函数奇偶性与二次函数专项训练

2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【A级　基础巩固】一、单选题1．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝2x B．y＝xC．y＝|x| D．y＝－x2＋12．设函数f(x)＝x－2x＋2，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(－1)＝－2，则f(2 025)＝( )A．2 B．0C．－2 D．－44．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )A．3 B．5C．6 D．75．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)6．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则m＝( ) A．2 B．4C．±2 D．±47．已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( )A.(12，＋∞)B.(－∞，12)C.(－∞，12)∪(34，＋∞)D.(0，12)∪(34，＋∞)8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )A．0 B．－1C．－2 D．2二、多选题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x10．已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－711.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，则下列说法正确的是( )A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的图象关于点(2,0)对称D．f(x)在(－5,5)内至少有5个零点12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )A．f(2 021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)三、填空题13．已知函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，则a的值等于_________.14．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_________.15．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_________.16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝__________.17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(12)＝0，则f(x)>0的解集为__________________.【B级　能力提升】1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )B．f(x)是周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数3．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x的取值范围是( )A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )A．－3 B．－2C．0 D．15．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________.6．函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．参考答案【A级　基础巩固】1．[解析]　A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B 选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.2．[解析]　化简函数f(x)＝1－4x＋2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．由题意得，f(x)＝1－4x＋2.对A，f(x－2)－1＝－4x是奇函数；对B，f(x－2)＋1＝2－4x，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C，f(x＋2)－1＝－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数；对D，f(x＋2)＋1＝2－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数．故选A.3．[解析]　依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4．[解析]　函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－1x＋3＋sinx＋x3＋1x＋3＝－sin x－x3－1x＋sin x＋x3＋1x＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.5．[解析]　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析]　因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋1＋4x2)为奇函数，即ln[－mx＋1＋4·(－x)2]＝－ln(mx＋1＋4x2)，解得m＝±2.故选C.7．[解析]　显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>34或a<12，故选C.8．[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.二、多选题9．[解析]　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．10．[解析]　根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.11.[解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)＝sin(3π2x)，满足f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝sin[3π2(x＋2)]＝sin (3π2x＋3π)＝－sin(3π2x)＝－f(x)，而f(x)＝sin(3π2x)的最小正周期为43，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)内f(x)至少有－4，－2,0,2,4这5个零点，故D正确．故选BCD.12．[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．三、填空题13．[解析]　由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x －2－x lg a＋2－x－2x lg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴lg a＝1，∴a＝10.14．[解析]　由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.15．[解析]　因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.16．[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．[解析]　由已知可构造y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为(－12，0)∪(12，＋∞).【B级　能力提升】1．[解析]　因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．[解析]　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.3．[解析]　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得Error!或Error!或x＝0.解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.4．[解析]　因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.5．[解析]　解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－(a2－2)＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.6．[解析]　(1)若函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，则f(－x)＝－ax＋bx2＋1＝－f(x)＝－ax＋bx2＋1解得b＝0，又∵f(12)＝25.∴12a(12)2＋1＝25，解得a＝1，故f(x)＝xx2＋1.(2)证明：任取区间(－1,1)上的两个实数m，n，且m<n，则f(m)－f(n)＝mm2＋1－nn2＋1＝(m－n)(1－mn)(m2＋1)(n2＋1).∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，∴f(m)－f(n)<0，即f(m)<f(n)．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．7．[解析]　(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.。

函数的奇偶性基础训练题（有详解) 一、单选题 1．若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()20f a f a f >> B ．()()()02f a f f a >> C ．()()()20f a f a f >> D ．()()()20f a f f a >> 2．在函数（1）2()2f x x x =-；（2）()(f x x =+（3）2()(1)f x x =-；（4）)(f x =中，偶函数的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 3．已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f （2x-1）＞f （）的x 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是( ) A ．或 B ．或 C ．或 D ．或 6．奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x （1+x ），则f(x)在上有（ ） A ．最大值-1/4 B ．最大值1/4 C ．最小值-1/4 D ．最小值1/4 7．已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的取值范围是( ) A ．（-1，1） B ．(-1，0） C ．（0，1） D ．[-1，1) 二、填空题 8．已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则()2f =____． ()f x集为______． 10．若为奇函数，为偶函数，且，令，则_________． 11．定义在上的奇函数，当时，，则________. 12．已知函数是偶函数，且，则_____. 三、解答题 13．已知定义在上的函数是增函数. （1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.14．已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-，（1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集15．判别并证明函数()f x x =的奇偶性．16．已知函数()21xf x x =+是定义在()1,1-上的函数．（1）用定义法证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；（2）解不等式()()10f x f x ++<．17．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x 4x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间 []2,(2)a a ->-上的最小值．18．已知函数()4m f x x x =-， 且()43f =.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）证明()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若不等式()0f x a ->在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知函数f （x ）=x+（a ＞0）．（1）判断f （x ）的奇偶性；20．定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f (x )的图象； (2)解不等式f (x )>0.参考答案1．C【解析】【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数 所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增所以()()()20f a f a f >>故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).2．C【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于()22f x x x =-，其定义域为R ，且()()f x f x -≠且()()f x f x -≠-，()f x 是非奇非偶函数；对于()(1f x x =+101x x -≥+，解可得11x -<≤，其定义域不关于原点对称，则()f x 是非奇非偶函数；对于()()21f x x =-，为二次函数，其对称轴为1x =，则()f x 是非奇非偶函数；对于()f x =220x ->，其定义域为{|x x <或x >，且()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．3．C【解析】【分析】 由是奇函数，可得的图像关于中心对称，再由已知可得函数的三个零点为-4，-2，0，画出的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】 由是把函数向右平移2个单位得到的，且，，，画出的大致形状结合函数的图像可知，当或时，，故选C.【点睛】 本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题. 4．C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．5．D【解析】【分析】由于是奇函数，可以证明函数是偶函数，偶函数图象关于轴对称，可以先求出时的解，进而利用对称性求出时的解，即可选出答案。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．【答案】－1【解析】∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.3.若的图像是中心对称图形,则( )A．4B．C．2D．【答案】B【解析】，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．故选B.【考点】奇函数4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选A.5.已知函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝()A．－20B．－18C．－15D．17【答案】C【解析】由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.6.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.7.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.8.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.9.函数y＝sin22x是()．A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】D【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，则周期为：＝，且为偶函数．10.已知，其中是常数．（1））当时，是奇函数；（2）当时，的图像上不存在两点、，使得直线平行于轴．【答案】证明见解析．【解析】(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，当然如果你代数式变形的能力较强，可以直接求然后化简变形为，从而获得证明；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，，，因此原方程最多只有一解，或者用反证法证明，设存在，即有两个，且，使，然后推理得到矛盾的结论，从而完成证明．试题解析：（1）由题意，函数定义域， 1分对定义域任意，有：4分所以，即是奇函数. 6分（2）假设存在不同的两点，使得平行轴，则9分化简得：，即，与不同矛盾。

一，判断函数奇偶性的一般步骤： 1）、看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则得出结论：该函数无奇偶性。

若定义域对称，则 2）、计算f （-a ），若等于f （a ），则函数是偶函数；若等于-f （a ），则函数是奇函数。

若两者都不满足，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y 轴对称或者关于原点对称。

.函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()()(++=x bg x a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．函数的奇偶性练习参考答案1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）²)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 答案：11)(2-=x x f 10．答案：0指数函数、对数函数、幂函数测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）l.设指数函数C 1：y =a x ，C 2：y =b x ，C 3：y =c x 的图象如图，则（ ）A ．0<c <1<b <aB ．0<a <1<b <cC ．c <b <aD ．0<c <1<a <b2.函数y =a x-1（a >0，a ≠1）过定点，则这个定点是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（-1，0.5） D ．（1，1）3.若函数y =f （x ）的图象与y =2-x 的图象关于y 轴对称，则f （3）=（ ）A ．8B ．4C ．81D ．414.若指数函数y =a x经过点（-1，3），则a 等于（ ）A ．3B ．31C ．2D ．215.函数y =f （x ）的图象与y =21-x 的图象关于直线x =1对称，则f （x ）为（ ） A ．y =2x-1 B ．y =2x+1 C ．y =2x-2 D ．y =22-x6.对于∀x 1，x 2∈R （注：∀表示“任意”），恒有f （x 1）〃f （x 2）=f （x 1+x 2）成立，且f （1）=2，则f （6）=（ ） A ．22B ．4C ．2D ．87.若函数f （x ）=log a x （0<a <1）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a =（ ）A ．41B ．21 C ．22 D ．42 8.在同一坐标系中，函数y =2-x 与y =log 2x 的图象是（ ）9.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-).0(),0(12)(21x x x x f x 若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是（ ）A ．（-1，1）B ．（-∞，-2）∪（0，+∞）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 10.设函数F(x)=f(x)-)(1x f ,其中x-log 2f(x)=0,则函数F(x)是（ ） A.奇函数且在(-∞,+∞)上是增函数 B.奇函数且在(-∞,+∞)上是减函数C.偶函数且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数且在(-∞,+∞)上是减函数11．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数f(x)x在区间(1，＋∞)上A ．有两个零点B ．有一个零点C ．无零点D ．无法确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 12.已知对数函数C 1：y =log a x ，C 2：y =log b x ，如图所示，则a 、b 的大小是__________．13.函数)34(log 5.0-=x y 的定义域是__________． 14.已知f (e x )=x ，则f (5)等于_________________3log 9log 28的值是__________________________15.已知二次函数()f x 满足(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=. （1）求()f x 的解析式；（2）若()(log )(01)a g x f x a a =>≠且，1,x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求()g x 的值域.15.解：（1）设2()1f x ax bx =++(1)()22f x f x ax a b x ∴+-=+++221,10a ab a b =⎧∴∴==-⎨+=⎩ 2()1f x x x ∴=-+ （2）2()1f x x x =-+Q2()(log )(log )log 1,a a a g x f x x x ∴==-+1,x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令log a t x =，原函数化为21y t t =-+，101a x a a a≤≤>≠Q 又且101a a a ∴<<<即，∴log a t x =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，11t ∴-≤≤， 又对称轴12t = min 1324t y ∴==时，，max 13t y ∴=-=时，，()g x ∴的值域为3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。

高一数学函数的奇偶性试题1.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【答案】B.【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.2.设函数 ()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据偶函数定义，得到，平方后可根据对应系数相等得到a的值，也可将上式两边平方得恒成立，得a的值。

（2）应先去掉绝对值将其改写为分段函数，在每段上求函数在时的最小值，在每段求最值时都属于定轴动区间问题，需讨论。

最后比较这两个最小值的大小取最小的那个，即为原函数的最小值。

要使恒成立，只需的最小值大于等于1即可，从而求得a的范围试题解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。

（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。

【考点】奇偶性，恒成立问题3.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．4.若函数是奇函数，则为A．B．C．D．【答案】B【解析】由于函数是奇函数，即所以，故选：B.【考点】函数的奇偶性5.已知函数是偶函数，定义域为，则( )A．B．C．1D．-1【答案】C【解析】因为函数是定义在的偶函数，所以，，可得，所以，所以，函数是二次函数，且是偶函数，所以，有，所以，答案选.【考点】函数奇偶性的性质.6.为R上的偶函数，且当时，，则当时，___________.【答案】x(x+1)【解析】因为，为R上的偶函数，所以，。

函数奇偶性练习（内含答案）一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

1.3.2 函数的奇偶性重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 判断一般函数的奇偶性】【练1】下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x2（﹣1＜x＜3）B．f（x）C．f（x）＝x4﹣1 D．f（x）＝x【思路分析】根据偶函数的定义和性质分别进行判断．【答案】解：A．函数f（x）的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当f（x），为奇函数，不满足条件．C．函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝x4﹣1＝f（x），∴f（x）是偶函数，满足条件．D．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，不满足条件．故选：C．【练1.2】下列函数中是奇函数的为（）A．y＝x3﹣x2B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣3x3+x D．y【思路分析】运用函数的奇偶性的定义，即可判断各个选项的奇偶性．【答案】解：对于A，y＝f（x）＝x3﹣x2，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x2≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于B，y＝f（x）＝|x﹣1|，f（﹣x）＝|﹣x﹣1|≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于C，y＝f（x）＝﹣3x3+x，由f（﹣x）＝3x3﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；对于D，y＝f（x）|x|，由f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数．故选：C．【练1.2】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|（2）f（x）（3）f（x）（4）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．【思路分析】由题设条件可以看出，可以用函数奇偶性的定义对这个函数进行验证，以确定其性质．【答案】解：（1）∵函数f（x）＝|1+x|+|x﹣1|的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x+1|+|x﹣1|＝f（x）∴f（x）是偶函数；（2）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数；（3）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（4）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．【练1.3】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x（3）f（x）（4）f（x）（5）f（x）（6）f（x）（7）f（x）（8）f（x）【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，可得结论．【答案】解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（2）f（x）＝x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）的定义域为{1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）f（x）的定义域为{﹣1，1}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数；（5）f（x）的定义域为[﹣2，2]，但f（﹣x）＝﹣f（x）与f（﹣x）＝f（x）均不恒成立，故为非奇非偶函数；（6）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，为奇函数；（7）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（8）f（x）的定义域为{﹣2，2}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数．【考点2 判断分段函数的奇偶性】【练2】判断函数f（x），，，，的奇偶性．【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（﹣x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．【答案】解：函数f（x），，，，的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x），，，，为偶函数【练2.1】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数．【答案】解：∵函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝﹣f（x）（x＞0）．当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x）（x＜0）．故函数f（x）为奇函数．【练2.2】判断函数f（x），＞，＜的奇偶性．【思路分析】根据奇函数和偶函数的定义，思路分析函数是否满足定义，可得结论．【答案】解：f（x），＞，＜的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x），＞，＜为奇函数．【练2.3】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．【答案】解：定义域为R，当x＜﹣1时，∵﹣x＞1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+3＝x+3＝f（x）；当x＞1时，∵﹣x＜﹣1，∴f（﹣x）＝﹣x+3＝f（x）；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝f（x）＝0，∴f（x）为偶函数．【考点3 判断抽象函数的奇偶性】【练3】函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f（x）+g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；②f（x）﹣g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；③f（x）•g（x）在区间[﹣a，a]上是偶函数．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】运用奇偶性的定义，注意变形运算，对选项一一加以判断即可得到．【答案】解：函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），①令F（x）＝f（x）+g（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣F（x），则为奇函数，故①对；②令H（x）＝f（x）﹣g（x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝﹣H（x），则为奇函数，故②对；③令R（x）＝f（x）•g（x），则R（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝（﹣f（x））•（﹣g（x））＝R（x），则为偶函数，故③对．则正确个数为3，故选：D．【练3.1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．【练3.2】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数；【思路分析】利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．【答案】解：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得：f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．【练3.3】已知函数f（x），当a，b∈R时，恒有f（a）＝f（）+f（）．（1）若f（1）＝﹣2，求f（2），f（3）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【思路分析】（1）对于，可令，，则x+y＝a，从而得出f（x+y）＝f（x）+f（y），再根据f（1）＝﹣2即可求出f（2），f（3）的值；（2）根据上面，f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0即可求出f（0）＝0，而令y＝﹣x即可求出f（﹣x）＝﹣f（x），即得出f（x）是奇函数．【答案】解：（1）令，，则x+y＝a；∴f（x+y）＝f（x）+f（y）；∵f（1）＝﹣2；∴f（2）＝2f（1）＝﹣4，f（3）＝f（2）+f（1）＝﹣4﹣2＝﹣6；（2）由（1）知f（x+y）＝f（x）+f（y）；令x＝y＝0，得f（0+0）＝f（0）+f（0）；∴f（0）＝0；令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）；∴f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）是奇函数．【考点4 利用函数的奇偶性求解析式】【练4】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【思路分析】根据偶函数的性质进行转化求解即可．【答案】解：∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x），，＞．【练4.1】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，【练4.2】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x），求函数f（x）在R上的解析式；【思路分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性思路分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；【答案】解：根据题意，f（x）为定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x），又由f（x）为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x），则f（x），＜，，＞；【练4.3】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0…（4分）（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）＞＜【考点5 利用函数的奇偶性求参数】【练5】设函数f（x）为奇函数，则a＝﹣1．【思路分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）＝0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【答案】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（1）+f（﹣1）＝0，即2（1+a）+0＝0，∴a＝﹣1．故应填﹣1．【练5.1】已知函数是奇函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．【思路分析】先求函数的定义域{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}，由题意可得g（x）＝|x+2|﹣2为奇函数，由奇函数的定义可得g（﹣x）＝﹣g（x）代入整理可得|x﹣2|+|x+2|＝4，结合函数的定义域可求a的范围【答案】解：由题意可得，函数的定义域为{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}∵函数是奇函数，且y是偶函数令g（x）＝|x+2|﹣2，则g（x）为奇函数∴g（﹣x）＝﹣g（x）即|﹣x+2|﹣2＝﹣|x+2|+2∴|x﹣2|+|x+2|＝4∴﹣2≤x≤2∴﹣2≤a≤2且a≠0故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]【练5.2】若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．0【思路分析】根据函数为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），建立方程即可求解a．【答案】解：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，故选：C．【练5.3】已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【思路分析】根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2＝0，这样即可求出a的值．【答案】解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2＝0；∴a＝6．故选：D．【考点6 函数奇偶性与单调性综合】【练6】函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【思路分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x＝3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案．【答案】解：∵函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）＝f（6﹣π），f（5）＝f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．【练6.1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【思路分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【答案】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．【练6.2】若函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣2} D．{x|0＜x＜4}【思路分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性、二次函数的性质，求得f（2﹣x）＞0的解集．【答案】解：函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，∴b﹣2a＝0，b＝2a，f（x）＝ax2﹣4a．再根据f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．令ax2﹣4a＝0，求得x＝±2，则由f（2﹣x）＞0，可得2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，求得x＜0，或x＞4，故f（2﹣x）＞0的解集为{x|x＞4或x＜0}，故选：A．【练6.3】已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（0，4）．【思路分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为f（|x﹣2|）＞0，进行求解即可．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，∴f（2）＝f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0，等价为f（|x﹣2|）＞f（2），则|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，即x的取值范围是（0，4），故答案为：（0，4）【考点7 函数性质的综合应用】【练7】已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．【思路分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．【答案】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝1，x2＝﹣1，代入上式得f（﹣1）＝f（﹣1）+f（1），解得f（1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝﹣1，得，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（tx1）＝f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）＝﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，∴令x1＝2，x2，则f（2）＝f（2）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（2）＝﹣（﹣1）＝1．f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2f（）＝2×1＝2．则不等式f（x2﹣1）＜2等价为不等式f（x2﹣1）＜f（），∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，∴x2﹣1＜或x2﹣1＞，即x2＜或x2＞，即＜x＜或x＞或x＜，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞或x＜}．【练7.1】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．【思路分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），可得f（x）＝f（x﹣y）+f（y），可得2＝f（2）+f（2）＝f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．【答案】解：（1）令x＝y＝0，则f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），∴f（0）＝0．（2）函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数y＝f（x）在定义域R上单调递增．（3）∵f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）．∴f（x）＝f（x﹣y）+f（y），∴2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（2）+f（4﹣2）＝f（4），∵f（x）+f（x+2）＜2，∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）＝f（4﹣x）．∵函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，从而x＜1．∴x的取值范围为{x|x＜1}．【练7.2】已知关于x的函数f（x）＝x2﹣2ax+5．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意t∈[1，a]，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m＝3，求实数a的值．【思路分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，思路分析f（x）在[1，a]上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解可得a的值，即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，因为函数f（x）＝x2﹣2ax+5是偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，变形可得a＝0．（2）根据题意，当a＞1时，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上单调递减，所以n＝f（a）＝a2﹣2a•a+5＝5﹣a2，m＝f（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，又n+m＝3，所以5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解得a＝2，a＝﹣4（舍），所以a＝2．【练7.3】设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）求证：y＝f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式．【思路分析】（1）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）分别对x1＝x2＝1赋值，即可证f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（﹣x）与f（x）的关系即可答案问题，操作时可以令y＝﹣x 进行思路分析；（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：，结合单调性思路分析即可获得问题的答案．【答案】解：（1）令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）∴f（1）＝0令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）＝0（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，令x1＝x，x2＝﹣1∴f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）∴f（x）＝f（﹣x）所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．（3）不等式．即∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数且f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴，解得：＜或＜或0＜x＜．。