【数学】福建省各地市2011年高考最新联考分类汇编(6)不等式

2011年福建高考数学一、考试概况2011年福建高考数学考试是福建省普通高中毕业生统一招生考试中的一科。

该科目呈现了新课程标准的特点，突出了数学基本知识和能力的考查，注重考查学生的思维能力、创新能力和实际应用能力。

考试时间为120分钟，总分为150分。

二、试题分析2011年福建高考数学试题分为选择题和非选择题两部分，具体如下：选择题选择题共30道，每题4分，总分120分。

选择题包括四个选项，考生根据题目要求选择正确答案。

题目涉及了数学的各个方面，包括代数、几何、函数和图像、概率与统计等内容。

其中，几何和函数与图像的内容较多，要求考生掌握基本的几何和函数知识，并能够将其应用于实际问题中。

非选择题共四道，每题10分，总分40分。

非选择题要求考生进行解答和证明，需要运用数学的基本原理和方法，进行推理和计算。

非选择题的主要考点包括方程与不等式的求解、集合与运算、平面向量以及三角函数的应用等。

这些考点都是高中数学的重要内容，需要考生熟练掌握。

三、参考答案及解析以下是2011年福建高考数学试题的部分参考答案及解析：选择题1.答案：B 解析：根据题目要求，将方程两边同时开方得到 $x = \\sqrt{9} = 3$，故选项B正确。

2.答案：C 解析：根据题目要求，将多项式的系数与指数分别求和，得到系数和为7，指数和为10，故选项C正确。

1.解答：首先将方程两边开根号，得到 $\\sqrt{3x+1} - 3 = 1$，然后将方程两边移项得到 $\\sqrt{3x+1} = 4$，最后将方程两边再次平方，得到3x+1=16，解得x=5。

2.解答：首先将不等式两边乘以2，得到 $2\\sin^2x - 3\\cos x \\geq 0$，然后将不等式变形得到 $\\sin^2 x\\geq \\frac{3}{2} \\cos x$，由于 $\\sin^2 x + \\cos^2 x= 1$，所以 $\\cos x = \\sqrt{1-\\sin^2 x}$，代入得到$\\sin^2 x \\geq \\frac{3}{2} \\sqrt{1-\\sin^2 x}$，将不等式两边平方得到 $\\sin^4 x \\geq \\frac{9}{4} (1-\\sin^2 x)$，将不等式变形得到 $4\\sin^4 x + 9\\sin^2 x - 9 \\geq 0$，解得 $\\sin^2 x \\leq \\frac{-3}{4}$，由于$\\sin^2 x \\geq 0$，所以不等式成立，解集为$\\emptyset$。

2011年福建高考数学一、引言2011年福建高考数学试卷是福建省教育考试院于2011年组织的一项重要考试，用于评估学生在数学方面的掌握程度和应用能力。

本文将对该年度的福建高考数学试卷进行分析和讨论。

二、试卷结构2011年福建高考数学试卷分为两个部分：选择题和解答题。

选择题部分包含20个小题，每个小题4个选项，共计80分；解答题部分包含4个大题，共计70分。

三、选择题分析选择题是福建高考数学试卷的第一部分，考察的是学生对基础知识的掌握和运用能力。

以下是几个典型选择题的讨论：1.题目：已知直角三角形ABC，∠B=90°，AB=3，AC=4，则BC的长度为多少？(A)5(B)6(C)7(D)8 此题考察学生对勾股定理的应用，正确答案为选项 C。

2.题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于2个点，且这2个点的横坐标之和为1，则a+b+c的值为多少？(A)1(B)-1(C)0(D)2 此题考察学生对二次函数与x轴的交点和系数之间的关系，正确答案为选项 C。

四、解答题分析解答题是福建高考数学试卷的第二部分，要求学生进行较复杂的计算和推导。

以下是几个典型解答题的讨论：1.题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求函数f(x)的最小值。

解答：为了求函数f(x)的最小值，我们可以先求出其对应的二次函数的顶点坐标。

根据二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为-x轴系数的一半，即x=-1。

将x=-1代入函数f(x)中，得到最小值为0。

所以，函数f(x)的最小值为0。

2.题目：已知向量A=(1, 2)和向量B=(3, -1)，求向量A与向量B的夹角的余弦值。

解答：根据向量的点积公式，向量A与向量B的夹角的余弦值可以用它们的点积除以它们的模的乘积来表示。

向量A与向量B的点积为13 + 2(-1) = 1。

向量A的模为√(1^2 + 2^2) = √5，向量B的模为√(3^2 + (-1)^2) = √10。

2011年福建高考数学一、引言2011年福建高考数学考试是全省考生备受期待的一场考试。

数学作为高考的重要科目之一，对于考生的综合能力和思维能力有着重要的考察作用。

本文将对2011年福建高考数学试卷进行全面分析，包括试题类型、难度、解题思路等方面，帮助考生更好地理解和应对数学考试。

二、试题类型2011年福建高考数学试卷中涵盖了多种题型，如选择题、填空题、计算题和解答题等。

其中，选择题是考试中的基础题型，填空题和计算题更加注重知识点的掌握和计算能力，而解答题则对考生的分析能力和解题能力提出了更高的要求。

在选择题中，包括单项选择和多项选择。

单项选择题通过对知识点的考查，考验考生对所学知识的掌握和理解。

多项选择题在单项选择题的基础上更进一步，要求考生对知识点的理解更为深入，善于分析和解决问题。

填空题和计算题主要考察考生对数学知识的掌握和运用能力。

填空题要求考生根据题意进行整理和归纳，运用所学知识进行计算。

计算题要求考生熟练掌握各种运算法则，并能够合理运用解决实际问题。

而解答题则是考试中的难点，也是对考生综合能力的一次综合考察。

解答题通常包括证明题和应用题。

对于证明题，考生需要通过逻辑推理和证明方法，完成数学定理和结论的证明。

而应用题则要求考生将所学知识应用到实际问题中，分析和解决具体的问题。

三、试卷难度2011年福建高考数学试卷整体难度适中，试题难易程度分布较为均衡。

选择题相对较简单，考察的是基本知识点的掌握情况，对于掌握得当的考生来说并不具有太大的难度。

填空题和计算题则稍微有一定难度，需要考生对所学知识的综合运用和计算能力较强。

解答题部分题目较为复杂，需要考生具备较强的分析能力和解题技巧。

试卷整体上对知识的覆盖面广，涉及数学的各个领域和内容。

通过试卷的设计，能够较好地考察考生对不同知识点的掌握情况，从而对考生的数学水平做出较为全面的评估。

四、解题思路针对2011年福建高考数学试卷中的不同题型，我们对解题思路进行具体分析如下：1.选择题：在解答选择题的过程中，要注意仔细阅读题干和选项，理解题意，进行合理分析和推理，找出正确答案。

2011年福建高考数学引言2011年福建高考数学考试是全省高中毕业生所面临的一项重大考试。

本文将以2011年福建高考数学为题，对该考试的内容和重点进行详细的介绍。

考试概述2011年福建高考数学考试是一项全卷考试，共分为选择题和非选择题两部分。

考试时长为150分钟，总分为150分。

该考试旨在检验学生对数学基础知识的掌握程度、数学解题能力和创新思维能力。

考试内容2011年福建高考数学考试的内容主要涵盖以下几个方面：1.函数与方程: 函数的定义、性质、图像与性质，一次、二次函数及其图像与性质，三次及三次以上的多项式函数、分式函数及其图像与性质，初等函数等。

2.数列与数学归纳法: 数列的概念与性质，等差数列与等比数列的通项公式与性质，一般数列的通项公式与性质，数学归纳法的应用。

3.几何与立体几何: 平面几何基础，线段、角、三角形、四边形的性质与计算，空间几何基础，点、直线、平面的位置关系与性质，立体几何中的体积和表面积计算。

4.概率与统计: 随机事件及其概率，排列组合与二项式定理，统计学中的数据处理与分析。

题型分析选择题2011年福建高考数学选择题共分为两种类型：单项选择题和多项选择题。

这两种题型主要考察对基础知识的掌握和简单的运算能力。

其中，单项选择题有四个选项，只有一个正确答案；多项选择题有四个选项，可能有一个或多个正确答案。

非选择题非选择题主要考察学生的综合分析能力和解决实际问题的能力。

这些题目需要灵活运用所学的知识，通过综合考虑各个因素进行问题的求解。

非选择题常见的类型有：填空题、解答题和证明题。

解题技巧复习重点2011年福建高考数学考试的重点涉及函数与方程、数列与数学归纳法、几何与立体几何以及概率与统计。

因此，在复习过程中，需要着重理解和掌握这几个重要知识点。

做选择题时的技巧对于选择题，考生可以采取以下的解题技巧来提高答题效率：1.仔细阅读题目，理解题意，进行分析。

2.排除干扰项，缩小选项范围。

2011年福建高考理科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（）A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．【解答】解：∵S={﹣1.0.1}，∴i∉S，故A错误；i2=﹣1∈S，故B正确；i3=﹣i∉S，故C错误；∉S，故D错误；故选B2．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=2时，（a﹣1）（a﹣2）=0成立故a=2⇒（a﹣1）（a﹣2）=0为真命题而当（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，即a=2不一定成立故（a﹣1）（a﹣2）=0⇒a=2为假命题故a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件故选A3．（5分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：==2tanα=6故选D4．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．5．（5分）（e x+2x）dx等于（）A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1【解答】解：（e x+2x）dx=（e x+x2）|01=e+1﹣1=e故选C．6．（5分）（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（）A．80 B．12 C．20 D．10【解答】解：展开式的通项为T r+1=2r C3r x r令r=2的展开式中x2的系数等于22C32=12故选B7．（5分）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（）A．B．或2 C． 2 D．【解答】解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A8．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C9．（5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c的一组值计算f（1）和f（﹣1），所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2【解答】解：f（1）=asin1+b+c ①f（﹣1）=﹣asin1﹣b+c ②①+②得：f（1）+f（﹣1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（﹣1）是偶数故选：D10．（5分）已知函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：由于函数f（x）=e x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．故选B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）运行如图所示的程序，输出的结果是 3 ．【解答】解：a=1，b=2，接下来：a=1+2=3故最后输出3．故答案为：3．12．（4分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P﹣ABC的体积等于．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：；三棱锥的体积为：=故答案为：13．（4分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为14．（4分）如图，△AB C中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．【解答】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC∴BE=BC=∵AB=2∴cosB==∴B=30°∴AE=BE•tan30°=1∵∠ADC=45°∴AD==故答案为：15．（4分）设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量=（x1，y1）∈V，=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λ+（1﹣λ））=λf（）+（1﹣λ）f（）则称映射f具有性质P．先给出如下映射：①f1：V→R，f1（）=x﹣y，=（x，y）∈V；②f2：V→R，f2（）=x2+y，=（x，y）∈V；③f3：V→R，f3（）=x+y+1，=（x，y）∈V．其中，具有性质P的映射的序号为①③．（写出所有具有性质P的映射的序号）【解答】解：，则+（1﹣λ）y2}对于①，=λx1+（1﹣λ）x2﹣λy1﹣（1﹣λ）y2=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）而=λ（x1﹣y1）+（1﹣λ）（x2﹣y2）满足性质P对于②f2（λa+（1﹣λb））=[λx1+（1﹣λ）x2]2+[λy1+（1﹣λ）y2]，λf2（a）+（1﹣λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1﹣λ）（x22+y2）∴f2（λa+（1﹣λb））≠λf2（a）+（1﹣λ）f2（b），∴映射f2不具备性质P．对于③=λx1+（1﹣λ）x2+λy1+（1﹣λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1而=λ（x1+y1+1）+（1﹣λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1﹣λ）（x2+y2）+1满足性质p故答案为：①③．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3=，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以a n=×3n﹣1=3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n﹣2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．17．（13分）已知直线l：y=x+m，m∈R．（Ⅰ）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．【解答】解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x﹣2）2+y2=r2．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有，解得，所以圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为y=﹣x﹣m，由消去y 得到x2+4x+4m=0，△=42﹣4×4m=16（1﹣m）．①当m=1时，即△=0时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；②当m≠1时，即△≠0时，直线l′与抛物线C：x2=4y不相切．综上，当m=1时，直线l′与抛物线C：x2=4y相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C：x2=4y 不相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，考查学生对直线与圆相切，直线与抛物线相切的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于基本题型．18．（13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x （3，4） 4 （4，6）f'（x）+0 ﹣f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．19．（13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15 6 78P 0.4 a b0.1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．【考点】概率的应用；随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，结合期望的计算与频率分布列的性质，可得，解即可得答案；（Ⅱ）依据题意中，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由期望公式，计算可得答案；（Ⅲ）由题意与（Ⅱ）的结论，可得两厂产品的期望，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为X1的数字期望EX1=6，则5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化简可得6a+7b=3.2；又由X1的频率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；即，解可得a=0.3，b=0.2；（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布列为X23 4 5 6 7 8f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体的分布，将其频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：X23 4 5 6 7 8p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以EX2=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．即乙产品的等级系数的数学期望等于4.8；（Ⅲ）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2；据此乙厂的产品更具有可购买性．【点评】本题考查概率的实际运用，是应用性的题目，整体难度不大；解题时需要认真分析、理解题意，并根据题意，选择合适的数学统计量来计算应用．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】压轴题；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（I）根据线面垂直的定义可得PA⊥AB，再结合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根据平面与平面垂直的判定定理可得平面PAB与平面PAD垂直；（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据已知数据设出B、P、E、C、D的坐标，用法向量的方法结合数量积计算公式，可得线段AB的长；（ii）先假设存在点G满足条件，再通过计算GB之长，与GD长加以比较，得出GB＞GD，与已知条件GB=GD=1矛盾，故不存在满足条件的点G．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E，则CE⊥AD 在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）由，，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得cos（90°﹣30°）==即解得或t=4（舍去，因为AD=4﹣t＞0）所以AB=（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45° 从而∠CGD=90°，即CG⊥AD所以GD=CD•cos45°=1设AB=λ，则AD=4﹣λ，AG=AD﹣GD=3﹣λ在Rt△ABG中，GB=这GB=GD与矛盾．所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等．从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面角的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，考查转化思想，属于中档题．21．（14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4﹣2：矩阵与变换设矩阵（其中a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．（2）（本小题满分7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【考点】逆变换与逆矩阵；椭圆的参数方程；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；选作题．【分析】（1）（Ⅰ）直接根据求逆矩阵的公式求解，即M=，则代入a，b即可求解（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），即可根据矩阵乘法M（x0，y0）=（x，y）得到关于x0，y0与x，y间的关系，即将之代入得到的含x0，y0的方程应与x2+y2=1相同，根据待定系数即可运算（2）（Ⅰ）将P的极坐标（4，）根据公式化为直角坐标坐标为（0，4），则根据直角坐标系下点与直线的位置关系判断即可（Ⅱ）根据曲线C的参数方程为，设出曲线C上任一点到直线l 的距离为d，则根据点到直线的距离公式知d=，即d=，而2sin（）∈[﹣2，2]，则d的最小值为（3）（Ⅰ）直接根据绝对值不等式的意义（（|a﹣b|表示a﹣b与原点的距离，也表示a与b 之间的距离）知：﹣1＜2x﹣1＜1即可求解（Ⅱ）要比较ab+1与a+b的大小，只需比较（ab+1）﹣（a+b）与0的大小，而（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）再根据a，b∈M即可得到（a﹣1）（b﹣1）的符号，即可求解．【解答】（1）解：（Ⅰ）∵∴将a=2，b=3代入即得：（Ⅱ）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），∵M（x0，y0）=（x，y）∴将之代入得：即∵a＞0，b＞0∴（2）（Ⅰ）解∵P的极坐标为（4，），∴P的直角坐标为（0，4）∵直线l的方程为x﹣y+4=0∴（0，4）在直线l上（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为，直线l的方程为x﹣y+4=0 设曲线C的到直线l的距离为d则d==∵2sin（）∈[﹣2，2]∴d的最小值为（3）（Ⅰ）解：∵|2x﹣1|＜1∴﹣1＜2x﹣1＜1即0＜x＜1即M为{x|0＜x＜1}（Ⅱ）∵a，b∈M∴a﹣1＜0．b﹣1＜0∴（b﹣1）（a﹣1）＞0∴（ab+1）﹣（a+b）=a（b﹣1）+（1﹣b）=（b﹣1）（a﹣1）＞0即（ab+1）＞（a+b）【点评】本题考查了逆变换与逆矩阵，以及待定系数法求解a，b的方法，椭圆的参数方程，绝对值不等式的解法，作差法比较大小的相关知识，属于基础题．。

福建省各地市2010-2011学年下学期高考数学最新试题分类大汇编：第3部分 函数与导数一、选择题：1. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科)曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( A )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科若曲线y=x 2+ax+b 在点(0,b )处的切线方程是x －y +1=0，则 ( D )A.a =－1,b =1 B .a =－1,b =－1 C.a =1,b =－1 D.a =1,b =13. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( C ).A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.(－∞,1) 4．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)已知函数23(1)(),()323(1)x x x f x g x x x x +≤⎧==⎨-++>⎩，这两个函数图象的交点个数为 （ B ） A ．1 B ．2 C ．3D ．45．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)如下四个函数：①()sin f x x =②2()21f x x x =+-③3()42f x x x =-++ ④12()log f x x =性质A ：存在不相等的实数1x 、2x ，使得1212()()()22f x f x x x f ++=性质B ：对任意231201,()()x x f x f x <<<<总有以上四个函数中同时满足性质A 和性质B 的函数个数为（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(福建省厦门市2011年高三质量检查理科) 已知100,(22)3,t x dx t >-=⎰若则=（ C ）A ．3B ．2C ．1D ．3或—17．(福建省厦门市2011年高三质量检查理科)已知23,(1)(),()()23,(1)x x x f x g x f x e x x x +≤⎧==-⎨-++>⎩则函数的零点个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．48．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)已知函数()(0,1)xf x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数4()log (1)g x x =+的图象大致是（ D ）9．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)已知函数1,0 ()1,0xf xxx≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m+=有解的实数m的取值范围是（D ）A．（1，2）B．(,2]-∞-C．(,1)(2,)-∞⋃+∞D．(,1][2,)-∞⋃+∞10．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)若1112000,1,1a xdxb xdxc x dx==-=-⎰⎰⎰，则a，b，c的大小关系是（ A ）A．a b c<<B．a c b<<C．b a c<<D．c b a<<11.(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)若2()cosf x xα=-,则'()fα等于（A ）A、sinαB、cosαC、2sinαα+D、2sinαα-12．(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)函数3log3xy=的图象大致是（ A ）13.(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)当x∈[0，2]时，函数3)1(4)(2--+=xaaxxf在2=x时取得最大值，则a的取值范围是（ D ）A、[),21+∞- B、[),0+∞ C、[),1+∞ D、[),32+∞14．(福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)设定义在R上的函数0)()(,3,13,|3|1)(2=++⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=b x af x f x x x x x f 的方程若关于有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是 （ D ）A ．（0，1）B ．)1,(--∞C ．),1(+∞D ．)1,2()2,(--⋃--∞15、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是( C )A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．2，2116、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)函数xx f +=11)(的图像大致是( C )17．(福建省三明市2011年高三三校联考理科)已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，且)2,1(),1,0(∈∈βα,则12--a b 的取值范围是 （ A ）A )1,41( B )1,21( C )41,21(- D )21,21(-18. (福建省三明市2011年高三三校联考理科) 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ C ） A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：19．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)函数32()(1,(1))f x x ax x f =++在点处的切线斜率为6，则实数a = 1 。

2011年高考数学理（福建）i是虚数单位，若集合S=，则A.B.C. D.【答案解析】B本题主要考查了虚数单位定义及集合的基础知识，难度较小。

因为=－1,所以S若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件B必要而不充分条件C.充要条件C.既不充分又不必要条件【答案解析】A本题主要考查充分条件与必要条件的判断，难度较小。

若a=2时（a－1）(a－2) = 0成立。

充分性成立。

若（a－1）(a－2) = 0 时，a=1或a=2.必要性不成立若tan=3，则的值等于A.2B.3C.4D.6【答案解析】D本题主要考查了三角函数的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，难度不大。

2tan=6如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A.B.C.D.【答案解析】C本题主要考查了几何概型的基础知识，难度较小。

P==（ex+2x）dx等于A.1B.e-1C.eD.e+1【答案解析】C本题主要考查了定积分的基础运算，难度较小。

(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于A.80B.40C.20D.10【答案解析】B本题主要考查二项式展开式的通项公式及指定项的系数问题，难度不大。

另外，本题也可以把2x当整体后，用杨辉三角解题设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A.B.或2 C.2D.【答案解析】A因为当为椭圆时= (4+2):3 =2：1即2a:2c=2：1 所以e=当为双曲线时(4-2):3=2:3 即2a:2c=2:3所以e==已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]【答案解析】C本题考查了向量数量积的运算和简单的线性规划知识，难度中偏低。

而画出其表示的平面区域，可知为以（0，2），（1，2）（1，1）为顶点的三角形，把三点值代入－x+y可得，最大为2，最小为0，故答案为C ，本题也可作－x+y=0的平行线求得对于函数f（x）=asinx+bx+c(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2【答案解析】D本题主要考查函数奇偶性和综合分析能力，难度适中。

2011福建高考数学一、题目回顾2011年福建高考数学试卷共分为两卷，卷一为选择题，卷二为非选择题。

本文将对2011年福建高考数学试卷进行全面回顾和分析。

二、选择题选择题是高考数学试卷中的基础部分，它能够有效地考察考生对数学知识的掌握情况。

以下是2011年福建高考数学选择题的部分题目及解析：题目1若函数 $f(x)=\\frac{1}{\\sin^2x+\\sin x-6}$，则f(f)的定义域是？解析：首先我们要注意到分母中出现了 $\\sin x$，而$\\sin x$ 的取值范围是[−1,1]。

由于分母不可以为零，所以我们要求得 $\\sin x \ eq -2$ 和 $\\sin x \ eq 3$。

利用非等式的性质，我们可以得到 $x \ eq \\arcsin(-2)$ 和 $x \ eq\\arcsin(3)$。

然而由于 $\\arcsin(-2)$ 和 $\\arcsin(3)$ 都无解，所以f(f)的定义域为全体实数集。

题目2已知等比数列 $\\{a_n\\}$ 的前f项和为f f=2−3f，则f2的值等于？解析：我们知道数列前f项和的公式是 $S_n=\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中f1为首项，f为公比。

由已知条件得到$2-3^n=\\frac{a_1(1-3^n)}{1-3}$，化简可得f1=−4。

根据等比数列的性质，我们可以求得公比f=3。

然后代入公式f f=f1f f−1中得到f2=−12。

三、非选择题非选择题是高考数学试卷中的拓展部分，考察考生对数学原理和方法的理解和应用。

以下是2011年福建高考数学非选择题的部分题目及解析：题目1已知函数 $f(x)=x\\ln x$，求证：在区间(0,1)上函数f(f)单调递增。

证明：设f1，f2是区间(0,1)上的任意两个数，且满足f1<f2，则需证明f(f1)<f(f2)。

即证明 $x_1\\ln x_1 < x_2\\ln x_2$。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）本试卷第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x …的标准差 s =． 其中x 为样本平均数．柱体体积公式V Sh =其中S 为底面面积，h 为高锥体公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S πR =，343V πR =，其中R 为球的半径．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ∩等于（ ）．A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 【解】{}0,1M N =∩．故选A ． 2．i 是虚数单位31i +等于（ ）.A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【解】31i 1i +=-．故选D ．3．若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【解】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ． 4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

绝密☆启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。

第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分150分。

注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则（ ）A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 解析：由21i S =-∈得选项B 正确。

2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的（ ）A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件解析：由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立，故选A.3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 解析：2sin 22tan 6cos aαα==，选D 。

4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）A.14B.13C.12D.23解析：12ABE ABCD S P S ∆==,选C 。