北京海淀北大附中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析

北京一零一中2017—2018学年度第一学期期末考试高二数学（理）一．选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项.1.双曲线的左，右焦点坐标分别是()13,0F -，()23,0F ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ）．A ．22154x y -=B. 22154y x -=C. 221134x y -=D. 221916x y -=【答案】A【解析】24b =，2b =，3c =， 2225a c b =-=，22154x y -=. 故选：A .2.命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）． A ．()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-B. ()0,x ∀∉+∞，ln 1x x ≠-C. ()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-D.()00,x ∃∉+∞，00ln 1x x =-【答案】A 【解析】略. 故选：A .3.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）． A. ()0,1B. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,0D. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵214x y =，18p =，1216p =，∴ 10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B .4.有下列三个命题：①“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x y >，则22x y >”的逆否命题；③“若3x <-，则260x x +->”的否命题，则真命题的个数是（ ）． A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】①正确，②③错误. 故选：C .5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至多录用一名大学生的情况有（ ）． A. 24B. 36C. 48D. 60【答案】D【解析】33234343C A C A 60+=.故选：D .6.已知圆M ：2220x y ay +-=截直线0x y +=所得的线段长是a 的值为（ ）．A.B. 2C.D. 【答案】D【解析】()2222220x y ay x y a a +-=⇒+-=，圆心()0,a 到直线d ==∴ 24a =，∴ 2a =±. 故选：D .7.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）． A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B【解析】有0：1132C C 6=，无0：112322C C A 12=，∴ 61218+=. 故选：B .8.设双曲线C 的中点为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）．A. 2⎤⎥⎝⎦B. 2⎫⎪⎪⎣⎭C. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】如图，不妨设双曲线焦点在x 轴上，渐近线by x a=±，tan30tan 60b a ︒<≤︒b a <≤c e a ==2e <≤. 故选：A .二．填空题共6小题9.双曲线2233x y -=-的渐近线方程为__________．【答案】y = 【解析】2213y x -=， 渐近线为ay x b =±，即y =.故答案为：y =.10.设常数a ∈R ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a =__________．【答案】2- 【解析】∵()5215C rrrr a T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C r r r a x -=.当1r =，15C 10a =-，2a =-.故答案为：2-.11.设1F ，2F 分别是椭圆221167x y +=的左，右焦点，若点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，12PF PF +=__________．【答案】6【解析】∵12PF PF ⊥， ∴ 121226PF PF OP F F +===. 故答案为：6.12.若双曲线22194x y -=与直线1y kx =-有且仅有一个公共点，则这样的直线有__________条. 【答案】4【解析】与渐近线平行的有两条，另外如图两条切线.故答案为：4.13.已知点P 在抛物线24y x =上，那么当点P 到点()3,4Q的距离与P 到抛物线准线的距离之和去的最小值时，点P的坐标为__________． 【答案】+⎝【解析】PQ PF QF +≥，QF ：()2122y x x =-=-，()22222244y x x x y x=-⎧⇒-=⎨=⎩， 221x x x -+=，2310x x -+=，x ，∵ 0y >， ∴x =，1y =故答案为：⎝.14.下列四个命题中：①“1k =”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线()317x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；③函数2y =的最小值为2.其中是假命题的有__________．（将你认为是假命题的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①：22cos sin y kx kx =- ()cos 2kx =，πT =，1k =±.∴ ①错误.②：相互垂直⇒()3210a a +-=， ∴ 25a =. ∴ ②错误. ③：2y ==，令t t ，1y t t=+，min y ==. ∴ ③错误. 故答案为：①②③.三．解答题共5小题每小题10分，共50分.15.命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数()log a f x x =在上递增()0,+∞，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围. 【答案】()[)0,12,+∞.【解析】p 为真命题时，24160a ∆=-<，22a -<<，q 为真命题时，1a >，∵ p q ∨为真，p q ∧为假， ∴ p ，q 一真一假，① p 为真，q 为假， 2201a a -<<⎧⎨<<⎩，∴ 01a <<， ② p 为假，q 为真， 221a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或，【注意有文字】 ∴ 2a ≥，综上所述：01a <<或2a ≥，即()[)0,12,a ∈+∞.故答案为：()[)0,12,+∞.16.已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点.（1）当1260F PF ∠=︒时，求12F PF △的面积.（2）当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】（1.（2）⎛ ⎝⎭.【解析】（1）设1PF m =，2PF n =， ∴ 24m n a +==， ()2221221cos 22m n c F PF mn+-∠==， 2212m n mn +-=，()2212m n mn mn +--=，43mn =，43mn =， ∴121sin 2S mn F PF =∠1423=⋅=. （2）设()00,P x y，()1F，)2F ，12F PF ∠为钝角，∴ 12cos 0F PF ∠<， 120PF PF ⋅<，())22000000,,30x y x y x y -⋅-=-+<，∵ 220014x y +=，220014x y =-， 203204x -<，2083x <，0x <，∴0x ⎛∈ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭.17.如图所示，在Rt ABC △中，已知点()2,0A -，直角顶点(0,B -，点C 在x 轴上.（1）求Rt ABC △外接圆的方程.（2）求过点()4,0-且与Rt ABC △外接圆相切的直线的方程. 【答案】（1）()19x y -+=. （2）()344y x =±+. 【解析】（1）在Rt ABC △中，外接圆圆心在斜边AC 中点，设为(),0a ，AB中点坐标(1,-， AB中垂线方程：)1y x +，)12a =+， 1a =，132r AC ==， 外接圆方程：()2219x y -+=.（2）①切线斜率不存在时，4x =-，不符合.② 切线方程存在时，设为k ， 方程：()4y k x =+，3d ==，34k =±，∴ 切线方程：()344y x =±+.18.定长为2的线段AB 的两个端点在以点10,8⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线22x py =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.【答案】78⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.s 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，128p =，14p =， 212x y =，2AF BF AB +≥=，1211288y y +++≥，1274y y +≥，0724y ≥， 078y ≥， 当078y =时，AB 过焦点10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21112x y =， 22212x y =，()22121212x x y y -=-， 01201201840y y y x x x x --==--， 20344x =， 20316x =， ∴0x = ∴78M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右检点分别为1F ，2F ，且122F F =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程.（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF B △2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程. 【答案】（1）22143x y +=. （2）()2212x y -+=.【解析】（1）∵1222F F c ==，1c =， ()11,0F -，()21,0F ，2a ，∴ 2a =，b = ∴ 22143x y +=. 故答案为：22143x y +=. （2）①AB 斜率不存在时，1x =-，213232SAF B =⋅⋅=△，不符合.②AB 斜率存在，设为k ，()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，()22223411x k x +-=， ()22224384120kx k x k +++-=，∵0∆>，∴2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，AB ===()2212143k k +=+，∵d =，()221211243k S AB d k +=⋅=+， ∴4217180k k +-=，()()22171810k k +-=， ∴1k =±，方程：()1y x =±+，()21,0F ，d ==∴ 圆方程：()2212x y -+=.。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++． 2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ，∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||11sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1100AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-， ∴(1,1,1)m =-，∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，∴cos ,m n <>== 故二面角111B AD C --的大小为． 5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________．【答案】2【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan AC C =∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ． （1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．A 1A 【答案】（1）(0,0,1)．（2）112．【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积21113212V =⨯⨯=⎝⎭． A 1D 1C 1B 1CB AD三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________．【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．。

…………外………………内……绝密★启用前北京海淀北2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标为（ ）． A ． 1,02⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 43．已知直线()1:3210l a x y -++=，直线2:30l ax y +-=，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ）．A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件4．方程20mx ny +=与221(0)mx ny m n +=>>的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）．A ．B ．…………○………………○……C．D．5．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴端点为1A，2A，短轴端点为1B，2B，焦距为2，若112B A B为等边三角形，则椭圆的方程为（）．A．22162x y+=B．222213xy+=C．223314xy+=D．2211612x y+=6．已知圆C与y轴相切于点()0,2，x轴正半轴．．．截圆C所得线段的长度为圆C的圆心坐标为（）．A．()2B．(2,C．()4,2D．()2,47．已知椭圆22:12xC y+=，直线:l y x=+C上的点到直线l的最大距离为（）．A．B．C．D．8．曲线C是平面内与定点()2,0F和定直线2x=-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则MF的最小值为)21，其中，所有正确结论为（）．A．①②B．①④C．①②③D．①②④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．已知命题:p x R∀∈，210x x-+>，则:p⌝__________．10．经过点()0,1和点()1,3的直线l与圆()()222:12(0)C x y r r-+-=>相切，则直线l方程为__________；r=__________．11．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，()00,A x y是C上一点，54AF x=，则x=__________．12．已知长方形ABCD，4AB=，3BC=，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．13．(2017·天津卷改编)已知双曲线(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________.14．设F是椭圆2212516x y+=的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点()1,2,3,iP i=，使1FP，2FP，3FP，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为__________．三、解答题15．已知直线l经过点()2,4P，直线1:10l x y--=．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求直线l方程．（Ⅱ）若1l l⊥，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，求AOB（O为坐标原点）的面积．16．已知定点()2,4M及抛物线2:2(0)C y px p=>，抛物线C的焦点为F且准线l恰好经过圆22:20K x x y++=的圆心K．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程．装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………（Ⅱ）过点F 作MK 的平行线交抛物线C 于A 、B 两点，求AB 的长． 17．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点()， )的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程．（Ⅱ）设直线()1y k x =+与C 交于A ， B 两点， k 为何值时OA OB ⊥？此时AB 的值是多少？18．如图，曲线Γ由曲线()22122:10x y C y a b +=≤和曲线22222:1(0)x y C y a b-=>组成，其中0a b >>，点1F ， 2F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点3F ， 4F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， ()22,0F ， ()36,0F -． （Ⅰ）求曲线Γ的方程．（Ⅱ）若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点A 、B ，求1ABF 面积的最大值．参考答案1．C【解析】根据题意，抛物线开口向右，焦点在x 轴的正半轴上，且21p =，∴124p =．∴抛物线2y x =的焦点坐标是1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭， 本题选择C 选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要确定已经把抛物线方程化为标准方程.2．B【解析】所以2a =，故选B. 3．A【解析】若12l l ⊥，则()312a a --⨯-=-，即2320a a -+=，解得1a =或2a =， 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件， 本题选择A 选项. 4．A【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示椭圆或双曲线， 当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程221(0)mx ny m n +=>>表示焦点在y 轴的椭圆，无符合条件的选项；当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右， 方程221(0)mx ny m n +=>>表示双曲线， 本题选择A 选项. 5．B【解析】∵112B A B 为等边三角形，∴a =，又1c =， 222a b c =+，解得232a =， 212b =， 21c =，则椭圆的方程为2213122x y +=， 即222213x y +=， 本题选择B 选项. 6．A【解析】设圆心为(),a b ，由于圆于y 轴相切于()0,2，故2b =． 又x 轴正半轴截圆C所得线段的长度为由对称性可得a =C的圆心坐标为()2， 本题选择A 选项. 7．B【解析】设椭圆平行于直线y x =+的切线为y x m =+，代入椭圆方程得2234220x mx m ++-=，则()221612220m m ∆=--=，解得m =则切线方程为y x =由于y x =+y x =+y x =C 上的点到直线l 的最大距离，max d ==， 本题选择B 选项.点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．8．D【解析】设动点的坐标为(),x y24x +=．①当0x =时， 0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确；24x +=中的y 用y -代替，该等式不变，∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；③令0x =，则0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③错误；24x +=，∴20y =≥，解得x -≤，∴若点M 在曲线C 上，则)4212MF x ==≥=+，故④正确．综上所述，所有正确的结论为①②④， 本题选择D 选项.9．0x R ∃∈， 20010x x -+≤【解析】对于含有全称量词命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故0:p x R ⌝∃∈， 20010x x -+≤．10． 210x y -+=5【解析】∵直线l 经过()0,1和()1,3， ∴31210l k -==-， ∴直线l 的方程为()120y x -=-，即210x y -+=，∵直线l 与圆()()222:12(0)C x y r r -+-=>相切，∴圆心()1,2到直线210x y -+=的距离， d r ===．即r =. 11．4【解析】根据抛物线的定义可得， A 到焦点F 的距离等于其到准线1x =-的距离，故00514x x +=． 解得04x =．12【解析】试题分析：因为点C 在椭圆上，根据椭圆的定义，，24c =，所以椭考点：1．椭圆的定义；2．椭圆的离心率．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，属于中档题．解决问题时先分析椭圆的的焦点，求出椭圆的焦距4AB =，因为有点在椭圆上，利用椭圆的定13．【解析】设点 ，因为该双曲线的离心率为 ，所以，①又经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，② 联立①②，解得 ． 又 ，即 ③， 联立①③，解得 ， ， 故双曲线的方程为．点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．14．22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】椭圆中5a =， 4b =， 3c =，若这个等差数列是增数列，则0d >， 112a PF a c =≥-=， 10108a P F a c =≤+=， ∴10196a a d -=≤，解得23d ≤， ∴203d <≤． 同理，若这个等差数列是减数列，则203d -≤<． 故d 的取值范围是22,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．15．(Ⅰ) 20x y -=．(Ⅱ)18. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的点斜式方程可得直线l 方程是20x y -=．(Ⅱ)由题意可得直线l 的方程为60x y +-=，则()6,0A ， ()0,6B ，故166182AOBS=⨯⨯=． 试题解析：（Ⅰ）直线l 的斜率是2，且经过点()2,4P ，则由点斜式可得： 直线l 的方程为()422y x -=-，即20x y -=． （Ⅱ）若直线1l l ⊥，则111l l k k =-=-， ∴直线l 的方程为()42y x -=--，即60x y +-=，令0x =，则6y =，令0y =，则6x =，故()6,0A ， ()0,6B ，166182AOBS=⨯⨯=． 16．(Ⅰ) 24y x =．(Ⅱ) 254. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得圆心()1,0K -，抛物线的准线l 恰好经过点()1,0k -，则2p =．抛物线C 的标准方程为24y x =． (Ⅱ)由题意可知43MK k =，直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线可得241740x x -+=，则12174x x +=，由弦长公式有12254AB x x p =++=． 试题解析：（Ⅰ）由已知圆22:20K x x y ++=的圆心()1,0K -， ∵抛物线22y px =的准线l 恰好经过点()1,0k -， ∴12p-=-， 2p =． 故抛物线C 的标准方程为24y x =． （Ⅱ）由已知()404213MK k -==--，∴直线AB 过点()1,0，且斜率为43， ∴直线AB 的方程为()413y x =-，将AB 的方程代入抛物线得 241740x x -+=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则12174x x +=， 故121725244AB x x p =++=+=． 点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．17．(Ⅰ) 2214x y +=．(Ⅱ) . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合椭圆的定义可得C 的方程是2214x y +=；(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程有()2222418440k x k x k +++-=，结合韦达定理可得2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+，则2122341k y y k -=+，结合直线垂直的充要条件有2121224041k x x y y k -+==+，则2k =±．然后由弦长公式可得AB =试题解析：（Ⅰ）设(),P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以()0，)为焦点，以长半轴为2的椭圆，∴c = 2a =，1b ==． 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）联立()221{ 14y k x x y =++=，消去y ，整理得： ()2222418440k x k x k +++-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122841k x x k -+=+， 21224441k x x k -=+， ()()()22121212122311141k y y k x k x k x x x x k -=+⋅+=+++=+， 若OA OB ⊥，则222121222244340414141k k k x x y y k k k ---+=+==+++， 解得2k =±． ∴123217x x +=-， 121217x x =．17AB ===． 故当2k =±时， OA OB ⊥，此时AB =． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(Ⅰ) ()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>．(Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得2220{ 16a b ==，则曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． (Ⅱ)由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ．联立直线方程与二次方程可得()225448640m y my +++=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854my y m +=-+， 1226454y y m =+，据此可得面积函数218254S m=⨯⨯+，换元后结合均值不等式的结论可得1ABF 面积的最大． 试题解析：（Ⅰ）()22,0F ， ()36,0F -，∴222236{ 4a b a b +=-=，解得2220{ 16a b ==， 故曲线的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F ． 设直线1l 的方程为6(0)x my m =+>，联立得()225448640m y my +++=， ()()2248464540m m ∆=-⨯⨯+>，化简得21m >．设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1224854m y y m +=-+， 1226454y y m =+，∴12y y -=1ABF的面积218254S m=⨯⨯+，令0t =>，则221m t =+，∴4S t t=≤+，当且仅当32t =，即m = ∴1ABF．。

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）．已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题：（可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃）1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．A B 1D A 【答案】0m =【解析】∵0m ≠的否这是：0m =，∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．A 1D 1C 1B 1CB A D【答案】p q ∧【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________．【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．4．某学生三好学生的评定标准为：（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据．已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．①(85,80,100) ②(85,85,100) ③255x y z ++≥ ④285x y z ++≥（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________．【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意；对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点．1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底．表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________．【答案】（1）1122a b +．（2）111222a b c ++． 【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111()()2222AE AB AD a b a b =+=+=+．（2）11111111122222AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________．【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体，∴棱长为1，∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像）3．求直线1AB 与11AD C 所成的角．【答案】见解析．【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ，∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =，设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-， ∴(0,1,1)n =-， ∴1||1sin |cos ,|2||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅， ∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．4．求二面角111B AD C --的大小．【答案】见解析．。

……外…………○……学校:____……内…………○……绝密★启用前北京海淀2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列四个命题中，假命题为（ ）．A ． x R ∀∈， 20x >B ． x R ∀∈， 2310x x ++>C ． x R ∃∈， lg 0x >D ． x R ∃∈， 22x = 2．“k =是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相切”的（ ）．A ． 充分而必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．A ．16 B ． 13 C ． 23D ． 1 4．命题:πp x =是sin y x =的一条对称轴；命题:2πq 是sin y x =的最小正周期．下………○…………订…※※在※※装※※订※※线※※内※※答………○…………订…①p且q；②p或q；③p⌝；④q⌝．其中真命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若mβ⊂，αβ⊥，则mα⊥；②若α// β，mα⊂，则m // β；③若nα⊥，nβ⊥，mα⊥，则mβ⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，mα⊥，则mβ⊥．其中正确命题的序号是A．①③ B．①② C．③④ D．②③6．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）87．已知圆()()221:231C x y-+-=，圆()()222:349C x y-+-=，M、N分别是圆1C、2C上的动点，P为x轴上的动点，则PM PN+的最小值为（）．A．4B．1C．6-D．8．已知函数()221,1{1,1x ax xf xax x x++≥=++<，则“20a-≤≤”是“()f x在R上的单调递增”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知正方形的边长为将沿对角线折起，使平面平ABCD ABC∆AC ABC⊥…装…………○…订…………○____姓名：___________班级：_考号：__________…装…………○…订…………○面，得到如图所示的三棱锥．若为边的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．10．如图，四面体OABC 的三条棱OA ， OB ， OC 两两垂直， 2OA OB ==，3OC =， D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题．①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上．其中真命题的序号是（ ）．A ． ①②B ． ②③C ． ③D ． ③④ACD B ACD -O AC M N DC BO BN CM =BN x =N AMC-()y f x =………外…………………内…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C，则AB中点M到C的距离CM=_______.12．圆222660x y x y+--+=与圆22610300x y x y+--+=相交于A，B两点，则弦AB=___________．13．设命题:p x R∃∈，220x ax a+-=．命题:q x R∀∈，22421ax x a x++≥-+，如果命题“p q∨”为真命题，“p q∧”为假命题，求实数a的取值范围__________．14．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：1y x=-被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为．15．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_________，离心率为___________．16．将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①侧面是等边三角形；②；③三棱锥的体积是．其中正确命题的序号是_________．（写出所有正确命题的序号）17．如图，正方体1111ABCD A BC D-的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.S为四边形；②当S为等腰梯形；…………○………………订…………○学校:_____级：___________考号：___________…………○………………订…………○ S 与11C D 的交点R 满足 S 为五边形； ⑤当1CQ =时， S 的面积为三、解答题18．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直， 90ADE ∠=︒，AF DE ， 22DE DA AF ===．（I ）求证： AC ⊥平面BDE ． （II ）求证： AC 平面BEF ． （III ）求四面体BDEF 的体积．19．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙面高EA ，FD 为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．20．某隧道的拱线段计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6m （如图所示），路面设计是双向四车道，车道总宽度为22m ．如果限制通行车辆的高度不超过4.5m ，那么隧道…………○……………○…设计的拱宽d至少应是多少米（精确到0.01）？21．已知圆()222x a y r-+=与直线1y x=-交于A，B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点．（1）如果直线OP的斜率为13，求实数a的值．（2）如果AB=，且OA OB⊥，求圆C的方程．22．已知直线与圆相交于、两点，且满足．（）求圆的方程．（）若，，为轴上两点，点在圆上，过作与垂直的直线与圆交于另一点，连，求四边形的面积的取值范围．参考答案1．B【解析】B 选项： 2310x x ++>的解为： x >x <，B 错，其余选项均为正确． 故选B ． 2．A【解析】若直线与圆相切，则圆心到直线距离1d r ===，∴k =∴k =故选A ． 3．B【解析】三视图对应的原图如下所示：BC CD ⊥， AB ⊥面BCD ，∴1133V BC CD AB =⨯⋅⋅=． 选B ． 4．C【解析】由题可知： sin y x =图如图所示：∴πx =是对称轴，故p 为真，sin y x =的最小正周期为π，故q 为假，∴p 且q 为假； p 或q 为真， p ⌝为假； q ⌝为真． 选C ． 5．D【解析】试题分析：对于① 由m β⊂， αβ⊥不能得到m α⊥，故①不正确；排除A 、B ．对于② 由α// β， m α⊂，能得到m // β，故②正确；排除C故选D ．考点：1．空间线面之间的位置关系；2．命题真假的判断； 6．A 【解析】为3，则底面边长为2故A 正确。

北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知命题，，则是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】为：，.选C.2. 设直线的倾斜角为，且，则a,b满足A. B.C. D.【答案】D【解析】由题设有，因为，所以，所以，故，选D.3. 已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”是为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D．考点：1．充要条件；2．含有逻辑联结词的命题的真假性．4. 直线与圆交于E，F两点，则（O是原点）的面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，所以，而到直线的距离为，所以.选D.5. 关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面、，下列命题正确的是A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则m//n【答案】B【解析】在如图所示的正方体中，平面，平面，平面平面，，异面，A错；在正方体中，平面平面，平面，平面，但是，C错；平面平面，平面，平面，但是相交.排除A，C，D.选B.6. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是A. B.C. D.【答案】A【解析】抛物线的焦点为，所以，所以，椭圆的离心率为.选A.7. 已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8. 已知点A（2，1），抛物线的焦点是F，若抛物上存在一点P，使得最小，则P点的坐标为A. （2，1）B. （1，1）C. （，1）D.【答案】C【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.9. 某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛，该校高一年级有1，2，3，4，四个班参加了比赛，其中有两个班获奖，比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”，已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是A. 乙，丁B. 甲，丙C. 甲，丁D. 乙，丙【答案】B【解析】由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误，若乙丁同时正确，根据乙的说法“班没有获奖，班获奖了”中奖情况有两种：班和班获奖或者班和班获奖，两种情况都说明丙同学的说法正确，这样就有丙乙丁三位同学的说法正确，所以不合题意，故只能乙丁两位同学说法同时错误，从而知甲丙两位同学说法正确，故选B.10. 如图，正方体中，P为底面ABCD上的动点，于E，且PA=PE，则点P的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是________。

2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．164．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=17．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．2017-2018学年北京市首师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求）1．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e=，∴，解得．故椭圆的方程为．故选：C．2．（5分）已知抛物线C：y2=4x上的点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：抛物线C的方程为：y2=4x的准线为x=﹣1，设点P的横坐标为x0，由于点P到准线的距离为5，所以x0+1=5，解得x0=4．故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：根据程序框图，知当k=3时输出S，第1次循环得到：S=1×20=1，k=1；第2次循环得到：S=1×21=2，k=2；第3次循环得到：S=2×22=8，k=3；此时不满足循环条件，输出S=8．故选：C．4．（5分）直线被椭圆所截得的弦中点坐标是（）A．（4，4） B．（﹣4，0）C．（﹣2，1）D．（2，3）【解答】解：将直线方程代入椭圆得x2+4x﹣4=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，，∴，，即直线被椭圆所截得的弦中点坐标为（﹣2，1）．5．（5分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在椭圆的方程中，a=5，b=4，则c=3，则椭圆的离心率e==，即必要性成立，反之不一定成立，则“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）如图，直线x=2与双曲线的渐近线交于E1，E2两点，记，，任取双曲线Γ上的点P，若，则a，b满足的一个等式是（）A．B．C．2ab=1 D．4ab=1【解答】解：由题意有，是渐近线方向向量，又，点P在双曲线上，所以，化简得4ab=1．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且MF1⊥MF2，延长MF2交双曲线C于点P，若|MF1|=|PF2|，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设|MF1|=t，由双曲线的定义可得|MF2|=t﹣2a，|PF2|=t，|PF1|=t+2a，由MF1⊥MF2，可得|MF1|2+|MP|2=|PF1|2，即t2+（2t﹣2a）2=（t+2a）2，解得t=3a，又|MF1|2+|MF2|2=|F2F1|2，即为（3a）2+a2=4c2，即为c=a，则e==．故选：C．8．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0），F2（4，0），E1（0，﹣4），E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x，y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36；④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为（）A．②①B．②③C．②③④D．①②③④【解答】解：对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和为定值，到E1（0，﹣4），E2（0，4）两点的距离之和不是定值，故①错误；对于②，两个椭圆关于直线y=x，y=﹣x均对称，故曲线C关于直线y=x，y=﹣x 均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故④错误．综上所述，正确命题的序号是②③．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）命题：∀x∈N，x2≥x的否定是∃x∈N，x2＜x．【解答】解：∵命题∀x∈N，x2≥x是全称命题命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x∈N，x2＜x．故答案为：∃x∈N，x2＜x．10．（5分）已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则此双曲线的标准方程是．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y=0，则可设双曲线的方程为x2﹣=λ，λ≠0；又由双曲线的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，则λ＞0；则双曲线的方程可变形为=1，又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；则此双曲线的标准方程是；故答案为：．11．（5分）如图，程序输出的是132，则判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行：i=12，判断成立，S=12，i=11；第二次运行：i=11，判断成立，S=12×11=132，i=10；第三次运行：i=10，判断不成立，故输出S=132，故判断框中应填i≥11？（或i＞10？）．故答案为：i≥11？（或i＞10？）．12．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．13．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是6．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故答案为：6．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中．点M不与点O重合，称射线OM与圆x2+y2=1的交点N为点M的“中心投影点“．（1）点M（1，）的“中心投影点”为（，）（2）曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是．【解答】解：（1）由题意可得射线OM方程为y=x（x＞0）与圆x2+y2=1联立，解得x=，y=，即有N（，）；（2）双曲线x2的渐近线方程为y=±x，代入圆x2+y2=1可得四个交点（，），（﹣，），（﹣，﹣），（，﹣）；即有曲线x2上所有点的“中心投影点”构成的曲线为两段圆弧，且圆心角为120°，半径为1，则弧长为．故答案为：（1）（，）；（2）．三、解答题（本大题共4小题，共50分）15．（12分）已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根，命题q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则有，所以m＞2．若q为真命题，则有△=[4（m﹣2）2]﹣4×4×1＜0，所以1＜m＜3．由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，知命题p与q一真一假．当p真q假时，由得m≥3；当p假q真时，由，得1＜m≤2．综上，m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）．16．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与A交于A，B两点．（1）写出C的方程；（2）若⊥，求k的值．【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b==1，故曲线C的方程为x2+=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故x1+x2=﹣，x1x2=﹣，若⊥，即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=﹣﹣﹣+1=0，化简得﹣4k2+1=0，所以k=±．17．（13分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．（1）求抛物线C的方程．（2）如图，点为抛物线C的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．【解答】解：（1）由已知可得，P=2，故抛物线C的方程为y2=4x．（2）证明：由（1）知：P（﹣1，t）（t≠0），则，直线PO的方程为y=﹣tx，代入抛物线C的方程有：，当t2≠4时，，∴直线MN的方程为：，即，∴此时直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方程为x=1，此时仍过点（1，0），综上所述，直线MN过定点（1，0）．18．（13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平行面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．在直线x=2的右侧，考察范围是到点B的距离不超过的区域E；在直线x=2的左侧，考察范围是到A，B两点的距离之和不超过的区域F（1）求考察区域边界E，F的曲线方程，并在如图的平面直角坐标系中画出考察区域的边界简图．（2）考察区域的边界线上存在几对关于点（2，0）对称的点？并写出对称点的坐标．（3）如图所示，设P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），其中：，，P 3（8，6）．当冰川融化时，冰川的边界线P1P2，P2P3所在直线分别沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，每年移动0.2km，问第几年开始，考察区域的边界上不再存在关于（2，0）对称的点．【解答】解：（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y），当x≥2时，由题意知，当x＜2时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长的椭圆上，此时短半轴长，故其方程为．综上，考察区域边界（曲线）的方程为：，．（2）设A（a，b）位于椭圆C2上，其关于（2，0）对称的点B（4﹣a，﹣b）位于圆C1上，则：，解得或，故考察区域的边界上有且只有1对关于点（2，0）对称的点，对称点为，．（3）∵，，∴P1P2的方程为，则点到直线P1P2的距离，∵，P3（8，6），∴P2P3的直线方程为y=6，点到直线P2P3的距离，设第七年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点，由于d2＜d1，且t∈N*，解得t≥22，故从第22年开始，考察区域的边界上不再存在关于点（2，0）对称的点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。