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弹性力学简明教程第八章优秀课件

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第八章弹性力学优秀课件

第八章弹性力学优秀课件

相容方程说明
对于相容方程说明如下：
（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导 出相容方程。
（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物 体保持连续；形变不满足 相容方程 对 应的位移不存在 物 体不保持连续。
所以相容方程是位移的连续性条件。
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2zx0,
代入（d），得
2 zy
0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2ΦC,
( e)
C为待定常数。
边界条件
3. 考察侧面边界条件(n 0 ,fx fy fz 0 ) 前两式自然满足，第三式成为
zx 0,
x
zy 0,
y
zx zy 0。( a )
x y
由式(a)前两式，得 zx ,仅 z为y （x,y）的
函数；第三式成为
xzx yzy。 (b)
又由偏导数的相容性，存在一个应力函数 Φ ,
x yΦ y xΦ,
( c)
对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭 转应力函数 Φ(x,表y)示为
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v0, wwz。(a)
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
21E 11 2d d2zw 2d d2zw 2g0。

弹性力学简明教程第四版8-2

弹性力学简明教程第四版8-2
4
半空间体受重力和均布压力
5
半空间体受重力和均布压力
6
半空间体受重力和均布压力
体应变概念：
7
半空间体受重力和均布压力
8
半空间体受重力和均布压力
( 8-2 )
9
半空间体受重力和均布压力
10
半空间体受重力和均布压力
（8-1）
11
半空间体受重力和均布压力
可以得到相应的应力为：
（e）
12
半空间体受重力和均布压力
x y
对于(a),有约束条件 对于(b),有约束条件
x y 0 x y 0
(a)
(b)
18
半空间体受重力和均布压力
而两者的 z q ，因此，由物理方程：
1 x ( x y z ) 0 E
1 y ( y x z ) 0 E
则可解出：
x y

1
z

1
q
19
16
半空间体受重力和均布压力
试求图示空间弹性体中的应力分量 (a)正六面体弹性体置于刚性体中，上边界受均布压力q作用， 设刚形体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。
(a)
(b)
17
半空间体受重力和均布压力
解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应 力、应变和位移都是相同的，即
（ f）
13
半空间体受重力和均布压力
位移解为：
(1 )(1 2 ) g q 2 (z ) B 2 E (1 ) g
其中，常数B由位移边界条件约束。
z 0
14

弹性力学课件

弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。

弹性力学第八章课件

弹性力学第八章课件

b2 4
.
第八章 空间问题的解答
（3）将 Φ1代入
求出
2AΦdxd yM ,
(c)
C
6M ab3
.
所以狭矩形杆的解答为
Φ1
3M ab3
b2 4
y2
.
(d)
第八章 空间问题的解答
zy
6M ab3
y,
max
3M ab2
,
zx 0;
K
3M ab3G
.
矩形截面杆
(f )
2.一般矩形截面杆 (a ~的b)扭转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修
,
2 x
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
;
x
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 x
yz
,
y
zx
y
xy
z
yz
x
2 2 y
zx
,
z
xy
z
yz
x
zx
y
2
2 z
.
xy
第八章 空间问题的解答
应力边界条件
利用物理方程，得用应力表示的相容方程。
1
2 x
2 x 2
1 1
薄膜问题— 设有一薄 膜，张在水平边界上， 并受到气体的压力q。
第八章 空间问题的解答
薄膜问题
薄膜只能承受均匀拉力 FT ，不能承受弯 矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元
abcd, 各边上的作用力均为 FT ，但薄膜的斜率 不同：
薄膜斜率在 x 面分别为 z , z z d x ; x x x

弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件

弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件

（2）能阅读和应用弹力文献； （3）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法） 解决工程实际问题； （4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。
2021/1/10
E
14
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
参考教材：
《弹性力学简明教程》（第三版）徐芝纶 ；
弹性理论, 高等教育出版社,(1990).铁摩辛柯 古地尔著, 徐芝纶译；
《弹性力学教程》（王敏中、王炜、武际可）（北京大学出版社, 2002 年）；
《弹性理论基础》（陆明万、罗学富）（清华大学出版社，1990年）。
2021/1/10
E
15
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？
三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条
件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出较 精确的解答。
2021/1/10
E
10
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
取微小的分离体作为隔离体
由分离体的平衡条件 由微单元的几何条件
平衡方程 几何方程
由广义虎克定律 物理方程
还考虑边界条件
E
12
第一章 绪论
第一节 弹性力学的内容
弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：
弹性力学是其他固体力学分支学科的基础；
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性 和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进 行分析。
2021/1/10
E
13Biblioteka 第一章 绪论第一节 弹性力学的内容

弹性力学Chap8

弹性力学Chap8
σ ij = λε kk δ ij + 2 µε ij = −2vω,3δ ij − (1 − 2v )(δ i 3ω, j + δ j 3ω,i ) + x3ω, ij
x3ω,11 − 2vω,3 = x3ω,12 x3ω, 22 − 2vω,3 x3ω,12 − (1 − 2v )ω,1 x3ω, 23 − (1 − 2v )ω, 2 x3ω,33 − 2(1 − v )ω,3
Chapter 8.1
− Fk , k = xkψ k + φ 2µu i = −4(1 − v ) i + ( x kψ k + φ ),i ψ
6
Solutions by Displacement Potentials
Papkovich－Neuber Solution
The Papkovich-Neuber solution is complete. Papkovichcomplete. R.D. Mindlin, Note on the Galerkin and Papkovichi Stress Function, Bull. Am. Math. Soc 42(1936), 373-376 The uniqueness of the Papkovich-Neuber Papkovichsolution is not a trivial matter
Boussinesq Solution
Solution E Rotation
x ⋅ψ
is a harmonic function
ψ = −2(1 − v )χ
2µu i = −4(1 − v )eij 3 χ , j ≡ 2eij 3ψ , j

弹性力学ppt课件

弹性力学ppt课件
x
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。

弹性力学基础教学课件PPT

弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，

弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT

弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT

换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。

弹性力学简明教程第四版8-2

弹性力学简明教程第四版8-2
16
半空间体受重力和均布压力
试求图示空间弹性体中的应力分量 (a)正六面体弹性体置于刚性体中，上边界受均布压力q作用， 设刚形体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。
(a)
(b)
17
半空间体受重力和均布压力
解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应 力、应变和位移都是相同的，即
则可解出：
x y

1
z

1
q
19
B (1 )(1 2 ) g q 2 (h ) 2 E (1 ) g
再代回(g)式，简化，得

(1 )(1 2 ) g 2 2 [q(h z ) (h z )] E (1 ) 2
(h)
显然，最大的位移发生在边界上，由式(h)得
max ( ) z 0
弹性力学
§8-2 半空间体受重力和均布压力
1
半空间体受重力和均布压力
• “复兴号”于2017年6月26日11时05分，在京沪高铁两端的 北京南站和上海虹桥站双向首发，一个形似“飞龙”，一 个神似“金凤”，分别担当G123次和G124次高速列车。它 们共同迎来了一个时代：中国标准动车组时代。
2
半空间体受重力和均布压力
• 粘弹性：
聚合物在加工过程中通常是从固体变为液体（熔 融和流动），再从液体变固体（冷却和硬化）， 所以加工过程中聚合物于不同条件下会分别表现 出固体和液体的性质，即表现出弹性和粘性。
粘弹性阻尼片
粘弹性运动绷带
3
半空间体受重力和均布压力
弹性半空间体：
由无限水平面为边界而深度方向也为无限的弹性均质体。 在公路工程中，一般将路基视为弹性半空间体，采 用弹性理论的方法来分析路基在荷载作用下的应力与位 移。

弹性力学ppt课件

弹性力学ppt课件

应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。

弹性力学课件完整版

弹性力学课件完整版

材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。

弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件

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绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
切应力的 互等性：
yz zy
zx xz
xy yx
E 24
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
材料力学(mechanics of materials)
弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如 叶轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体）
E
7
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
8
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
9
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
10
第一章
E
16
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
E 17
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
§ 1－ 2
外力
弹性力学中的几个基本概念
—其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
—截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
F p A0 A lim
量纲：ML-1T -2 .
x 向正应力， x 轴的面上沿 表示： σ x —垂直于
xy
y x 轴的面上沿 —垂直于
向切应力。
符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。
E 23
第一章
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思考题
1. 试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学 习指导”）
2. 试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导 出式(8-15)。 （参见“弹性力学简明教 程学习指导”）
按应力求解
(d )
由式(d)求出A，得应力解为
σ x σ y 1 q gz,
z (q gz),
(e)
yz zx xy 0。
位移解为
w
1
2
12 g E1
z
q
g
2
B。
(f)
其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。
若为半无限大空间体，则没有约束条 件可以确定B；
若z=h为刚性层，则由 (w)zh 0可以确 定B。
u,v,w 必须满足：
（1）V内的平衡微分方程(b),
（2）sσ 上的应力边界条件(c),
（3）su上的位移边界条件(d)。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
优点
在空间问题中，按位移求解方法尤为要：
1.能适用于各种边界条件。 2.未知函数及方程的数目少。而按应力求
解时，没有普遍性的应力函数存在。 3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的
布西内斯克得出满足上述全部条件的 解答为
u
1 F
2ER
z
R 2
1
2
Rz
,
(d )
uz
1 F
2ER
21
z2 R2
;
σ
F
2R2
1 2R
R z
3 2
R3
z
,
σ
1 2F
2R
z R
R R
z
,
(e)
σ z
3Fz 3
2R5
,
z
3Fz2 。 2R5
其中
R
2 z2
。 1 2
应力特征：
1
12
d2 w dz2
d2 w dz2
g
0。
积分两次, 得
w
1 12 2E1
z
A2
B。
(b)
求解方程
相应的应力为
σx
σy
1
gz
A,
σz gz A,
(c)
yz zx xy 0。
边界条件
（2）在z=0的负z面，应力边界条件为
zx
( z
, zy
) z0
0, z0 q。
应用。
轴对称问题
按位移求解空间轴对称问题
在柱坐标 (中,，, z)可以相似地导出：
位移 u应ρ ,u满z 足：
（1）V内的平衡微分方程，
E
21
1
1
2
2u
u
2
f
0,
( e)
E
2(1 )
1
1
2
z
2uz
fz
0,
其中体积应变 u u uz ;
z
轴对称的拉普拉斯算子为
2 2 1 。
2
（2）Sσ 上的应力边界条件。 （3）Su 上的位移边界条件。
轴对称问题
思考题
1、试导出空间问题中 Sσ上的应力边界条件
（8-4）。 2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的
平衡微分方程（书中式（8-4）），并将
s上σ 的应力边界条件 (σs ) f用位移
来表示。
问题
§8－2 半空间体受重力 及均布压力
侧压力系数
侧面压力与铅直压力之比，称为侧压 力系数。即
σx σz
σy σz
1
。
(g)
讨论：
当 μ 1 时，侧向变形最大，侧向压力
2
也最大，
σx
σy
σ
。说明物体的刚度极小，
z
接近于流体。
当 0时，正应力不引起侧向变形。
说明物体的刚度极大，接近于刚体。
思考题
1、如果图中的问题改为平面应力问题， 或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？
yz
E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
V内基本方程
E
21
μ
1 1 2 μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
2 2 2 2 。 x2 y2 z2
边界条件
4. 将式 (a) 代入应力边界条件，得用位 移表示的应力边界条件：
E 1 μ
l 1μ2
μ
u x
m 2
v x
u y
n 2
w x
u z;u,v, w) (在sσ上) (c)
位移边界条件仍为:
us u。 (在su上)
(d)
按位移求解
归结：按位移求解空间问题，位移
设有半空间体，受自重体力 fz 及ρ边g 界的均布压力q。
采用按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界 条件。
考虑对称性：本题的任何x面和y面均 为对称面，∴可设
u0, v 0, wwz。 (a)
求解方程
（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式 自然满足，第三式成为常微分方程，
E
21
2. 若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学 习指导”和第二章教学参考资料）。
3. 试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习 指导”）。
（1）当R ,应力 0; 当R 0,应力 。 （2）水平截面上的应力 σz和 z 与弹性常
数无关。 （3）水平截面上的全应力，指向F作用点
o。
边界面上任一点的沉陷，
u
z
z0
F
1 E
2
。
(f)
分布力
若单位力均匀分布在a b 的矩形面积上，
其沉陷解为：
将F代之为
d
F
1 ba
d
d
y，对
, y
积分，便得到书上公式。
问题
§8-3 半空间体在边界上受 法向集中力
设有半空间体，在o点受有法向集中力F。 本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，
而位移 u ,而0, 和uρ 应满足uz:
求解条件
（1）平衡微分方程（书中（8-4））
1
1 2
2u
uρ
2
0,
1
1 2
z
2uz
0,
(a)
其中
u u uz 。 z
弹性力学简明教程第八章
按位移求解
§8－1 按位移求解空间问题
在直角坐标系中，按位移求解空间问 题，与平面问题相似，即
1. 取u,v,w为基本未知函数。 2. 将应变用位移来表示，可以引用 几何方程。 将应力先用应变表示（应用物理方 程），再代入几何方程，也用位移来表示：
按位移求解
σ τ
x
1Eμ
（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为
σz z0,0 0,
z
0。
z 0, 0
(b)
（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用， 取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣 维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：
Fz 0,
0 σz
z z
2
d
F
0;
(c)
由于轴对称，其余的5个平衡条件均为 自然满足。