2020年全国1卷省份高考模拟理科数学分类---三角函数

2020年高考全国1卷省份高考模拟理科数学分类----三角函数一、选填问题：1.（2020深圳模拟）已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ③④C. ②③D. ①③【答案】D 【分析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解. 【详解】函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确；当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误； 当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题.2.（2020福建模拟）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A. 公元前2000年到公元元年 B. 公元前4000年到公元前2000年 C. 公元前6000年到公元前4000年 D. 早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯．0.4550.4570.461<<，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．3.（2020山西运城模拟）已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A.B.710C. D. 710-【答案】B 【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.4.（2020山西运城模拟）已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D. 函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数，所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ， 若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=， 而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 8383383122ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，故B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误.525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.5.（2020山西运城模拟）已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.【答案】)+∞ 【分析】设,===AB BC t AD m ，利用正弦定理，根据21sin 22ABCSt B ==，得到2sin 4t B =①，再利用余弦定理得2225cos 4t B t m =-②，①②平方相加得：24225164t t m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，转化为4224940162560t m t m -++= 有解问题求解.【详解】设,===AB BC t AD m ，所以21sin 22ABCSt B ==， 即2sin 4t B =① 由余弦定理得2222cos 22t tmt t B ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，即 2225cos 4t B t m =-②，①②平方相加得：24225164t t m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4224940162560t m t m -++= ， 令20t x =>，设 ()22494016256gx x m x m =-++，在()0,∞+上有解，所以 222224202020940162560999m m m g m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得49m ≥，即m ≥，故答案为：)+∞【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.是6.（2020福建泉州二模）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式:设ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =.若2sin sin 5C c A =，且()()40,a b c a b c +---+=则利用“三斜求积”公式可得ABC 的面积S =( )A.B. 2C. 4D.【答案】B 【分析】根据正弦定理可得5ac =，代入()()40,a b c a b c +---+=可得2226a c b +-=，再由三斜求体即可解答.【详解】因为2sin sin 5C c A =，由正弦定理得25c c a =，5ac =，又因为()2240a c b --+=，所以222246a c b ac +-=-=，代入2S ==.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理以及新定义，需熟记定理的内容，属于基础题.7.（2020福建泉州二模）如图，一个水轮的半径为6m ，水轮轴心O 距离水面的高度为3m ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P 从水中浮现时的起始(图中点P )开始计时，记()f t 为点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数，则下列结论正确的是( )A. ()39f =B. ()()71f =C. 若()6f t ≥，则[]212,512 N ()t k k k ∈++∈D. 不论t 为何值，()()()4f 8f t f t t ++++是定值 【答案】BD【解析】 【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心O 为坐标原点，x 轴和y 轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得OP 在()t s 内所转过的角度为t ，则66POx t ππ∠=-.则点P 的纵坐标为6sin 66y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点P 距离水面的高度关于时间()t s 的函数()6sin 366f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；()36sin 3326f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，选项A 错误；()16sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()776sin 3366f ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()()17f f =，选项B 正确；由()6f t ≥得，1sin 662t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭解得[]()212,612t k k k N ∈++∈，选项C 错误；由()()()37486sin()36sin 36sin 3666666f t f t f t t t t ππππππ⎛⎫⎛⎫++++=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开整理得()()()489f t f t f t ++++=为定值，选项D 正确；故答案为：BD.【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题.8.（2020江西南昌市模拟）台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）cm cmC. 50cmcm【答案】D 【分析】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长. 【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+()350sin 40sin 6030sin 40sin 22ααααα⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--()350cos 30cos 40cos 6040cos 22ααααα⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭因为AB CB =，则3340sin 40cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理化简得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，得sin α=，cos α=3340sin 4022AB αα⎛⎫⎛∴==⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝即该正方形的边长为. 故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题. 9.（2020江西南昌市模拟）已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）B.C. -12D.12【答案】C 【分析】设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫=⎪⎝⎭得*2,,26k n k Z n N ππφπ=+-⋅∈∈，又03πφ<<，则可求出122n k -=，进而可得()12f π-.【详解】解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，所以,nT n N π*=∈，所以*2,T n nππω==∈N ，所以*2,n n ω=∈N ，又112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,26k n k Z n N ππφπ∴=+-⋅∈∈，因为03πφ<<，02263k n ππππ∴<+-⋅<，整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，122n k ∴-=，()2212266k k πππφπ∴=+-+⋅=，则2662n k ππππ⋅+=+，263n k πππ∴=+ 所以()sin 212126sin 66f n n πππππ⎛⎫--- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎭1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 10.（2020江西赣州模拟）如图所示，直线12//l l ，点A 是1l 、2l 之间的一定点，并且点A 到1l 、2l 的距离分别为2、4，过点A 且夹角为3π的两条射线分别与1l 、2l 相交于B 、C 两点，则ABC 面积的最小值是（ ）A.B.C.D. 【答案】C【分析】设AB 与垂线的夹角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，用θ表示,AB AC ，则ABC 的面积1sin 23S AB AC π=⋅，根据两角差的余弦公式和辅助角公式可求面积的最小值.【详解】设AB 与垂线的夹角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2cos AB θ=，42cos 3AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴面积1sin 23cos cos 2sin 2136S AB AC πθθθ=⋅===--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当262ππθ-=，即当3πθ=时，面积最小，最小值是故选：C .【点睛】本题考查三角形面积公式、两角差的余弦公式和辅助角公式，属于中档题. 11.（2020江西赣州模拟）设向量()2cos ,sin a θθ=，向量()1,6b =-，且0a b ⋅=，则2cos 3sin cos 3sin θθθθ++等于______. 【答案】32【分析】由0a b ⋅=，得1tan 3θ=.又2cos 3sin 23tan cos 3sin 13tan θθθθθθ++=++，把1tan 3θ=代入即得答案.【详解】0a b ⋅=，2cos 6sin 0θθ∴-=，1tan 3θ∴=.2cos 3sin 23tan 213cos 3sin 13tan 211θθθθθθ+++∴==+=++.故答案为：32.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查三角函数式的求值，属于基础题.12.（2020湖南师大附中模拟）已知α为锐角，且()cos 11α+︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α︒=可得cos 1α=，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒， 所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒，又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.（2020湖南师大附中模拟）若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．14.（2020湖南长郡中学模拟）已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A12πB.2πC.3π D.512π 【答案】D【分析】由题可知22T π= 从而求出,T ω 再将最小值代入解析式求出ϕ 从而得到()f x 进而根据平移变换得到平移后的解析式 再利用奇偶性求出m 即可得出结论.【详解】因为()cos()f x x =+ωϕ两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π所以22T T ππ=⇒=所以22T πω== 即()cos(2)f x x ϕ=+，又当23x π=时 函数()f x 取得最小值 所以24()cos()133f ππϕ=+=- 则42()2()33k k Z k k Z ππϕππϕπ+=+∈⇒=-+∈ 又||2ϕπ< 所以3πϕ=- 所以()cos(2)3f x x π=-设将()f x 的图象向左平移m 个单位得到()g x 则()cos(22)3g x x m π=+- 因为()g x 是一个奇函数所以2(21)()32m k k Z ππ-=-∈ 即()212k m k Z ππ=-∈ 所以当1k =时 m 的最小正值是512π故选:D.【点睛】本题综合考查了三角函数的图象性质及平移变换 需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用 属于中档题.15.（2020湖北宜昌市模拟）已知函数()sin f x x x =，下列命题：①()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()f x 的最大值为2；③()f x 的最小正周期为2π；④()f x 在区间()0,π上递增.其中正确命题的个数是（ ）.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【分析】把函数化为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质判断．【详解】1()sin2(sin cos)2sin()223f x x x x x xπ=-=-=-，()03fπ=，①正确；最大值是2，②正确；周期为2π，③错；函数在5(0,)6π上递增，在5(,)6ππ上递减，④错．正确的命题有2个．故选：C．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时必须把函数化为一个角的一个三角函数形式，掌握正弦函数性质是解题关键．16.（2020湖北武汉市模拟）已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3π+），则f（x）的最小值为（）A.12B.14C.4D.2【答案】A【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos223f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x3π+）=21cos21cos2322xxπ⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos2111cos22223xxπ⎛⎛⎫-=-+⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]cos21,13xπ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭，所以f（x）的最小值为12.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17.（2020湖北武汉市模拟）.根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．【答案】9.14h.【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．若在点C处受到热带风暴的影响，则A C ＝450，则有22AD DC +=450，即22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450；两边平方并化简、整理求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 即22AD DC +=450，即22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣202t +175＝0 ∴t 1025=+或1025-，1024159.≈-所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.（2020河南郑州市模拟）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A. 78-B.78 C. 18-D.18【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到2cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()222cos sin sin cos cos sin 44ππαααα-=-所以()()()22cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=-，,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭， 所以2cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=-，故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；19.（2020河南南阳市模拟）方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】C【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案.【详解】2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--，画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于428⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.20.（2020河南省理科模拟）已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min3x x π-=现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A【分析】根据12min3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-， 因为12min3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=， 则()2123x x πω-=，即可求得2ω=.此时()()2sin 21f x x ϕ=++， 向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 解得26k πϕπ=+.当0k =时，6π=ϕ.故选：A . 【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.21.（2020河北保定市理科模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若ABC ∆外接圆的半径为1，则b =（ ）A.32B. 2【答案】C【分析】由等差中项的定义得2cos cos cos b B a C c A =+，由正弦定理化角计算得3B π=，再由正弦定理得2sin b r B =算出结果.【详解】在ABC ∆中，cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即()12sin cos sin sin ,cos 2B B AC B B =+=∴=，则3B π=，又ABC ∆外接圆的半径为1，2sin b r B ∴==故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，等差中项的定义. 22.（2020河北保定市理科模拟）设函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中(0,)ϕπ∈，则ϕ=____【答案】6π； 【分析】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，而sin y x =是奇函数，故sin 3y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πϕ为偶函数，再利用其对称轴为0x =，即可得到答案．【详解】因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，而sin y x =是奇函数， 故sin 3y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πϕ为偶函数，所以,32ππφk πk Z +=+∈，又(0,)ϕπ∈，所以6π=ϕ． 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查利用奇偶性求参数值，同时考查函数奇偶性的运算性质． 23.（2020河北保定市理科模拟）.Rt ABC ∆中，2A π∠=，6BC =，以BC 的中点为圆心，以1为半径的圆，分别交BC 于点P 、Q ，则2222||||||||AB AP AQ AC +++=________.【答案】56 【分析】设BC 的中点为圆心O ，利用余弦定理求出22,AP AQ 结合AOP AOQ π∠+∠=，222AB AC BC +=，即可求2222||||||||AB AP AQ AC +++的值.【详解】设BC 的中点为圆心O ，由题得，3,1OA OP OQ ===， 在AOP ∆中，由余弦定理得，2222cos 106cos AP OA OP OA OP AOP AOP =+-⋅⋅∠=-∠，在AOQ ∆中，由余弦定理得，2222cos 106cos AQ OA OQ OA OQ AOQ AOQ =+-⋅⋅∠=-∠，又AOP AOQ π∠+∠=，cos cos 0AOP AOQ ∠+∠=， 又222AB AC BC +=，22222225||||||||||||6AB AP AQ AC AP AQ BC ∴=+++=++.故答案为：56【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，勾股定理，考查了学生的运算求解能力. 24.（2020厦门市理科模拟）关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的最大值为2；④()f x 的周期为2π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①④C. ①③④D. ②③④【答案】B 【分析】对①，根据偶函数定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项. 【详解】对①，函数的定义域为R 关于原点对称，且()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故①正确；对②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =+，则'()cos sin f x x x =-，'()0f x ≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不恒成立，∴()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数错误，故②错误； 对③，若()f x 的最大值为2，则cos 1,sin 1x x ==，显然不可能同时取到，故③错误； 利用排除法，可选排除选项ACD. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意排除法的运用.25.（2020安徽淮北市理科模拟）关于函数22()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值 B. 函数()f x 以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C. 函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D. 将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+的【答案】AB 【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质和绝对值的性质逐一判断即可. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =-+=+.A ：()cos2()1cos21()f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为π.当()2k x k Z π=∈时，()cos 21cos 1222k k f k πππ=+=+=，所以函数()f x 在()2k x k Z π=∈处取得最大值，故本选项是正确的； B ：()cos 2()1cos 21()22f x x x f x ππ+=++=+=，所以函数()f x 的周期为2π.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos21cos21f x x x =+=-+，故函数是单调递增函数，因此本选项是正确的；C ：()cos[2()]1cos2+1=()f x x x f x -=-+=，所以函数是偶函数，由上分析，函数在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减是不正确的，故本选项是错误的；D ：将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos[2(1)]|1cos(22)1g x x x =-+=-+，故本选项是错误, 故选：AB【点睛】本题考查了余弦型函数的性质，考查了二倍角的余弦公式，考查了绝对值的性质，考查了余弦的诱导公式.26.（2020安徽淮北市理科模拟）已知锐角α满足sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A. B. -C. D.【答案】B 【分析】根据正弦的诱导公式化简等式，再利用同角的三角函数关系式，求出tan α的值，最后利用二倍角的正切公式求值即可.【详解】sin cos 2παα⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，因为α是锐角，所以有2sin 2tan sin tan tan 23cos 1tan ααααααα==⇒====--故选：B【点睛】本题考查了正弦诱导公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式. 27.（2020安徽合肥市理科模拟）若函数()sin 2f x x =的图象向右平移116π个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法正确的是（ ） A. ()g x 的图象关于12x π=-对称B. ()g x 在[]0π，上有2个零点C. ()g x 在区间5 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D. ()g x 在 02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】求出()g x 的解析式，并整理后，根据正弦函数性质判断．【详解】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633g x x x x πππ=-=-=+， 1()sin()12632g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π=-不是对称轴，A 错；由()sin(2)03g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=-，其中5,36ππ是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,)312ππ是递减，在75(,)126ππ上递增，C 错；[,0]2x π∈-时，22[,]333x πππ+∈-，()[g x ∈-，D 错．故选：B ．【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查三角函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键．28.（2020河北省理科模拟）函数f （x ）=12（x 2+cos x ﹣|x 2﹣cos x |）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．将函数化为分段函数的形式，再结合选项直接判断即可． 因为f(x)=12(x 2+cosx −|x 2−cosx|)={cosx ，x 2≥cosx x 2，x 2＜cosx ，故选：B ．本题考查函数的图象，考查识图能力与推理论证能力，属于基础题． 29.（2020河北省理科模拟）已知函数f （x ）=√3sinπx ω+cosπx ω（ω＞0），如果存在实数x 0，使得对任意的实数x ，都有f （x 0﹣2020）≤f （x ）≤f （x 0）成立，则ω的最大值为（ ） A ．2020B ．4040C ．1010D ．20203利用辅助角公式对函数化解可得f （x ）=√3sin πx ω+cosπxω=2sin （πωx +π6），由对任意的实数x ，都有f （x 0﹣2020）≤f （x ）≤f （x 0）成立可得，两端点值分别为函数的最小值和最大值，要使得ω 最大，只要周期T =2ππω=2ω最大，当T 2=2020，周期最大，代入可求得结果．利用辅助角公式对函数化解可得f （x ）=√3sin πx ω+cosπxω=2sin （πωx +π6）， 由对任意的实数x ，对任意的实数x ，都有f （x 0﹣2020）≤f （x ）≤f （x 0）成立； 可得f （x 0），f （x 0﹣2020），分别为函数的最大值和最小值， 要使得ω最大，只要周期T =2ππω=2ω最大，当T 2=2020即T ＝4040＝2ω，周期最大，此时ω＝2020；故选：A ．本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周期公式的应用，解题的关键是根据条件求得函数的最小值和最大值，属于中档题．30.（2020华南师大附中理科模拟）△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝60°，则当△ABC有两个解时，x的取值范围是（）A．x＞B．x＜2或x＞C．x＜2D．2＜x＜【分析】根据三角形有两个解的条件列出不等式，求出x的范围．【解答】解：当△ABC有两个解时，有a sin B＜b＜a，∵a＝x，b＝2，∠B＝60°，∴x sin60°＜2＜x，解得2＜x＜，故选：D．【点评】本题考查了已知两边和其中一边的对角时，三角形解的个数对应的条件应用，属于中档题．31.（2020华南师大附中理科模拟）函数在1＜x＜7上的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于点B、C两点，则＝（）A．B．C．32D．【分析】求出A的坐标，结合三角函数的对称性得到B，C关于点A对称，利用向量加法以及向量数量积进行计算即可．【解答】解：由f（x）＝2sin（x+）＝0可得x+＝kπ，∴x＝6k﹣2，k∈Z∵1＜x＜7∴x＝1即A（4，0），过点A的直线l与函数的图象交于点B、C两点，则B，C关于点A对称，则A是B，C的中点，则＝2＝2||2＝2×4×4＝32，故选：C．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，利用数形结合以及向量中点公式进行转化是解决本题的关键．32.（2020华南师大附中理科模拟）已知函数的图象在区间上有且只有9个交点，记为（x i，y i）（i＝1，2，…，9），则＝（）A．B．8C．D．【分析】直接利用三角函数的关系式求出函数的对称中心，进一步求出函数的值．【解答】解：由，可知g（x）的图象关于点对称，由，可得，所以f（x）的图象关于点对称，所以＝，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．33.（2020华南师大附中理科模拟）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是f（x）＝2sin（2x﹣）．【分析】由图象可知A＝2，可求周期T，利用周期公式可求ω，从而可求f（x）＝2sin（2x+φ），代入点（，2），结合范围|φ|＜，可求φ，即可得解解析式．【解答】（本小题12分）解：（1）由图象可知，A＝2，周期T＝[﹣（﹣）]＝π，∴＝π，ω＞0，则ω＝2，…（3分）从而f （x ）＝2sin （2x +φ），代入点（，2），得sin （+φ）＝1，则+φ＝+2k π，k ∈Z ，即φ＝﹣+2k π，k ∈Z ，又|φ|＜，则φ＝﹣，∴f （x ）＝2sin （2x ﹣），…（6分）故答案为：f （x ）＝2sin （2x ﹣）． 【点评】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．二、解答题部分：34.（2020深圳模拟）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =. （1）求证：03B π<≤；（2）求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(【分析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题. 35.（2020福建模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=.（1）若sin 3C =，求B ； （2）若D 为AC 中点，且BD BC =，求a b. 【答案】（1）6π；（212. 【分析】（1）直接利用已知条件结合余弦定理，得出cos c B b =，再利用正弦定理得tan 3B =，即可求出结果；（2）已知BD BC =，则BD a =，在ABD ∆和BCD ∆中，BD a =，由余弦定理可得出cos ADB ∠和cos CDB ∠，由于cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，化简得2222b c a =+，再结合题给条件即可算出a b. 【详解】（1）由余弦定理得，2222cos c a b ac B +-=， 又2222c a b ab +-=，所以2cos 2ac B ab =，即cos c B b =，由正弦定理得，sin cos sin C B B =，显然cos 0B ≠，所以tan sin B C =，因为sin 3C =，所以tan 3B =，又因为0B π<<，所以6B π=.（2）如图所示：在ABD ∆和BCD ∆中，BD a =，由余弦定理可得2222222cos 222b a c BD AD AB ADB b BD AD a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∠==⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 2222222cos 222b a a BD CD BC CDB b BD CD a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∠==⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 因cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，所以2222b c a =+，又因为2222c a b ab +-=，所以22440a ab b --=，即24410a a b b ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，解得a b =因为0a >，0b >，所以12a b +=. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．36.（2020福建泉州模拟）如图，已知在平面四边形ABCD 中，,CAB a ABC ACB βγ∠=∠=∠=,，且()()2cos sina sin sin cosa cos γβγβ+=--.（1）证明:2CA CB AB +=；（2）若21CA CB DA DC ===,，求四边形ABCD 的面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）81616⎛+ ⎦⎝. 【分析】（1）根据题意可得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，然后再利用两角和的正弦公式的逆应用可得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=，从而可得sin sin 2sin βαγ+=，再利用正弦定理即可求解. （2）由（1）可得ABC ∆为是等边三角形，设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，利用三角形的面积公式可得21sin 4ABCD S ϕ=，在ADC 中，由余弦定理求出AC ，然后利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由cos (sin sin )sin (2cos cos )γαβγαβ+=--得 cos sin cos sin 2sin sin cos sin cos γαγβγγαγβ+=--.整理得()()cos sin sin cos cos sin sin cos 2sin γαγαγβγβγ+++=，即得()()sin sin 2sin αγβγγ+++=. 因为在ABC 中，αβγπ++=，所以()()()sin sin sin ,sin sin αγπβββγα+=-=+=， 所以sin sin 2sin βαγ+=.由正弦定理得2CA CB AB +=.（2）因为CA CB =，2CA CB AB +=，所以CA CB AB ==,ABC 为是等边三角形.设(),0,ADC ϕϕπ∠=∈，则ABCD ACD ABC S S S =+△△211sin sin 6022DA DC AC ϕ=⋅⋅+ﾟ21sin 4AC ϕ=+ 在ADC 中，由余弦定理得22252cos cos 4AC DA DC DA DC ADC ϕ=+-⋅∠=-.15sin cos 44ABCD S ϕϕ⎫=-⎪⎝⎭()1sin 4ϕϕ=+1sin 23πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ 因为0ϕπ<<，所以2333πππϕ-<-<，所以sin 13πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，得11sin 232πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.1sin 23πϕ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭.因此，四边形ABCD 面积的取值范围为⎦⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于中档题.37.如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．（Ⅰ）若θ=6π，求sin sin A C的值；（Ⅱ）若BC =4，AB ，求边AC 的长．【答案】（Ⅰ）sin sin 3A C =；（Ⅱ）AC =【分析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理sin sin AB BCC A=，可得结果. （Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅所以sinsin 3BC A AB C =⇒==；（Ⅱ）11sin 22sin 22BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=，所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以21682440AC ⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭，所以边AC =【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.38.（2020江西赣州模拟）已知点O 是ABC 的外接圆的圆心，3AB =，AC =4BAC π∠=.（1）求外接圆O 的面积.（2）求BO BC ⋅ 【答案】（1）52π；（2）52. 【分析】（1）根据余弦定理求出BC .设外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sin BCr BAC=∠，即求外接圆O 的面积；（2）设BC 的中点为E ，则EO BC ⊥，则()BO BC BE EO BC ⋅=+⋅，即可求出数量积. 【详解】（1）由余弦定理得(222222cos323542BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，BC ∴=设外接圆的半径为r，由正弦定理得2sin BCr BAC===∠所以外接圆的面积为2252S r πππ===⎝⎭. （2）设BC 的中点为E ，则EO BC ⊥，()21522BO BC BE EO BC BE BC EO BC BC ∴⋅=+⋅=⋅+⋅==.【点睛】本题考查正、余弦定理和向量的数量积，属于基础题.39.（2020湖南师大附中模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+.（1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或5+ 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长．。