如皋中学高中数学竞赛模拟题(如皋中学：童云飞)

江苏省南通市如皋中学2020届高三数学下学期4月模拟考试试题（创新班，含解析）一、填空题1.设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________.【答案】0； 【解析】 【分析】根据集合相等，即两集合中元素对应相等可得+222m m m =⎧⎨=⎩，求解可得到m 的值.【详解】因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m=⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 2.已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242ab a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】 由2244242a ba b b --=--，且a ，b ∈(0，2)，化简为：2222(2)2a ba b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由()()2f a f b =-，得a ＋b 的值.【详解】由2244242a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，设()22xf x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)，且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.故答案为2【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题. 3.已知关于x 的不等式()2101x bx c ab a++<>的解集为空集，()()21211a b c T ab ab +=+--的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出24ab c ≥，再将()()21211a b c T ab ab +=+--化为22122(1)ab a b T ab ++≥-，由1ab >和均值不等式可求得最小值.【详解】由题意可得：10a >，240c b a -≤，可以得到24ab c ≥， 而221(2)124122(1)12(1)2(1)a b c ab ac ab a b T ab ab ab ab +++++=+=≥----，可以令1>0ab m -=，则有212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥，当且仅当1>0m =取等号.所以T 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查均值不等式,关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出,,a b c 的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，属于中档题. 4.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．【答案】【解析】分析：240x x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得4ab ≥；再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得4ab ≤，所以可得4ab =，22a b a b +-可化为22164a a a a+-，平方后换元，利用基本不等式可得结果. 详解：已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，0a ∴>，且1640,4ab ab ∆=-≤∴≥；再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+=⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭（当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32，故22a b a b+-=，故答案为点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5.已知A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为__. 【答案】3 【解析】 【分析】易得1OM (OA OB)2=+，可得152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭，结合A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，计算可得答案.【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解由条件易知OAB ∆为正三角形. 又由M 为AB 的中点， 则1OM (OA OB)2=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.【点睛】本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出1OM (OA OB)2=+代入计算是解题的关键. 6.过直线20x y ++=上一点P ，作圆()()223116x y -++=的两条切线，切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，若()()222112122y y x x x x -=-+-，则PA =______.【答案】8 【解析】 【分析】由()11,A x y ，()22,B x y ，设AB 的中点()00,M x y ，则有()()22113116x y -++=，()()22223116x y -++=，将两式作差得，12121212+6++2y y x x x x y y --=--，再结合已知条件()()222112122y y x x x x -=-+-，可得AB 的中点M 的轨迹方程是+210x y -=，由+2120y x y x ++==-⎧⎨⎩，得点()5,3P -，运用勾股定理可求得PA 的长. 【详解】由()11,A x y ，()22,B x y ，设AB 的中点()00,M x y ，则有()()22113116x y -++=，()()22223116x y -++=，将两式作差得，12121212+6++2y y x x x x y y --=--，又()()222112122y y x x x x -=-+-，即12121212+2+y y x x x x y y --=--，所以12121212+6+2++2+x x x x y y y y ---=-，所以00000031+210+1x x x y y y --=-=，，所以AB 的中点M 的轨迹方程是+210x y -=，而点P 也在直线+210x y -=上，所以由+21200y x y x ++==-⎧⎨⎩，得点()5,3P -，而圆()()223116x y -++=的圆心31C -（，），半径4R =，所以PC ==8PA ==，故答案为：8.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系之切线的相关问题，关键在于运用点差法，得出弦的中点的轨迹方程，属于中档题.7.在△ABC 中，(AB AC λ-)⊥BC (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】把向量BC 进行转化，用λ表示cos A ，利用基本不等式可求实数λ的值. 【详解】22()()(1)cos 0AB AC AB AC c b bc A λλλ-⋅-+=--++=1cos ()1b c A c b λλ=+≥=+，解得λ＝3． 故答案：3.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.8.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】3【解析】 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e ）21211e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．9.已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______. 【答案】cos sin22θθ+【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin22θθ+，故答案为：cossin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.10.已知长方体1111ABCD A B C D -，5AB =，3AD =，14AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为______. 【答案】2110【解析】 【分析】设CM x =，根据1~BB P BCM ∆∆得112B P x=，设圆1O 的半径为1r ，根据等面积法得1r =，又132r ≤，解得0x ≥，设圆2O 的半径为2r ，则2232r r =≤，解得85x ≥，所以12r r +=，设8(),5f x x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，求导判断函数的单调性，可得最值.【详解】如图所示:平面 ABMN 将长方体分成两部分,延长11B C 与BM 交于点P , 如图2所示，设CM x =，根据1~BB P BCM ∆∆得112B P x=， 设圆1O 的半径为1r ，根据等面积法得1r =，又132r ≤，解得0x ≥，设圆2O 的半径为2r ，则2222483,21214439416x rr x x x x ==≤++++++，解得85x ≥，所以12239r r x x +=+++，设28(),,539f x x x x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭+++，则222222223(39)(312)12712399()(39)(39)9x x x x x x x f x x x x x x '⎛⎫+++-++⎪--++⎝⎭==+++++++，设2()271239g x x x =--+，则()g x 在8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且805g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()0<g x 恒成立，所以()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以max 821()510f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：2110.【点睛】本题考查几何体的内切球的问题，关键在于运用空间想象能力得出两内切球的半径之和的函数，运用求导研究函数的单调性，属于难度题. 11.已知数列{}n a 满足11a =，195n n n a a a +-=-，则n a =______. 【答案】23n- 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式后可得n a . 【详解】由195n n n a a a +-=-得()()()()1115903323230n n n n n n n n a a a a a a a a +++∴--+=∴---++-=，，1111332n n a a +∴=---，又11113132a ==---， 所以数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列, 111(1)3222n n n a ⎛⎫∴=-+--=- ⎪-⎝⎭，23n a n ∴-=-，所以23n a n=-， 故答案为：23n-. 【点睛】本题考查根据数列的递推式求得数列的通项，关键在于由递推式构造出新的数列，使新数列为等差数列或等比数列，属于中档题.12.已知1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，若12x x <，则()12f x x 的取值范围为______． 【答案】3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先由题得所以12121,2m x x x x +=⋅=，1102x <<.化简得()12f x x =111111)2ln 1x x x x -+--（，再构造函数1)x x -+g()=（1112ln (0)12x x x x -<<-，利用导数求函数的值域即得解. 【详解】由题得函数的定义域为(0,)+∞，21()22(22)m f x x x x m x x'=+-=-+， 所以12,x x 是方程2220x x m -+=的两个实数根， 所以12121,2mx x x x +=⋅=，因为12x x <，1>0x ， 所以112021x x x <<+=， 所以1102x <<. 所以()2211111121222ln 2(1)2ln 1=f x x m x x x x x x x x x +--+-= =111111)2ln 1x x x x -+--（ 记1111)2ln (0)12x x x x x x -+-<<-g()=（， 所以22211()12ln 2ln()(1)(1)g x x ex x x '=-++-=---由102x <<2201,ln()04eex ex ⇒<<<∴<，所以()0,()g x g x '<∴在1(0)2，单调递减，又由洛必达法则得当0x →时，21ln ln 011xx x x x x x===-→-，即00lim(ln )0,lim ()0x x x x g x →→=∴=1113()ln 2ln 22222g =+-=--， 所以函数g(x)的值域为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭.即()12f x x 的取值范围为3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知222:2,(0)E x y a a +=>，12,F F 分别为其左右焦点，P 为E 上任意一点，D 为12F PF ∠平分线与x 轴交点，过D 作12,PF PF 垂线，垂足分别为,M N ，求12DMN F PF SS的最大值______． 【答案】14【解析】 【分析】设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，计算sin sin2mn DM DN PD m nθθ===+，化简得到()122222sin sin sin 44DMN F PF S mn mn Smn m n θθθ=≤=+，再计算最值得到答案.【详解】设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，故12111sin sin sin 22222PF F S mn mPD nPD θθθ∆==+，故2cos2mn PD m nθ=+， sin sin 2mn DM DN PD m nθθ===+，故()()1222221sin sin sin sin 121444sin 2DMN F PF DM DN S DM DN mn mn S mn mn m n mn πθθθθθ⋅-⋅===≤=≤+. 当P 为上下顶点时，m n =，2πθ=，等号成立.故答案为：14. 【点睛】本题考查了椭圆内的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______. 【答案】(-∞ 【解析】 【分析】先运用分段函数的解析式，得出()()()1F x f f x m =++的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得12x x 的取值范围.【详解】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出12x x 的函数解析式，属于难度题. 二、解答题15.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22C f =，sin 2sin B A =，求,a b 的值.【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）1,2a b ==. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间. （2）由22C f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出C 的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值．【详解】（1）()3sin2cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=， 所以()2222232cos,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，② 由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥底面ABCD ，点M 为PD 的中点，90PCD ∠=.（1）求证：PB 平面AMC ；（2）求证：PB ⊥平面ABCD . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】(1) 连结BD ,交AC 于O ,连结MO ,再证明MO PB ∥进而得到PB 平面AMC 即可.(2)根据线面垂直的性质结合证明PB AB ⊥判定即可. 【详解】（1）如图,连结BD ,交AC 于O ,连结MO . 因为四边形ABCD 为矩形,ACBD O =,所以O 为BD 的中点,又M 是PD 的中点,所以,在PBD △中,MO PB ∥. 又PB ⊄平面AMC ,MO ⊂平面AMC ,所以PB平面AMC .（2）因为四边形ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为90PCD ∠=,则PC CD ⊥. 又BC PC C ⋂=,BC 、PC ⊂平面PBC ,所以CD ⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ,所以CD PB ⊥.在矩形ABCD 中,AB CD ∥,所以PB AB ⊥. 又平面PAB ⊥底面ABCD , 平面PAB ⋂底面ABCD AB =,PB ⊂平面PAB ,所以PB ⊥平面ABCD .【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据面面垂直的性质判定线面垂直的方法,属于中档题.17.如图所示，射线OP 在第一象限，且与x 轴正向的夹角为45︒，动点A 在射线OP 上，动点B 在x 轴正向上，AOB 的面积为定值S .（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）设12,M M 是曲线C 上的动点，点12,M M 到x 轴的距离之和为1.若u 为点12M M 到y 轴的距离之积，问是否存在最大的常数m ，使得u m ≥恒成立？若存在，求出这个m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2220,0xy y S x y -=>>（2）答案不唯一，具体见解析【解析】 【分析】（1）设(),M x y ，则()2,2A y y ，所以()22,0B x y -，所以()12222S x y y =-⋅, 可得线段AB 的中点M 的轨迹;（2）设()111,M x y ，()22212,1M x y y y ⇒+=，因为222S y x y+=，所以2221212121212222224S y S y S S u x x y y S y y y y +++==⋅=+-，令1114t y y =≤，可得224S Sy t t+=+的单调性，从而得出结论.【详解】（1）设(),M x y ，则()2,2A y y ，所以()22,0B x y -，所以()12222S x y y =-⋅, 所以线段AB 的中点M 的轨迹()2:220,0C xy y S x y -=>>;（2）设()111,M x y ，()22212,1M x y y y ⇒+=，因为222S y x y +=，所以2221212121212222224S y S y S S u x x y y S y y y y +++==⋅=+-, 令21212+124y y t y y ⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，224S S y t t +=+在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，11144S t ≥⇒≥-⇒=，即12y y =，2min 14u S S m =++=，10142S <⇒<<-+，则t =min u S =. 【点睛】本题考查与直线有关的函数的最值问题，曲线的轨迹方程的求法,导数的应用,单调性常常利用导数求解;考查计算能力,转化思想,属于难度题.18.已知椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点P ，1F ，2F 分别是椭圆W 的左、右焦点，12PF F ∆为等腰三角形. （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .①求B 点坐标； ②求证：11EF FG =. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）41,,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知求出222,1a b ==，即得椭圆W 方程为2212x y +=. （Ⅱ）①由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，联立直线和椭圆方程证明0E G y y +=，即11EF FG =. 【详解】（Ⅰ）由已知c e a ==222a b c =+，得b c =，a =， 12PF F ∆为等腰三角形，∴ 122F F F P =，则())22221c =-+解得1c =，222,1a b ∴== ∴椭圆W 方程为2212xy +=.（Ⅱ）①由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，可求41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为()1y k x =+（1k ≠）.由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=， 令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=. 把()221y k x =+代入得()()2211Ex k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为1111434333y y x x +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+,令1x =-，得点G纵坐标1111433G y x y x --=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 把()111y k x =+代入得()()111134G x k y x +-=+.()()()()2121111134E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()()()()2121211134134k x x x x x x ⎡⎤-++-+⎣⎦=⋅+()()()121221123434k x x x x x x ⎡⎤-+++⎣⎦=⋅+,把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到()1212234x x x x +++中， ()1212234x x x x +++=222222423402121k k k k ⎛⎫--⨯+⨯+= ⎪++⎝⎭. 即0E G y y +=，即11EF FG =. 【点睛】本题主要考查椭圆是几何性质和方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.已知函数()1sin ln 12f x x x m x =-++． ()1当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率； ()2若存在1x ，()20,x ∞∈+，且当12x x ≠时，()()12f x f x =，证明：12214x x m <． 【答案】（1）12cos12-（2）见解析 【解析】 【分析】()1求出()11'1cos 2f x x x=-+,求出()'1f 的值， 可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；()2令21x t x =，将12214x x m<转化为ln 0t <，设()ln 1)h t t t =>，所以()'0h t =<在()0,∞+恒成立．所以()h t 在()1,∞+单调递减，故()()10h t h <=，从而可得结论．【详解】()1依题意，()1sin 1ln 2f x x x x =-++， ()11'1cos 2f x x x ∴=-+，故()1'12cos12f =-，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为：12cos12-()2依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．令sin y x x =-，()0,x ∞∈+，故'1cos 0y x =-≥，故函数sin y x x =-在()0,∞+上单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-； 因为()()12f x f x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x m x x x m x -++=-++ 所以()()()2121212111ln ln sin sin 22m x x x x x x x x --=--->-，所以212120ln ln x x m x x -->>-；下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t->，只要证明ln 0t <．设()ln 1)h t t t =>，所以()'0h t =<在()0,∞+恒成立． 所以()h t 在()1,∞+单调递减，故()()10h t h <=，从而ln 0t <得证．所以2m ->，即12214x x m <． 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）设数列2{}n a 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （3）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在 【解析】试题分析：（1）依据题设探求出12n n a a -=，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比- 21 - 数列的前项和公式分别求出2n S ，n T ，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：解：（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=. 因为10a ≠，所以12n n a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =. （2）因为()2224n nn a ==，所以2124n n a a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，从而()()2221224112nn n S -==--，()()414441143nn n T -==--， 所以232n n S T =. （3）假设{}3n n a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()233232n m m k k n a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-， 所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3n n a -中不存在三项成等差数列.点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力．。

如皋中学高二数学竞赛预选赛试题考试时间：8：00—11：00 满分：150分命题人：童云飞一：填空题：本大题共8小题，每题8分。

1. 若函数 2()(2)log a f x a x =- 在 [1,0]- 上是增函数，则 a 的取值范围是_________.2. 函数 ()2|sin |3|cos |f x x x =+ 的值域为___________.3. 已知点 P 是双曲线22184yx-= 的动点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为坐标原点，则 12||||||P P F F OP + 的取值范围是____________.4. 实数 ,,x y z 满足 2221y x z ++=，则yz + 的最大值为____________.5. 正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，AP AB AFαβ=+ （α、β∈R ），则α+β的取值范围是 ．6. 已知正方体 1111ABCD C A B D - 的棱长为 1，O 为底面 A B C D 的中心，,M N 分别是棱11A D 和 1C C 的中点，则四面体 1O MN B - 的体积为_____________.7. 数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如sin()n a A n Bωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ、、、均为实数，且π002A ωϕ>><，，，则n a = .（只要写出一个通项公式即可）8. 已知函数 213()24f x a x x =--(0)a >，若在任何长度为 2 的闭区间上总存在两点12,x x ，使 121|()()|4f f x x -≥成立，则 a 的最小值为______________.二：解答题：本大题共3小题，满分86分.9. （本小题满分16分）设 r 为正整数，定义数列 {}n a 如下：11a =，且对每一个正整数n ，212(1)2rn n n n a a n +++=+. 求证：每个 n a 都是正整数.10. （本小题满分20分）非等腰的锐角三角形 ABC 内一点 O 满足,2070OBC OCB BAO OCA ︒︒∠=∠=∠+∠=，求 .A ∠11. （本小题满分20分） 设 012,,,...a a a 是一个正实数序列，满足 211(1,2,...),i i i i a a a -+≤=证明：对一切 1n >，有012121 (1)1nn a a a a a a a n n -+++++++∙+-012112......n na a a a a a a nn-+++++++≥∙.12. （本小题满分30分） 求证：存在无穷多对正整数 (,)a b 满足：2213a b ++ 和 a b -都是立方数.如皋中学高二数学竞赛预选赛试题答题纸考试时间：8：00—11：00 满分：150分一：填空题1.__________________2._________________3.__________________4.__________________5.__________________6.___________________7.___________________ 8.___________________ 二：解答题9. 10.11. 12.2011年如皋中学高二数学竞赛预选赛试题参考答案及评分标准 一． 本大题共8小题，每题8分1. (1,2)2.3.4. 25. [3，4]6. 7487. ()2ππ1332n -+ 8.14二：解答题9. 解：由题意，得211(2)(1)(1)2(1)r n n n n n n n a a ++++=+++令 (1)n n n n b a =+，得2112(1)r n n n b b ++=++211122)22(nn r n k k k k b b b b k +-==∴=+-=+∑∑----------------------------------------------------8分下证：|,(1)|.n n n n b b + 由于 21210]()[nr r n k n k kb ++==+-∑21211](1)[nr r k n k k++==++-∑由因式分解易知，21212121|],(1)|]()(1)[[r r r r n n n k n k k k +++++++-+-(1,2,....,k n = 故每个 n a 都是正整数.------------------------------------------------------------------16分.10. 解：过 C 作 A C 的垂线交 A O 的延长线于 D , 则 90BCD OCB OCA BAO ︒∠=-∠-∠=∠.因此 ,,,B A C D 四点共圆，且 A D 是直径。

2008～2009学年度高一年级上学期期末模拟试题（四）一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}3,1,0,1,3U =--，{}3,0,1A =-，则U A =ð ．2．函数sin(3)4y x π=-的最小正周期为 ．3．在平行四边形ABCD 中，若向量,AB a AC b ==，则向量AD = ．（用,a b 表示） 4.若210()((6))x x f x f f x -≥⎧=⎨+⎩ ，　，x<10，则f(5)的值等于 .5．已知向量a =(2, 3)，b =(1, 1)，c =(3, 7)，若存在一对实数12,λλ，使12c a b λλ=+，则12λλ+= ．6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且当26x <≤时，()3f x x =-，则(1)f = ． 7．已知向量a=，且单位向量b 与a 的夹角为30︒，则b 的坐标为 ．8.函数31()log (3)f x x =-的定义域是 ．9．若4sin 5θ=，且cos()0πθ+>，则cos()3πθ-= ． 10.已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是______________． 11．若向量,a b 满足：||5a b -=，71(,)22a =,2||b =，则a 与b 的数量积为 ．12．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,P P ，则1324PP P P ⋅等于 .13.定义运算2)2(2)(,)(,222-⊕*=-=⊕-=*x xx f b a b a b a b a 则函数的奇偶性为 .14．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。

江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．向量(1,1)a =，(2,5)b =，(3,)c x =，满足条件(8)a b -．c 30=，则x =() A ．6B ．5C ．4D ．33．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m4．下列四个结论正确的是（ ）A ．两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行B ．两条直线没有公共点，则这两条直线平行C ．两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行D ．两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行5．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”。

江苏省如皋中学2022届高三数学下学期质量检测试题时间120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．（百校联考卷1改编）已知全集U =R ，集合A =(),0-∞，{}1,3,B a =--，若()U C A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ▲ ．2．若2()x i +是实数（i 是虚数单位），则实数x 的值为 ▲ ．3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000,3500)范围内的人数为 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为 ▲ ． 5．已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线12:210,:10,l x y l ax by --=+-=则直线12l l ⊥的概率为 ▲ ． 6．（试题调研精选）设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为3，则其表面积等于 ▲ ．7．如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则∠CAE 的正切值为 ▲ ．8．在△ABC 中，若2AB AC AB CB •=•=，则边AB 的长等于 ▲ ．9．已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过椭圆的右焦点且与轴垂直的直线与椭圆交于，若PQM ∆为正三角形，则椭圆的离心率等于 ▲ ． 10．（老高三建议题）若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数的取值范围是 ▲ ．11．（扬州卷14改编）若实数x 、y 满足114422xyx y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 ▲ ．12．（原创）定义在R 上的()f x ，满足22()()2[()],,,f m n f m f n m n R +=+∈且(1)0f ≠，则(2012)f 的值为 ▲ ．13．（文科卷14改编）已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ． 14．设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a ,满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根,则数列}{n a 的通项公式为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分。