2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的标准方程与几何性质练习 文 苏教版

第2讲 圆锥曲线的方程与性质(小题)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|). (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|).(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值.例1 (1)(2019·石嘴山模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过右焦点F 2的直线l ：x ＋y ＝c 在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为QF 2的中点，△QF 1F 2的面积为4，则双曲线E 的方程为( ) A.x 22－y 2＝1 B.x 22－y 22＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过第一象限的渐近线方程为y ＝ba x ，代入直线x ＋y ＝c ，可得P ⎝⎛⎭⎫ac a ＋b ，bca ＋b ，且Q (0，c )，F 2(c ,0)，点P 为QF 2的中点，可得c ＝2ac a ＋b ＝2bca ＋b ，可得a ＝b ，△QF 1F 2的面积为4，即12·2c ·c ＝4，解得c ＝2，a ＝b ＝2， 则双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 24＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B.2 C.7 D.3 答案 A解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)，设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23，设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3.跟踪演练1 (1)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.8 答案 A解析 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为C (1,0)， 所以可得以C (1,0)为焦点的抛物线方程为y 2＝4x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以A (1,2). 抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点为F (0,2)， 准线方程为y ＝－2，即有|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |＝1，当且仅当A ，B ，F (A 在B ，F 之间)三点共线时，可得最大值1.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( ) A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析 由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0). 设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，① 又x 203＋y 20b2＝1，所以y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 203，② 由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.例2 (1)(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( ) A.23 B.34 C.53 D.74 答案 C解析 ∵AF 2→＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ， ∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ， ∵AF 1→·AF 2→＝0， ∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x )2＋(3x )2＝(2a －x )2， 解得x ＝a 3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a3，在Rt △AF 1F 2中，有⎝⎛⎭⎫4a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32＝(2c )2， 整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.(2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.(1,2)D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73.跟踪演练2 (1)(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为( )A.π6，－π6B.π3，－π3C.π6，5π6D.π3，2π3 答案 C解析 椭圆中a ＝2，b ＝1，所以c ＝3， 所以其离心率为32， 设双曲线的离心率为e ，则e ×32＝1， 得e ＝233，双曲线中e ＝c a ＝233，即c 2＝43a 2，又c 2＝a 2＋b 2，所以43a 2＝a 2＋b 2，得a ＝3b ，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，即y ＝±33x ，所以两条渐近线的斜率为k ＝±33，倾斜角分别为π6，5π6.(2)(2019·上饶模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，且AF →·BF →＝0，若∠BAF 的范围为⎣⎡⎭⎫512π，π2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A.(1,2]B.(1，2]C.(1，3]D.[2，3) 答案 B解析 设F ′为双曲线的右焦点，连接AF ′，BF ′， ∵AF →·BF →＝0，∴四边形AFBF ′为矩形，且|AB |＝2c ， 又|BF |－|BF ′|＝2a ，∴|BF |－|AF |＝2a ， 在△BF A 中，sin ∠BAF ＝|BF |2c ∈⎣⎡⎭⎫sin 5π12，1， cos ∠BAF ＝|AF |2c ∈⎝⎛⎦⎤0，cos 5π12， ∴6＋22c ≤|BF |<2c ，① －6－22c ≤－|AF |<0，②①②两式相加2c ≤2a <2c ，∴1<e ≤ 2. 热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题 圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点： (1)注意使用圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； (3)注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.例3 (1)(2019·六安联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，以A 为圆心，OA (O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥P A ，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A.1＋ 5 B.1＋ 3 C. 5 D. 3 答案 A解析 由题意可得|OA |＝a ，|AF 2|＝c －a ， 因为PF 2⊥P A ，所以|PF 2|＝(c －a )2－a 2＝c 2－2ac ， 又因点P 在双曲线的右支上， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 因为|PF 1|＝2|PF 2|， 所以|PF 2|＝2a ；因此c 2－2ac ＝2a ，即c 2－2ac ＝4a 2， 所以e 2－2e －4＝0，解得e ＝1±5， 因为e >1，所以e ＝1＋ 5.(2)(2019·南充模拟)已知直线x ＋y ＝1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，则椭圆长轴的取值范围是( ) A.[5，6] B.⎣⎡⎦⎤52，62 C.⎣⎡⎦⎤54，32 D.⎣⎡⎦⎤52，3 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0，化为a 2＋b 2>1. x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， ∴2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0.化为a 2＋b 2＝2a 2b 2.∴b 2＝a 22a 2－1.∵椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22， ∴13≤e 2≤12， ∴13≤a 2－b 2a 2≤12，13≤1－12a 2－1≤12， 化为5≤4a 2≤6， 解得 5 ≤2a ≤ 6. 满足Δ>0.∴椭圆长轴的取值范围是[5，6].跟踪演练3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段F 1A 为直径的圆交线段F 1B 的延长线于点P ，若F 2B ∥AP ，则该椭圆的离心率是( ) A.33 B.23 C.32 D.22答案 D解析 因为点P 在以线段F 1A 为直径的圆上，所以AP ⊥PF 1， 又因为F 2B ∥AP ， 所以F 2B ⊥BF 1， 又因为|F 2B |＝|BF 1|，所以△F 1F 2B 是等腰直角三角形，因为|OB |＝b ，|OF 2|＝c ，所以b ＝c ，|F 2B |2＝c 2＋b 2＝a 2＝2c 2， 所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝22.(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ (O 为坐标原点)垂直，则点P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.(0,2] 答案 B解析 抛物线C 的准线方程是x ＝－1，若点Q 的坐标为(－1,0)，此时直线l 的方程为x ＝－1， 显然点P 到直线l 的距离的最小值是1， 若点Q 的坐标为(－1，t )，其中t ≠0， 则直线OQ 的斜率为k OQ ＝t －0－1－0＝－t ，直线l 的斜率为k l ＝－1k OQ ＝1t ，直线l 的方程为y －t ＝1t (x ＋1)，即x －ty ＋t 2＋1＝0，设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋m ＝0，代入抛物线方程，得y 2－4ty ＋4m ＝0， 所以Δ＝16t 2－16m ＝0， 解得m ＝t 2，所以与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋t 2＝0，所以点P 到直线l 的距离的最小值为直线x －ty ＋t 2＋1＝0与直线x －ty ＋t 2＝0的距离， 即d ＝|t 2＋1－t 2|12＋t 2＝11＋t 2，因为t 2>0，所以0<d <1，综合两种情况可知点P 到直线l 的距离的最小值的取值范围是(0,1].真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，10)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝(2m )2＋(3m )2－(3m )22×2m ·3m ＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B.2.(2018·全国Ⅱ，理，12)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析 如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可得|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ， 由∠F 1F 2P ＝120°， 可得|PB |＝3c ，|BF 2|＝c ， 故|AB |＝a ＋c ＋c ＝a ＋2c ， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3c a ＋2c＝36，解得a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.3.(2019·全国Ⅰ，理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________. 答案 2解析 因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图.因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BOF 2＝b a ，tan ∠BF 1O ＝a b .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )， 所以ba ＝2×ab 1－⎝⎛⎭⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.押题预测1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C.32D. 3 答案 B解析 由双曲线的渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行， 可得双曲线的渐近线的方程为y ＝12x ，即b a ＝12， 所以双曲线的离心率为 e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋14＝52.2.已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A.2 B.3 C.32 D.4答案 C解析 设A (2t 21，2t 1)，B (2t 22，2t 2).由OA ⊥OB ，得2t 12t 21·2t 22t 22＝－1，得出t 1t 2＝－1.当直线AB 的斜率不存在时，2t 1＋2t 2＝0， 此时t 1＝－t 2，则AB 的方程为x ＝2，焦点F 到直线AB 的距离为2－12＝32，∵k AB ＝2t 1－2t 22t 21－2t 22＝1t 1＋t 2， 得直线AB 的方程为y －2t 1＝1t 1＋t 2(x －2t 21). 即x －(t 1＋t 2)y －2＝0. 令y ＝0，解得x ＝2. ∴直线AB 恒过定点D (2,0).∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离小于32，综上，焦点F 到直线AB 距离的最大值为32.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±22xB.y ＝±2xC.y ＝±33xD.y ＝±3x 答案 B解析 ∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，设B 点在第一象限，坐标为(x ，y )，且到x 轴的距离为h ， 由对称性知△ABC 的面积 S ＝2S △OBC ＝2×12ch ＝ch ＝2a 2，即h ＝2a 2c ，即B 点的纵坐标为y ＝2a 2c，则由x 2＋⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2，得x 2＝c 2－⎝⎛⎭⎫2a 2c 2＝c 2－4a 4c 2， 因为点B 在双曲线上，则c 2－4a 4c 2a 2－4a 4c 2b2＝1，即c 2a 2－4a 2c 2－4a 4c 2(c 2－a 2)＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2⎝⎛⎭⎫1＋a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2·c 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－1＝4a 2c 2－a 2＝c 2－a 2a 2， 得4a 4＝(c 2－a 2)2，即2a 2＝c 2－a 2，得3a 2＝c 2，得c ＝3a ，b ＝2a . 则双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x.A 组 专题通关1.(2019·合肥质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，且经过点P (6，4)，则双曲线的方程是( ) A.x 24－y 232＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 22－y 28＝1 D.x 2－y 24＝1答案 C解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，则ba＝2，又点P (6，4)在双曲线上，则⎩⎨⎧6a 2－16b 2＝1，ba ＝2，解得a 2＝2，b 2＝8， 故双曲线方程为x 22－y 28＝1.2.(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|等于( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8.3.(2019·汕尾质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点.若tan ∠MAN ＝－34，则双曲线C的离心率为( ) A.3 B.2 C.43 D. 2答案 B解析 由题意可知tan ∠MAN ＝－34＝2tan ∠MAF1－tan 2∠MAF，解得tan ∠MAF ＝3(舍负)， 可得b 2a c －a＝3，可得c 2＋2a 2－3ac ＝0，e 2＋2－3e ＝0，e >1，解得e ＝2.4.(2019·邯郸模拟)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m 答案 D解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py (p >0)经过点(6，－5)，则36＝10p ，解得p ＝185，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝185.5.(2019·天津市和平区质检)设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( ) A.2 B. 3 C.2 2 D.2 3 答案 B解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的渐近线方程为y 2－x 23＝0，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝ 3. 6.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.25 答案 B解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理，得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2csinπ3＝2R ，∴R ＝233c ，∵R ＝4r ，∴r ＝36c ， 由余弦定理，得()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π3，可得|PF 1||PF 2|＝43()a 2－c 2，则由三角形面积公式12()|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，可得()2a ＋2c ·36c ＝43()a 2－c 2·32，整理得3c 2＋ac －2a 2＝0， 即3e 2＋e －2＝0， ∵0<e <1， ∴e ＝c a ＝23.7.(2019·六安联考)已知直线l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上运动，则△P AB 面积的最大值为( ) A.6 B.3(3＋2)2C.3(3－3)2D.3(3＋3)2答案 D解析 因为l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， 所以A (3,0)，B (0,3)， 因此|AB |＝32，又点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上运动，所以可设P (2cos θ，sin θ)， 所以点P 到直线l 的距离为d ＝|2cos θ＋sin θ－3|2＝|3sin (θ＋φ)－3|2≤|－3－3|2＝3＋32(其中tan φ＝2)，所以S △P AB ＝12|AB |d ≤3(3＋3)2.8.(2019·泸州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( ) A.5＋2 3 B.5＋2 3 C. 3 D. 5答案 A解析 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AB |＝|BF 2|，可得|AF 1|＝2a ， 则|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ， cos ∠BF 1F 2＝c 2－a 2c＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－|AF 2|22|AF 1|·|F 1F 2|＝4a 2＋4c 2－16a 22·2a ·2c，化简可得c 4－10a 2c 2＋13a 4＝0， 由e ＝ca 可得e 4－10e 2＋13＝0，解得e 2＝5＋23， 可得e ＝5＋2 3.9.(2019·广东省六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为k (k >0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|F A |＝3|FB |，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B.1 C. 2 D.3 答案 D解析 假设A 在第一象限，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD |＝|AF |， |BE |＝|BF |， 又∵|F A |＝3|FB |，∴|AD |＝|CE |＝3|BE |，即B 为CE 的三等分点， 设|BF |＝m ，则|BC |＝2m ，|AF |＝3m ，|AB |＝4m ， 即|AC |＝|AB |2－|BC |2＝16m 2－4m 2 ＝12m ＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC ||BC |＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.10.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( ) A.8 B.12 C.16 D.24 答案 B解析 由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x ， 消去x 可得y 2－4my －16＝0，Δ＝16m 2＋4×16>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 所以△ABF 的面积S ＝12|MF |·|y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝3216m 2＋64 ≥32×8＝12， 所以△ABF 的面积的最小值为12.11.已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，且(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0.过双曲线C 的右顶点作平行于双曲线C 的一条渐近线的直线l ，若直线l 交线段PQ 于点M ，且|QM |＝3|PM |，则双曲线C 的离心率e等于( )A.2B. 3C.53D.32答案 C解析 因为(F 1P →＋F 1Q →)·PQ →＝0， 所以|PF 2|＝|QF 2|，F 1F 2⊥PQ .因为|QM |＝3|PM |，所以M 是线段PF 2的中点.又直线l 过双曲线C 的右顶点且平行于双曲线C 的一条渐近线，|PF 2|＝b 2a ，所以12·b 2ac －a ＝b a，化简可得b ＝2(c －a )，所以c 2－a 2＝4(c －a )2， 所以3e 2－8e ＋5＝0，结合e >1解得e ＝53.12.已知A (3,0)，若点P 是抛物线y 2＝8x 上任意一点，点Q 是圆(x －2)2＋y 2＝1上任意一点，则|P A |2|PQ |的最小值为( ) A.3 B.43－4 C.2 2 D.4 答案 B解析 设P (x ，y )，由抛物线方程y 2＝8x ，可得抛物线的焦点坐标为F (2,0)， 由抛物线定义得|PF |＝x ＋2， 又|PQ |≤|PF |＋|QF | ＝|PF |＋1， 所以|P A |2|PQ | ≥|P A |2|PF |＋1＝(x －3)2＋8x x ＋3＝x 2＋2x ＋9x ＋3，当且仅当P ，Q ，F 三点共线时(F 点在PQ 之间)，等号成立， 令x ＋3＝t (t ≥3)，则x 2＋2x ＋9x ＋3＝(t －3)2＋2(t －3)＋9t ＝t ＋12t －4≥2t ×12t－4＝43－4，当且仅当t ＝23，即x ＝23－3时，等号成立.13.(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案 (3，15)解析 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15).14.(2019·北京市海淀区模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0).经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝________；双曲线C 2的离心率e 2＝________. 答案322解析 椭圆中a ＝2，b ＝1， 所以c ＝3，离心率为e 1＝32， A (－2,0)，B (0,1)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋1，因为|AB |＝|BP |，所以B 为AP 的中点，设P (x ，y )， 则⎩⎨⎧x －22＝0，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即P (2,2)，双曲线的渐近线为y ＝1mx ，点P 在渐近线上，所以2＝1m ×2，所以m ＝1，双曲线中a ＝1，b ＝1，所以c ＝2， 离心率为e 2＝ 2.15.(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为椭圆的下顶点，P 为过点F 1，F 2，B 的圆与椭圆C 的一个交点，且PF 1⊥F 1F 2，则ba的值为________.答案5－12解析 设过F 1，F 2，B 三点的圆的圆心为M ， ∵PF 1⊥F 1F 2，∴ PF 1是通径的一半，|PF 1|＝b 2a ，∵PF 1是圆M 中的一条弦，∴根据圆的对称性可知圆心的坐标M ⎝⎛⎭⎫0，b22a ， ∵|MB |2＝|MF 1|2＝R 2，∴⎝⎛⎭⎫b 22a 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫b22a ＋b 2，整理得ac 2＝b 3＋ab 2， ∵c 2＝a 2－b 2，∴a (a 2－b 2)＝b 3＋ab 2， 整理得b 2＋ab －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2＋ba －1＝0， 解得b a ＝5－12(舍去负根).16.(2019·山东师范大学附属中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥FB ，设∠ABF ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，则双曲线C 的离心率的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，AF ⊥FB ，可得四边形AFBF ′为矩形，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，即有|AF ′|＝|BF |＝n ，且m 2＋n 2＝4c 2，n －m ＝2a ，tan θ＝m n， e 2＝c 2a 2＝4c 24a 2＝m 2＋n 2m 2－2mn ＋n 2＝11－2mn m 2＋n 2＝11－2m n ＋n m＝11－2tan θ＋1tan θ，由θ∈⎝⎛⎭⎫π12，π4，可得t ＝tan θ∈(2－3，1)，则t ＋1t ∈(2,4)，可得2t ＋1t∈⎝⎛⎭⎫12，1， 即有1－2t ＋1t∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则11－2tan θ＋1tan θ∈(2，＋∞)，即有e ∈(2，＋∞).B 组 能力提高17.2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角α∈⎝⎛⎭⎫θ，π2时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角α＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角α∈(0，θ)时，截口曲线为双曲线.如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，截面与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴.那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为()A.圆的部分B.椭圆的部分C.双曲线的部分D.抛物线的部分答案 D 解析 如图，椭圆短轴端点为D ，当点C 趋于与点P 重合时，点D 趋于与AP 中点G 重合；当点C 趋于与点B 重合时，点D 趋于与半圆弧AB 的中点E 重合；点C 在线段PB 上运动时，椭圆的中心在线段GH 上运动，其短轴的运动轨迹为平面GHE ，因为GH ∥PB ，所以平面GHE 与PH 的夹角为θ，所以其截口曲线为抛物线，即原椭圆短轴端点的轨迹为抛物线一部分.18.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为____________. 答案 (1，2)∪(2＋2，＋∞)解析 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)， 令x ＝－c ，可得y ＝±bc 2a 2－1＝±b 2a， 因为双曲线具有对称性，所以可令D 点在x 轴上方，设A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，D (0，b )， 可得AD →＝⎝⎛⎭⎫c ，b －b 2a ，AB →＝⎝⎛⎭⎫0，－2b 2a ，DB →＝⎝⎛⎭⎫－c ，－b －b 2a ，若∠DAB 为钝角，则AD →·AB →<0，即0－2b 2a ·⎝⎛⎭⎫b －b 2a <0， 化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<2， 又e >1，可得1<e <2；若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →<0，即c 2－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋b ⎝⎛⎭⎫b 2a －b <0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0， 又e >1，可得e >2＋2；∵AB →·DB →＝2b 2a⎝⎛⎭⎫b ＋b 2a >0， ∴∠DBA 不可能为钝角.综上可得，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞).。

第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[教师授课资源][备考指导]圆锥曲线命题方向高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种．①选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则．1°数形结合，画图.2°定义活用(距离转化).3°有关结论引用.4°特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5°平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt△)．②大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想．题型：定值、定点、最值、范围．思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换．2°重视圆锥曲线的切线问题．3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)．4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．6°重视以双曲线渐近线为背景的题目．7°重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2＋y1y2，转化锐角或钝角．8°重视弦长公式|AB|＝|x1－x2|1＋k2＝Δ|a|1＋k2的化简技巧．9°易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况．[做小题——激活思维]1．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C的标准方程是( )A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 C [由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，因为焦点在y 轴上，故椭圆C 的标准方程是x 24＋y 28＝1.]2．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]3．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12yD ．x 2＝12yD [由抛物线的定义知，过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y .]4.点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A ．14 B ．－112C ．14或－112D ．－14或112C [抛物线y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，它的准线方程为y ＝－14a ，点M (1,1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或－112.]5．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以(25－k )(k －9)＜0，所以k ＜9或k ＞25，所以“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±xC [因双曲线方程C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，即b 2a 2＝14，∴b a ＝12， 又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.][扣要点——查缺补漏]1．椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；如T 2. (2)焦点三角形的面积：S △PF 1F 2＝b 2tan α2.(3)离心率：e ＝ca＝1－b 2a2；如T 1. (4)焦距：2c .(5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ≠0)的几何性质(1)离心率e ＝ca＝1＋b 2a2； (2)渐近线：y ＝±b ax . 3．抛物线的定义、几何性质 (1)如图，|MF |＝|MH |.如T 3，T 4.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为焦点． ①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ； ③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.④1|FC |＋1|FD |＝2p. 4．方程Ax 2＋By 2＝1表示的曲线 (1)表示椭圆：A ＞0，B ＞0且A ≠B ； (2)表示圆：A ＝B ＞0； (3)表示双曲线AB ＜0；如T 5.(4)表示直线：A ＝0且B ≠0或A ≠0且B ＝0.圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)[高考解读] 以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A (图略)，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 [如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.] [教师备选题]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 B [由y ＝52x 可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.]2．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [设F 1为椭圆的左焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．]求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．提醒：对于抛物线问题，看到准线想到焦点，看到焦点想到准线．1．(离心率问题)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上且|F 1F 2|＝2|OP |，△PF 1F 2的面积为a 2，则双曲线的离心率是( )A. 5B. 2 C ．4D ．2B [由|F 1F 2|＝2|OP |可知|OP |＝c ， 所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2. 由S △PF 1F 2＝a 2可知|PF 1||PF 2|＝2a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝－2|PF 1||PF 2|＋|F 1F 2|2， 即4a 2＝－4a 2＋4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝84＝2，又e ＞1，∴e ＝2，故选B.]2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3xC [法一：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中， ∵||A E ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||A E ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.法二：由法一可知∠CBD ＝60°， 则由|AF |＝p1－cos 60°＝3可知p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，∴2p ＝3，∴抛物线的标准方程为y 2＝3x .]3．(轨迹问题)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( )A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) D [∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.]圆锥曲线的几何性质(5年10考)[高考解读] 该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x A [法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，故选A.法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c2c ＋a＝36，解得c a ＝14，∴e＝14，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．1．(求离心率的取值范围)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B [∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c2≥0，解得e ≥22. 又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1.] 2．(求离心率的值)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．3－1 2 [如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ， ∴nm＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋3k2k＝2.连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝c a＝23＋1＝23－13＋13－1＝3－1.]3．(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．[3＋23，＋∞) [由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3， 设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2，y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]4．(与向量交汇考查几何性质)在椭圆x 24＋y 22＝1上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有F 1P →·F 2P →≤1，则F 1P →与F 2Q →的夹角余弦值的范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 [设P (x ，y )，则Q 点(x ，－y )， 椭圆x 24＋y 22＝1的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)，∵F 1P →·F 2P →≤1，∴x 2－2＋y 2≤1， 结合x 24＋y 22＝1，可得y 2∈[1,2]．故F 1P →与F 2Q →的夹角θ满足： cos θ＝F 1P →·F 2Q→|F 1P →|·|F 2Q →|＝x 2－2－y 2x 2＋2＋y 22－8x 2＝2－3y 2y 2＋2＝－3＋8y 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13.]直线、圆与圆锥曲线的交汇问题(5年6考)[高考解读] 以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.1．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 D [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 2．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5A [令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则c ＝a 2＋b 2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A.]3．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解](1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝y 0－x 0＋122＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.1．在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题．一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解．2．处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意点注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验．1．(面积问题)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94D [易知直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D.]2．(弦长问题)若双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，且被圆x 2＋(y －a )2＝1截得的弦长为2，则a ＝( )A.52B.102C. 5D.10B [可以设切点为(x 0，x 20＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20＋1，∵已知双曲线的渐近线为y ＝±abx ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 20＋1＝0，±ab ＝2x 0，x 0＝±1，ab＝2，一条渐近线方程为y ＝2x ，圆心(0，a )到直线y ＝2x 的距离是a5＝22⇒a ＝102.故选B.] 3.(最值问题)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆C 2分别交于点P ，Q 和M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( )A ．23B ．42C ．12D ．52A [由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，解得p ＝4，所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x . 圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0整理得(x －2)2＋y 2＝1，可知圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． ①当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，于是|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.②当直线l 的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则Δ＞0，且x 1x 2＝4，即x 2＝4x 1.所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋2＋4(x 2＋2)＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23，当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时等号成立．因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.]。

解密高考⑤ 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”————[思维导图]————————[技法指津]————圆锥曲线的设点、设元策略圆锥曲线问题在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应恰当地设点、设线，以简化运算，突出 “设”的重要性．(1)巧设“点”，可采用设而不求的方式解决弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等．(2)巧设 “线”， 如涉及直线的斜率问题可依据题设条件灵活设直线方程为y ＝kx ＋b 、x ＝my ＋n ；对于分点问题可依据题设条件设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．,母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分(1)看到抛物线的焦半径，想到抛物线的定义，缺x A ＋x B ，补设直线l 的方程，联立抛物线求解即可；(2)看到求|AB |想到弦长公式，缺y A ＋y B 的值，借助AP →＝3PB →补找该关系．[构建模板·五步解法] 圆锥曲线类问题的求解策略经过坐标原点O 的两条直线与椭圆E ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)分别相交于点A 、C 和点B 、D ，其中直线AB 经过E 的左焦点(－1,0)，直线CD 经过E 的右焦点(1,0)．当直线AB 不垂直于坐标轴时，AB 与AD 的斜率乘积为－34.(1)求椭圆E 的方程；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．[解](1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由对称性D (－x 2，－y 2)，直线AB 与直线AD 的斜率乘积为y 22－y 21x 22－x 21.2分由x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，相减得y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a2. 3分 所以b 2a 2＝34，4分因为a 2－b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3， 5分 椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)由题知CD 不平行于x 轴，设CD ：x ＝my ＋1，与x 24＋y 23＝1联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.7分 Δ＝144(m 2＋1)＞0，y 1，y 2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4. 8分由对称性知四边形ABCD 是平行四边形，其面积S 等于△OCD 面积的4倍，于是S ＝4S △OCD＝2|y 1－y 2|＝24m 2＋13m 2＋4＝243m 2＋1＋1m 2＋1. 10分设m 2＋1＝t ，当t ≥1时，函数y ＝3t ＋1t单调递增， 所以当t ＝1，即m ＝0时，S 取最大值6. 12分。