高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

圆锥曲线中 切线问题的妙解在高中数学中圆锥曲线是一个重点也是一个难点，我们只有深刻理解圆锥曲线，掌握通性通法，才能更好地解决这一难题。

平时我们还要多归纳、多总结还可以得到一系列的结论。

下面我们利用一些结论来巧妙地解决圆锥曲线中的切线问题。

结论一．过圆锥曲线上一点的切线方程1.设圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上有一点P (x 0，y 0)，则过P 点的切线方程为(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2.2.(1)椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为＋＝1 (2)双曲线－＝1(a ，b ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为－＝1. (3)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有一点P (x 0，y 0)，则P 点处的切线方程为y 0y ＝2p例1：求双曲线x 2－＝1在点(，)处的切线方程.解 ：由双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是－＝1，∴双曲线x 2－＝1在点(，)处的切线方程为x －＝1，即2x －y －＝0.例 2：已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若O 为坐标原点，P 为直线l ：x ＝2上的一动点，过点P 作直线l ′与椭圆相切于点A ，若△POA 的面积S 为，求直线l ′的方程.解 (1)由题意得：椭圆C 的标准方程为＋y 2＝1.(2)设A (x 0，y 0)，则切线l ′的方程为＋yy 0＝1，即y ＝－x ，则直线l ′与x 轴交于点B ，∵P ，∴S △POA ＝··＝，即＝，∴＝±，即或解得x 0＝1，y 0＝－或x 0＝1，y 0＝(x 0＝0，y 0＝±1不合题意舍)，∴直线l ′的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.结论二：过圆锥曲线外一点作曲线的切线1.过椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)外一点P (x 0，y 0)，作椭圆的两条切线，则两切点的连线方程为＋＝1(a ＞b ＞0).2过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作双曲线的两条切线，则两切点的连线方程为－＝1.3.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)外有一点P (x 0，y 0)，作抛物线的两条切线，则两切点的连线方程为y 0y ＝2p例3：已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2－＝1的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，求直线AB 的方程.解： 利用结论2得直线AB 的方程为x －＝1，即2x －y －2＝0.例4 ：已知曲线C ：y ＝，D 为直线y ＝－上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .则直线AB 过定点解：设D ，抛物线方程为 ，则过D 点作抛物线的两条切线，则两切点的连线方程为 得，直线AB 的方程为 整理得：2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点在圆锥曲线中我们如果能够熟记这些结论，再结合常规方法，那就可以快速的找到解决切线问题解题思路，从而可以快速求得答案。

高考数学圆锥曲线专题突破：切线问题【2017•新课标Ⅰ文】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．【2014•广东理】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【解析】（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）当过点P的直线斜率不存在时，P的坐标为（±3，±2）时符合题意，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]，∴（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【2014•湖北理】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜．即当﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点． 此时直线l 与C 恰有三个公共点． 综上，当k ∈∪{0}时，直线l 与C 恰有一个公共点；当k ∪{﹣1，}时，直线l 与C 恰有两个公共点；当k ∈时，直线l 与轨迹C 恰有三个公共点．【2013广东理20】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 【解析】(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，2=，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝12x(x －x 1)，即y ＝12x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.【2008山东理22】如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，AB =（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p=，则,x y p'=所以12,.MAMB x x k k p p== 因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p+=- 直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x xp x x p p+=- ①222202().2x xp x x p p+=- ②由①、②得212120,2x x x x x +=+- 因此21202x x x +=，即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.ABk p=由弦长公式得AB ==又AB =所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22xy =或24.x y =（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为11(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上， 代入得33.x y x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0，0)或2002(2,).x D x p（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x pC x k px px +++==又0,ABx k p=AB ⊥CD ， 所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p 因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴， 又00,ABx k p=≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.【2007江苏理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （1）若2OA OB =，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）【解析】（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点． 【2005江西理22】如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.【解析】（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.【2006全国卷Ⅱ理21】已知抛物线y x 42=的焦点为B A F ,,是抛物线上的两动点，且).0(>=λλ过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（Ⅰ）证明⋅为定值； （I ）由已条件，得F （0，1），0>λ. 设,).,(),,(2211y x B y x A λ=由 即得),1,()1,(2211-=--y x y x λ ⎩⎨⎧-=-=-∴).1(12121y y x x λλ将①式两边平方并把22221141,41x y x y ==代入得221y y λ=， ③ 解②、③式得λλ1,21==y y ，且有.4422221-=-=-=y x x x λλ抛物线方程为.412x y = 求导得.21x y =' 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是,)(21)(21222111y x x y y x x x y +-=⋅+-=即.4121,4121222211x x x y x x x y -=-=① ②陈爱梅老师资料 版权所有 违版必究解出两条切线的交点M 的坐标为).1,2()4,2(212121-+=+x x x x x x …………4分 所以 ),()2,2(121221y y x x x x AB FM --⋅-+=⋅ =)4141(2)(2121222122x x x x --- =0 所以⋅为定值，真值为0. ………………7分。

专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0 来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0 来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C:222()()x a y b R上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .2.过椭圆22221x y a b 上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p 和直线l :00()y y p x x .(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 222210x y a b a b ，则椭圆在其上一点 00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b ，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y ，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（）A ．1BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y ，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y ，令0y ，可得12(,0)C x ，令0x ，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y，又点B 在椭圆上，所以221112x y ，所以121111121111122x y S x y x y x x y y 当且仅当11112x yy x，即111,2x y 时等号成立，所以OCD故选：C【反思】过椭圆 222210x y a b a b上一点 00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y y a b ，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n上一点 00,P x y 的切线方程为001x x y y m n .过椭圆221124x y 上的点 3,1A 作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x yB ．-20x yC ．2330x yD ．3100x y 【答案】B 【详解】过椭圆221124x y 上的点 3, 1A 的切线l 的方程为 31124y x ，即40x y ，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为 13y x ，即20x y .故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n注意不要带错，通过对比本题信息，12m ，4n ，03x ，01y ，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB_________.【答案】2 【详解】圆C 的圆心为 0,0C ，10110CP k，因为22112 ，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ，所以，直线AB 的斜率为1AB k ，故直线AB 的方程为 11y x ，即20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .另解：过圆C :222()()x a y b R 上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R .可知01x ，01y ；0a b ，22R ,代入计算得到过点 1,1P 作圆22:2C x y 的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y ，整理得：20x y ，直线20x y 交x 轴于点 2,0A ，交y 轴于点 0,2B ，所以， 1,1PA ， 1,1PB ，因此，112PA PB.故答案为：2 .【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。

高中数学圆锥曲线切线题解题方法在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念，而求解圆锥曲线的切线问题是其中的一个难点。

本文将介绍一些解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

在解决圆锥曲线切线问题时，首先要明确题目给出的条件和要求。

例如，考虑以下题目：已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在椭圆上，求过点$P$的切线方程。

解决这类问题的关键是确定切线的斜率。

我们可以通过对椭圆方程进行求导来得到切线的斜率。

对椭圆方程两边同时对$x$求导，得到$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。

由于点$P$在椭圆上，代入点$P(x_0,y_0)$，可得$\frac{2x_0}{a^2}+\frac{2y_0}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。

进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}$。

由此可见，切线的斜率与点$P$的坐标有关。

接下来，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求解切线方程。

例如，如果我们使用点斜式，切线方程可以表示为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)$。

通过上述步骤，我们可以得到切线的方程。

但是，在具体解题过程中，我们还需要注意一些细节。

首先，要注意点$P$的坐标是否满足椭圆方程。

如果点$P$不在椭圆上，那么切线方程将无意义。

其次，要注意椭圆方程中的参数$a$和$b$的取值范围。

当$a=b$时，椭圆退化为圆，此时切线方程的求解方法也会有所不同。

除了椭圆，我们还可以考虑其他类型的圆锥曲线，如双曲线和抛物线。

对于双曲线，我们可以通过类似的方法求解切线方程。

例如，已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在双曲线上，求过点$P$的切线方程。

大招九圆锥曲线的切线方程及其应用现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。

那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。

（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。

由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。

又因是两条切线的交点，所以有、。

观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。

评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。

联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。

（证明同上）联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）两边对求导，得得，由点斜式得切线方程为化简得………………….①因为…………………………………………………②由①－②×2可求得切线方程为：（2）同联想一（2）可证。

结论亦成立。

根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。

若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。

当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：通过以上联想可得出以下几个推论：推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。

推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。

圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。

本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。

一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。

求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。

可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。

解这个方程组即可得到切点的坐标。

2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。

其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。

设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。

因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。

二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。

求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。

代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。

2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。

3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。

通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。

三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。

圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题1. 引言圆锥曲线是数学中重要的概念之一，涉及到切线和切点的求解问题是圆锥曲线的一个热门话题。

本文将介绍切线与圆锥曲线的切点，并探讨如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题的技巧与方法。

2. 切线与圆锥曲线的切点在二维几何中，切线是一条与曲线相切且仅有一个交点的直线。

对于圆锥曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，其切线与曲线的切点是求解问题的关键。

2.1 切线与椭圆的切点椭圆是圆锥曲线中的一类，具有很多重要性质。

求解切线与椭圆的切点的一种方法是利用椭圆的参数方程。

设椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长短半轴，θ为参数。

将参数方程代入椭圆的方程，可以得到关于θ的方程。

求解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。

2.2 切线与抛物线的切点抛物线是另一种常见的圆锥曲线，具有特殊的形状和性质。

对于抛物线，切线与曲线的切点也可以通过参数方程求解。

设抛物线的参数方程为x=t，y=t^2，其中t为参数。

同样地，将参数方程代入抛物线的方程，得到关于t的方程。

解出t后，再代入参数方程，可以求得切点的坐标。

2.3 切线与双曲线的切点双曲线是圆锥曲线中的另一类重要曲线，也可以应用切线与切点求解问题的方法。

对于双曲线，同样可以采用参数方程的方法求解切点的坐标。

设双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ，其中a和b分别为双曲线的参数，sec为余割函数，tan为正切函数。

将参数方程代入双曲线的方程，得到关于θ的方程。

解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。

3. 利用切线与圆锥曲线的切点求解问题在实际问题中，我们经常需要利用切线与圆锥曲线的切点来求解特定的数学问题。

以下是几个常见的应用案例。

3.1 求切线与曲线的夹角通过求解切线与曲线的切点，我们可以进一步求解切线与曲线的夹角。

利用切线的斜率和曲线的导数，可以得到切线与曲线的夹角的正切值。

说明：圆锥曲线中的切线问题是高考压轴题的一大类型，共分下面四种题型，在高考中主要以考查重要结论为主，且重要结论的证明步骤固定，所以要求考生熟记下面的步骤，在高考中直接套用即可。

【秒杀题型】：玩转压轴题之三大曲线中的切线『秒杀策略』：当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线 开口向左或开口向右时利用0=∆解决。

椭圆利用0=∆解决。

【题型一】：过曲线上一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：12020=+byy a x x 。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与椭圆方程联立，利用0=∆。

熟记：②过抛物线px y 22=上一点()00,y x P 作切线，则切线方程为：)(00x x p y y +=。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过()00,y x P 的切线方程为：()00x x k y y -=-，与抛物线方程联立，利用0=∆。

若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。

〖母题〗抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最小的点的坐标是 ( )A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.()1,1 C.39,24⎛⎫⎪⎝⎭D.()2,4 1.(高考题)抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 ( ) A.43 B.75 C.85D.3 【题型二】：过曲线外一点作曲线的切线。

『秒杀策略』：秒杀公式：熟记：①过椭圆12222=+by a x 外一点()00,y x P 作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：12020=+byy a x x 。

证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA ：12121=+byy a x x ；同理，切线PB ：12222=+b yy a x x ；点P 在两切线上，则有：1201201=+b y y a x x ①，1202202=+by y a x x ②，构造直线l ：12020=+b y y a x x ，则由①②可知点A 、B 均在直线l 上，即直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。

高中数学圆锥曲线难点题解思路归纳总结圆锥曲线是解析几何的重要组成部分，也是高考数学的重要考点之一。

在历年的高考数学中，圆锥曲线的题目类型多种多样，解题的思路难度基本排在高考解答题的第二位，又兼具对考生的计算能力的考察，到时大多数高中同学对其相当的头痛。

学好圆锥曲线必须从其底层逻辑出发、究其本质，才能在高考时得心应手。

我们来看一下近几年高考考察圆锥曲线部分都有哪些专类题型，并从中总结出解题的思路与步骤，以便大家从更高的维度上去学习圆锥曲线。

第一类考察曲线的位置关系一般是选、填题。

较为简单，相信大多数同学都会，但要特别注意，直线斜率不存在的情况。

第二类曲线与矢量结合问题可以出现在选、填题，也可以是解答题的第一问。

主要利用向量的相等、平行、垂直来求坐标之间的数量关系，通常要转化成根和系数之间的关系。

借助数形结合，可以直观上进行简化。

难度也不是很大。

第三类曲线与弦问题①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)，对于弦长问题一定要牢记弦长公式，但不要死记硬背。

思考一下：弦长公式适用于那些曲线，每种曲线都亲自推导一下，加深记忆。

实际上这也是个二级结论。

②涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化第四类定点和定值问题圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点、动直线，是一个难点问题。

有两种思路：①先利用特殊值或对称性探索定点，后证明结论。

②计算消除变量，得到定值。

该专类题型一般需要引入参数。

引参求定值：利用题设写出已知点的坐标（或直线的方程），设出动点的坐标（或直线的方程），引入参数，结合已知条件将目标式用参变量表示，再根据点在某曲线上代入消参求得定值，或经过整理化简后恒为定值.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.引参求定点：①引进的参数一般为点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等②根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程③探求直线过定点若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化为：若是直线y-y0=k（x-x0）的形式，则K∈R时直线恒过定点（x0，y0）；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f（x，y）+γg（x，y）=0的形式，则γє R时曲线恒过的定点即是f（x，y）=0与g（x，y）=0的交点。

高中数学解曲线切线问题解题技巧在高中数学中，曲线切线问题是一个常见的考点，也是数学解题中的一大难点。

解曲线切线问题需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些常见的解题方法和技巧。

一、求曲线切线的斜率要求曲线在某一点的切线斜率，首先需要求出该点的导数。

导数表示了曲线在某一点的变化率，也就是切线的斜率。

例如，求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率。

首先，我们需要求出曲线$y=x^2$的导函数。

根据求导法则，$y'=2x$。

然后，将$x=2$代入导函数中，得到$y'=2\times2=4$。

所以曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4。

二、求曲线切线的方程已知切线斜率后，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求出曲线切线的方程。

1. 利用点斜式点斜式是求直线方程的一种常用方法，它利用直线上一点和直线的斜率来表示直线方程。

例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用点斜式求出切线的方程。

根据点斜式，切线的方程为$y-4=4(x-2)$，化简得$y=4x-4$。

2. 利用斜截式斜截式是求直线方程的另一种常用方法，它利用直线的斜率和截距来表示直线方程。

例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用斜截式求出切线的方程。

根据斜截式，切线的方程为$y=4x+b$，其中$b$为截距。

将点$(2,4)$代入方程，得到$4=4\times2+b$，解方程得到$b=-4$。

所以切线的方程为$y=4x-4$。

三、举一反三掌握了求曲线切线的斜率和方程的方法后，我们可以通过举一反三的方法拓展解题技巧。

举例来说，已知曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为3，我们可以利用之前的方法求出切线的方程为$y=3x-2$。

然后，我们可以进一步求出曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线与曲线的交点。

将切线方程$y=3x-2$代入曲线方程$y=x^3$中，得到$x^3=3x-2$。