苏科版-数学-八年级上册八上3.1勾股定理 参考学案

苏科版数学八年级上册3.1《勾股定理》教学设计2一. 教材分析《勾股定理》是苏科版数学八年级上册3.1节的内容，本节课的主要内容是让学生通过探究、发现、验证勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

教材通过丰富的情境和实例，引导学生自主探究，发现并证明勾股定理，让学生感受数学的趣味性和实用性。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识，具备了一定的观察、操作、推理能力。

但勾股定理的证明较为复杂，需要学生在探究过程中克服困难，发现规律。

此外，学生对数学史的了解较少，需要在教学中加以补充。

三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和意义。

2.掌握勾股定理的证明方法。

3.能够运用勾股定理解决实际问题。

4.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

5.感受数学的趣味性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明方法。

2.难点：学生自主探究、发现并证明勾股定理的过程。

五. 教学方法1.引导探究法：引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探究勾股定理。

2.情境教学法：通过丰富的情境和实例，让学生感受数学的趣味性和实用性。

3.讲授法：讲解勾股定理的定义、意义和证明方法。

4.小组合作学习法：学生分组讨论，共同完成探究任务。

六. 教学准备1.准备相关的情境和实例，用于引导学生自主探究。

2.准备勾股定理的证明方法，用于讲解和展示。

3.准备课堂练习题，用于巩固所学知识。

4.准备拓展任务，用于提高学生的应用能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用情境和实例，引导学生思考直角三角形的特点，引出勾股定理的概念。

2.呈现（10分钟）展示勾股定理的证明方法，引导学生观察、操作、推理，发现并证明勾股定理。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成探究任务，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）讲解勾股定理的定义、意义和应用，让学生理解并掌握勾股定理。

5.拓展（10分钟）布置拓展任务，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。

课题：3.1勾股定理 第 1 课时【学习目标】1．知识目标：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用2．能力目标：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.3．情感态度价值观：通过对勾股定理历史的了解，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.【学习重难点】 重点：探索勾股定理难点：利用数形结合的方法验证勾股定理 【学习过程】一、预习导学环节动手操作：剪4个全等的直角三角形，你能不能用它们围成一个正方形呢？观察你拼的图思考:（1）大正方形面积怎么求？（2）如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，大正方形面积又如何求？ （3）你有什么发现？二、课堂助学环节 1. 导入：1.归纳：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．那么．公式变形：练习1.求下列图形中未知正方形的面积a b c 222c b a =+弦股勾100DCB A2．求下列直角三角形中未知边的长度：3、一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )A.3 米B.4 米C.5米D.6米2. 整体感知：例1、 如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD∠︒=90DBC 12,4,3===BC AB AD ，求CD .3.合作探究：例2. 受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高?4.质疑解疑：如图，设小方格的面积是1，画出图中以格点为端点 且长度为5的线段。

512178_x_9 _ 10三、当堂检测： 1、判断题(1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （ ） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ）2、填空: 在Rt ΔABC 中,∠C=900. ①若a=6,c=10 ,则b=____; ②若a:b=3:4,c=10,则a=____,b=____; ③若a=6,b=8,则斜边c 上的高h=______.3、选择：若直角三角形的三边为6、8、x ，则x 的长为 （ ）A.6B.8C.10D.以上答案均不对4、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?四、课后作业1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25B 、14C 、7D 、7或252.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 23.一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里4.在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

（最短路径四种常见模型）【学习目标】 1．掌握如何求长（正）方体中的最短路径2．掌握如何求圆柱中的最短路径3．掌握如何求阶梯的最短路径4. 掌握如何求U 型滑道的最短路径【典型例题】类型一、长（正）方体中的最短路径【例1】如图，一长方体木块长6AB =，宽5BC =，高1BB 2=， 一直蚂蚁从木块点A 处，沿木块表面爬行到点1C 位置最短路径的长度为（ ）举一反三：【变式1】如图，正方体的棱长为2cm ，点B 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）A ．√10cmB ．4cmC ．√17cmD ．5cm【变式2】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．若AB =3，BC =4，CC 1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．√74B ．3√10C ．√89D ．12【变式3】棱长分别为5cm ，3cm 两个正方体如图放置，点P 在E 1F 1上，且E 1P =13E 1F 1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．【变式4】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm 的正方形，高为20cm ；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）类型二、圆柱中的最短距离【例2】如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4√3B．2√3C．3√5D．6√2举一反三：【变式1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（）m．A．8 B．5 C．20 D．10【变式2】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）（杯壁厚度不计）【变式3】如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高12AB=，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)见将圆柱侧面沿的开，所得的圆针侧面展开图是___________．(2)求该金属丝的长．【变式4】如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿A→C→B爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（π取3）(1)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，4(2)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，1(3)当R与h满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？类型三、阶梯的最短距离【例3】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．举一反三：【变式1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【变式2】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【变式3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【变式4】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？类型四、U型池的最短距离【例4】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）A．28m B．24m C．20m D．18m举一反三：【变式1】如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆，其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）。

八年级数学“学讲课堂”教学案
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4
2
2
4
6
8
（每一个小正方形的边长记作“1”）
R
Q
P
度量4
3结论
12B
C
A
教师活动内容
学生活动内容
4．肯定学生的研究成果，进而让学生打开书回顾课本上的提示．从小明、小丽的方法中你能得到什么启发
5．再给出直角边为5和3的直角三角形（图9），让学生计算分别以三边作为边所作的正方形面积
6．通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们自己总结结论。

直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．
R
Q
P
A
C
B
R
Q
P
A
C
B
(图5)
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B。

勾股定理 （2）教案1一、教学目的1．使学生掌握勾股定理及其证明。

2．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育。

二、教学重点、难点重点；勾股定理的证明和应用。

难点：勾股定理的证明。

三、教学过程引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。

人们还发现，在直角三角形中勾为6，股为8，弦必为10；勾为5，股为12，弦必为13，……。

而32+42=52，62+82=102，52+122=132，……即勾2+股2=弦2。

是否所有直角三角形都有这种性质呢？事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国把它称为“勾股定理”，现在我们就来学习这个定理。

新课勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

即a 2+b 2=c 2。

对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。

根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。

a b b aa a c a a ba c cbb c b b b c c aa b a b图 1-104（1）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是a+b ，则面积相等。

再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。

（2）分别写出左、右两个正方形的面积： 在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为22214b a ab ++⨯。

右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为2214c ab +⨯。

（3）左、右两个正方形面积相等，即ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， ∴ 222c b a =+。

（4）勾股定理的变形。

今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：222b c a -=或222a c b -=，从而可知，在Rt △中已知两边可求出第三边。

凤凰初中数学配套教学软件_教学设计第 1 页共 6 页2019-7-20数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）作者：李贺（徐州高级中学）3.1勾股定理（1）目标1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力．2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．重点勾股定理的探索过程．难点将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．教学过程（教师）学生活动设计境提出问题们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．学生思考，回答问题．这是对的不等关系生从原有的发，揭示这节源，符合学理，也自然地的目标，让学一般性的问时，可以先将化为特殊问索猜想归纳么方法来探求？经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．学生讨论．从学生经验出发，将间的关系转积之间的关得解决今天并不陌生，增8x（图1）。

勾股定理一．教学内容：本节课是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第二章第一节勾股定理。

二．教学目标：（1）.知识目标掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．能根据一已知边和另两未知边的数量关系通过方程求未知两边。

（2）.能力目标通过探索勾股定理的过程，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力，操作探究能力。

（3）.情感目标通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．通过定理的探索，培养学生的探索精神和和合作交流的能力。

教学重点：（1）、引导学生探索发现勾股定理。

（2）、验证勾股定理的方法。

教学难点：用形数结合的方法验证勾股定理及面积证法。

三、教学方法（1）、教师教法：引导发现、尝试指导、实验探究相结合。

（2）、学生学法：积极参与、动手动脑与主动发现相结合。

四、教学过程：（一）、创设情境，激发兴趣师：在春暖花开的季节里，我们都有与朋友一起徜徉在美丽的花园中的生活体验，大家都一定都喜欢花草树木吧！下面请跟着老师一起走进我们的校园。

（多媒体展示校园风光并老师介绍各种树木，）同样，数学中也有两棵美丽的树，称之为勾股树，你发现这两棵勾股树有什么特征？图1 图2生1：都是由正方形与直角三角形构成的。

师： 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，图3是本届大会的会徽。

图4是三国时期赵爽为《周脾算经》作注时给出的“弦图”你能看出会标与弦图之间的什么关系吗？图3 图4生2：这两个图案差不多，我觉得这两个图都是由一个大正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形。

（学生十分投入，热情高涨）师：本节课我们一起解读弦图的奥秘（二）实践探索猜想归纳师：1955年希腊为纪念一位数学家而发行了一枚纪念邮票，如图5，看一看有哪些发现？图5生1：三个正方形围成了一个直角形。

生2：两个小正方形里的小方格分别有9个和16个，大正方形里有小方格25个。

B C A D 勾股定理的应用教学案（1）学习目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形。

2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。

会用开平方及开立方运算求式子中的x 的值。

学习重点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用 学习难点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用学习过程一、知识梳理 1、勾股定理的内容 ______________________________________________。

2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边（∠C ＝900）。

①c 2＝a 2＋b 2；②a 2＝c 2－b 2；③b 2＝c 2－a 2。

3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：___________________________。

（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果____________等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

也称二次方根，也就是说，如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。

记作：________.5、平方根的性质：①一个正数有_________个平方根，它们互为________；②0的平方根是______，记作0 ；③_________没有平方根。

6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。

规定：0的算式平方根是0。

公式：( a )2＝___ (a ≥0)，a 2 ＝____ (a ≥0) ， a 2 ＝_______(a ≤0)。

8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作______读作“三次根号a ”。

新苏科版八年级数学上册： 3.1 勾股定理（1） 学案【学习目标】 基本目标：1．探索直角三角形三边的关系，并能依据勾股定理求直角三角形中未知边的长.2．能利用度量与计算的方法验证勾股定理的正确性，在史料的介绍中感受勾股定理的悠久历史.提高目标：探索直角三角形的三边关系会用面积法推导勾股定理 【重点难点】重点：勾股定理的探索过程．难点：将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．【预习导航】1.观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： 正方形P 的面积S P ＝________________平方厘米； 正方形Q 的面积S Q ＝________________平方厘米. 正方形R 的面积S R ＝________________平方厘米.（请写出求正方形R 面积的过程，如需要辅助线请在图上用红笔画出） 问题：如何求S R 的面积，说说你的想法；我们发现，正方形S P 、S Q 、S R 的面积之间的关系是______ ________； AB 2、AC 2、BC 2的关系是 。

2. 求下列直角三角形中未知边的长.x x817【课堂导学】活动一：⑴1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案 是根据一个著名的数学定理设计的．观察这枚邮票上的图 案和图案中小方格的个数， 你有哪些发现？⑵分别以图中的直角三角形三边为边向形外作 正方形，分别求这三个正方形的面积？⑶这三个正方形面积之间是否存在什么样的数量关系，如果存在，那么它们的关系是什么？ ⑷取方格纸片，在上面先设计任意格点直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形 外作正方形，如图，设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为a 、b ， 斜边为c ，观察并计算每个正方形的面积，以四人小组为单位填写下表：结论：. 勾股定理：______________________________________. 我们把这个关系称为符号语言：（如右图）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴ 或强调：式子a2＋b2＝c2成立的条件是： . 例题例1 在直角三角形ABC 中，∠C=90° （1）若a=3，b=4，则c= ; （2）已知c ＝17，b ＝15，求a= ；a bcAC（3）若c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。