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高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
【关键字】试题2018年课标高考母题备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1047 [中国高考数学母题](第267号)典型分布的期望方差离散型随机变量的数学期望和方差是概率分析的中心,其中,两点分布、二项分布和正态分布是三个典型分布,它们的数学期望和方差公式是课标高考的热点和重点.[母题结构]:(Ⅰ)(两点分布)如表的分布列称为两点分布列,如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,p=P(X=1)为成功概率.则EX=p,DX=p(1-p).(Ⅱ)(二项分布):①定义:若离散型随机变量ξ(ξ=0,1,2,…,n)的概率分布为P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)n-k,则称ξ服从二项分布,记作ξ～B(n,p);②公式:数学期望Eξ=np,方差Dξ=np(1-p);(Ⅲ)(正态分布):①定义:如果随机变量的分布密度函数f(x)=,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)是参数,则称随机变量ξ服从参数为μ、σ的正态分布,用ξ～N(μ,σ2)表示;②性质:f(x)>0;分布密度曲线C的渐近线为x轴;分布密度曲线C关于直线x=μ对称;分布密度曲线C与x轴围成的面积等于1;③统计意义:Eξ=μ,Dξ=σ2,σ越大总体分布越分散,σ越小总体分布越集中. [母题解析]:略.1.两点分布子题类型Ⅰ:(2011年全国高考试题)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保障的概率为0.5,购买乙种保障但不购买甲种保障的概率为0.3,设各车主购买保障相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保障中的1种的概率;(Ⅱ)X表示该地的100为车主中,甲、乙两种保障都不购买的车主数,求X的期望.[解析]:(Ⅰ)设该车主购买乙种保障的概率为p,由题意知p(1-0.5)=0.3p=0.6;(Ⅰ)该地1位车主至少购买甲、乙两种保障中的1种的概率=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8;(Ⅱ)对每位车主甲、乙两种保障都不购买的概率=(1-0.5)(1-0.6)=0.2;引入随机变量Xk:第k位车主,甲、乙两种保障都不购买时,Xk=1;否则Xk=0(k=1,2,…,100),由Xk服从两点分布EXk=0.2;由ξ=X1+X2+…+X100Eξ=E(X1+X2+…+X100)=EX1+EX2+…+EX100=100×0.2=20.[点评]:两点分布列是随机变量的本质分布,它有极广泛的应用;推广两点分布列可得:若随机变量ξ满足:P(ξ=a)=1-p,P(ξ=b)=p,则Eξ=a+(b-a)p,Dξ=(b-a)2p(1-p);利用两点分布的期望和方差,求由n个两点分布合成的分布的期望和方差,是两点分布的典型应用.[同类试题]:1.(2008年北京高考试题)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.2.(2006年湖南高考试题)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检),若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01);(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.2.二项分布子题类型Ⅱ:(2008年安徽高考试题)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p.设ξ为成活沙柳的株数,数学期望Eξ为3,标准差σξ为.(Ⅰ)求n,p的值,并写出ξ的分布列;(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种的概率.1048 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段2018年课标高考母题[解析]:(Ⅰ)由ξ～B(n,p)Eξ=np=3,Dξ=np(1-p)=()2np=3,np(1-p)=n=6,p=P(ξ=i)=C6i()6(i=0,1,2,3,4,5,6)ξ的分布列为:(Ⅱ)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5)+P(ξ=6)=.[点评]:二项分布的期望和方差公式需理解、记忆、掌握,二项分布的期望和方差公式在解答题中可直接使用;先求成功概率p,再利用二项分布的期望和方差公式解决相关问题,是解决该类问题的“母法”.[同类试题]:3.(2009年辽宁高考试题)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分3个不同的部分,第一、二、三部分的面积之比为1:3:6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.(Ⅰ)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;(Ⅱ)若目标被击中2次,A表示事件:第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).4.(2012年四川高考试题)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值; (Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.3.正态分布子题类型Ⅲ:(2007年课标高考试题)如图,面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形ABCD中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为S.假设正方形ABCD的边长为2,M的面积为1,并向正方形ABCD中随机投掷10000个点,以X表示落入M中的点的数目.(Ⅰ)求X的均值EX; (Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.附表:P(k)=,[解析]:由每个点落入M中的概率均为X～B(10000,);(Ⅰ)EX=10000×=2500;(Ⅱ)因M的面积的估计值=×4所求概率为P(-0.03<×4-1<0.03)=P(2425<X<2575)==P(2574)-P(2425)=0.9570-0.0423=0.9147.[点评]:由参考数据:若X～N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=,求P(a<x≤b)是的基本问题之一,基本方法是由μ-kσ=a或b=μ+kσ求k,并由其对称性,求解.[同类试题]:5.(2014年课标Ⅰ高考试题)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:150≈12.2,若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.2018年课标高考母题备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1049 6.(2013年湖北高考试题)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(Ⅰ)求p0的值(参考数据:若X～N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=; (Ⅱ)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？4.子题系列:7.(2008年全国Ⅰ高考试题)己知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止;方案乙:先任取3只将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性,则在另外2只中任取1只化验.(Ⅰ)求依方案甲所需比验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望. 8.(2011年湖南高考试题)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充．．至3件,否则不进货．．．,将频率视为概率.(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;(Ⅱ)记x 为第二天开始营业时该商品的件数,求x 的分布列和数学期型.9.(2011年全国高考试题)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望.10.(2008年四川高考试题)设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5,购买乙商品的概率为0.6,且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立,每位顾客间购买商品也相互独立.(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(Ⅲ)设ξ是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数,求ξ的分布列及期望.11.(2017年全国Ⅰ高考试题)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ, σ2).(Ⅰ)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X ≥1)及X 的数学期望;(Ⅱ)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得:x =161∑=161i i x =9.97,s=∑-=1612)(161i i x x =∑-=1612216161i i x x ）（≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2,…, 16.用样本平均数x 作为μ的估计值μˆ,用样本标准差s 作为σ的估计值σˆ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ-3σ,μ+3σ)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416=0.9592,008.0≈0.09.12.(2006年湖北高考试题)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100),己知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表φ(x 0)=P(X<X 0):1050 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率P=44253322A C A C =401;(Ⅱ)由事件M:“甲、乙两人不在同一个岗位服务”的对立事件M :“甲、乙两人在同一个岗位服务”⇒P(M )=44254422A C A C =101⇒P(M)=1-P(M )=109; (Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为1,2;事件“ξ=2”是指有两人同时参加A 岗位服务⇒P(ξ=2)=44253325A C A C =41⇒P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=43⇒ξ的分布列是: 2.解:(Ⅰ)每家煤矿必须整改的概率=1-0.5=0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的⇒恰好有两家煤矿必须整改的概率P=C 52×0.52(1-0.5)2=0.31;(Ⅱ)对每家煤矿,必须整改的概率=0.5;引入随机变量X k :第k 每家煤矿,必须整改时,X k =1;否则X k =0(k=1,2,3,4,5),由X k 服从两点分布⇒EX k =0.5;由ξ=X 1+X 2+X 3+X+X 5⇒E ξ=E(X 1+X 2+X 3+X+X 5)=EX 1+EX 2+EX 3+EX 4+EX 5=5×0.5=2.5;⇒平均有2.5家煤矿必须整改;(Ⅲ)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格⇒该煤矿被关闭的概率P=(1-0.5)(1-0.8)=0.1⇒该煤矿不被关闭的概率是0.9⇒至少关闭一家煤矿的概率P=1-0.95≈0.41.3.解:(Ⅰ)由题知X ～B(4,31)⇒X 的分布列为:(Ⅱ)设A i 表示事件:第一次射击时,击中第i 部分,i=1,2”,B i 表示事件:第二次射击时,击中第i 部分,i=1,2”.由题知,P(A 1)=P(B 1)=0.1,P(A 2)=P(B 2)=0.3,且A=A 11B +1A B 1+A 1B 1+A 2B 2.因A 11B 、1A B 1、A 1B 1、A 2B 2两两互斥,且A i 与B j 相互独立⇒P(A)=P(A 11B +1A B 1+A 1B 1+A 2B 2)=0.28.4.解:(Ⅰ)由1-101×p=5049⇒p=51;(Ⅱ)ξ的可能值有0,1,2,3,且P(ξ=k)=C 3k (1-101)k (101)3-k (k=0,1,2,3)⇒ξ的概率分布为:由ξ～B(3,109)⇒E ξ=3×109=2.7. 5.解:(Ⅰ)由x =200⇒s 2=150;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z ～N(200,150)⇒μ=200,σ=150≈12.2⇒P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826⇒X ～B(100, 0.6826)⇒EX=100×0.6826=68.26.6.解:(Ⅰ)由X ～N(800,502)⇒μ=800,σ=50⇒P(X ≤900)=P(X ≤800)+P(800<X ≤900)=P(X ≤800)+21P(700<X ≤900) =P(X ≤800)+21P(800-2×50<X ≤800+2×50)=P(X ≤μ)+21P(μ-2σ<X ≤μ+σ)=21+21×0.9544=0.9772; (Ⅱ)应配备A 型车、B 型车各5、12辆. 7.解:设X 表示依方案甲所需化验次数,则P(X=1)=51,P(X=2)=2514A A =51,P(X=3)=3524A A =51,P(X=4)=4534A A =51,P(X=3)=5544A A =51;由ξ的可能取的值为2,3,且P(ξ=3)=3523C C ⋅1312C C =52⇒P(ξ=2)=1-P(ξ=3)=53; (Ⅰ)事件M:“依方案甲所需比验次数不少于依方案乙所需化验次数”的对立事件的概率=P(X=1)P(ξ=2)+P(X=1)P(ξ=3)++P(X=2)P(ξ=3)=257⇒P(M)=1-257=2518; (Ⅱ)由ξ的分布列⇒ξ的期望为Eξ=2×53+3×52=2.4. 8.解:由题知可得日销售量的频率分布如表:(Ⅰ)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量1件”)=0.05+0.25=0.30;(Ⅱ)由题意知,x 的可能取值为2,3;P(x=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=0.25, P(x=3)=2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 1051 P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=0.05+0.45+0.25=0.75 ⇒x 的分布列如表:Ex=2×0.25+3×0.75=2.75.9.解:设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知p(1-0.5)=0.3⇒p=0.6;(Ⅰ)该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8;(Ⅱ)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率=(1-0.5)(1-0.6)=0.2⇒X ～B(100,0.2)⇒EX=100×0.2=20.10.解:设进入商场的1位顾客购买甲、乙商品的事件分别为A 、B,则A 、B 相互独立,且P(A)=0.2,P(B)=0.6; (Ⅰ)事件M:“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”=A B +A B ⇒P(M)=P(A B +A B)=P(A B )+P(A B)=0.5; (Ⅱ)事件N:“至少购买甲、乙两种商品中的一种”的对立事件N =A B ⇒P(N )=P(A B )=0.2⇒P(N)=0.8; (Ⅲ)ξ可取0,1,2,3;P(ξ=k)=C 3k ×0.8k (1-0.8)3-k (k=0,1,2,3)⇒ξ的分布列为:由ξ～B(3,0.8)⇒E ξ=3×0.8=2.4.11.解:(Ⅰ)由题意知,X ～B(16,0.0026)⇒P(X ≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416=1-0.9592=0.0408⇒EX=16×0.0026=0.0416; (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率为0.0408,如果如此小的概率在一次试验中发生了,有理由相信出现异常情况;(ii)μ-3σ=9.97-0.636=9.334,μ+3σ=9.97+0.636=10.606,剔除9.22,剔除后μ=1522.91697.9-⨯=10.02,∑=1612i i x =0.2122×16+16x 2=1591.13⇒σ=1502.101522.913.159122⨯-+≈0.09. 12.解:(Ⅰ)设参赛学生的分数为ξ,(法一)由ξ～N(70,102)⇒P(ξ≥90)=1-P(ξ<90)=1-φ(107090-)=1-φ(2)= 0.0228⇒成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%⇒参赛的学生总数为0228.012≈526; (法二)由P(ξ≥90)=21[1-P(50≤x<90)]=21[1-P(μ-2σ≤x<μ+2σ)]=21(1-0.9544)=0.0228,以下同上; (Ⅱ)假定设奖的分数线为x 分,则P(ξ≥n)=1-P(ξ<x)=1-φ(1070-x )=52650=0.0951⇒φ(1070-x )=0.9049,查表得:1070-x ≈1.31⇒x ≈83.1⇒设奖得分数线约为83.1分.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高三数学离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn...则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。
解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。
（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。
解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。
期望方差完美知识点试题教案一、教学目标1. 让学生理解期望和方差的定义及性质。
2. 培养学生运用期望和方差解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握期望和方差的计算方法。
二、教学内容1. 期望的定义及性质2. 方差的定义及性质3. 期望和方差的计算方法4. 期望和方差在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：期望和方差的定义、性质及计算方法。
2. 难点：期望和方差在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解期望和方差的定义、性质及计算方法。
2. 利用案例分析，引导学生运用期望和方差解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾离散型随机变量的期望和方差的概念。
2. 讲解期望的定义及性质：结合实例讲解期望的定义，阐述期望的性质。
3. 讲解方差的定义及性质：结合实例讲解方差的定义，阐述方差的性质。
4. 讲解期望和方差的计算方法：引导学生掌握期望和方差的计算方法。
5. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用期望和方差进行分析。
6. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的应用实例和心得。
8. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对期望和方差概念的理解程度。
2. 作业批改：检查学生对期望和方差的计算方法的掌握情况。
3. 案例分析报告：评估学生在实际问题中运用期望和方差的能力。
七、教学拓展1. 介绍期望和方差在其它领域的应用，如金融、统计等。
2. 引导学生探讨期望和方差在实际问题中的局限性。
八、教学反思2. 根据学生的反馈，调整教学方法和策略。
九、课后作业a. X = 1 + 2 + 3 + + 10b. X = 2 ×3 ×4 ××102. 习题二：某班级有50名学生，已知身高服从正态分布，平均身高为170cm，标准差为5cm。
求该班级身高的期望和方差。
期望与方差1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．5.（20XX年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,+道此次调题工作结束.试题库中现共有n m试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).6.（20XX年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:ξ-,求随机(Ⅲ)用,X Y X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||变量ξ的分布列与数学期望Eξ.本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，分布列为说明：n 次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P所以ξ 的分布列为说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.。
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日__ : -- _ _ : 课题教学目标教学重难点教学过程1．离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y表示．如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X所有可能的取值ix与该取值对应的概率ip(1,2,,)i n=列表表示：…………我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布如果随机变量X的分布列为其中01p<<，1q p=-，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()n N≤，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C C()Cm n mM N MnNP X m--==(0m l≤≤，l为n和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率()P X m=，从而列出X的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验知识内容数学期望如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q-==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列… ………由于表中的第二行恰好是二项展开式001110()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p qp q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布，则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40【例3】 从123456，，，，，这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ．【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为（ ）A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、()01c ∈，），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大典例分析值为（ ）A ．148B ．124C ．112D ．16【例6】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．【例7】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例8】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数205030⑴根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例9】 某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ．【例10】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm 、20cm 、10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．【例11】 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴ 求该选手被淘汰的概率；⑵ 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示）【例12】 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；⑶设X 表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X 的概率分布及数学期望EX ．【例13】 在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴ 求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵ 设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【例14】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴ 至少有1人面试合格的概率；⑵ 签约人数X 的分布列和数学期望．【例15】 某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：电话同时打入个数ξ12345678概率P0 0 ⑴若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）． ①求至少一种电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望． 【例16】 某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（ 例如：A C D →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为115）．记路线A C F B →→→中遇到堵车次数为随机变量X ，求X 的数学期望()E X ．【例17】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？ ⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？【例18】 某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列（不要求写出计算过程），并求X 的均值（即数学期望）．【例19】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率1A 对1B2A 对2B 3A 对3B现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例20】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使126k a a a ++=，则称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．【例21】 最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12；第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311555，，；第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%． 针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由． 【例22】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列；⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【例23】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P k ξξ===，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？【例24】 某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；⑵店主每天玫瑰花的进货量x （3050x ≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最大利润?课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求：家长_________________________________ 学管师_________________________________组长签字。
科 教学设计高中数学离散型随机变量的期望方差习题及详解一、选择题1．(全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 [答案] B2．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19C.23D.59 [答案] D3．某区于2010年元月对全区高三理科1400名学生进行了一次调研抽测，经统计发现5科总分ξ(0<ξ<750)大致服从正态分布N (450,1302)，若ξ在(0,280)内取值的概率为0.107，则该区1400名考生中总分为620分以上的学生大约有(结果四舍五入)( )A ．100人B ．125人C ．150人D ．200人 [答案] C5．(模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2 [答案] A6．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )A ．39元B ．37元C ．20元 D.1003元 7．(广州市)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)，参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．( )A ．450元B ．900元C ．600元D ．675元 [答案] D8．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256 B.9256 C.247256 D.764 [答案] C9．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ，负的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )A.13B.12C.112D.16 [答案] C 二、填空题11．(如图，A 、B 两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.则信息总量ξ的数学期望为________．[答案]42512．(江门市模考)产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X 1、X 2的分布列分别如下：X 1 0 1 2 3 P0.40.40.10.1X 2 0 1 2 P0.30.50.2两台机床中，较好的是________． [答案] Ⅱ 因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)13．(南京调研)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1)袋中原有白球的个数为________． (2)随机变量X 的数学期望E (X )＝________. [答案] (1)6 (2)10714．(高考调研)如果随机变量ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝4，且D (ξ)＝2，则E (pξ－D (ξ))＝________.[答案] 0 三、解答题15．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．16．(2010·新乡市调研)高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允许多选，也不允许不选)．(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； (2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；(3)求3位同学中，选择选修课程A 的人数ξ的分布列与数学期望．17．设两球队A 、B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是p (0≤p ≤1)．(1)若比赛6局，且p ＝23，求其中A 队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望.。
期望、方差、正态分布 期望、方差知识回顾：1．数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 2.期望的一个性质: ()E a b ξ+=aE b ξ+ 3.若ξ～B （p n ,），则ξE =np4.方差:ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…．5.标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．6.方差的性质： ξξD a b a D 2)(=+； 若ξ～B （p n ,），则=ξD )1(p np - 特别提醒：1. 随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 正态分布知识回顾：1.若总体密度曲线就是或近似地是函数R ,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ的图象，则其分布叫正态分布，常记作),(2σμN ．)(x f 的图象称为正态曲线．三条正态曲线：①5.0,1==σμ；②1,0==σμ；③2,1==σμ，其图象如下图所示：观察以上三条正态曲线，得以下性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 时位于最高点．③当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．注意: 当1,0==σμ时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是R ,21)(22∈=-x e x f x π．相应的曲线称为标准正态曲线．2. 正态总体的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； 当0μ=时得到标准正态分布密度函数：()()221,,26xf x e x π-=∈-∞+∞.3.正态曲线的性质：① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③ 曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；4. σμ,是参数σμ,是参数的意义:① 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；② 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中； σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
精准高考 2018年高考数学主干知识突破专题七：概率、统计、均值、方差高考对数学基础知识的主干考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变,所以主干知识的内容是高考的重点内容，也是高考的得分点。
解析几何是高考的必考主干内容。
高考主要考查直线、圆的方程和位置关系，圆锥曲线的定义性质及直线与圆锥曲线的位置关系，在选择题、填空题中主要考查直线与圆、圆锥曲线的性质，特别注意圆锥曲线的方程和离心率等问题。
解答题一般考查方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题，特别注意垂直、弦长、面积、定点、定值、范围、最值、存在性问题等。
一般有两个小题，一个大题，分值在22分左右，在二轮中要力求突破。
一、2018年考试大纲分析1.计数原理(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.(2)排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.(3)二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.概率与统计(1)概率①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.③了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.④理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.⑤利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.(2)统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.①独立性检验了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.②回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.二、核心知识点精讲一、随机事件的概率1．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．注意1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．二、古典概型、几何概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2．古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(2)概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意：1．在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.3．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．4．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积注意易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．三、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质○1p i≥0(i＝1,2，…，n)；○2∑==niip113．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X 0 1P 1－p p其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N四、n次独立重复试验与二项分布1．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P ABP A为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n).五、离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．均值(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i …p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(3)(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．方差(1)设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i …p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑=ni 1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差．(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )．(4)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．3．正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据：①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6；②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4 三、三年模拟课前精练 一、选择题1．(2017·广东汕头4月模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.75解析 P ＝C 340.83·0.2＋C 440.84＝0.819 2，故选B.答案 B2．(2017·河北唐山模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (2，9)，若P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，则c 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 因为ξ服从正态分布N (2，9)，即μ＝2为图象的对称轴，而P (ξ>c )＝P (ξ<c －2)，即μ＝c 与μ＝c －2关于μ＝2对称，则有c ＋c －22＝2，c ＝3.故选C. 答案 C3．(2016·福建福州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0，1)，可得p ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，故应选C.答案 C4．(2017·安徽芜湖一模)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析 E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3·2－10. 答案 C5．(2016·福建福州调研)已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为( )ξ 1 2 3 4 P14m n112A.13B.14C.16D.18解析 η＝4ξ－2⇒E (η)＝4E (ξ)－2⇒7＝4·E (ξ)－2＝7⇒E (ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112， 又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得n ＝13，应选A. 答案 A6．(2014·江苏苏州调考)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝c k ＋1，k ＝0，1，2，3，则E (ξ)＝( ) A.1225B.2325C.1350D.4625解析 由条件知c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225，故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P1225625425325故E (ξ)＝0×1225＋1×625＋2×425＋3×325＝2325，∴选B. 答案 B 二、填空题5．(2017·宁夏银川质检)已知随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P121613那么ξ的数学期望E (ξ)＝________，设η＝2ξ＋1，则η的数学期望E (η)＝________.解析 由离散型随机变量的期望公式及性质可得，E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，E (η)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23. 答案 －16 236．(2017·长沙调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.解析 因为是有放回地取产品，所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14，从中取3次(做3次试验)X 为取得次品(成功)的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14， ∴D (X )＝3×14×34＝916.答案916四、典型例题精讲考点一：概率的性质：例一 1．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为( )A.23B.34C.45D.56解析：选D 由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1. 知45a ＝1.∴a ＝54. 故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.2．随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1Pa b c其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______. 解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：23考点二：离散型随机变量分布列求法例二 (2013·江西高考改编) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．[解] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727[针对训练](2014·温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37. (2)由题知X 的可能取值为1,2,3,4.则P (X ＝1)＝C 12C 16＋C 22C 28＝1328，P (X ＝2)＝C 26C 28·C 14C 12＋C 22C 26＝928，P (X ＝3)＝C 26C 28·C 24C 26·C 12C 12＋C 22C 24＝528，P (X ＝4)＝C 26C 28·C 24C 26·C 22C 24＝128. X 的分布列为X 1 2 3 4 P1328928528128考点三：超几何分布例三 (2014·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C35C39＝542，P(ξ＝1)＝C25C14C39＝1021，P(ξ＝2)＝C15C24C39＝514，P(ξ＝3)＝C3 4 C3 9＝121.∴ξ的分布列为ξ012 3P5421021514121[针对训练](2013·哈师大附中模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数31111 3(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)根据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝k)＝C k3C3－k7C310(k＝0,1,2,3)，其分布列为ξ012 3P72421407401120考点四：条件概率例四1．(2013·平顶山二模)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310B.29C.78D.79解析：选D 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730.则所求概率为P(B|A)＝P AB P A ＝730310＝79.2．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为( )A.23B.13C.1116D.516解析：选A 记“取到蓝球”为事件A，“取到玻璃球”为事件B，则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B发生的条件下A发生的条件概率，记作P(A|B)．因为P(AB)＝416＝14，P(B)＝616＝38，所以P(A|B)＝P ABP B＝1438＝23.3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C25C2100，所以P(B|A)＝P ABP A＝5×4100×995100＝499.答案：4 99考点五：相互独立事件的概率例五(2013·长春二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝1 3 .(1)3人同时被选中的概率P 1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率P 2＝P(AB C∪A B C∪A BC)＝25×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1－25×34×1 3＝2360.3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B C ∪A B C ∪A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝512. 故3人中至少有1人被选中的概率为110＋2360＋512＝910.变式： 在本例条件下求三人均未被选中的概率.解：法一：三人均未被选中P ＝P (A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝110.法二：由本例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为910∴P ＝1－910＝110.[针对训练]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( )A.910B.45C.89D.8990解析：选D 目标被击中的对立事件为两人都击不中，而两人都击不中的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－910×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－89，所以所求事件的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－910×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－89＝8990. 考点六：独立重复试验与二项分布例六 在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布列．[解] (1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A － B －”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，12则P (ξ＝k )＝C k4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．故变量ξ的分布列为：Ξ 0 1 2 3 4 P116143814116变式训练(2014·广州调研)设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－342＝964. 1．(2014·杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E (ξ)的值为( )A.43B.119C ．1D.89解析：选A 由题意可知，ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，所以E (ξ)＝2×23＝43.2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：选B 因为P (ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2. 所以E (ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 考点七：离散型随机变量的均值例七 1．(2013·广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52D ．3解析：选A E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.2.(2013·湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125 D.75解析：选B 依题意，X 的取值可能为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125， P (X ＝3)＝8125，E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 3．(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是X 1 2 3 4 P1354352747随机变量X 的数学期望EX ＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175. 考点八：离散型随机变量的方差例八 (2013·浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎨⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.变式训练(2014·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X 8910P 0.20.60.2Y 8910P 0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料．解：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．考点九：正态分布例九(1)(2013·石家庄模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.8，则P(0＜ξ＜1)的值为( )A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6[解析] P(0＜ξ＜1)＝P(ξ＜2)－P(ξ＜1)＝0.8－0.5＝0.3，故选B.[答案] B(2)(2014·合肥模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝( )A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84[解析] 因为曲线的对称轴是直线x＝2，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ＞4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.[答案] A变式：保持本例(2)条件不变，求P(0＜ξ≤4).解析：由P(ξ＞4)＝P(ξ≤0)＝0.16∴P(0＜ξ≤4)＝1－2×0.16＝0.68.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)．[针对训练]某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析：由题意知，P(X＞110)＝1－2P 90≤X≤1002＝0.2.∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.答案：10五、高考试题精析1、（2012年18. ）（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，Nn ）的函数解析式；(Ⅱ) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为X55 65 75 85 P0.1 0.2 0.16 0.54 X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4， 因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花.2、(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望． 解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为X 400 500 800X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7P1116 116 14EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 3、（2014年20. (本小题满分12分) ）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.（I ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.20．(Ⅰ) 设()22,0F c a b + ，由条件知2233c =，得3c = 又32c a =， 所以a=2 ，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ的距离221d k =+，所以∆OPQ 的面积221443214OPQk S d PQ k ∆-==+ ， 设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±时等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或722y x =--. (12)分 4、（2015 年19．（12分））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w ，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题六、均值、方差、分布列测试题均值、方差、分布列测试题（时间120分钟分数150分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312解析该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.答案 A2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45解析由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.答案 A3．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682。
