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一、填空题：1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）(A ．()00l x ＝0，()110l x =B ． ()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()110l x =D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题 &1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) .= 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3． 试利用差分性质证明：）证明：记：可以证明：，又：故：. 四、计算题： 1.．已知数值表x（()f x试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
第二章 习题课2 简单的递推数列及应用自主学习知识梳理在实际考查中常常涉及求一些简单的递推数列的通项公式问题． 1．累加法：a n ＋1＝a n ＋f (n ) (f (n )可求和) a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) 2．累乘法：a n ＋1＝a n ·f (n ) (f (n )为含n 的代数式)a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)3．转化法：a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0，p ≠1)方法一 设a n ＋1－x ＝p (a n －x )，则a n ＋1＝pa n ＋(1－p )x∴(1－p )x ＝q ，∴x ＝q1－p .∴a n －q 1－p ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p ·p n －1∴a n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－q 1－p p n －1＋q 1－p.方法二 ∵a n ＋1＝pa n ＋q ，∴a n ＝pa n －1＋q∴a n ＋1－a n ＝p (a n －a n －1)＝…＝p n －1(a 2－a 1)转化为迭加法求解． 4．S n 与a n 的混合关系式有两个思路：(1)消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；(2)消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .自主探究1．试写出用累加法推导等差数列通项公式的过程．2．试写出用累乘法推导等比数列通项公式的过程．对点讲练知识点一 累加法与累乘法求通项例1 已知：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋(2n ＋1)，求a n .变式训练1 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n ，求a n .知识点二 化为基本数列求通项例2 已知：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .变式训练2 设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n (n ＝1,2，…)．令b n ＝a n＋1－a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求数列{a n }的通项公式．知识点三 已知a n 与S n 的混合关系式，求a n .例3 已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求a n 与S n .变式训练3 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －3n . (1)求数列{a n }的首项a 1及递推关系式a n ＋1＝f (a n )； (2)求通项公式a n .1．近几年高考常以递推公式为依托，设计出一些新颖灵活、难度适中、富有时代气息的试题．在学习时对递推公式及其应用应给予适当的重视．2．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．本课时主要学习了累加法、累乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法.课时作业一、选择题1．数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ，且a 1＝1，则a 5的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( )A ．13B ．10C ．9D ．63．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，则a n 的表达式为( )A ．3n －2B ．n 2－2n ＋2C ．3n －1 D ．4n －34．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11的值为( )A ．1 B.12 C.13 D.145．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)．那么S 2 011的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝a 2n＋(－1)n ＋1 (n ∈N *)，则a 4a 2＝________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n，则a n ＝________.8．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n，对所有正整数n 都成立，且a 7＝12，则a 5＝______.三、解答题9．已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n .10．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全区面积为1,2002年底绿洲面积为a 1＝310，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －45}为等比数列；(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．习题课2 简单的递推数列及应用自主探究1．解 ∵a n ＋1－a n ＝d∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝da 3－a 2＝d … …a n－a n －1＝d n －1个式子相加得：a n －a 1＝(n －1)d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d .或a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋(n －1)d .2．解 ∵a n ＋1a n＝q (q ≠0)，∴⎭⎪⎬⎪⎫a 2a 1＝q a 3a 2＝q ……an an －1＝q n －1个式子相乘得： a n a 1＝q n －1，∴a n ＝a 1q n －1或a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1q n －1. 对点讲练例1 解 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋3＋5＋…＋(2n －1)＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋1＝n 2＋1.变式训练1 解 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·21·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.例2 解 方法一 ∵a 1＝1，a 2＝5，a 2－a 1＝4.a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)＝2n －1(a 2－a 1)＝2n ＋1 ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋22＋23＋…＋2n ＝21＋22＋…＋2n －1＝2n ＋1－3.方法二 设a n ＋1－x ＝2(a n －x )，则a n ＋1＝2a n －x . ∴x ＝－3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.变式训练2 (1)证明 ∵b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ∴b n ＋1b n ＝23(n ＝1,2,3，…) ∴{b n }是等比数列，公比q ＝23，首项b 1＝a 2－a 1＝23.∴b n ＝⎝⎛⎭⎫23n.(2)解 a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫23n.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝1＋⎝⎛⎭⎫23＋⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n . 例3 解 ∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴2S n ＝a n ＋1a n ， ∴2S n ＝S n －S n －1＋1S n －S n －1，∴S n ＋S n －1＝1S n －S n －1，∴S 2n －S 2n －1＝1， ∴{S 2n }是一个等差数列，公差为1，首项为S 21， 易求得S 21＝1. ∴S 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴S n ＝n ， ∴a n ＝n －n －1.变式训练3 解 (1)a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3. ∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)． ∴S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3.∴a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，∴a n ＋1＝2a n ＋3. (2)∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．∴{a n ＋3}是等比数列，公比为2，首项为a 1＋3＝6.∴a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n ， ∴a n ＝3·2n －3. 课时作业1．C [a 5＝a 4＋4＝a 3＋3＋4＝a 2＋2＋3＋4 ＝a 1＋1＋2＋3＋4＝11.]2．D [∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n －1＋12n ，又∵S n ＝32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164，∴n ＝6.]3．B [a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝1＋(n －1)2＝n 2－2n ＋2.]4．B [设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的公差为d ，则1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ， ∴12＝13＋4d ，d ＝124，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ， ∴1a 11＋1＝12＋16＝23，∴a 11＋1＝32，∴a 11＝12.]5．A [∵a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1， ∴a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴{a n }是周期数列且T ＝6. ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0，∴S 2 010＝0，∴S 2 011＝S 2 010＋a 2 011＝a 2 011＝a 1＝1.] 6.1312解析 a 2＝2，a 3＝32，a 4a 2＝a 4a 3a 2a 3＝a 23＋1a 22－1＝1312.7.1n解析 由a n ＋1a n ＝n n ＋1得：a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ＝1n ，∴a n a 1＝1n ，a n ＝1n 或(n ＋1)a n ＋1＝na n ＝…＝2a 2＝a 1＝1，∴a n ＝1n . 8．1解析 ∵a n ＋1＝2a n2＋a n，∴1a n ＋1＝1a n ＋12. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a 7＝1a 5＋2d ＝1a 5＋1＝2，∴a 5＝1. 9．解 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2. ∴2n a n －2n －1a n －1＝2.∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1.∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1.10．(1)证明 因为2002年底绿洲面积为a 1＝310，所以2002年底的沙漠面积为1－a 1＝710，经过n －1年后绿洲面积为a n ，沙漠面积为1－a n ， 由题意得，再过一年，即经过n 年后，绿洲面积为a n ＋1＝(1－a n )×16%＋a n (1－4%)，即a n ＋1＝45a n ＋425.所以a n ＋1－45＝45(a n －45)．又因为a 1－45＝310－45＝－12，所以数列{a n －45}是以45为公比，－12为首项的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －45＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫45n －1，所以a n ＝45－12·⎝⎛⎭⎫45n －1， 设经过n 年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n ＋1>60%.所以45－12·⎝⎛⎭⎫45n >35，所以⎝⎛⎭⎫45n <25. 验证n ＝1,2,3,4时，⎝⎛⎭⎫45n >25.当n ＝5时，⎝⎛⎭⎫455＝1 0243 125<25，故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.。
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：642111111111122221120-=-==x x x x x x A37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
