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22.2.1直接开平方法和因式分解法班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题4分，共40分）．1.直接开平方法：形如 x 2＝A (A ≥0)或(x －b) 2＝A(A ≥0)的一元二次方程，即方程左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数，就可用直接开平方的方法.方程x 2＝A(A ≥0)的解是__________．2. 因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③由每个因式都等于 ，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3. 方程(x-1)2=4的解是 .4. 若方程20x m -=有整数根，则m 的值可以是 （写出符合条件的一个）.5. 一元二次方程2)(23)0y y +-=（的解是 .6. 用直接开平方法解方程2ax b =的必备条件是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 0a >,0b >D. a b 、同号，或b=0,0a ≠ 7. 下列方程中，不能用直接开平方法的是( )A. 220x x +=B. 2(1)40x --= C. 230x -= D.22(1)(21)x x -=+8. 一元二次方程230x x +=的解是（ ）A. 120,3x x ==-B. 120,3x x ==C. 3x =-D. 3x = 9. 关于x 的一元二次方程21(1)420m m xx ++++=的解为( )A. 121,1x x ==-B. 121x x ==C. 121x x ==-D. 无解10. 若222(3)25a b +-=，则22a b +=_____________. 二、计算与解答（60分）． 11. （16分）解下列方程：(1) 230y -= (2)24250x -=(3)2(45)9t -= (4)21(21)32x += 12. (16分)用因式分解法解下列方程：(1) 29160x -= (2) 2350x x -=(3) 0)3(2)3(2=-+-x x x (4)24(3)(3)x x x -=-13.（8分） 用两种方法解方程：290-=（2x-1)14.（ 6分）市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，请问这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）15. （提升与拓展）（6分）观察下面方程的解法. 例;解方程2340.x x --= 分析：∵常数项441,-=-⨯一次项系数34+1,-=-∴2234(41)(4)1x x x x --=+-++-⨯ (4)(1)x x -+.解：原方程化为(4)(1)=0x x -+， ∴(4)=0(1)=0x x -+，或. ∴124,1x x ==-用上面的方法解方程：2280x x --=16.（提升与拓展）（8分）如图，已知⊿ABC 中，,8,AB AC a BC ===且a 是方程29200x x -+=的根，求⊿ABC 的面积.CBA22.2.2 配方法班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题4分，共40分）．1.配方法：用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为 ；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为： ( x ＋m ) 2＝n 的形式；⑤如果 n 是非负数，即n ≥0，就可以用直接开平方求出方程的解.如果 n ＜0，则原方程无解．2. 将方程2650x x --=左边配成完全平方式后,所得方程是（ ）A. 2(6)41x -=B. 2(3)4x -=C. 2(3)14x -=D. 2(6)36x -= 3. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=4. 对任意实数x ，多项式2611x x -+的值是一个（ ）A.负数B.非正数C.正数D.无法确定5. 若代数式22+6x x m +是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A.3B.9C.±3D.±96. 22_____(___)nx x x m ++=+7. 若方程20x px q ++=可化为213()24x +=，则p =_____，q =______.8. 一元二次方程2210x x -+=的根为 ．9. 已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a ≠b,则a+b=_______.10. 二次三项式261x x ++的最小值为______.二、计算与解答（60分）．11.（12分）将下列各方程化成(x +m )2=n 的形式.（1）x 2－16x +23=0 (2)x 2+6x +7=012．（16分）用配方法解下列方程.（1）2-2990x x -= （2）2312210x x --=13. （10分）用配方法解关于x 的一元二次方程22+40(1640)x ax b a b +=-≥.14．（提升与拓展）（10分）已知：24410x x-+=,求x 的值.15．（提升与拓展）（12分）阅读理解:解方程：2-4120x x -=解：当0x ≥时，原方程为2-4120x x -=, 配方，得2(2)16x -=. 两边开方，得-24x =±∴126,2x x ==-（不符合题意，舍去）当0x <时，原方程为2+4120x x -=,配方，得2(2)16x +=.两边开方，得24x +=±∴126,2x x =-=（不符合题意，舍去） ∴原方程的解为126,6x x ==-参照上述方法解方程：2-2-140x x -=22.2.3 公式法班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题5分，共40分）．1.一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0( a ≠0)的求根公式是____________________________． 2．如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是 ( ) ．A. b 2－4ac ≥0 B ．b 2－4ac ≤0 C ．b 2－4ac ＞0 D ．b 2－4ac ＜0 3. 方程2-320xx +=的解是（ ）A. 121,2x x ==B. 121,2x x =-=-C. 121,2x x ==-D.121,2x x =-=4. 用公式法解方程23412xx +=，下列代入公式正确的是（ ）A. 1223x ±=⨯B. 1223x -±=⨯C. 1223x ±=⨯D. x = 5.下列说法正确的是（ ） A.一元二次方程的一般形式是20axbx c ++=B. 一元二次方程20ax bx c ++=的根是-2b x a= C.方程2xx =的解是1x = D.方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个6. 已知一元二次方程2230x x +-=,则24b ac -= ,方程的根是 .7. 已知=-1x 是关于x 的方程222+a 0xx a -=的一个根，那么a = .8. 在方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，当b 2－4ac ＝0时，方程的解是x ＝ ．二、计算与解答（60分）． 9．（14分）解方程：（1）25+210x x -=． （2）25(1)70x x --=10.（21分）选择适当的方法解下列一元二次方程.(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y 2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a 2(a 是常数)11．（7分）（我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个．．，并选择你认为适当的方法解这个方程． ① x 2－3x ＋1＝0； ② (x －1)2＝3； ③ x 2－3x ＝0； ④ x 2－2x ＝4 我选的方程是： ． 解：12．（提升与拓展）（8分）若方程（m －1）256m m x-++ x m )3(-＋ 5=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．13. （提升与拓展）（10分）若关于x 的代数式2+244x mx m +-是一个完全平方式，求实数m 的值.22.2.4 一元二次方程根的判别式班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题4分，共40分）．1. 关于x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式是 . 2. 关于x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0），（1）当b 2－4ac 0，方程有两个不相等的实数根； （2）当b 2－4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）当b 2－4ac 0，方程有没有实数根； （4）当b 2－4ac 0，方程有实数根.3.若有方程(10)25x x +=-,则24b ac -= .4. 若有方程2-40x x m +=的根的判别式的值为4，则m= .5.已知关于x 的方程22+1-)04m x m x +=（有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 .6. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）A. 260x +=B. 24410x x -+=C. 220x x -+=D. 2230x x --= 7. 关于x 的方程230x x m -+=有两个不相等的实数根,实数m 的取值范围为（ ） A. 94m >B. 94m <C. 94m =D. 94m <- 8. 一元二次方程2450x x -+=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9. 若关于x 的方程2210nx x --=无实数根，则一次函数(1)y n x n =+-的图象不经过（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 10. 已知a,b,c为三角形的三边长，且关于x的一元二次方程2)()0b c x a b x b a -+-+-=（有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是 三角形.二、计算与解答（60分）．12.（8分）求证：关于x 的方程x 2-（2k+1）x+ k 2+ k+ 41=0有两个相等的实数根.13.（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. 求证:不论k 为何值,方程总有两个不相等的实数根.14.（9分）如果一元二方程x 2+mx+2m-n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值.15. （提升与拓展）（10分）已知关于x 的方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.16. （提升与拓展）（10分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k ++++=. (1)求证：方程有两个相等的实数根；(2)若⊿ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5当 ⊿ABC 是等腰三角形时，求k 的值.22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系班级 座号 姓名 成绩一、填空与选择（每小题4分，共40分）．1.已知方程0a 2=++c bx x 的两根是21,x x ，则=+21x x ，21x x = .2. 一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件： （1）方程必须是 形式， （2）⊿ 0.3. 已知12,x x 是一元二次方程2-410x x +=的两个根，则12=x x ⋅（ ）A. -4B. -1C.1D.4 4.下列一元二次方程两个实数根的和为-4的是（ ）A. 2240x x +-=B. 2440x x -+=C. 24100x x ++=D.2450x x +-=5.已知方程2-5+20x x =的两个解分别为12,x x ，则1212+x x x x -⋅的值为（ ） A. -7 B.-3 C. 7 D.36. 已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是（ ）A. 2680x x -+=B. 2230x x +-=C. 2+60x x -=D. 2260x x +-=7. 若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．8. 已知关于x 的方程2-0x mx n +=的两个实数根是0和-3，则____m =,____n =.9. 若关于x 的方程22+2)0x k x k -+=（的两个根互为倒数，则k = ． 10.已知m,n 是方程22-50x x +=的两个实数根，则23_____m mn m n -++=.二、计算与解答（60分）．11.（10分） 如果一元二次方程x 2＋ax ＋b= 0的两个根是0和—2，求a 、b 的值.12. （10分）已知12,x x 是方程2-3-20x x =的两个实根，不解方程，求下列代数式的值： （1）1211x x + (2) 2212x x +13. （10分） 关于x 的方程x 2-kx+6=0有一根-2 , 求这个方程两根倒数的和.14．（10分）已知一元二次方程0122=--x x ，012y 2=--y ，求yxx y +.15. （提升与拓展）（10分）已知：关于x 的方程0122=-+kx x . （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k 值.16．（提升与拓展）（10分）关于x 一元二次方程2+2+k+10x x =的实数根12x x 和.(1) 求k 的取值范围；-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 （2）如果1212+1x x x x -<-,且k 为整数，求k 的值.初中数学试卷。
22.2.1直接开平方法和因式分解法教学目标：1.会用直接开平方法解形如（a ≠0,a ≥0）的方程；2.会用因式分解法解简单的一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.4.使学生经历探索解一元二次方程的过程.教学重点：会用直接开平方法解一元二次方程.教学难点：对不能直接用直接开平方法的方程能转化成用直接开平方法求解.教学过程：一．自学质疑1.解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x 2＝4；（2）x 2－1＝0;【答案】（1）2±；（2）1±30±2.如果x 2=a ,那么x 叫做a 的______,记作________;（复习平方根的定义）一般地,对于形如x 2=a (a ≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得12,x x这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.分别解这两个一元一次方程，得x 1＝1，x 2＝－1.这种方法叫做因式分解法.二．交流展示：(1)方程x 2＝4能否利用因式分解法来解，要用因式分解法解，首先应化成什么形式？(2)方程x 2－1＝0能否利用直接开平方法来解，要用直接开平方法解，首先应化成什么形式？三．互动探究：x 2-900=0【答案】30±四．精讲点拨：例1.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.【答案】（1）移项，得（2）移项，得x 2＝2. 16x 2＝25. b ax =2231056x 直接开平方，得x 2＝ . 直接开平方，得x ＝. 所以原方程的解是，. 所以原方程的解是 ， . 例2.解下列方程：（1）3x 2＋2x =0；（2）x 2＝3x .【答案】（1）x (3x ＋2)=0. （2）x 2－3x =0.所以 x ＝0，或3x ＋2＝0. x (x －3)＝0.原方程的解是 x 1＝0，x 2＝. 所以x ＝0，或x －3＝0, 原方程的解是x 1＝0，x 2＝3.说明：用因式分解法解一元二次方程的根据是：若．A ．·B ．＝．0．，则．．A ．＝．0．或．B ．＝．0．. 例3. 解下列方程（1）（x ＋1）2－4＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.【解析】 两个方程都可以转化为（a ≠0,ab ≥0）的形式，从而用直接开平方法求解.【答案】（1）原方程可以变形为（x ＋1）2＝4，直接开平方，得：x ＋1＝±2.所以原方程的解是 x 1＝1，x 2＝－3.（2）x 1=4+√32x 2=4−√32说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想.五．矫正反馈：解下列方程:（1）2410x （2）2314x （3）22370x （4） 53311x x 226163921x x 【答案】(1) x 1=12x 2=-12 (2) x 1=−3+2√33x 2=−3−2√33 (3)x 1=3+√72x 2=3−√72（4）x 1=√106x 2=−√10616252±=x 45±21－=x 22=x 451－=x 452=x 32-b k x a =-2)()1(+x b x =2b(5)x 1=2√2x 2=−2√2（6）x 1=910x 2=-−152 六.小结七.布置作业。
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
