等价关系
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设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
1.自反性：
2.对称性：
3.传递性：
则称R是定义在A上的一个等价关系。
例如，设，定义A上的关系R如下：
其中叫做x与y模 3 同餘，即x除以 3 的餘数与y除以3 的餘数相等。不难验证R为A上的等价关系。
等价类
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在数学中，给定一个集合X和在X上的一个等价关系 ~，则X中的一个元素a的等价类是在X中等价于a的所有元素的子集:
。
等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在X中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为X/ ~ 并叫做X除以 ~ 的商集。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/~
•如果X是轿车的集合，而~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
•考虑在整数集合Z上的“模2”等价关系: x~y当且仅当x-y是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。在这个关系下[7] [9] 和[1] 都表示Z / ~ 的同一个元素。
•有理数可以构造为整数的有序对(a,b) 的等价类的集合，b不能为零，这里的等价关系定义为
(a,b) ~ (c,d) 当且仅当ad = bc。
这里的有序对(a,b) 的等价类可以被认同于有理数a/b。
[编辑]性质
因为等价关系的a在 [a] 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X 的所有等价类的集合形成X的划分: 所有X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，X的所有划分也定义了在X上等价关系。
它还得出等价关系的性质
a ~ b当且仅当[a] = [b]。
如果 ~ 是在X上的等价关系，而P(x) 是x的元素的一个性质，使得只要x~ y, P(x) 为真如果P(y) 为真，则性质P被称为良好定义的或在关系 ~ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在f是从X到另一个集合Y的时候；如果x1 ~ x2蕴涵f(x1) = f(x2) 则f被称为在 ~ 下恒定的类，或简单称为在 ~ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不变量。
方块矩阵
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线性代数
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方块矩阵，或简称方阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。除了n = 1，此环并不是交换环。
M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M(n, C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。
单位矩阵I n的对角线全是1而其他位置全是0，对所有矩阵M及矩阵N 都有MI n = M及I n N = N。例如，若n = 3：
单位矩阵是方块矩阵环的单位元。
方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异方阵。矩阵A是可逆当且仅当存在矩阵B使得
AB = I n( = BA)。
此时B称为A的逆矩阵，并记作A− 1。所有矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。
若数字λ和非零向量满足，则为A的一个特征向量，λ是其对应的特征值。数字λ为A的特征值当且仅当A−λI n可逆，又当且仅当p A(λ) = 0。这里，p A(x)是A的特征多项式。特征多项式是一个n次多项式，有n个复根（考虑重根），即A有n个特征值。
方块矩阵A的行列式是其n个特征值的积，但亦可经由莱布尼茨公式计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵。
高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行例式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。
矩阵的迹是矩阵的对角线元素之和，也是其n个特征值之和。
所有正交矩阵都是方块矩阵。
[编辑]方块矩阵的等价命题
线性代数中，下列关于方块矩阵A的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：
1.A可逆;A的反矩阵存在。
2.det（A）≠0.
3.rank（A）= n.
4.Null(A) = 0.
5.A的特征值中没有0。
6.对任意b属于F n，A x = b有唯一解。
7.A x = 0只有平凡解。
8.A T A可逆。
9.A与单位矩阵行（列）等价。
10.A的行向量或列向量张成F n.
11.A的零空间只有零向量。
12.A的值域为F n.
13.A的行（列）向量构成F n (F n)中向量的线性无关集。
这里，F为矩阵元素所属的域。通常，这个域为实数域或复数域。
矩阵
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矩阵
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。请参考矩阵理论。
目录
[隐藏]
• 1 历史
• 2 用词
• 3 定义和相关符号
o 3.1 一般环上的矩阵
o 3.2 分块矩阵
• 4 特殊矩阵类别
• 5 矩阵运算
• 6 线性变换，秩，转置
•7 雅可比（Jacobian）行列式
•8 参见
•9 参考文献
•10 外部链接
[编辑]历史
方阵如拉丁方阵和幻方的研究历史悠久可追溯到史前年代。[来源请求]
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论（theory of determinants）。1750年，加布里
