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斯坦纳定理的简证及推广作者：何正权来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第01期若用直接证法证明命题“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形”, 在很多资料上表明问题已被用不同方法得到完全解决,但证题过程较为复杂,寻找简捷的证明方法有待于进一步探索,在间接证法中最多见的是反证法,读者在阅读、理解方面都存在诸多不便,如果选用间接证法中的“同一法”,可使证题过程简化,且便于理解,于是将该证法整理如下,并作一些探讨.定理两内角平分线相等的三角形是等腰三角形.已知:如图1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:AB=AC.分析结合题目的条件,要证AB=AC,必先证∠ABC=∠ACB,又两角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等关系,仔细观察发现∠EBD与∠ECD所对的是同一条边DE,若转化在圆中就是两圆周角所对的公共弦,便可找出互相之间的联系,于是可以考虑B、E、C、D是否在同一个圆上,恰好用“同一法”可以解决这一点,问题就得到简化.证明过点B、D、C作⊙O交CE或其延长线于点H,因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以所以所以CH=BD.因为BD=CE,所以CH=CE,又点H在CE上,所以点H与点E重合.所以∠ABC=∠ACB.所以AB=AC.所以三角形ABC是等腰三角形.上面过B、C、D三点作一个辅助圆后,把角平分线与弧之间的关系紧密联系,从而使弧与CE的交点H和点E之间的关系成为解题的主线,然后证得点H与点E 重合,问题获得解决,这就应用了反证法中“同一法”的思想.经过这一证明,在相同条件下,图中许多关系非常明显,若用命题形式表达出来,则有以下两个命题尤为重要.命题1 三角形中两内角平分线相等,则角平分线与对边的交点的连线平行于第三边.已知:如图2,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求证:DE∥BC.证明由以上定理的证明得△ABC是等腰三角形,易证∠1=∠2.所以 PB=PC.因为BD=CE,所以PE=PD,所以∠3=∠PED.因为∠EPD=∠CPB,所以∠1=∠3,所以DE∥BC.此命题是在定理的基础上作出的进一步推理,只要满足三角形两内角平分线相等,则推得线段之间的平行关系,在相关三角形问题的证明中能起到条件转换的作用,可使一部分问题简化.命题2 对角线平分两锐角且相等的四边形是等腰梯形.已知:如图3,在四边形ABCD中,AC、BD是对角线, BD平分锐角∠ABC. CA平分锐角∠DCB,且BD=AC.求证:四边形ABCD是等腰梯形.证明延长BA、CD相交于点F.根据定理易得BF=CF.由命题1可证得AD∥BC.所以∠FAD=∠ABC,∠FDA=∠DCB.因为∠ABC=∠DCB,所以∠FAD=∠FDA,所以AF=FD,所以BF-AF=CF-FD,所以AB=CD.即四边形ABCD是等腰梯形.此题与前面问题相比不同之处是,三角形中两内角已经隐含了角为锐角的条件,所以扩充到四边形中必须把锐角这一条件补出,否则条件被放宽,导致命题的结论不成立.这个定理和相关命题的证明,应用了圆和三角形的许多重要性质,分析这些问题的思考和解决过程,说明认真观察图形、分析问题找到相互之间的联系是使问题得到解决的前提,只要加以训练,有助于提高应用圆的一些性质和定理解决角相等、线段相等、两直线平行、垂直等问题,不断让解综合题的能力得到加强,对复杂的问题,可以大胆地对各种量相互之间的联系作出某些猜想,形成命题,最终再努力寻求解决途径,促使自已专业知识不断发展.参考文献[1] 刘晓玫,章飞. 九年级数学(上)[M].北京:北京师范大学出版社,2007:6.[ZK)][2] 朱德祥.初等几何研究[M].北京:高等教育出版社出版,1995:30.[ZK)][3] 徐彦明.也谈斯坦纳—雷米欧斯定理的证明[J].中小学数学(初中教师版),2003,(12).[4] 施联华.斯坦纳—莱默斯定理[J].中学数学教学参考(学生版),2003,(12).作者简介:何正权,男,汉族,贵州威宁人,中学一级教师.。
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斯坦纳——雷米欧斯定理的代数法证明
作者：令标
来源：《中学数学杂志(初中版)》2010年第06期
《中学数学杂志》(初中)2010年第10期刊载的“利用比例性质巧证斯坦纳—雷米欧斯定理”一文(下称文［1］),利用比例性质、反证法及正弦定理等,间接地从一个新的角度证明了众所周知的平面几何中的著名定理——斯坦纳—雷米欧斯(Steiner—Lehmes)定理. 斯坦纳—雷米欧
斯定理自问世以来,人们对其情有独钟,潜心于不同证法的探究,醉心于形式多样的引申［2］,凡此种种,屡见不鲜. 受文［1］的启发,笔者再经思索,从代数计算的角度又得到了该定理的两个简明、别致的代数法证明,现介绍如下,供读者参考．。
斯坦纳-雷米欧司定理斯坦纳-雷米欧司定理:两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形设在三角形ABC中，有B、C的角平分线CF、BE交于OBE是角平分线推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因为BD=CE，所以等量代换得出：AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD与ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代换得到LABC=LACB，所以AB=AC注:"L"为角的符号证明一：已知：三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC∵BE=DC∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CEF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CEF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HEF=∠CBG;∵BC=EF,∴Rt△CGB≌Rt△FHE∴CG=FH,BG=HE连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC证明二：设二角的一半分别为α、βsin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0 →sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0，∴sin[(α-β)/2]=0∴α=β,∴AB=AC.证明三：用张角定理：2cosα/BE=1/BC+1/AB2cosβ/CD=1/BC+1/AC若α>β可推出AB>AC矛盾！若α<β可推出AB<AC矛盾！所以AB=AC定理来源：1840年，德国数学家雷米欧斯给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。
斯坦纳定理，很难，这是我整理的多个方法1在△ABC中∠A的平分线交BC于点D求证AD²=AB.AC-BD.CD过B做BE，使得∠CBE=∠A/2，交AD的延长线于E因为∠DBE=∠A/2=∠DAC，∠BDE=∠ADC，所以△BDE相似于△ADC，于是BD×CD=AD×DE，——（1）并且∠C=∠E 因为∠BAE=∠DAC=∠A/2，∠C=∠E，所以△ABE相似于△ADC，于是AB×AC=AD×AE——（2）（2）-（1）得：AB×AC-BD×CD=AD×AE-AD×DE=AD×(AE-DE)=AD^22.三角形ABC,∠B、∠C 的角平分线BD=CE ,求证AB=AC法一：根据上面结论AB*BC-CD*AD=AC*BC-AE*BE即BC×（BE＋AE）－DC×DA＝CB×（CD＋AD）－EB×EABC×AD＝BA×CD，CB×AE＝CA×BE整理得BC×BE＋（CD＋DA）×BE－DC×DA＝CB×CD＋（BE＋EA）×CD－EB×EA移项并因式分解得（BE－CD）（BC＋EA＋DA）＝0因此BE＝CD此时易证AB＝AC法二：BD^2=ab(1-（c^2/(a+b)^2) CE^2=ac(1-（b^2/(a+c)^2)因为BD=CE，所以ab(1-（c^2/(a+b)^2)-ac(1-（b^2/(a+c)^2)=0，上式两边除以a，通分后，对分子进行因式分解，则得到分子为（b-c)(a+b+c)(a^3+(a^2+bc)(b+c)+3abc)，所以只能b-c=0，命题得证。
法三：设三角形ABC，角B、角C的平分线是BD、CE 作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC ∵BD=CE ∴△BDF≌△ECB, BF=BE, ∠EBC=∠BFD设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β ∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF∵2α+2β<180°,∴α+β<90° ∴∠FBC=∠CEF>90°∴Rt△FBC≌Rt△CDF(都是钝角三角形可以用SSA) FB=CD=BE所以△BDC≌△CEB B=C AB=AC（或者）过C作FB的垂线，过F作CD的垂线在FB和CD延长线垂足分别为G、H;∠FDH=∠CBG; ∵BC=DF, ∴Rt△CGB≌Rt△FHD∴CG=FH,BC=FD 连接CF ∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC (或者FG=CH FH=CG FGCH矩形) ∴FG=CH, ∴BF=CD,∴CD=BE∵BE=CD,BC=CB,∴△BEC≌△CDB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC法四：设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCE=∠ACE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠ABD=∠CBD。
世界顶级思维之斯坦纳定理斯坦纳定理：说的愈少，听到的就愈多提出者：美国心理学家斯坦纳。
内容精解：在哪里说得愈少，在哪里听到的就愈多。
只有很好听取别人的，才能更好说出自己的。
说得过多了，说的就会成为做的障碍。
应用要诀：第一，虚心听取别人的意见是一个人进步必要条件。
第二，自己意见不成熟时不能发表，说得过多了，说的就会成为做的障碍。
第三，多听、多做、少说是一个人成熟的表现。
兼听则明，偏听则暗倾听是获取信息的方法，只有认真倾听，才会获得准确的信息，而许多准确的信息可为准确的决策提供依据。
英国作家拉迪亚德·吉卜林曾经这样描述恰当的提问与回答：“我有6个忠实的仆人，他们可以告诉我所有想知道的事情。
他们的名字是：什么、为什么、何时、何地、怎么样、谁。
”在你倾听别人谈话的时候，如果你确保掌握了吉卜林的6个“忠实仆人”的要素，会对你有很大帮助。
国王收到了三个一模一样的金人，但进贡人要求国王回答问题：三个金人哪个最有价值？无论是称重量还是看做工，都是一模一样。
最后，一位老臣拿着三根稻草，插入第一个金人耳朵里，稻草从另一边耳朵出来。
第二个金人的稻草从嘴巴里掉出来。
第三个金人的稻草掉进肚子里。
老臣说：第三个金人最有价值！答案正确，使者默默无语。
善于倾听，才是最有价值，是成熟的人应具备的基本素质。
英国联合航空公司总裁L·费斯诺归纳类似的现象说，人有两只耳朵却只有一张嘴巴，这意味着人应多听少讲。
这就是“费斯诺定理”。
“金人”故事的实质其实是“善于倾听，才是最有价值；讲一定要讲得精悍。
”这也就给“费斯诺定理”下了个概念：人要善于倾听，获取对方的信息越多，理解对方的意思就越明确，才能给予对方精确的答案。
作为一位领导者，首先要倾听问题，然后再去指导，这是田纳西州BUN公司总裁兼CEO给出的最有价值的建议。
只有很好听取别人的，才能更好说出自己的，虚心听取别人的意见是一个人进步必要条件。
自己意见不成熟时不能发表，说得过多了，说的就会成为做的障碍。
利用初等数学的方法证明schwarz不等式
Schwarz不等式是数学中常见的一种不等式，它表现为若干个向量内积的平方和不超过这些向量模长的平方和的乘积。
可以利用初等数学的方法来证明Schwarz不等式成立。
具体来说，可以利用向量的投影和三角函数等知识对Schwarz不等式进行推导和证明。
同时，还需要运用到一些基础的代数运算和不等式知识，如平均值不等式、Cauchy不等式等。
在证明过程中，需要注意细节和推导的合理性，以确保证明的正确性和严谨性。
最终，可以得出Schwarz 不等式的正确性结论，从而进一步推动数学研究的发展和应用。
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艾森斯坦代数定理艾森斯坦代数定理是代数几何中的一个重要定理，是阿尔伯特·艾因斯坦在19世纪末提出的。
艾森斯坦代数定理主要研究了多项式方程组在代数闭域上的解的性质，对于研究多项式方程组的解集以及代数曲线等问题具有重要意义。
艾森斯坦代数定理的一个简单形式是：设k是一个代数闭域，F是k[x1, x2, ..., xn]中的一个非零齐次多项式，如果F在每个变量x1, x2, ..., xn中的次数都大于0，则方程F(x1, x2, ..., xn) = 0在k上至少有一个非零解。
通过对艾森斯坦代数定理的推广，可以得到更一般的形式。
具体来说，如果k是一个代数闭域，F是k[x1, x2, ..., xn]中的一个非零齐次多项式，且m是严格大于F中每个变量的次数，那么方程F(x1, x2, ..., xn) = 0在k上至少有一个非零解。
这个定理可以通过利用多项式环的性质以及艾森斯坦定理中的极大理想来证明。
艾森斯坦代数定理的证明并不复杂，但需要运用多项式环和极大理想的知识。
首先，我们可以将齐次多项式F(x1, x2, ..., xn)写成有限项的和的形式，其中每个项都是齐次多项式，且每个变量的次数之和等于F中该项的次数。
然后，假设F(x1, x2, ..., xn)没有非零解，即对于每个(x1, x2, ..., xn)∈k^n，F(x1, x2, ..., xn) = 0。
根据直观的感觉，我们可以猜测F应该可以写成更低阶的多项式的乘积。
为了得到这个乘积，我们可以考虑将k[x1, x2, ..., xn]中的齐次多项式按照各个变量的次数分成几个部分，类似于将多项式展开为不同的次幂的项的和。
然后，我们可以将齐次多项式F(x1, x2, ..., xn)中次数最高的变量的次数减1，得到一个更低阶的多项式G(x1, x2, ..., xn)。
我们可以继续对G进行同样的操作，得到次数更低的多项式G'。
梯形的斯坦纳定理斯坦纳—雷米欧斯定理是雷米欧斯提出、斯坦纳最先证明的一个数学定理，故得名。
该定理为：如果三角形中两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形。
发展简史这一命题的逆命题：“等腰三角形两底角的平分线长度相等”，早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理，证明过程想必大家都会。
但上述命题在《几何原本》中只字未提。
直到1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在他给斯图姆（C.Sturm）的信中提出请求给出一个纯几何证明。
斯图姆没有解决，就向许多数学家提出这一问题。
首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863），因而这一定理就称为斯坦纳—雷米欧斯定理。
继斯坦纳之后，这一定理的丰富多彩的证明陆续发表，但大多是间接证法，直接证法难度颇大。
一百多年来，吸引了许多数学家和数学爱好者。
验证推导证明1设∠ABD=∠DBC=β，∠ACE=∠ECB=γ，则在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ（正弦定理）∴sin(2β)sin(β+2γ) - sin(2γ)sin(2β+γ) =0∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0（二倍角公式）∴sinβ[sin(2β+2γ)+sin(2γ)] - sinγ[sin(2β+2γ)+ sin(2β)]=0（积化和差）∴sinβ[sin(2β+2γ)+2sinγcosγ] - sinγ[sin(2β+2γ) + 2sinβcosβ]=0（二倍角公式）∴sin(2β+2γ)(sinβ-sinγ) + 2sinβsinγ(cosγ- cosβ)=0（重新分组并提取公因式）∴sin(2β+2γ){cos[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2])} + 2sinβsinγ{sin[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2]}=0→sin[(β-γ)/2]{sin(2β+2γ)cos[(β+γ)/2] + 2sinβsinγsin[(β+γ)/2]}=0（和差化积）又显然上式的后一个因式的值大于零∴sin[(β-γ)/2]=0∴β=γ∴AB=AC. 证毕！证明2已知：如图2所示，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∠ACB的平分线交AB于点E，BD=CE。
