江苏省一轮复习数学试题选编：双曲线学生 含答案

第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义 平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳： 离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题1 ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为且右焦点与抛物线2y =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.【答案】 1222=-y x2 ．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为____.【答案】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 即244=0m m -+,解得=2m . 3 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.【答案】04 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB =,则直线的斜率为_____.【答案】12±5 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,,则该双曲线的标准方程为________.【答案】答案:221520y x -=.本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申6 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.【答案】1222=+y x7 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ,过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ,C 两点,若ABC ∆为直角三角形,则双曲线E 的离心率为_________.【答案】28 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点,且12PF F 的面积为6,则点P 的坐标为___________【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,5569 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆2212x y +=有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________.【答案】22221x y -=10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____. 【答案】(1,5)-;11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_____.【答案】3512．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点,,A F 分别是双曲线左顶点和坐焦点,若双曲线的离心率为2,则AB 与1B F 夹角的余弦值为______.713．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）若双曲线221(0)yx a a-=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于3,则此双曲线方程为______.【答案】2213y x -= 14．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率的值为______.515．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为__________.【答案】2213664x y -= 16．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为______.【答案】35; 17．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为__________.118．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知对称轴为坐标轴且焦点在x 轴上的双曲线,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的方程为________________________.【答案】2214y x -= 19．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,点F是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,延长FA 与另一条渐近线交于点B .若FB →=2FA →,则双曲线的离心率为________.【答案】220．（2010年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,双曲线112422=-y x 上一点M,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 【答案】421．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2= 4x 的准线交于A 、B 两点,AB =3,则C 的实轴长为______.【答案】1;22．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点,且经过点)2,则该椭圆的离心率为____.23．（2013江苏高考数学）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】解析:本题主要考察双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线的求法,把1改成0得02222=-b y a x∴双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线的方程为x a by ±=∴双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为x y 43±=。

1．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x.答案：y ＝±34x2．(2016·惠州一调改编)双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线定义易知c 2＝5. 答案：2 53．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2，0)到其渐近线距离为25＝255.答案：2554．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________．解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x.答案：y ＝±12x5．(2016·江苏省模拟考试)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e 为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx±ay ＝0，它的右焦点为(c ，0)，从而右焦点到渐近线的距离为d ＝|bc|a 2＋b2＝b ＝a ＋c 2，即2c 2－a 2＝a ＋c ，故3c 2－2ac －5a 2＝0，从而3e 2－2e －5＝0，解得e ＝53或－1(舍去)．答案：536．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．解析：因为e ＝2，所以e 2＝2，即c 2a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2a 2＝1, 即ba＝1，所以一条渐近线与实轴所成锐角的值是π4.答案：π47．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，又PF 1＋PF 2＝3b ，所以(PF 1＋PF 2)2－(PF 1－PF 2)2＝9b 2－4a 2，即4PF 1·PF 2＝9b 2－4a 2，又4PF 1·PF 2＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2－9b a －4＝0，则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫ba ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53. 答案：538．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝4PF 2，得⎩⎨⎧PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，由余弦定理得cos θ＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，－1≤178－98e 2<1，又e>1，所以1<e≤53.答案：539．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a×4a×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：710．从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO －MT 与b －a 的大小关系为________．解析：设F 1是双曲线的右焦点，连结PF 1， 由双曲线的定义知PF －PF 1＝2a ，①因为OM 是△FF 1P 的中位线，所以PF 1＝2OM.② 又M 是FP 的中点，所以PF ＝2MF.③②③代入①得2MF －2OM ＝2a ，MF －OM ＝a.④ 因为MF ＝MT ＋TF ，FT 2＝OF 2－OT 2＝c 2－a 2， 所以FT ＝b. 所以MF ＝MT ＋b.⑤把⑤代入④得MT ＋b －OM ＝a ， 所以OM －MT ＝b －a. 答案：OM －MT ＝b －a11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，所以一条渐近线方程为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0.所以|bc|b 2＋12＝3，解得b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. 所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．(2016·南通模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， 所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为2.1．(2016·日照模拟)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F 2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P 和Q ，且△F 1PQ 为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．解析：设F 2(c ，0)(c>0)，P(c ，y 0)， 代入双曲线方程得y 0＝±b 2a ，因为PQ ⊥x 轴，所以PQ ＝2b 2a .在Rt △F 1F 2P 中，∠PF 1F 2＝30°， 所以F 1F 2＝3PF 2，即2c ＝3·b 2a.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝2a 2或2a 2＝－3b 2(舍去)． 因为a>0，b>0，所以ba＝ 2.故所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：y ＝±2x2．(2016·孝感调研)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P 与点F 1关于直线y ＝－bxa对称，则该双曲线的离心率为________． 解析：由题意过F 1(－c ，0)且垂直于y ＝－bx a 的直线方程为y ＝a b (x ＋c)，它与y ＝－bx a的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫c －2a 2c ，2abc ，因为点P 在双曲线上，所以⎝⎛⎭⎫c －2a 2c 2a 2－⎝⎛⎭⎫2ab c 2b 2＝1，因为a 2＋b 2＝c 2，可得c 2＝5a 2，所以c 2a 2＝5，所以e ＝ca＝ 5.答案： 53.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝F 1F 2AF 2－AF 1＝2c3c －c＝3＋1.答案：3＋14．(2016·苏州模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且PF 1＝λPF 2，则λ的值为________．解析：由题意得a ＝1，b ＝2，c ＝5，设OP →＋OF 2→＝OQ →，OQ ，PF 2相交于点M(如图所示)，则四边形OF 2QP 为平行四边形，又(OP →＋OF 2→)⊥F 2P →，即OQ ⊥F 2P ，因为M 为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以OQ ∥PF 1，所以PF 1⊥PF 2.由于PF 1－PF 2＝2a ＝2，PF 21＋PF 22＝(2c)2＝20，解得PF 1＝4，PF 2＝2，因此λ＝PF 1PF 2＝42＝2.答案：25．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a ，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1＝b （a －1）a 2＋b 2.同理得到点(－1，0)到直线l 的距离d 2＝b （a ＋1）a 2＋b 2.所以s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0. 解不等式得54≤e 2≤5.由于e ＞1，故e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5. 6．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连结BP 交椭圆于点M ，连结PA 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.所以椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，AB ＝10， 设M(x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)． 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎨⎧x 2025＋y 209＝1，（2x 0－5）225－4y209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．所以y 0＝332.由此可得M ⎝⎛⎭⎫－52，332，所以P(－10，33)．当P 为(－10，33)时， 直线PA 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0. 所以x ＝－52或－5(舍去)，所以x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．所以S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

8.7 双曲线1．(2020·衡水质检)对于实数m ，“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线，则(m －1)(m －2)<0，得1<m <2， 则“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件．2．(2019·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a 等于( )A. 6 B ．4 C ．2 D.12答案 D解析 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0<a <2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( ) A.233 B.263C. 3 D ．2 答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2ax ，由两条渐近线夹角为π3，0<a <2，可知其中一条渐近线的倾斜角为π3，∴2a＝3，∴a ＝63，c ＝a 2＋b 2＝263， ∴e ＝ca ＝26363＝2.5．(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若OP ＝OF ，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92 答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知OF ＝3，所以OP ＝OF ＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53， 所以S △OPF ＝12OF ·y 0＝12×3×53＝52.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S △＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ，所以OM ＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 AD解析 在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1， 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD.8．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( ) A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1 D ．△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析 等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确； 由双曲线的方程可知F 1F 2＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误； 点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上， 不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 由题意知b a＝1， ∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，点P 在双曲线C 上，且PF 1－PF 2＝3，则双曲线C 的焦距为________．答案 3 5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ，一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，可得b a＝2， 即b ＝2a ，由双曲线的定义可得2a ＝PF 1－PF 2＝3， 可得a ＝32，b ＝3，即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352， 即焦距为2c ＝3 5.11.如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析 设F 1F 2＝2c ，连接AF 1，∵△F 2AB 是等边三角形，且F 1F 2是⊙O 的直径， ∴∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ， 2a ＝3c －c ，e ＝c a＝23－1＝3＋1. 12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2)，使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析 设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0，i ＝1,2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，c a≥2，即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程都为y ＝±1ax (a >0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a >0，t >0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a2＝λ(a >0，λ>0)，所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ，e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1，所以e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)．15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE→＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.52 C.1＋32D. 5 答案 A解析 ∵OF ＝c ，OE ＝a ，OE ⊥EF ，∴EF ＝c 2－a 2＝b ， ∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，OP ＝OF ＝c ，PF ＝2b ，设F ′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为△PFF ′的中位线，则PF ′＝2OE ＝2a ，可设P 的坐标为(m ，n )， 则有n 2＝4cm ，由抛物线的定义可得PF ′＝m ＋c ＝2a ，m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又OP ＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )， 化简可得，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 由于e >1，解得e ＝5＋12. 16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．答案 (－2,26)解析 如图，由双曲线C 的方程可知a 2＝1，b 2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，∵AF＝32＋(66)2＝15，∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，∴PF＝PE＋2，又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，∴点P的坐标为(－2,26)．。

第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2。

答案C2．已知双曲线C:错误!－错误!＝1的焦距为10,点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析不妨设a>0，b〉0，c＝错误!。

据题意，2c＝10，∴c＝5。

①双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且P（2，1)在C的渐近线上，∴1＝错误!。

②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为( ）．A．－2 B．－错误!C．1 D．0解析设点P（x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0），F2（2,0）,则有错误!＝x2－1，y2＝3（x2－1），错误!·错误!＝（－1－x，－y)·(2－x，－y）＝(x＋1）（x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4错误!2－错误!,其中x≥1.因此，当x＝1时,错误!·错误!取得最小值－2，选A。

答案A4．过双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的左焦点F(－c,0）（c>0)作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P,若错误!＋错误!＝2错误!，则双曲线的离心率为（）．A。

2 B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设双曲线的右焦点为A，则错误!＝－错误!,故错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝2错误!，即OE＝错误!AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×错误!＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中,a2＋（3a）2＝(2c）2，即10a2＝4c2,所以e2＝错误!，即离心率为e＝错误!＝错误!，选C.答案C5．已知双曲线x24－错误!＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）．A. 5 B．4 2 C．3 D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为（3,0)，故双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为（3，0），即c＝3,故32＝4＋b2,∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为错误!＝错误!.答案A6．如图,已知点P为双曲线错误!－错误!＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为（)A.错误!B。

高考数学一轮复习 第9章 解析几何9．6双曲线练习（含解析）苏教版一、填空题1．(2012江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 2－x 2＝1的离心率为______．2．(2012江苏南通高三期末考试)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点，双曲线的两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与FA →同向，则双曲线的离心率e 的大小为__________．3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率等于__________．4．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→||MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是__________．5．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 与C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是__________．6．(2012江苏高考名校名师押题卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为______．7．在直角坐标系中，过双曲线x 2－y 29＝1的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝1的一条切线(切点为T )交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则OM －MT ＝__________.8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S ＝＋成立，则λ的值为__________．9．A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若 PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝__________.二、解答题 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．11.(2013届江苏南京月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF ＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积．12．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件 PM －PN ＝22，记动点P 的轨迹为W . (1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．参考答案一、填空题1. 2 解析：因为a ＝1，b ＝1，所以c ＝2.从而e ＝ 2.2.523. 2 解析：如图所示，在R t △OPF 中，OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形． 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a . 所以e ＝c a＝ 2.4.x 29－y 2＝1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→|＝t 2，则t 1t 2＝2.在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a . ∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1.5.10 解析：因为A (－1,0)，所以l 方程为y ＝x ＋1.与两条渐近线方程y ＝±bx 联立，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，b b ＋1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1. 又因为AB ＝BC ，所以B 是线段AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3.所以c 2＝a 2＋b 2＝12＋32＝10，e ＝ca＝10.6.233 解析：由于已知双曲线的离心率是2，即2＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，解得b a ＝ 3.所以b 2＋13a 的最小值是233，当a ＝33时，取等号． 7．2 解析：设双曲线右焦点为F ′，连结PF ′，则OM 是△PFF ′的中位线，所以OM＝12PF ′＝12(PF －2)．又OT ⊥PF ，OF ＝10，OT ＝1，所以FT ＝3，从而OM ＝12(2FM －2)＝FM －1＝3＋MT －1＝2＋MT ，所以OM －MT ＝2.8.a a 2＋b 2 解析：设△PF 1F 2内切圆半径为r ，根据已知可得12×PF 1×r ＝12×PF 2×r ＋λ2×2c ×r ，整理可得PF 1＝PF 2＋2λc ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，故2λc ＝2a ⇒λ＝ac＝a a 2＋b 2.9. 2 解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a 2＝1，又m 2a 2－n 2b2＝1可得b ＝a ，即此双曲线的离心率为e ＝ 2.二、解答题10．解：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以1MF k ＝m 3＋23，2MF k ＝m3－23，1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故1MF k 1·2MF k ＝－1，所以MF 1⊥MF 2. 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边F 1F 2＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则MF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222. 由点M 是双曲线右支上一点，得x ≥22，所以MF ＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎝ ⎛x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝OA ·|y |＝24.12．解：(1)由PM －PN ＝22＜MN 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长 b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k 2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.。

江苏省宿迁市高考数学一轮复习：50 双曲线姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·菏泽模拟) 已知抛物线的准线与双曲线为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）交于两点，点A.B.C.D.2. （2 分） (2018·吉林模拟) 已知双曲线 的离心率等于（ ）的一条渐近线为，则该双曲线A. B. C. D.3.（2 分）设双曲线 A. B.5的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）C.第 1 页 共 10 页D.4. （2 分） 设双曲线 （）A. B.2 C. D.（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 y = x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于5. （2 分） (2020·广州模拟) 已知 O 为坐标原点，设双曲线 ，点 P 是双曲线 上位于第一象限上的点，过点 作 ，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. D.2的左右焦点分别为 角平分线的垂线，垂足为 A，若6. （2 分） 设双曲线 A. B.的虚轴长为 2，焦距为 ， 则双曲线的渐近线方程为（ ）C. D.第 2 页 共 10 页7. （2 分） 两个正数 a,b 的等差中项是 ， 一个等比中项是 （）， 且 a>b,则双曲线A.的离心率为B. C.D.8. （2 分） (2018·全国Ⅲ卷文) 已知双曲线 的最近线的距离为（ ）A. B.的离心率为 ，则点到C. D.9. （2 分） (2017·长春模拟) 已知双曲线在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是的左、右焦点分别为 ， ，点 PA.B. C.D.第 3 页 共 10 页10. （2 分） 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线程为，则双曲线 的方程为（ ）与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方A.或B.或C.D.11. （2 分） 已知双曲线 双曲线 的方程为（ ）满足,且与椭圆有公共焦点，则A.B.C.D.12. （2 分） (2016 高二上·湖南期中) 双曲线 x2﹣ =1 位于第一象限内的点 P 到该双曲线的右焦点的距 离为 2，则由双曲线的两焦点及点 P 构成的三角形面积 S=（ ）A. B.4C.2 D.5第 4 页 共 10 页二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分） (2019 高二下·宝山期末) 若双曲线 的渐近线方程是________的一个焦点是，则该双曲线14. （1 分） (2016 高一上·舟山期末) 双曲线 C：y2﹣x2=m（m＞0）的渐近线方程为________15. （1 分） (2020·鄂尔多斯模拟) 双曲线 ：， 是 右支上的一点，与 轴交于点 ，若，则 的离心率为________.的左、右焦点分别为、的内切圆在边上的切点为 ，16. （1 分） 过双曲线 为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若的左焦点，作圆，则双曲线的离心率为________.的切线，切点17.（1 分）(2019·大连模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为、，上存在一点满足 程为________．，且 到坐标原点的距离等于双曲线 的虚轴长，则双曲线 的渐近线方三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)18. （5 分） (2018 高二上·浙江月考) (6’+9’)已知双曲线， 为 上的任意点。

核心素养测评五十一双曲线(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2C.离心率为D.渐近线方程为2x±3y=0【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,双曲线的方程为-=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;对于B,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则焦距为2,则B 错误;对于C,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则离心率为e==,则C错误;对于D,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x±3y=0,则D正确.2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则△PFO的面积为 ( )A. B. C.2 D.3【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,因为tan∠POF=得到PH=;所以S△PFO=××=.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则=( )A. B.3C.2 D.4【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,即y=±x,所以∠MON=.因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=,如图,则k MN=,所以直线MN方程为y=(x-2).联立解得所以N,即ON=,因为∠MON=,所以|MN|=3.4.(多选)(2020·某某新高考模拟)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是( )A.C的方程为-y2=1B.C的离心率为C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x-y-1=0与C有两个公共点【解析】选AC.对于选项A:(方法一)设所求双曲线方程为-=1,由所给条件知=,又双曲线C过点(3,),从而-=1,解得a=,b=1,c=2,所以选项A正确;(方法二)由已知y=±x,可得y2=x2,从而设所求双曲线方程为x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,),从而×32-()2=λ,即λ=1,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e===,所以B选项错误; 对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=e x-2-1,从而选项C正确;对于选项D:联立整理,得y2-2y+2=0,由Δ=(-2)2-4×2=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.5.(2020·某某模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2= ( )A. B. C.3 D.4【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t2-2stcos60°=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.双曲线+=1的焦距为________,焦点坐标为________.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)<0,解得9<k<25,故25-k>0,9-k<0,双曲线方程为-=1,由c2=a2+b2=(25-k)+(k-9)=16,即c=4,所以2c=8.焦点坐标为(±4,0).答案:8 (±4,0)7.设m>0,双曲线M:-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为________.【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为,由得5y2-2my+m2-1=0,由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,又m>0,解得m=,则5y2-2·y+-1=0,解得y=,即所求距离为.答案:8.已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值X围是________.【解析】由题意得A,B m,-2,所以=,=m,-2,因为△AOB是锐角三角形,所以∠AOB是锐角,即与的夹角为锐角,所以·>0,即m2-+4>0,解得-2<m<2.由过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点可知m<-或m>.故实数m的取值X围是(-2,-)∪(,2).答案:(-2,-)∪(,2)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·宿迁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A,B两点,求△F1AB的周长. 【解析】(1)由F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上,得c=,2a=|PF1|-|PF2|=-=2,所以a=1,则b2=c2-a2=1,所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.(2)双曲线的右焦点F2(,0),直线AB的斜率为,则直线方程为y=(x-),联立得2x2-6x+7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2=.所以|AB|=·=4.因为|AF1|-|AF2|=2,|BF1|-|BF2|=2,所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4,则|AF1|+|BF1|=4+|AB|=8,所以△F1AB的周长为12.10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2.【解析】(1)因为e=,所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.(2)方法一:由(1)可知,a=b=,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),=(-2-3,-m),=(2-3,-m),所以·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以·=0.所以MF1⊥MF2.方法二:由(1)可知,a=b=,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),所以=,=,·==-.因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,m2=3,故·=-1,所以MF1⊥MF2.(15分钟35分)1.(5分)-=2表示的曲线方程为( )A.x2-y2=1(x≤-1)B.x2-y2=1(x≥-1)C.y2-x2=1(y≤-1)D.y2-x2=1(y≥1)【解析】选C.可看作动点(x,y)到点(0,)的距离,可看作动点(x,y)到点(0,-)的距离,则-=2表示动点(x,y)到(0,)和(0,-)的距离之差为2,符合双曲线的定义,且双曲线焦点在y轴上,又动点到(0,)的距离大于到(0,-)的距离,所以动点(x,y)的轨迹为双曲线的下支,则c=,a=1,所以b2=c2-a2=1,所以曲线方程为y2-x2=1(y≤-1).【变式备选】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.-=1(x≥)B.-=1(x≤-)C.+=1(x≥)D.+=1(x≤-)【解析】选A.设动圆的半径为r,由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2=2a,故由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2的双曲线的右支上,即a=,c=4⇒b2=16-2=14,故其标准方程为-=1(x≥).2.(5分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|≥|CD|,则双曲线离心率的取值X围为 ( ) A. B.C. D.【解析】选B.将x=c代入-=1,得y=±,不妨取A,B,则|AB|=,将x=c代入y=±x,得y=±,不妨取C,D,则|CD|=.因为|AB|≥|CD|,所以≥×,即b≥c,则b2≥c2,又c2-a2=b2,所以c2-a2≥c2,即c2≥a2,则e2≥,则e≥.【变式备选】(2020·某某模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选B.设左焦点为F′,|AF|=m,连接AF′,CF′,则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c,因为BF⊥AC,且AB经过原点O,所以四边形FAF′B为矩形,在Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=,所以在Rt△AF′F中,|AF′|2+|AF|2=|F′F|2,代入+=(2c)2,化简得= ,即e=.3.(5分)P是双曲线C:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为( )A. B.C.3D.2+【解析】选C.由题知|PF2|-|PF1|=2a=2,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=,则|PF2|+|PQ|的最小值为3.4.(10分)(2019·某某模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,过点P.(1)求双曲线C的标准方程.(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,设双曲线方程为x2-=λ(λ≠0),过点P,代入可得λ=1,所求双曲线方程为x2-=1.(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,所以所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k==2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,联立方程组 ,得2x2-4x+3=0,因为Δ=16-4×3×2=-8<0,所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在.5.(10分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为且过点(,2).(1)求双曲线的标准方程.(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,已知△OAB的面积为,求直线的斜率k.【解析】(1)依题意可得解得a=1,b=2,c=,所以双曲线的标准方程为x2-=1.(2)直线l的方程为y=kx+1,由可得(4-k2)x2-2kx-5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由Δ>0,可得k∈(-,),由根与系数的关系可得x1+x2=,x1·x2=,|AB|=·=·=4·,O到直线l的距离d=,所以S△OAB=|AB|·d=2, 由S△OAB=得4k4-23k2+19=0,解得k=±,±1∈(-,), 所以直线的斜率k=±,±1.。

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。