d==（其中tanφ=）．∵θ∈[0，2π），∴当sin（θ﹣φ）=﹣1时取得最大值，∴d的最大值为．[选修4-5：不等式证明选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|x﹣1|+|x+1|﹣2x+x2＞a 恒成立，令g（x）=|x﹣1|+|x+1|+x2﹣2x，依据单调性求得g（x）的最小值，可得a的范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或．解①x≤﹣求得，解求得 x∈∅，解求得 x≥，∴不等式的解集为{x|x≤﹣，或 x≥}．（2）f（x）＞a+2x﹣x2在R上恒成立，即|x﹣1|+|x+1|﹣2x+x2＞a 恒成立，令g（x）=|x﹣1|+|x+1|+x2﹣2x=，当x∈（﹣∞，1]时，g（x）单调递减，当x∈[1，+∞）时，g（x）单调递增，…所以当x=1时，g（x）的最小值为1．由题意可得1＞a，即a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．。

汕头市2015-2016高二数学12月检测试卷（理科带解析）2015-2016学年度高二级第二次质量检测（东厦、达侨联考）理科数学试卷学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1、命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是() A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x21，则－1x1 C．若x21，则x1或x－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－12、已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}3、已知直线与互相垂直,则=()A.B.C.D.4、已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨qB．p∧qC．（┐p）∧（┐q）D．（┐p）∨q5、在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的值是（）A．，B．，C．，D．，6、若函数的值域为，则的取值范围是() A．B．C．D．7、若为圆的弦的中点，则直线的方程为（）A．B．C．D．8、已知等差数列达到最小值的n是（）A．8B．9C．10D．119、在同一直角坐标系中，方程与的图形正确的是（）．10、已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为() ABCD11、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣12、若的三个内角A,B,C满足,则()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13、命题“”的否定是．14、设等比数列的前ｎ项和为＝15、（，，为常数，，，）的图象如图所示，则的值为．16、在平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为.已知，点为直线上的动点，则的最小值为.三、解答题（（共5题，每题14分，共70分））17、已知在等比数列中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求的前n项和Sn．18、已知圆C的方程为：（1）求的取值范围；（2）若圆C与直线交于M、N两点，且，求的值. （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．19、已知，.（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.20、如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO=，且FO⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）求证：CF⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角A﹣CF﹣B余弦值的大小．21、如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y=33x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．参考答案一、选择题1、【答案】D【解析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”．2、【答案】A【解析】根据题意，求得，图中阴影部分为，所以答案为，故选A．考点：集合的运算．3、【答案】D4、【答案】A【解析】由已知，命题真，命题假，所以真，假，假，假．5、【答案】A【解析】根据题意，结合正方体的性质，可知,所以有，，故选A．6、【答案】B7、【答案】D【解析】设圆心为C（1，0），可知PCAB．由得，．然后由点斜式可得直线AB的方程为．．8、【答案】C【解析】因为取得最小值时，可见从第11项开始变为正数，因此最小的n值为10，选C9、【答案】C【解析】当时，直线的斜率为正且图像在一、三象限，而直线的斜率为正且在y轴上的截距为正，图像过一、二、三象限．所以答案A、B错误；当时，直线的斜率为负且图像在二、四象限，而直线的斜率为正且在y轴上的截距为负，图像过一、三、四象限10、【答案】D11、【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣，柱体的高h=2，故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，12、【答案】C【解析】因为，由正弦定理得6a=4b=3c，则三角形最大的边为c，又cosC=，所以角C为钝角，则选C.二、填空题13、【答案】14、【答案】15、【答案】【解析】由图可知，，，所以，，所以，所以.16、【答案】4三、解答题17、【答案】（1）设公比为q，∵a1=1，则a2=q，a3=q2．∵a2是a1和a3﹣1的等差中项．∴2a2=a1+a3﹣1，∴2q=1+q2﹣1，∵q≠0，解得q=2．∴a n=2n﹣1．7分（2）∵bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1．∴的前n项和Sn=[1+3+…+（2n﹣1）]+[1+2+22+…+2n﹣1]=+=n2+2n﹣1．14分18、【解析】（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m0，得m5．2分（2），即，所以圆心C（1,2），半径，圆心C（1,2）到直线的距离又，，即，．7分（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，设，则，由得，，即，又由（1）知，故,故存在实数使得以为直径的圆过原点，．14分19、【答案】（1）当时，，又.因为命题“或”为真，则或或，所以或或，解得；所以满足“或”为真的的取值范围为.7分（2）由题意，得命题对应的数集为,命题对应的数集为; 因为是的必要不充分条件，所以,则，解得.7分20、（Ⅰ）证明：取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，2分则A（3，0，0），E（1，2，0），C（﹣1，0，0），D（1，﹣2，0），F（0，0，），=（﹣2，﹣2，0），=（1，0，），=（﹣1，﹣2，），设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣，，1），又四边形BDEF为平行四边形，∴，∴===（﹣2，﹣2，0）+（﹣1，﹣2，）=（﹣3，﹣3，），∴=3﹣4+=0，∴AE，又AE？平面BCF，∴AE∥平面BCF．7分（Ⅱ）证明：，=﹣3+3=0，=﹣3+3=0，∴，，又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．11分（Ⅲ）解：∵OH⊥平面ACF，∴是平面ACF的法向量，平面BCF的法向量为=（﹣，，1），设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ，∴co sθ===．14分21、【答案】解：（1）直线设.的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为.即.已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上，,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，故所求圆C的方程为.7分（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为.此时由,得.14分。