§5-8 一阶电路的三要素
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一阶电路的三要素法
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三要素法求解暂态过程步骤：
1.求初始值f (0+) （1）画t＝0-时等效电路求uC(0) 、iL(0) ； （2）根据换路定则求uC(0+)、iL(0+) ； （3）画t =0+时等效电路，求待求的u(0+)、i (0+)。
C uC(0+)电压源； L iL(0+)电流源 2.求稳态值f ()
画响应曲线（响应变化规律）
在直流电源作用下， C 开路； L 短路。
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.求时间常数
RC电路： ＝RoC
等效电阻Ro的求解方法 ：
RL电路：
L
Ro
换路后将电路除源，从储能元件两端看进去的等效电阻。
除源：理想电压源短路；理想电流源开路
将以上结果代入表达式
t
f (t) f () f (0 ) f () e
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三要素法求解暂态过程步骤：
1.求初始值f (0+) （1）画t＝0-时等效电路求uC(0) 、iL(0) ； （2）根据换路定则求uC(0+)、iL(0+) ； （3）画t =0+时等效电路，求待求的u(0+)、i (0+)。
C uC(0+)电压源； L iL(0+)电流源 2.求稳态值f ()
画响应曲线（响应变化规律）
在直流电源作用下， C 开路； L 短路。
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.求时间常数
RC电路： ＝RoC
等效电阻Ro的求解方法 ：
RL电路：
L
Ro
换路后将电路除源，从储能元件两端看进去的等效电阻。
除源：理想电压源短路；理想电流源开路
将以上结果代入表达式
t
f (t) f () f (0 ) f () e
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
电路分析路基础一阶电路的三要素法
三要素法可用于求解在直流激励下，一阶动态电路 中任一支路的电压和电流。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
03 电工电子技术 学习指南：一阶电路的三要素
《电工电子技术》学习指南
任务名称
一阶电路的三要素法
任务描述
三要素分析一阶线性电路
任务条件
教材、教学课件、动画等
任 务 要求
知识目标
理解一阶电路及三要素法概念
掌握三要素法分析一阶电路。
技能目标
能运用三要素法分析一阶电路。
素质目标
能运用信息检索和资料整理帮助学习本节内容
能规范操作仪表
团队协作意识文案写作与总结能力 Nhomakorabea学习方法
三要素即：初始值、稳态值、时间常数。实际应用中要掌握这三者的求法，特别注意等效电阻求解，是从电感或电容元件两端看过去的等效电阻。
通过测试检验和巩固所学内容。
学习资源
本节课件、知识内容、相关教材、动画
测验
任务名称
一阶电路的三要素法
任务描述
三要素分析一阶线性电路
任务条件
教材、教学课件、动画等
任 务 要求
知识目标
理解一阶电路及三要素法概念
掌握三要素法分析一阶电路。
技能目标
能运用三要素法分析一阶电路。
素质目标
能运用信息检索和资料整理帮助学习本节内容
能规范操作仪表
团队协作意识文案写作与总结能力 Nhomakorabea学习方法
三要素即：初始值、稳态值、时间常数。实际应用中要掌握这三者的求法，特别注意等效电阻求解，是从电感或电容元件两端看过去的等效电阻。
通过测试检验和巩固所学内容。
学习资源
本节课件、知识内容、相关教材、动画
测验
一阶电路的三要素法
()(1
t
e
)
(t
0
)
电工学
南京理工大学自动化学院
6.4 一阶直流、线性电路瞬变过程的一般求解方法——三要素法
三要素法求解步骤
1、求t<0电路中的uC(0-)； 2、根据换路定理得到 uC(0+)；
并在0+等效电路中求其 它f(0+)； 3、在换路后的稳态电路 中求f(∞)；
4、求时间常数τC； 5、将数据代入三要素法 公式；
南京理工大学自动化学院
6.3 RC电路的充电过程
t
uC (t) U (U0 U )e RC (t 0 )
电工学
U
uC
U0
t
南京理工大学自动化学院
6.3 RC电路的充电过程
例：已知t <0时，原电路已稳定，t=0时合上S， 求：t 0时的uC(t), u0(t)
1F
.
.
.
+
作业
5-12 6-12 6-19
电工学
南京理工大学自动化学院
6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
初始值的计算
1. 求uC(t0－) ,iL(t0－) 给定uC(t0－) ,iL(t0－) t = t0时: 原电路为直流稳态
C — 断路， L — 短路
t = t0 －时: 原电路未进入稳态：
uC (t0 ) uC (t) |tt0 , iL (t0 ) iL (t) |tt0
6.4 三要素法
南京理工大学自动化学院
6.4 三要素法
一阶电路三要素法求解步骤2
1、求t<0电路中的uC(0-)； 2、根据换路定理得到uC(0+)； 3、在换路后的稳态电路中求uC(∞)； 4、求时间常数τ； 5、将数据代入三要素法公式，得到uC(t) ； 6、根据其他响应与uC(t)之间关系求其他f(t); 6、画曲线（从f(0+)变化到f (∞)）。
一阶电路的全响应和三要素方法
t
f (t) f ()(1 e )
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
f (t)
t
f (0 )e
t
f ()(1 e
)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
第10页/共12页
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f
(t)
f
() [ f（0）
f
t
()]e
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
第2页/共12页
2.稳态值 f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流 或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感 相当于短路。
3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储 能元件两端看进去, 用戴维南等效电路求得的等效内阻。
R 2
R1 R3
R2
2A
（c）
R1
R3
R2
所以，全响应为：
u（C t） u（C ）[u（C 0） u（C ）]et
（d）
f (t) f ()(1 e )
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
f (t)
t
f (0 )e
t
f ()(1 e
)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
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5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f
(t)
f
() [ f（0）
f
t
()]e
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
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2.稳态值 f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流 或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感 相当于短路。
3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储 能元件两端看进去, 用戴维南等效电路求得的等效内阻。
R 2
R1 R3
R2
2A
（c）
R1
R3
R2
所以，全响应为：
u（C t） u（C ）[u（C 0） u（C ）]et
（d）
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
三要素法求一阶电路零输入响应
三要素法求一阶电路零输入响应说到一阶电路的零输入响应，这听起来可能有点像“天书”，是吧？别担心，今天我们就用最简单的方式，把这件事儿搞懂。
一阶电路就是一种简单的电路，里面有电阻、电容或者电感这几样“基础元素”。
它们的行为有点像一个有点慢反应的“懒汉”，特别是在开关变化或外部信号作用下。
这个“懒汉”不可能一下子就改变自己的状态，总是需要一些时间。
零输入响应，就是说我们在分析电路的时候，不考虑外部电源对它的影响，单纯研究电路元件自身的变化。
你可能会问了，既然不考虑外部信号，怎么分析呢？这时候，三要素法就派上用场了。
它可不是啥高大上的数学公式，而是一种非常简单、直观的分析方法。
三要素，顾名思义，就是三个东西：初始条件、特性方程和求解公式。
简单来说，你需要知道电路最开始的状态，电路的“性格”，还有如何从这些信息得出电路的动态变化。
咱们得搞清楚这个电路的“初始条件”。
也就是电路中的电容、电感等元件在时间零点时的状态。
你可以把它想象成一台机器刚开机时的“默认设置”，电容的电压、电感的电流等等。
你得知道这些东西是什么，因为它们决定了电路从哪里开始走。
假设你有个电容，它开始时充满了电，那么它的电压就不可能一开始就是零；反过来，如果是个电感，电流开始时就得是个固定值。
就像是给电路定了个“起跑线”，它以后能怎么走，就看它一开始是怎么“蓄力”的。
得看这个电路的“特性方程”。
特性方程其实是电路的“性格说明书”。
它告诉你电路的变化规律，通常可以通过 Kirchhoff 定律或者其他基本原理来写出来。
你可以把它想象成电路的“行动路线图”。
不同的电路，不同的配置，特性方程就不同。
比如，电容的充电或放电，电感的电流变化，电阻对电流的限制……这些都会在特性方程里有所体现。
你必须弄清楚这些规律，才能知道电路如何从初始条件中走向它的最终状态。
然后就到了最关键的一步——用公式来求解这些变化。
三要素法最厉害的地方就在于它把这些复杂的变化化繁为简。
一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】
路 与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系 统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)
(a)
2Ω i1 i2 2Ω
2Ω
2H
1F
iL
12V
1Ω
多
媒 体
τC=RCC=2×1=2s,τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
(b)
(c)
2Ω
2Ω 2Ω
室 制
路
与 系
对于一阶电路,只要设法求得初始值y(0+) 、时常数τ和微分方程
统 多
的特解yp(t),就可直接写出电路的响应y(t) 。
媒 体
若激励f(t)为直流时, yp(t) = A代入上式,有y(t) = A + [y(0+) - A]e- t/τ
室 制
通常τ> 0(称电路为正τ电路),当t→∞时,电路稳态,A = y(∞)稳态值。
此时电路的稳态值 uC(∞) = (R2//R3)Is = 2×2 = 4(V) ,
时常数τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ,t ≥2s
第 5-10 页
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例4 如图 (a)所示电路,在t<0时开关S是断开的,
i1 2Ω i2 2Ω 2Ω
dy(t)1y(t)bf(t)
dt
西 安
y(t) = Ke- t/τ + yp(t)
电 子
设全响应y(t)的初始值为y(0+),代入上式得
科 技 大
y(0+) = K + yp(0+) , K = y(0+) - yp(0+)
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结论：直流一阶电路中任一支路电压、电流都能应 用三要素法求解，且同一电路中各电压、电流都具 有同一时间常数。 证明： 以一阶电容电路为例。 将原电路分为两个单口网络，使其中之一只含电 容，另一则包含所有电源和电阻——含源单口网 络N1，则端口电压即为电容电压 uC(t)，并可用三 t 要素公式表示。即
t
5 页
y () 三要素公式 y(t )由初值y(0)、稳态值y()和 时间常数 三个参量
确定，将他们称为三要素。其中：
y (t ) [ y (0) y ()] e
y ( )
R0 C
R0为戴维南或诺顿等效电阻。
X
L 或 R0
第
2.三要素法-时间常数
14 页
5i()
）
(4) 求等效内阻R0和时间常数 I 5i i 2i 8i I U 1 I 2i I 2 i 8 I 5 UI I 4 4 U 5 R0 I 4 L 5 4s R0 5 4
7 页
u jk (t ) H 0uC (t ) H kU sk H i I si
其中H0、Hk 、 Hi 为取决于电路拓扑和元件参数值的 t 常数。
k 1 i 1
m
n
u jk (t ) H 0 [uC (0) uC ()]e
m n k 1 i 1
uC ( )
2
15 页
1
5i
I
1
U
2i
X
第
解（续）
(5) 写出iL (t )和i(t )函数表达式
16 页
iL (t ) 12 9.6 e
瞬态
t 4
2.4e
t 4
t 9.6 12e 9.61 e 4 (A) z.s.r 稳态 z.i.r t 4
y p (t )
X
第
2.三要素法
初值 y (0 ) A y p (t ) 则 A y (0 ) y p (t ) 终值(稳态值) y () y p (t ) 所以 A y(0 ) y() 全响应 y (t ) [ y (0 ) y ()] e t
i 2
1
5i
1
iL(t)
5H
K(t 0)
i(0 )
16 V
2
5i(0 )
1
iL(0)
X
第
解（续）
(2) 画0 等效电路，求iL (0)、i(0)
i(0＋)
2
1
13 页
iL (0＋) iL (0 ) 12A＝iL (0)
16 V
5i(0＋)
iL (0＋)
6 页
uC (t ) [uC (0) uC ()] e
uC ()
根据置换定理，用电压值为uC(t)的电压源置换电 容不影响含源单口网络N1内部各电压、电流值。
X
第
证明（续）
设单口网络N1中任意两节点j，k间的电压为ujk，且 N1内部含有m个直流电压源Us1 、Us1 、、Usm和 n个直流电流源Is1、 Is1、 、 Isn。则根据叠加定理：
17 页
解: uC (0 ) 8V u x (0 ) 11V ix (0 ) 1A u x () 12V i x ( ) 0 A RC 16s
打开开关K，求 ux (t ) , ix (t ) , t 0 。
1
12V K 2
4F
3
ux
R2 t L
19 页
R2
t R1C
X
第
例题3
di2 2）u(t ) R1i1 L Us (e dt
t R1C
20 页
R2 t L
e
)
t 0
t R2
1
1 R C R2 L t du u 当 dt 0 时， (t ) 达到最大值时，此时有： C e L e R1 t R 2t L R1C 整理得： e R1R2e L C t
1
2i(0＋) 1 i(0＋) 5i(0＋) iL (0＋) 16 i(0＋) 3.5 A＝i(0)
X
第
解（续）
(3) 画等效电路，求iL ()、i() i() 5i() iL () iL () i() 2 iL () 3i() 2i() 1 iL () 16 16 V 1 2i() 3i() 16 16 i () 3.2 A 5 iL () 3 3.2 9.6 A
画等效电路，求出y()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
3.三要素法解题步骤
3. 求时间常数
求t 0时含源单口网络N1的戴维南等效电阻
第 11 页
或诺顿等效电阻R0。 L R0C 或 R0 4. 写出所求变量的函数表达式
y (t ) [ y (0) y ()] e
9.6(A)
t 4
i(t ) 3.5 3.2 e
瞬态
0.3e
t 4
3.2(A)
t 3.2 1.5e 3.2 1.2e 4 (A) z.s.r 稳态 z.i.r i t t 4
3.5
3 .2 0
t
X
第
例题2 电路在 t 0 时已达到稳态，于 t 0 时突然
H kU sk H i I si
X
第
证明（续）
u jk (t ) [u jk (0) u jk ()] e
m k 1
m
8 页
t
u jk ()
n i 1
m
其中： jk (0) H 0uC (0) H kU sk H i I si u
u jk () H 0uC () H kU sk H i I si
9 页
返回
X
3.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0) 求出uC (0 )或iL (0 ) 。 (1) 画0 等效电路， 注意：此时电容开路，电感短路。 (2) 画0 等效电路，求出y(0 ) y(0)。
第 10 页
此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 )的电压源置换， 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 )的电流源置换。 2. 求稳态值 y
3 页
返回
X
第
2.三要素法
微分方程的一般形式：
4 页
则其解为：
d 1 y (t ) y (t ) E , dt
y (0) 0
y(t ) yh (t ) y p (t ) t 其中： yh (t ) Ae y p (t ) 常量 （恒定激励）
t
y (t ) Ae
暂态分量
t
稳态分量
y ( )
X
第
例题1
求t 0时的iL (t )和i(t ) 。
求iL (0 )
16 V
12 页
解: (1) 画0－等效电路，
iL (0 ) i(0 ) 5i(0 ) 6i(0 ) 2i(0 ) 1 iL (0 ) 16 iL (0 ) 2 iL (0 ) 16 6 iL (0 ) 12 A
k 1 i 1
所以，直流一阶RC电路中任意两节点间的电压是按指 数规律变化的，且与电容电压具有相同的时间常数。
证毕
X
第
2.三要素法
结论1：直流一阶RC电路中任意两节点间的电压及 任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电 容电压具有相同的时间常数。 结论2：直流一阶RL电路中任意两节点间的电压及 任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电 感电流具有相同的时间常数。
1 t R1C
21 页
所以 t R1C ln 2 ，即此时电压表读数达到最大值。 3）
umax Us (e
R1Cln 2 R1C
) 1 1 1 ln 2 2ln 2 U s (e e ) Us ( ) Us 2 4 4
e
R2 R1Cln 2 L
X
u (t )
L
i2
R1
i1
X
第
例题3
解 因为电压表的内阻为无限大，所以电压表连接的两 节点间相当于开路，开关闭合后 R2 、L串联支路与 R1 C串联支路具有相同的电压，他们各自与电压 、 源构成充电回路。 Us uC () Us i2 1）当电路达到稳态时，() 所以
i2 (t ) Us (1 e ) uC (t ) Us (1 e ) R2 t du (t ) U i1 (t ) C C s e R1C dt R1 t R 2t U s R1C U s i(t ) i1 (t ) i2 (t ) e (1 e L ) t 0 R1 R2
§5-8 一阶电路的三要素法
北京邮电大学电子工程学院 2013年1月
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第 2 页
内容提要
问题的提出
三要素法 三要素法解题步骤
X
第
1.问题的提出
如果只对电路中的某一非状态变量感兴趣，是否有 其他的直接求解方法？ 三要素法：用于求解电路中任一变量的零输入响应 和直流激励下的零状态响应、全响应。 应用条件：一阶电路中的响应按指数规律变化；都 有其初始值和稳态值；变化过程由时间常数惟一确 定。
因为
R2 t ln 对上式两边取自然对数得： 2 ( L t ) R C 1
t
5 页
y () 三要素公式 y(t )由初值y(0)、稳态值y()和 时间常数 三个参量
确定，将他们称为三要素。其中：
y (t ) [ y (0) y ()] e
y ( )
R0 C
R0为戴维南或诺顿等效电阻。
X
L 或 R0
第
2.三要素法-时间常数
14 页
5i()
）
(4) 求等效内阻R0和时间常数 I 5i i 2i 8i I U 1 I 2i I 2 i 8 I 5 UI I 4 4 U 5 R0 I 4 L 5 4s R0 5 4
7 页
u jk (t ) H 0uC (t ) H kU sk H i I si
其中H0、Hk 、 Hi 为取决于电路拓扑和元件参数值的 t 常数。
k 1 i 1
m
n
u jk (t ) H 0 [uC (0) uC ()]e
m n k 1 i 1
uC ( )
2
15 页
1
5i
I
1
U
2i
X
第
解（续）
(5) 写出iL (t )和i(t )函数表达式
16 页
iL (t ) 12 9.6 e
瞬态
t 4
2.4e
t 4
t 9.6 12e 9.61 e 4 (A) z.s.r 稳态 z.i.r t 4
y p (t )
X
第
2.三要素法
初值 y (0 ) A y p (t ) 则 A y (0 ) y p (t ) 终值(稳态值) y () y p (t ) 所以 A y(0 ) y() 全响应 y (t ) [ y (0 ) y ()] e t
i 2
1
5i
1
iL(t)
5H
K(t 0)
i(0 )
16 V
2
5i(0 )
1
iL(0)
X
第
解（续）
(2) 画0 等效电路，求iL (0)、i(0)
i(0＋)
2
1
13 页
iL (0＋) iL (0 ) 12A＝iL (0)
16 V
5i(0＋)
iL (0＋)
6 页
uC (t ) [uC (0) uC ()] e
uC ()
根据置换定理，用电压值为uC(t)的电压源置换电 容不影响含源单口网络N1内部各电压、电流值。
X
第
证明（续）
设单口网络N1中任意两节点j，k间的电压为ujk，且 N1内部含有m个直流电压源Us1 、Us1 、、Usm和 n个直流电流源Is1、 Is1、 、 Isn。则根据叠加定理：
17 页
解: uC (0 ) 8V u x (0 ) 11V ix (0 ) 1A u x () 12V i x ( ) 0 A RC 16s
打开开关K，求 ux (t ) , ix (t ) , t 0 。
1
12V K 2
4F
3
ux
R2 t L
19 页
R2
t R1C
X
第
例题3
di2 2）u(t ) R1i1 L Us (e dt
t R1C
20 页
R2 t L
e
)
t 0
t R2
1
1 R C R2 L t du u 当 dt 0 时， (t ) 达到最大值时，此时有： C e L e R1 t R 2t L R1C 整理得： e R1R2e L C t
1
2i(0＋) 1 i(0＋) 5i(0＋) iL (0＋) 16 i(0＋) 3.5 A＝i(0)
X
第
解（续）
(3) 画等效电路，求iL ()、i() i() 5i() iL () iL () i() 2 iL () 3i() 2i() 1 iL () 16 16 V 1 2i() 3i() 16 16 i () 3.2 A 5 iL () 3 3.2 9.6 A
画等效电路，求出y()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
3.三要素法解题步骤
3. 求时间常数
求t 0时含源单口网络N1的戴维南等效电阻
第 11 页
或诺顿等效电阻R0。 L R0C 或 R0 4. 写出所求变量的函数表达式
y (t ) [ y (0) y ()] e
9.6(A)
t 4
i(t ) 3.5 3.2 e
瞬态
0.3e
t 4
3.2(A)
t 3.2 1.5e 3.2 1.2e 4 (A) z.s.r 稳态 z.i.r i t t 4
3.5
3 .2 0
t
X
第
例题2 电路在 t 0 时已达到稳态，于 t 0 时突然
H kU sk H i I si
X
第
证明（续）
u jk (t ) [u jk (0) u jk ()] e
m k 1
m
8 页
t
u jk ()
n i 1
m
其中： jk (0) H 0uC (0) H kU sk H i I si u
u jk () H 0uC () H kU sk H i I si
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X
3.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0) 求出uC (0 )或iL (0 ) 。 (1) 画0 等效电路， 注意：此时电容开路，电感短路。 (2) 画0 等效电路，求出y(0 ) y(0)。
第 10 页
此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 )的电压源置换， 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 )的电流源置换。 2. 求稳态值 y
3 页
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X
第
2.三要素法
微分方程的一般形式：
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则其解为：
d 1 y (t ) y (t ) E , dt
y (0) 0
y(t ) yh (t ) y p (t ) t 其中： yh (t ) Ae y p (t ) 常量 （恒定激励）
t
y (t ) Ae
暂态分量
t
稳态分量
y ( )
X
第
例题1
求t 0时的iL (t )和i(t ) 。
求iL (0 )
16 V
12 页
解: (1) 画0－等效电路，
iL (0 ) i(0 ) 5i(0 ) 6i(0 ) 2i(0 ) 1 iL (0 ) 16 iL (0 ) 2 iL (0 ) 16 6 iL (0 ) 12 A
k 1 i 1
所以，直流一阶RC电路中任意两节点间的电压是按指 数规律变化的，且与电容电压具有相同的时间常数。
证毕
X
第
2.三要素法
结论1：直流一阶RC电路中任意两节点间的电压及 任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电 容电压具有相同的时间常数。 结论2：直流一阶RL电路中任意两节点间的电压及 任一支路中的电流都是按指数规律变化的，且与电 感电流具有相同的时间常数。
1 t R1C
21 页
所以 t R1C ln 2 ，即此时电压表读数达到最大值。 3）
umax Us (e
R1Cln 2 R1C
) 1 1 1 ln 2 2ln 2 U s (e e ) Us ( ) Us 2 4 4
e
R2 R1Cln 2 L
X
u (t )
L
i2
R1
i1
X
第
例题3
解 因为电压表的内阻为无限大，所以电压表连接的两 节点间相当于开路，开关闭合后 R2 、L串联支路与 R1 C串联支路具有相同的电压，他们各自与电压 、 源构成充电回路。 Us uC () Us i2 1）当电路达到稳态时，() 所以
i2 (t ) Us (1 e ) uC (t ) Us (1 e ) R2 t du (t ) U i1 (t ) C C s e R1C dt R1 t R 2t U s R1C U s i(t ) i1 (t ) i2 (t ) e (1 e L ) t 0 R1 R2
§5-8 一阶电路的三要素法
北京邮电大学电子工程学院 2013年1月
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内容提要
问题的提出
三要素法 三要素法解题步骤
X
第
1.问题的提出
如果只对电路中的某一非状态变量感兴趣，是否有 其他的直接求解方法？ 三要素法：用于求解电路中任一变量的零输入响应 和直流激励下的零状态响应、全响应。 应用条件：一阶电路中的响应按指数规律变化；都 有其初始值和稳态值；变化过程由时间常数惟一确 定。
因为
R2 t ln 对上式两边取自然对数得： 2 ( L t ) R C 1