2019年高三题库 届高三数学函数综合练习

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见详解；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩．【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在．（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．专题20函数与导数综合（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾．若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【答案】（1）见解析；（2）16a =-【解析】（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x f x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+．当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=． 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论0a ≥和0a <，当0a <时构造函数()()22f x axh x x =++时关键，讨论函数()h x 的性质，本题难度较大．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，求m 的最小值． 【答案】（1）1a =；（2）3【解析】（1）()f x 的定义域为()0∞，+．①若0a ≤，因为11ln 2022f a ⎛⎫<⎪⎝⎭=-+，所以不满足题意； ②若a >0，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()f 'x <0；当()，+x a ∈∞时，()f 'x >0，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x =a 是()f x 在()0∞，+的唯一最小值点． 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥．故a =1． （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->． 令112n x =+得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭．从而 221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．故2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．本专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要有以下几个角度：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．【命题意图】了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）．主要考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算能力和逻辑推理能力．【命题规律】导数的综合应用一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在解答题的压轴位置，难度较大．【答题模板】1．利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x）；（3）由f'（x）>0（或<0）解出相应的x的取值范围，对应的区间为f（x）的单调递增（减）区间．还可以通过列表，写出函数的单调区间．2．证明或讨论函数的单调性方法一：求出在对应区间上导数的正负即得结论．方法二：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）=0的根；（3）利用f'（x）=0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该子区间上的单调性．【知识总结】1．函数的极值设函数y=f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）<f（x0），则f（x0）是函数y=f （x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0）；如果对x0附近的所有的点，都有f（x）>f（x0），则f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）．极大值与极小值统称为极值．一般地，当函数f（x）在x0处连续时，（1）如果在x0附近的左侧f'（x）>0，右侧f'（x）<0，那么f（x0）是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f'（x）<0，右侧f'（x）>0，那么f（x0）是极小值．注意：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f（x2）．极大值与极小值之间无确定的大小关系．（2）极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．（3）f'（x0）=0是x0为f（x）的极值点的必要而非充分条件．例如，f（x）=x3，f'（0）=0，但x=0不是极值点．2．函数的最值在区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间[a，b]上连续的函数f（x）若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．注意：极值与最值的区别与联系极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个．3．利用导数解决函数单调性问题应该注意：（1）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；（2）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f'（x）>0与f'（x）<0这两个不等式的解集问题来处理；（3）若可导函数f（x）在指定区间D上单调递增（减），则应将其转化为f'（x）≥0（f'（x）≤0）来处理；（4）涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数f'（x）在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．4．函数的图象与导函数图象的关系理解导函数y=f'（x）的图象与函数f（x）图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等．5．由函数的单调性求参数的取值范围的技巧（1）由可导函数f（x）在D上单调递增（或递减）求参数范围问题，可转化为f'（x）≥0（或f'（x）≤0）对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到．（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'（x）>0（或f'（x）<0）在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．（4）若已知f（x）在D上不单调，则f（x）在D上有极值点，且极值点不是D的端点．6．求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法（1）若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f（a）与f（b）一个为最大值，一个为最小值；（2）若函数在区间[a，b]内有极值，要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．注意：求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．7．已知函数的极值、最值求参数（1）已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．（2）已知函数的最值求参数，一般先求出最值（含参数），再根据最值列方程或不等式（组）求解．8．利用导数解决不等式问题（1）利用导数证明不等式的方法证明f（x）<（>）g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F'（x）<（>）0，则F（x）在（a，b）上是减（增）函数，同时若F（a）≤（≥）0，由减（增）函数的定义可知，x∈（a，b）时，有F（x）<（>）0，即证明了f（x）<（>）g（x）．其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．（2）不等式成立（恒成立）问题①f（x）≥a恒成立⇔f（x）min≥a，f（x）≥a成立⇒f（x）max≥a．②f（x）≤b恒成立⇔f（x）max≤b，f（x）≤b成立⇔f（x）min≤b．③f（x）>g（x）恒成立F（x）min>0．④∀x1∈M，∃x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）min>g（x2）min．∀x1∈M，∀x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）min>g（x2）max．∃x1∈M，∃x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）max>g（x2）min．∃x1∈M，∀x2∈N，f（x1）>g（x2）⇔f（x1）max>g（x2）max．注意：不等式在某区间上能成立与不等式在某区间上恒成立问题是既有联系又有区别的两种情况，解题时应特别注意，两者都可转化为最值问题，但f（a）≥g（x）（f（a）≤g（x））对存在x∈D能成立等价于f（a）≥g（x）min（f（a）≤g（x）max），f（a）≥g（x）（f（a）≤g（x））对任意x∈D都成立等价于f （a）≥g（x）max（f（a）≤g（x）min），应注意区分，不要搞混．9．导数在研究函数零点中的应用（1）研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． （2）用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．1．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知函数()()()1ln 0,f x a x a g x x x=≠=-． （1）当2a =时，比较()f x 与()g x 的大小，并证明；（2）令函数()22F x fg ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，若1x =是函数()F x 的极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[)(]2,00,2a ∈-U ． 【解析】（1）当2a =时，()()12ln f x g x x x x -=-+，令()12ln h x x x x=-+， 则()()222221212110x x x h x x x x x--+-=--=-'=≤， 所以函数()12ln h x x x x=-+在()0,∞+上单调递减，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()()f x g x >； 当1x >时，()0h x <，即()()f x g x <， 当1x =时，()0h x =，即()()f x g x =．（2）()22F x fg⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦221ln 2,04a x x x x ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭， 令202a m =>，则()2ln 1111ln x F x m m x x x x x x ⎛⎫=⋅-+=-+ ⎝'⎪⎭， 令()1ln G x m x x x =-+，则()222111m x mx G x x x x -+=--=-'， ①当02m <≤时，()2210x mx G x x-+=-≤'恒成立， 所以()1ln G x m x x x=-+在()0,+∞上递减，且()10G = 所以01x <<时，()()0,F x F x '>在()0,1上递增，1x >时，()()0,F x F x '<在()1,+∞上递减，此时1x =是函数()F x 的极大值点，满足题意．②当2m >时，()()120,1,1,x x ∃∈∈+∞，使得当()12,x x x ∈时，()0G x '≥， 所以()1ln G x m x x x=-+在()12,x x 上递增，且()10G =， 所以11x x <<时，()()0,F x F x '<在()1,1x 上递减；21x x <<时，()()0,F x F x '>在()21,x 上递增，此时1x =是函数()F x 的极小值点，不合题意．综合得(]20,22a m =∈，解得[)(]2,00,2a ∈-U ．【名师点睛】本题考查函数与导数的综合，函数极值与最值，转化化归思想，分类讨论，准确推理计算是关键，是中档题．2．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知函数()()21ln 1f x a x x a =+--+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a <，求证：当0x >时，函数()y xf x =的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方．【答案】（1）见解析；（2）见证明 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，且()()121f x a x x =+-'()2211a x x+-=，当1a ≤-时，()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上为增函数； 当1a >-时，令()0f x '=，解得x =此时函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减，在⎫⎪+∞⎪⎝⎭上递增， （2）证明：若1a <，则当0x >时，问题转化为不等式()()32ln 1xf x x a x x >++-在()0,+∞上恒成立，只需要证明()()321ln 1ln 1x a x x a x a x x ⎡⎤+--+>++-⎣⎦在()0,+∞上恒成立，即证ln ln 1xx x a x-<-+在()0,+∞上恒成立， 令()()ln ln ,1xF x x x g x a x=-=--+， 因为()111xF x x x-=-='，易得()F x 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()11F x F ≤=-， 又()221ln ln 1x x g x x x='--=-， 当0e x <<时，()0g x '<，当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，所以()()1e 1e g x g a ≥=--+， 又1a <，所以1111e ea --+>->-，即()()max min F x g x <，所以ln ln 1xx x a x-<-+在()0,+∞上恒成立， 所以当1a <时，函数()xf x 的图像恒在函数()32ln 1y x a x x =++-的图像上方．【名师点睛】本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．3．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()21f x x ax =-+，()()ln g x x a a =+∈R ． （1）若1a =，求函数()()()h x f x g x =-在区间1,e t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（其中1e et <<，e 是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞．【解析】（1）由题意，可得()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()2121'21x x h x x x x --=--=()()211x x x+-=， 令()'0h x =，得1x =．①当11e t <≤时，()h x 在1,e t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴()222min111e e 11e e ee h x h -+⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭． ②当1t >时，()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,t 上单调递增， ∴()()min 10h x h ==．综上，当11e t <≤时，()22min e e 1eh x -+=，当1t >时，()min 0h x =． （2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线， 则()()()()121212''f x g x f x g x x x -==-，∴211212121ln 12x ax x ax a x x x -+---==-， ∴12122ax x =+，代入21211221ln x x x ax x a x -=-+--，得222221ln 20424a a x a x x ++++-=． ∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a ax a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点， ∵()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2e a x -=时，ln 20x a +-=，∴()2e 0a F ->． ∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0．()23231121'222a x ax F x x x x x--=--+=， 设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()'0F x <，当0x x >时，()'0F x >．∴()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()F x 的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-． 由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-． 设()212ln 2(0)x x x x x x ϕ=+-+->， 则()211'220x x x xϕ=+++>，故()x ϕ在()0,+∞上单调递增，∵()10ϕ=，∴当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤， ∴()F x 的最小值()00F x ≤等价于001x <≤．又∵函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，∴(]0012,1a x x =-∈-∞． 【名师点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】设函数()()2e 1xf x a x x =---．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 在()0,+∞上有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()()e 211xf x a x '=---．当1a =时()e 1xf x '=-．由()0f x '≥有e 10x -≥，解得0x ≥；()00f x x ≤'⇒≤． 所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在(],0-∞上单调递减． （2）设()()()e 211xg x f x a x '==---，()()e 21xg x a ='--，因为函数()f x 在()0,+∞上有极值点，所以函数()g x 在()0,+∞上有零点．①当32a ≤时，0x >，∴e 1x >，∴()()e 210xg x a =-->'， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∵()00g =，所以当0x >时()()00g x g >=恒成立， 即函数()g x 在()0,+∞上没有零点． ②当32a >时，()211a ->，()ln210a ->， ()()e 210x g x a =-->'时，()ln21x a >-，()()e 210x g x a =--<'时，()ln21x a <-，∴()g x 在()(0,ln21a ⎤-⎦上单调递减，在())ln21,a ⎡-+∞⎣上单调递增， ∵()00g =，且()g x 在()(0,ln21a ⎤-⎦上单调递减，∴()()ln210g a -<． 对于0a >，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以存在())0ln21,x a ⎡∈-+∞⎣使()00g x >． 所以函数()g x 在()()ln21,a -+∞上有零点．所以函数()f x 在()0,+∞上有极值点时，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．5．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知函数1()ln f x x mx x=--在区间(0,1)上为增函数，m ∈R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求a b +的最小值．【答案】（1）2m ≤；（2）a b +的最小值为–1． 【解析】（1）∵()1ln f x x mx x=--， ∴()211f x m x x =+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数， ∴()2110f x m x x=-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()min 2t x =， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞． （2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()min 11h x h ==-， ∴a b +的最小值为1-．【名师点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础，而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力和转化意识的运用，属于基础题．6．【贵州省2019届高三高考教学质量测评卷（八）数学】已知函数()()ln xf x ax a x=-+∈R ，'()f x 为()f x 的导函数．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）若212,e,e x x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()123'4f x f x a ≤++成立，求实数a 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）211e 2-+． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，当0a =时，2ln 1()(ln )x f 'x x -=，令()0f 'x =，得e x =， 列表得所以当e x =时，()f x 取得极小值，且极小值为e ；无极大值．（2）若212,e,e x x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()123'4f x f x a ≤++成立()()12min max 3'4f x f x a ⇔++≤． 由（1）知，2ln 1'()(ln )x f x a x -=-+，所以()()2222ln 133'44ln x f x a x -++=+， 令21ln t x =，则原式231,142t t t ⎛⎫⎡⎤=-++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为1，故存在21[e,e ]x ∈，1()1f x ≤，即1111ln x ax x -+≤，化为1111ln a x x ≥-+， 令11()ln h x x x=-+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则2222211(ln )'()(ln )(ln )x xh x x x x x x -=-=．对于函数()ln x x ϕ=，（0x >），1'()x x ϕ==， 当4x =时，()x ϕ取最大值为ln 420-<，所以ln x <2(ln )x x <，故()0h'x <恒成立，()h x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，最小值为211e 2-+， 所以211e 2a ≥-+，a 的最小值为211e 2-+．【名师点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式成立的问题，涉及存在性问题，构造函数利用导数求其最大最小值问题，换元法，属于难题．此类问题要注意理解存在性和恒成立的差别，结合具体问题实现正确转换为最大值和最小值是关键．7．【贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试（二）数学】已知函数()e xf x bx =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若曲线()y f x =的一条切线方程为210x y -+=， （i ）求b 的值；（ii ）若210x x >>时，()()12f x f x -()()12121x x mx mx <-++恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）1，（ii ）e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【解析】由()e xf x bx =+得()e xf x b '=+，若0b ≥，则()0f x '>，即()e xf x bx =+在(),-∞+∞上是增函数；若0b <，令()0f x '>得()ln x b >-，令()0f x '<得()ln x b <-，即()e xf x bx =+在()(),ln b -∞-上是单调减函数，在()()ln ,b -+∞上是单调增函数．（2）（i ）设切点为()00,x y ，()e xf x bx =+得()e xf x b '=+由题意得000000e 2e 210x xb y bx x y ⎧+=⎪=+⎨⎪-+=⎩，消去b 与0y ， 得000e e 10xxx -+=，令()e e 1x x g x x =-+，()e xg x x '=，0x <时，()0g x '<；0x >时，()0g x '>；0x =时，()0g x '=； ()g x ∴在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数，()()min 00g x g ∴==，即()e e +1x x g x x =-仅有一个零点0x =，即方程000e e 10xxx -+=仅有一个根0x =，02e 1b ∴=-=，（ii ）由（i ）知()e xf x x =+，()()12f x f x -<()()12121x x mx mx -++即为()2111f x mx x --<()2222f x mx x --， 由210x x >>知，上式等价于函数()()22e x xf x mx x mx φ=--=-在()0,+∞为增函数， ()e 20xx mx φ∴=-≥'，即e2x m x≤，令()e xh x x =，()0x >，()()2e 1x x h x x='-， ()0h x '<时，01x <<；()0h x '>时，1x >；()0h x '=时，1x =， ()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 1e h x h ∴==，则2e m ≤，即e 2m ≤，所以实数m 的范围为e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性及切线方程，利用导数研究恒成立问题等知识，考查了转化能力和计算求解能力，属于较难题．8．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知221()ln ,02f x x a x a =->． （1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）若()()12f x f x =，且12x x ≠，证明：122x x a +>．【答案】（1）a 的取值范围是；（2）见解析．【解析】（1）()()()2x a x a a f x x x x+='-=-， 当()0,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>单调递增； 当x a =时，()f x 取最小值()221ln 2f a a a a =-．令221ln 02a a a -≥，解得0a <≤a 的取值范围是(． （2）由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 不失一般性，设120.x a x <<<，则22a x a -<，要证122x x a +>，即122x a x >-，则只需证()()122f x f a x <-， 因为()()12f x f x =，则只需证()()222f x f a x <-， 设()()()2,2g x f x f a x a x a =--≤<．则()()()22222022a a x a a g x x a x x a x x a x -=-+--'=-≤--， 所以()g x 在[),2a a 上单调递减，从而()()0.g x g a ≤= 又由题意得22a x a <<，于是()()()22220g x f x f a x =--<，即()()222f x f a x <-， 因此122x x a +>．【名师点睛】本题考查了利用导数求出函数单调性，解决不等式恒成立问题、同时也考查了通过函数值的大小来判断两个的变量的大小的问题．9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a =+-+∈R ．（1）当1a ≥时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为–5，求a 的值；（2）设3211()()(1)22g x xf x ax a x x =-++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x ． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：212e x x >．【答案】（1）8；（2）（i ）1(1,1)e--；（ii ）详见解析．【解析】（1）()()111()1a x x a f 'x ax a x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-+=， ∵1a ≥，[]1,e x ∈，∴()0f 'x ≥， 所以()f x 在区间[]1,e 上为单调递增．所以()()()min 111582f x f a a a ⎡⎤==-+=-⇒=⎣⎦， 又因为81a =≥， 所以a 的值为8．（2）（i ）∵()()()232111ln 11222g x x x ax a x ax a x x ⎡⎤=+-+-++-⎢⎥⎣⎦()21ln 12x x a x x =-+-，且()g x 的定义域为()0,+∞，∴()()()ln 111ln 1g'x x a x x a x =+-+-=-+． 由()g x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程()ln 10x a x -+=有两个不同实根1x ，2x ． 由()ln 10x a x -+=得ln 1xa x+=． 令()ln (0)xh x x x =>， 则21ln ()xh'x x-=，由()0e h'x x =⇒=． 当()0,e x ∈时，()0h'x >，则()h x 在()0,e 上单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h'x <，则()h x 在()e,+∞上单调递减． 所以，当e x =时，()ln x h x x =取得最大值()max 1e eh =，∵()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，所以101e a <+<，解得111e a -<<-，所以实数a 的取值范围为11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（ii ）不妨设120x x <<，且()11ln 1x a x =+①，()22ln 1x a x =+②， ①+②得：()()()1212ln 1x x a x x =++③ ②–①得：()()2211ln1x a x x x =+-④ ③÷④得：()12122211ln ln x x x x x x x x +=-，即()12212211ln ln x x x x x x x x +=⋅-， 要证：212e x x >，只需证()12212211ln ln 2x x xx x x x x +=⋅>-．即证：212212121121ln 21x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⋅=++．令21(1)x t t x =>， 设()()214ln ln 211t F t t t tt -=-=+-++， ()()()221'01t F t t t -=>+．∴()F t 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10F t F >=，即()21ln 1t t t->+，∴212e x x >．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，参变分离，数形结合讨论参数范围，构造函数等，比较综合，属于难题．10．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知函数()ln f x x ax =-，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，使12ln ln 0x x m +->，求m 的最大值． 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（2）2．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1=f x a x'-． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得10x a=>， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减． （2）因为11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，即11ln x ax =，22ln x ax =．两式相减得()1212ln ln x x a x x -=-，即1212lnx x a x x =-． 由已知12ln ln x x m +>，得()12a x x m +>．因为10x >，20x >，所以12ma x x >+，即121212ln x x m x x x x >-+．不妨设120x x <<，则有()121212lnm x x x x x x -<+． 令12x t x =，则()0,1t ∈，所以()1ln 1m t t t -<+，即()1ln 01m t t t --<+恒成立． 设()()1ln (01)1m t g t t t t -=-<<+．()()()222111t m t g't t t +-+=+．令()()2211h t t m t =+-+，()01h =，()h t 的图象开口向上，对称轴方程为1t m =-， 方程()22110t m t +-+=的判别式()42m m ∆=-．当1m ≤时，()h t 在()0,1单调递增，()()01h t h >=，所以()0,g't >()g t 在()0,1单调递增，所以()()10g t g <=在()0,1恒成立．当12m <≤时，()420m m ∆=-≤，()0h t ≥在()0,1上恒成立，所以()0g't >，()g t 在()0,1单调递增，所以()()10g t g <=在()0,1恒成立．当2m >时，()h t 在()0,1单调递减，因为()01h =，()1420h m =-<， 所以存在()00,1t ∈，使得()00h t =当()00,t t ∈时，()0h t >，()0g't >；当()0,1t t ∈时，()0h t <，()0g't <， 所以()g t 在()00,t 上递增，在()0,1t 上递减． 当()0,1t t ∈时，都有()()10g t g >=， 所以()0g t <在()0,1不恒成立．综上所述，m 的取值范围是(],2-∞，所以m 的最大值为2．【名师点睛】本题考查了函数的单调性的判断和换元构造新函数求其最值的问题，求导后讨论函数的单调性是本题的关键，属于中档题．11．【云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学】已知函数()1ln 1xf x x+=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()g x xf x mx =+在区间（0，e ］上的最大值为–3，求m 的值； （3）若x ≥1时，不等式()11kf x x ≥++恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）3e 1m =--；（3）(],2-∞ 【解析】（1）由题意得函数的()f x 的定义域为()0,+∞．∵()1ln 1xf x x +=+， ∴()2ln xf x x=-'，由()0f x '>，得01x <<； 由()0f x '<，得1x >．∴函数()f x 的增区间为()()0,11,+∞，减区间为． （2）由题意得()1ln g x x mx x =+++， ∴()11g x m x=++'，(]0,e x ∈， ①当10m +≥，即1m ≥-时，则()0g x '>，()g x 在(]0,e 上是增函数， ∴()()()max e 1e 20g x g m ==++≥，不合题意； ②当10m +<，即1m <-时，则由()0g x '>，得101x m <<-+， 若1e 1m -≥+，则()g x 在(]0,e 上是增函数，由①知不合题意； 若1e 1m -<+，则()g x 在10,1m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭上是增函数；在1,e 1m ⎛⎤- ⎥+⎝⎦上为减函数， ∴()max 11ln 311g x g m m ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，∴311e 1em -=<+， 解得3e 1m =--，满足题意． 综上可得3e 1m =--．（3）∵当1x ≥时，()11kf x x ≥++恒成立， ∴()()ln 111ln 1x k x f x x x x ⎡⎤≤+-=+++⎣⎦当1x ≥时恒成立， 令()ln 1ln 1x h x x x x =+++，1x ≥， 则()2ln 0x xh x x'-=>恒成立， ∴()h x 在[)1,+∞上为增函数， ∴()()min 12h x h ==， ∴2k ≤．∴实数k 的取值范围为(],2-∞．【名师点睛】（1）用导数解决函数的问题时，可先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值或最值．对于解析式中含有参数的问题，求解时注意分类讨论的运用．（2）解答恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，通过分离参数将问题转化成求具体函数的最值的问题处理，体现了转化思想方法的运用．12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知函数()()e 2,0axf x a x a =-+≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，求证：12e e 2ax ax +>．【答案】（1）()f x 的增区间是[)0,+∞，减区间是(),0-∞；（2）证明见解析．【解析】（1）对函数求导可得'e e 1ax ax f x a a a =-=-（）（），令'0f x =（），得0x = ①当0a >时，若0x >，则e 1ax >，即'0f x >（）， 若0x <，则e 1ax <，即'0f x <（）． ②当0a <时，若0x >，则e 1ax <，即'0f x >（）， 若0x <，则e 1ax >，即'0f x <（）． 综上，()f x 的单调递增区间是[0+∞，），单调递减区间是0-∞（，）． （2）由（1）知，()f x 有两个零点时，()()01200e 020x x f a <<=-+<，，∴12a >．令11eax t =，22e ax t =，则1122ln ,ln ax t ax t ==∴12t t ，为方程ln 20t t a --=的两个根．令()ln 2g t t t a =--，则12t t ，为()g t 的两个零点，1201t t <<<． ∴()()()()121122g t g t g t g t --=--()()11112ln 22ln 2t t a t t a =------- ()11122ln 2ln t t t =---+，令()()()1111122ln 2ln ,0,1h t t t t t =---+∈，则()()()()()()21111111111112222111'20222t t t t t h t t t t t t t --++--=-++==>---． ∴1h t （）在01（，）上单调递增， ∴110h t h <=（）（）， ∴1220g t g t --<（）（），即122g t g t -<（）（）．∵()11'1t g t t t-=-=， ∴当1t ∈+∞（，）时，g t （）单调递增． ∵12211t t -∈+∞∈+∞（）（，），（，），∴122t t -<，∴122t t +>，∴12e e 2ax ax +>．【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了极值点偏移的综合应用，是高考的常考点和难点，属于难题．。

函数的概念与基本初等函数1．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）2．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是 A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =3．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()3f -+()2log 3f =A ．9B ．11C ．13D ．154．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)=x 2+lnx ，则f(2019)= A ．−1 B ．0 C ．1D ．25．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，1()14f =，当0x <时，2()log ()f x x m =-+，则实数m = A ．1-B ．0C ．1D ．27．【北京市房山区2019届高三第一次模拟测试数学】关于函数f(x)=x −sinx ，下列说法错误的是A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(−∞,+∞)上单调递增C ．x =0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数8．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()e e x xxf x -=+B ．()e e x xxf x -=-C ．()e e x xf x x -+=D ．()e e x xf x x--=10．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则三个数a =f (−log 313)，b =f (log 1218)，c =f (20.6)的大小关系为A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b11．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学】已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是 A ．[1,+∞) B ．[−1,4) C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]12．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学】已知函数2,(),x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是 A ．(),0-∞ B ．(),1-∞ C ．()1,+∞D ．()0,+∞13．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数，且对121x x ∀<≤，满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =，则不等式()2log 1f x <的解集为 A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞+∞14．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 15．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞16．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学】若定义在R 上的函数f (x )满足f(x +2)=f(x)且x ∈[−1,1]时，f (x )=|x |，则方程f (x )=log 3|x |的根的个数是 A ．4 B ．5 C ．6D ．717．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩，()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若()log ()f x x 12=2+1，则()f x 的定义域为____________.19．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学】若函数f(x)=x 2−(a −2)x +1(x ∈R)为偶函数，则log a 27+log 1a87=__________．20．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________.21．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________．22．【东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f (x )={2x +1mx +m −1 ,x ≥0,x <0在(−∞,+∞)上单调递增，则m 的取值范围是__________．23．【河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学】已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31i i i x y =+=∑__________.。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是 （ ）A ．35π B ．65π C ．2πD ．6π（2013年高考福建卷（文））2．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为A ．3．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图像可能是4．2()(f x x bx c bc =++为常数），且(1)(3)f f -=，则 ( ) A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<-C (1)(1)c f f >->D (1)(1)c f f <-< 二、填空题5．已知函数221(),()(),2x f x x g x m x =+=+若12[1,2],[1,1],x x ∀∈∃∈-使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 .6．已知函数2()41f x x x =-+，若()f x 在区间[],21a a +上的最大值为1，则a 的取值范围为 ．7．已知函数()(01)xf x a a a =>≠且在[1,2]上最大值比最小值大2a，则a 的值为 .8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ＜1，x 2＋x ，x ≥1，则f (f (0))的值为_______．9．满足)()()(y f x f xy f +=(0,0x y >>且2)3(=f 的函数可以是()f x =_________．10．不等式1420xx k ++->对一切x R ∈恒成立，则k 范围为 ▲ 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的解析式是（ ）A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin 2y x =C ．2sin(4)6y x π=-D ．2sin 4y x =2．函数()cos f x x =在[0,)+∞内（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点二、填空题 3． 已知1021001210(31)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1210a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ ．4．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ,则((2))f f = ▲ ． 5．设函数.31)(,sin )(x x g x e x f x=+=若存在),0[,21+∞∈x x 使得)()(21x g x f =成立，则12x x - 的最小值是 ．6．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g xx x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<7．若)(x f y =是定义在R 上周期为2的偶函数，当[]1,0∈x 时，12)(-=xx f ，则函数3()()log g x f x x =-的零点个数为 ▲ ．8．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是______________________.9．满足)()()(y f x f xy f +=(0,0x y >>且2)3(=f 的函数可以是()f x =_________．10．已知函数22()1x f x x =+，则111(1)(2)()(3)234f ff f f ff ++++++=________； 11．指数函数()f x 的图象经过)4,2(，则=)3(f _____▲____；12． 函数[]π，，02cos ∈=x x y 的增区间为 ．13．已知函数2log ,0()2,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲14．设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f (x )＝x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为 ．关键字：分段函数；周期；根的个数；数形结合；求参数的取值范围；指数函数15．函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y （2005天津卷）16．函数()f x 对任意正整数a b 、满足条件()()()f a b f a f b +=∙，且(1)2f =。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数12()f x x -=的大致图像是( ) （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）2．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的 取值范围是 ( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <2或x >3解析：将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－ 4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0， 解之得x <1或x >3.3．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是区间[0,1]，则a 的值等于 ------------------( )A.2 C.2 D.13二、填空题4．设函数()f x 满足2(21)4f x x -=，则()f x 的表达式是 ____ ．5．定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =，则(2013)f = ▲ ．6．已知函数)(x f 满足：当xx f x )21()(,4=≥，当)1()(,4+=<x f x f x ，则)3log 2(2+f =7．已知函数log (0,1)a y x a a =>≠在[2,4]x ∈上的最大值比最小值多1，则a =________；8．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”，下面五个1(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,)2M N Q G H 中，“好点”为 ▲ ．9．已知函数1()lg sin 1xf x x x-=++，若()2f m =，则()f m -= .10．若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则=m11．若函数()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t ，都有()()88f t f t ππ+=-，且()38f π=-， 则实数m 的值等于 ▲ ．12．已知函数()22,(0)log ,(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()12f a =，则a = 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和22．已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2(2009山东卷文)【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.4．定义在R 上的两个函数||23)(1x x f -=，x x x f 2)(22-=，函数)(x g 满足：当)()(21x f x f ≥时，)()(2x f x g =，当)()(21x f x f ≤时，)()(1x f x g =，则函数)(x g ( )(A)有最大值3，最小值-1 (B)有最大值727-，无最小值(C)有最大值3，无最小值 (D)无最大值，无最小值二、填空题5． 设函数⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,x 2)x (f 2，若16)m (f =，则实数m 的值为 ▲ 6．已知32)12(+=-x x f ,且f (m )=6,则m 等于 ． 7．对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝log a (x －2)＋1的图象恒过点_______．(写出点的坐标)8．已知函数()21010x x f x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是_ . 11x -<<9．若()y f x =是定义在R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当[0,1]x ∈时, ()21x f x =-, 则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为 ▲ .关键字：周期函数；偶函数；数形结合；零点个数10．已知函数()62-=x x f ，若a ＜b ＜0，且()()b f a f =，则b a 2的最小值是 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）A．1yx=B．xy e-=C．21y x=-+D．lg||y x=（2013年高考北京卷（文））2．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（）A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C． f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数（2008重庆理6）3．函数cos622x xxy-=-的图像大致为4．已知函数1()ln(1)f xx x=+-；则()y f x=的图像大致为（）5．已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ （2009四川卷理）【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

二、填空题6．若函数a x x f -=)(在区间(]1，∞-内为减函数，则a 的范围是 ▲ ． 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________（2013年高考福建卷（文））8．定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-, 则当10x -≤≤时,()f x =________________.9．设函数()f x 满足：对任意的x R ∈，恒有()()0,f x f x ≥，当[)0,1x ∈时，()12,02112x x f x x ⎧+≤<⎪⎪=≤<，则()9.9f = ▲ ．10．定义,max{,},b a b a b a a b≤⎧=⎨>⎩，若2()max{2,}f x x x =-，当1[2,]2x ∈-时，函数()f x 的值域为 ▲ ．三、解答题11．某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．(1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．12．当01,1a b <<<-时，函数xy a b =+的图像必不经过第 象限； 13．已知函数ax bx x f +-=5)(（a x -≠，a 、b 是常数，且5-≠ab ），对定义域内任意x （a x -≠、3--≠a x 且3+≠a x ），恒有(3)(3)4f x f x ++-=成立．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数的定义域； （2）求x 的取值范围，使得]4,2()2,0[)( ∈x f ．14．设()f x 是定义在R 上的函数，对m n R ∈、恒有()()()f m n f m f n +=，且当0x >时，0()1f x <<。

南京市2019届高三数学考前综合训练题一、填空题1．数列{a n }为等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T 2＝T 8，则T 10＝ ． 【答案】1【提示】法一：由T 2＝T 8得a 3·a 4·…·a 8＝1，则(a 3·a 8)3＝1，a 3·a 8＝1．从而T 10＝a 1·a 2·…·a 10＝(a 1·a 10)5＝(a 3·a 8)5＝1； 法二：(特殊化思想)，取a n ＝1，则T 10＝1．【说明】本题考查等比数列的运算性质．可一般化：{a n }为正项等比数列，其前n 项的乘积为T n ，若T m ＝T n ，则T m ＋n ＝1；可类比：{a n }为等差数列，其前n 项的和为S n ，若S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0．(其中m ，n ∈N *，m ≠n )．2．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0上的动点，点P 到某直线l 的最大距离为5．若在直线l 上任取一点A 作圆C 的切线AB ，切点为B ，则AB 的最小值是________． 【答案】5．【提示】由P 到直线l 的最大距离为5，得圆心C 到直线l 的距离为3，从而直线l 与圆C 相离．过A 引圆C 的切线长AB ＝AC 2－r 2＝AC 2－4≥32－4＝5．【说明】点､直线与圆的相关问题常转化为圆心与点､直线问题．3．已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为－34，则实数m 的值是___________． 【答案】[－4，4]．【提示】点M 的轨迹为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．把直线l ：x ＝2y －m 代入椭圆方程得，16y 2－12my ＋(3m 2－12)＝0．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．【说明】求曲线方程的直接法，研究直线与椭圆位置关系中基本方法是方程思想．4．已知数列{a n }为正项等差数列，满足1a 1＋4a 2k －1≤1(其中k ∈N *且k ≥2)，则a k 的最小值为_________．【答案】92．【提示】因为{a n }为正项等差数列，则a k ＝a 1 ＋ a 2k －1 2≥a 1 ＋ a 2k －1 2·(1a 1＋4a 2k －1)＝12·(5＋a 2k －1a 1＋4 a 1a 2k －1)≥12·(5＋2a 2k －1a 1·4 a 1a 2k －1)＝92(当且仅当1a 1＋4a 2k －1＝1，且a 2k －1a 1＝4 a 1a 2k －1， 即a 1＝3，a 2k －1＝6时取“＝”号)．【说明】本题将等差数列的运算性质(等差中项)与基本不等式进行综合．5． 以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为__________． 【答案】3【提示】过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则→BA ·→BC ＝|→BA ||→BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12， 所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan ∠BAC ＝4y －1y 1＋4y 2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．【说明】学会从向量的数量积处理的三种手法：定义法､基底法和坐标法中选择，本题用定义法最为简洁，用坐标法也可以得出同上结论，另由两个直角三角形拼接的平面图形，计算角的最值，可转化到直角三角形用两角和与差的正切来解决，体现了化归与转化的思想．6．计算：4sin20︒＋tan20︒＝ ． 【答案】3．【提示】原式＝4sin20︒＋sin20︒cos20︒＝4sin20︒ cos20︒＋sin20︒cos20︒＝2sin40︒＋sin20︒cos20︒＝2sin(60︒－20︒)＋sin20︒cos20︒＝3cos20︒－sin20︒＋sin20︒cos20︒＝3．【说明】切化弦､向特殊角转化､向单一的角转化是三角恒等变换(求值)的一般思路． 7．设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ．【答案】17250【提示】因为α是锐角，所以π6＜α＋π6＜2π3，因为cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35．sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin 2(α＋π6)＝725．ABCDsin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250．【说明】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数，重点突出角之间的互化，设法将所求角转化为已知角，用已知角表示所求角．8．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ． 【答案】9．【提示】因为a n ＝2·3n －1，则a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝2·3n －1·(1－3m－n ＋1)1－3＝3n －1·(3m －n ＋1－1)＝720＝32×24×5，则⎩⎨⎧n －1＝2m －n ＋1＝4，解得n ＝3，m ＝6，则m ＋n ＝9． 【说明】本题考查等比数列中的基本运算，涉及到简单的数论知识（整数的分解）．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ＜a ，x 2－2x ，x ≥a，若任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】－5≤a ≤4．【提示】“任意实数b ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝b ”等价于函数f (x )的值域为R ．在平面直角坐标系xOy 中，分别作出函数y ＝x ＋4及y ＝x 2－2x 的图像， 观察图像可知－5≤a ≤4．【说明】本题要注意条件的等价转化．一般情况下涉及到分段函数的问题都要有意识的作出图像，运用数形结合的方法解决问题，学会从特殊值验证，再到一般结论的发展．10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（－∞，－2）【提示】解法一：若a ＝0，解得x ＝±33，不合题意． 若a ＞0，则f (－1)＝－a －2＜0，f (0)＝1＞0，所以f (x )存在负的零点，不合题意． 若a ＜0，则f ′(x )＝3ax (x －2a )，可得f (2a )＝1－4a 2为极小值，则满足1－4a 2＞0，解得a ＞2或a ＜－2．此时，取得a ＜－2． 综上，a 的取值范围是（－∞，－2）．解法二：f (x )＝0，即ax 3＝3x 2－1，分离参数a ＝3x －1x3，同样可得a ＜－2．【说明】考查零点概念、零点存在性定理；函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，学会利用导数来研究函数的图象和性质．11．设函数f (x )＝ln x ＋mx ，（m ∈R ），若对任意b ＞a ＞0，f (b )－f (a )b －a ＜1恒成立，则m 的取值范围是 ．【答案】[14，＋∞）．【提示】对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx－x 在(0，＋∞)是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14（x ＞0）恒成立，解得：m ≥14．所以m 的取值范围是[14，＋∞）．【说明】考查求常见函数的导数，利用导数研究函数的单调性，会用分离常数的方法来研究不等式恒成立问题，不等式、方程、函数三者之间相互转化是高考考查的重点，要培养用函数的观点来研究不等式、方程的意识，体现数形结合思想．二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ＝13．设向量x ＝(3a ，cos A )，y ＝(2c ，cos C )，且x ∥y ．（1）若b ＝5，求c 2－a 2的值； （2）求B 的值．解：（1）因为x ∥y ，所以3a cos C ＝2c cos A ．用余弦定理代入，化简可得：b 2＝5(c 2－a 2)． 因为b ＝5，所以c 2－a 2＝1．（2）因为3a cos C ＝2c cos A ，由正弦定理得：3sin A cos C ＝2sin C cos A ，即3tan A ＝2tan C ． 因为tan A ＝13，所以tan C ＝12，从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－1．因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π4．【说明】考查向量的平行，正弦、余弦定理，两角和与差的正切公式．能够根据题目的要求正确实现边角互化．2．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若AB →·AC →≤23S ，求A 的取值范围；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且c ＝1，求b ． 解：（1）由题意知，AB →·AC →＝bc cos A ，S ＝12bc sin A ，所以bc cos A ≤3bc sin A ，即cos A ≤3sin A ，（或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式）． 即3sin A －cos A ≥0，2sin(A －π6)≥0．因为A 为三角形内角，则A －π6∈(－π6，5π6)，所以0≤A －π6＜5π6，从而A ∈[π6，π)．（2）设tan A ＝m ，tan B ＝2m ，tan C ＝3m ，由题意知，m ＞0． 因为tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ，则3m ＝－ 3m1－2m 2，解得m ＝1，则tan B ＝2，tan C ＝3，从而sin B ＝255，sin C ＝31010，所以AC AB ＝sin B sin C ＝22 3，则AC ＝223．【说明】本题第（1）问考查数量积､三角形面积公式､两角和差公式及简单的三角不等式．第（2）问的目的是考查斜三角形三内角A ，B ，C 满足的一个恒等式(tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C )． 还可联想到一类求值问题(两角和差正切公式的变形)，如tan37︒＋tan23︒＋3tan37︒·tan23︒等问题．3．某高速公路收费站出口处依次有编号为1､2､3､4､5的五个收费窗口．（1）若每天随机开放其中的3个收费窗口，则恰有两个相邻窗口开放（如：1，2，4）的概率是多少? （2）经统计，在某个开放的收费窗口处排队等侯的车辆数及相应概率如下：①该收费窗口处至多有2辆车排队等侯的概率是多少? ②该收费窗口处至少有3辆车排队等侯的概率是多少?解：（1）记事件A 为“开放3个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放”，用(i ，j ，k )表示编号分别为i ，j ，k的三个收费窗口开放．则本题的基本事件包括：(1，2，3)，(1，2，4)(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)， (2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)， 共10个基本事件；而事件A 包括：(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)， 共6个基本事件．因此P (A )＝610＝35．答：随机开放其中三个收费窗口，恰有两个相邻窗口开放的概率为35．（2）记事件B i 为“该收费窗口处有i 辆车排队等侯”，其中i ＝0，1，2，3，4，5．则由题意知，上述6个事件为互斥事件．记事件C 为“该收费窗口处至多有2辆车排队等侯”， 事件D 为“该收费窗口处至少有3辆车排队等侯”．则P (C )＝P (B 0＋B 1＋B 2)＝ P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56， P (D )＝P (B 3＋B 4＋B 5)＝ P (B 3)＋P (B 4)＋P (B 5)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44． （另解：由题意知事件C ，D 为对立事件，则P (D )＝P (－C )＝1－P (C)＝0.44）答：该收费窗口处至多2辆车排队等侯的概率为0.56，至少3辆车排队等侯的概率为0.44． 【说明】本题考查古典概型和互斥事件的概率计算，主要要注意规范表述． 4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，三角形BCD为正三角形． （1）当∠BAD ＝π3时，设AC →＝x AB → ＋ yAD →，求x ，y 的值；（2）设∠BAD ＝α，则当α为多少时，四边形ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．解：（1）在△ABD 中，由于AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝π3，易得BD ＝3，∠ABD ＝π6，∠ADB ＝π2，∠ABC ＝π2，∠ADC ＝5π6．下面提供三种解法：法一：如图，过点C 作CE //AD 交AB 于点E ，在△BCE 中，BC ＝3，∠ABC ＝π2，∠BEC ＝π3，则CE ＝2，BE ＝1，则AE ＝1，所以AC →＝AE →＋EC →＝12AB →＋2AD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系．ACDBACDB则D (12，32)，B (2，0)，C (2，3)，则AC →＝(2，3)，AB →＝(2，0)，从而AD →＝(12，32)，则⎩⎨⎧2x ＋12y ＝2 32y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．法三：因为AC →·AB →＝x AB →2＋y AD →·AB →＝4x ＋y ，又AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝AB →2＋BC →·AB →＝4， 则4x ＋y ＝4．因为AC →·AD →＝x AB →·AD →＋yAD →2＝x ＋y ，又AC →·AD →＝(AD →＋DC →)·AD →＝AD →2＋DC →·AD →＝1＋1×3×cos π6＝52，则x ＋y ＝52．从而⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4x ＋y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2．（2）在△ABD 中，由余弦定理知，BD ＝5－4cos α，则S △ABD ＝sin α，S △BDC ＝34BD 2＝34(5－4cos α)， 则S ＝ sin α－ 3cos α＋ 534＝2sin(α－ π3)＋534，α∈(0，π)， 所以S max ＝2＋534，此时α－ π3＝π2，即α＝5π6． 【说明】第（1）问考查平面向量基本定理，将向量AC →用基底AB →，AD →线性表示．此类问题通常的处理方法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”分解；将向量用坐标表示；将向量与基底进行运算（数量积､平方等）．第（2）问考查三角形面积､三角恒等变换及三角函数在给定区间上的最值问题． 5．某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20m /s ．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40m /s )，匀速通过该隧道，设车队的速度为xm /s ，根据安全和车流量的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y (s )． （1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)． 解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )；当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18xx＝18＋9x ＋2700x(s )．所以y ＝⎩⎨⎧3780x，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x，10＜x ≤20．（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． 当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x≥18＋29x ⋅2700x＝18＋1803≈329.4(s )． 当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号．因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )．因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ．【说明】注意半建模型的应用问题，其中变量在不同范围内，对应的函数关系不一样，处理问题的方法也有区别，可与多项式函数､分式函数､三角函数等综合，也可用不等式､导数､三角变换等工具研究其最值．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆O :x 2＋y 2＝1，P 为直线l ：x ＝t (1＜t ＜2)上一点． （1）已知t ＝43．①若点P 在第一象限，且OP ＝53，求过点P 圆O 的切线方程；②若存在过点P 的直线交圆O 于点A ，B ，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围； （2）设直线l 与x 轴交于点M ，线段OM 的中点为Q ．R 为圆O 上一点，且RM ＝1，直线RM 与圆O交于另一点N ，求线段NQ 长的最小值．解：（1）设点P 的坐标为(43，y 0)．①因OP ＝53，所以(43)＋y 02＝(53)2，解得y 0＝±1．又点P 在第一象限，所以y 0＝1，即P 的坐标为(43，1)．易知过点P 圆O 的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k ，则切线为y －1＝k (x －43)，即kx －y ＋1－43k ＝0，于是有|1－43k |k 2＋1 ＝1，解得k ＝0或k ＝247．因此过点P 圆O 的切线为:y ＝1或24x －7y －25＝0． ②设A (x ，y )，则B (x ＋432，y ＋y 02)．因为点A ，B 均在圆上，所以有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋432)2＋(y ＋y 02)2＝1．即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4． 该方程组有解，即圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋43)2＋(y ＋y 0)2＝4有公共点．于是1≤169 ＋y 02≤3，解得－65 3≤y 0≤65 3， 即点P 纵坐标的取值范围是[－65 3，653]． （2）设R (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 22＋y 22＝1，(x 2－t )2＋y 22＝1．解得x 2＝t 2，y 22＝1－t 24． RM 的方程为：y ＝－2y 2t(x －t )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1， y ＝－2y 2t (x －t )．可得N 点横坐标为t (3－t 2)2，所以NQ ＝(2t －t 32)2＋1－(3t －t 32)2＝122t 4－5t 2＋4． 所以当t 2＝54即t ＝ 5 2时，NQ 最小为148．【说明】本题考查了直线与圆的位置关系､圆与圆的位置关系．其中第二问要能体会将方程组有解问题转化为圆与圆有公共点问题；第三问要能会求在已知一个交点的情况下直线与曲线的另一个交点的坐标．最后需要注意解析几何当中求范围问题．7． 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点D (1，32)，且右焦点为F (1,0)，右顶点为A ．过点F 的弦为B C ．直线BA ，直线CA 分别交直线l :x ＝m,(m ＞2)于P ､Q 两点． （1）求椭圆方程；（2）若FP ⊥FQ ，求m 的值．解：（1）1a 2＋94b 2＝1,a 2－b 2＝1,解之得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1；（2）设B (x 0，y 0)，则BC ：y ＝y 0x 0－1(x －1)，与椭圆E ：x 24＋y 23＝1联立方程组：⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)， x 24＋y 23＝1．解得x ＝x 0，y ＝y 0或x ＝8－5x 05－2x 0，y ＝－3y 05－2x 0，所以C (8－5x 05－2x 0,－3y 05－2x 0)．k AB k AC ＝y 0x 0－2⋅－3y 05－2x 08－5x 05－2x 0－2＝y 0x 0－2⋅3y 0x 0＋2＝3y 02x 02－4＝9(1－x 024)x 02－4＝－94．显然k AB ＝k AP ,k AC ＝k AQ ，所以k AP k AQ ＝－94．设Q (m,y 1)k FQ ＝y 1m －1＝y 1m －2⋅m －2m －1＝m －2m －1k AQ ，同理k FP ＝m －2m －1 k AP ．所以k FP k FQ ＝(m －2m －1)2k AP k AQ ＝－94(m －2m －1)2＝－1,又m ＞2，所以m －2m －1＝23，所以m ＝4．【说明】本题考查了椭圆的标准方程､直线的斜率．重点考查学生的计算能力，即应用解析的方法证明圆锥曲线性质的能力．本题中要证明FP ⊥FQ ，即证明k FP k FQ ＝－1，通过分析可以发现k FQ 与k AQ 成比例，同理k FP 与 k AP 成比例，故只需证明k AB k AC 即可．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点､下顶点､左顶点分别为F 2，B ，A ．AB ＝3．直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP 与BQ 交于点M ． （1）求a ，b 的值；（2）当BP 过点F 2时，求过A ､B ､P 三点的圆的方程； *（3）当AM MP ＝BMMQ 时，求F 2M 的最小值．解：（1）根据条件得，⎩⎨⎧c a ＝22，a 2＋b 2＝3，a 2＝b 2＋c 2．解得a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，F 2，B 的坐标分别为(1，0)，(0，－1)．所以BP 方程为y ＝x －1． 代入C ：x 22＋y 2＝1得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43．所以P (43，13)．设过A ，B ，P 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－2，0)，B (0，－1)，P (43，13)代入得，⎩⎨⎧－2D ＋F ＝－2，－E ＋F ＝－1，43D ＋13E ＋F ＝－179．解得⎩⎨⎧D ＝13(2－1)，E ＝－13(2＋1)，F ＝－13(2＋4)．所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋13(2－1)x －13(2＋1)y －13(2＋4)＝0．（3）设P ，Q ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，且AM MP ＝BMMQ＝λ，根据条件得，→AM ＝λ→MP ，→BM ＝λ→MQ ．由→AM ＝λ→MP 得，即(x 0＋2，y 0)＝λ(x 1－x 0，y 1－y 0)． 所以⎩⎨⎧x 0＋2＝λ(x 1－x 0)，y 0＝λ(y 1－y 0)．解得⎩⎨⎧x 1＝(1＋1λ)x 0＋2λ，y 1＝(1＋1λ)y 0．同理，由→BM ＝λ→MQ 得，⎩⎨⎧x 2＝(1＋1λ)x 0，y 2＝(1＋1λ)y 0＋1λ．因为P (x 1，y 1)在椭圆C 上，所以x 12＋2y 12＝2．代入得，[(1＋1λ)x 0＋2λ]2＋2[(1＋1λ)y 0]2＝2．同理得，[(1＋1λ)x 0]2＋2[(1＋1λ)y 0＋1λ]2＝2．把上面两式相减得，(1＋1λ)(x 0－2y 0)＝0．因为1＋1λ≠0，所以x 0－2y 0＝0．即点M 的轨迹是直线x －2y ＝0在椭圆内的一段．所以F 2M 的最小值即为F 2到直线x －2y ＝0距离．即F 2M min ＝∣1⋅1－2⋅0∣12＋(－2)2＝33． 【说明】（1）椭圆中的a ，b ，c 与各种几何量之间关系要熟记，它们是求椭圆标准方程与几何量的基础； （2）注意求方程的待定系数法，合理选择方程的形式；（3）在进行关系转化时，一定要分清主次，要求什么量关系，需要消去哪些量，先想明白，再变形． 9．已知函数f (x )＝(x －1)e x ，g (x )＝ln x ，其中e 是自然对数的底数． （1）求函数f (x )的极值；（2）求函数h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣(a 为常数)的单调区间；解：（1）因为f '(x )＝x e x ，所以当x ＞0时，f '(x )＞0；当x ＜0时，f '(x )＜0． 因此f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以f (x )有极小值为f (0)＝－1，无极大值．（2）h (x )＝f (x )＋e ∣g (x )－a ∣＝(x －1)e x ＋e ∣ln x －a ∣．当x ≥e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(ln x －a )，h '(x )＝x e x ＋ex ＞0恒成立，h (x )在(e a ，＋∞)上单调递增，当0＜x ≤e a 时，h (x )＝(x －1)e x ＋e(a －ln x )，h '(x )＝x e x －e x ，[h '(x )]'＝(x ＋1) e x ＋ex 2＞0恒成立．所以h '(x )在(0，e a ]上单调递增，注意到h '(1)＝0． 因此当a ≤0时，h '(x )≤0恒成立．当a ＞0时，当x ∈(0，1)时，h '(x )＜0；当x ∈[1，e a ]时，h '(x )≥0．综上有：当a ≤0时，h (x )减区间为(0，e a ]，增区间为(e a ，＋∞)． 当a ＞0时，h (x )减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)．【说明】本题以指对函数为载体，考查了导数的运用､分类讨论思想､函数的零点等相关知识．其中第3问要能感受与体会存在性和唯一性的证明方法．10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是实数集R 上的奇函数，且在x ＝1处取得极小值－2． （1）求f (x )的表达式；（2）已知函数g (x )＝|x |－2，判断关于x 的方程f (g (x ))－k ＝0解的个数． 解：（1） f (－x )＝－ax 3＋bx 2－cx ＋d ，－f (x )＝ －ax 3－bx 2－cx －d ，对任意x ∈R ，f (－x )＝ －f (x )，即－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ，bx 2＋d ＝0， 所以b ＝d ＝0，f (x )＝ax 3＋cx ． f ' (x )＝3ax 2＋c,由题意f ' (1)＝3a ＋c ＝0，f (1)＝a ＋c ＝－2,所以a ＝1，c ＝－3， f (x )＝x 3－3x ；（2）令t ＝g (x ),则f (t )＝k ．f ' (t )＝3t 2－3＝3(t ＋1)(t －1),令f ' (t )＝0，则t ＝－1或t ＝1， t ＜－1，则f ' (t )＞0,所以f (t )在(－∞，－1)上单调增， －1＜t ＜1, 则f ' (t )＜0,所以f (t )在(－1，1)上单调减， t ＞1, 则f ' (t )＞0,所以f (t )在(1，＋∞)上单调增． 计算得f (－2)＝f (1)＝－2,f (2)＝f (－1)＝2．1o k ＜－2时,f (t )＝k 仅有一小于－2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2无解；即f (g (x ))－k ＝0无解．2o k ＝－2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－2，t 2＝1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－2，x ＝0， g (x )＝t 2,即|x |－2＝1，x ＝3或x ＝－3，即f (g (x ))－k ＝0有3解；3 o －2＜k ＜2时,f (t )＝k 有三解t 1，t 2，t 3，且－2＜ t 1＜t 2＜t 3＜2，g (x )＝ t i ,即|x |－2＝t i ，|x |＝t i ＋2,有两解，(i ＝1,2,3)，即f (g (x ))－k ＝0有6解；4o k ＝2时,f (t )＝k 有两解t 1＝－1，t 2＝2，g (x )＝t 1,即|x |－2＝－1，x ＝－1或x ＝1， g (x )＝t 2,即|x |－2＝2，x ＝4或x ＝－4，即f (g (x ))－k ＝0有4解；5o k ＞2时,f (t )＝k 仅有一大于2的解t 1，g (x )＝t 1,即|x |－2＝t 1，|x |＝t 1＋2，有2解； 即f (g (x ))－k ＝0有2解．综上，方程f (g (x ))－k ＝0解的个数如下：k ＜－2时0解；k ＝－2时3解；－2＜k ＜2时6解；k ＝2时4解；k ＞2时2解．【说明】本题考查了函数的奇偶性，单调性与极值．重点考查复合函数的零点个数，体现了数形结合与化归的思想．处理复合函数的问题一般用换元法，就复合函数的零点个数而言，一般先求外函数的零点个数，再分别代入内函数即可．研究函数零点问题，重点是利用好数形结合． 11．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，且S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．（1）求常数k 的值以及数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }中的部分项a k 1，a k 2，a k 3，…a k n，…，恰成等比数列，其中k 1＝，,k 3＝14，求a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n 的值．解：（1）法一：条件化为2S n ＝a n ＋k 对n ∈N*成立． 设等差数列公差为d ，则2na 1＋n (n －1)d2＝ a 1＋(n －1)d ＋k ．分别令n ＝1，2，3得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 1＋k ，①22a 1＋d ＝a 1＋d ＋k ，②23a 1＋3d ＝a 1＋2d ＋k ．③由①＋③－2⨯②得，a 1＋3a 1＋3d ＝22a 1＋d ．两边平方得，4a 1＋d ＝23a 12＋3a 1d ． 两边再平方得，4a 12－4a 1d ＋d 2＝0．解得d ＝2a 1． 代入②得，4a 1＝3a 1＋k ，④由④－①得，a 1＝a 1．所以a 1＝0，或a 1＝1． 又当a 1＝0时，d ＝0不合题意．所以a 1＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，等式 S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22对n ∈N *成立．所以k ＝1，a n ＝2n －1．法二：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )．代入S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋k 22得，d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝14[dn ＋(a 1＋k －d )]2，即2dn 2＋(4a 1－2d )n ＝d 2n 2＋2d (a 1＋k －d )n ＋(a 1＋k －d )2．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝d 2，4a 1－2d ＝2d (a 1＋k －d )，a 1＋k －d ＝0．因为d ≠0，所以解得，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1，k ＝1．所以常数k ＝1，通项公式a n ＝2n －1．（2）设c n ＝ a k n，则数列{c n }为等比数列，且c 1＝a k 1＝a 2＝3，c 3＝a k 3＝a 14＝27．故等比数列{c n }的公比q 满足q 2＝c 3c 1＝9．又c n ＞0，所以q ＝3．所以c n ＝c 1q n －1＝3⨯3n －1＝3n ．又c n ＝a k n＝2k n －1，所以2k n －1＝3n ．由此可得k n ＝12⨯3n ＋12．所以a n k n ＝2n －12⨯3n ＋2n －12．所以a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n＝(12⨯31＋12)＋(32⨯32＋32)＋(52⨯33＋52)＋…＋(2n －12⨯3n ＋2n －12) ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⨯[1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n ]＋12n 2． 法一：令S ＝1⨯31＋3⨯32＋5⨯33＋…＋(2n －1)⨯3n则3S ＝ 1⨯32＋3⨯33＋…＋(2n －3)⨯3n ＋(2n －1)⨯3n ＋1，两式相减得:－2S ＝3＋2⨯32＋2⨯33＋…＋2⨯3n －(2n －1)⨯3n ＋1，S ＝－12[2⨯3(1－3n)1－3－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－3(1－3n )－3－(2n －1)⨯3n ＋1]＝－12[－2(n －1)⨯3n ＋1－6]＝(n －1)⨯3n ＋1＋3，代入得a 1k 1＋a 2k 2＋…＋a n k n ＝12⨯[(n －1)⨯3n ＋1＋3]＋12n 2＝(n －1)⋅3n ＋1＋n 2＋32．法二：因为(2k －1)⋅3k ＝[(k ＋1)－2]⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ＝(k －1)⋅3k ＋1－(k －2)⋅3k ．所以S ＝[0⋅32－(－1)⋅31]＋[1⋅33－0⋅32]＋[2⋅34－1⋅33]＋…＋[(n －1)⋅3n ＋1－(n －2)⋅3n ]＝(n －1)⋅3n ＋1＋3．【说明】（1）等差数列或等比数列中的基本量问题，通常转化为方程组求解，但在解方程组要注意一些消元的方法；（2）等差数列注意前n 项和与通项的形式，有时可根据其特征，转化为多项式恒等问题； （3）数列求和中两类比较重要的方法错位相减法与裂项相消法．12．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1对任意正整数n 都成立，其中r 为常数，且r ∈N *． （1）求证：数列{a n }为等比数列；*（2）若r ≥2，且a 1，a t (t ≥3)均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥q t －1，a t ≤(q ＋1)t －1，求证：S t ＝(q ＋1)t －q t ．解：（1）由rS n ＋1－(r ＋1)S n ＝ra 1得rS n ＋2－(r ＋1)S n ＋1＝ra 1，两式相减得ra n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，即a n ＋2 a n ＋1＝r ＋1r ．又rS 2－(r ＋1)S 1＝ra 1，得a 2 a 1＝r ＋1r ．综上可知{a n }为等比数列，且公比为r ＋1r．（2）由于a t ＝a 1(r ＋1r )t －1及a 1均为正整数，所以存在正整数k ，使得a 1＝kr t －1，所以a t ＝k (r ＋1)t －1．由a t ≤(q ＋1)t －1得(q ＋1)t －1≥k (r ＋1)t －1≥(r ＋1)t －1，于是q ≥r ．又由a 1≥qt －1，a t ≤(q ＋1)t －1得a t a 1≤(q ＋1)t －1q t －1，于是(r ＋1r )t －1≤(q ＋1)t －1 q t －1，从而r ＋1r ≤q ＋1q ，即q ≤r ． 由上可知:q ＝r ．所以a t ＝a 1(r ＋1r )t －1＝a 1(q ＋1 q)t －1≤(q ＋1)t －1，于是a 1≤q t －1，又a 1≥q t －1．所以a 1＝q t －1．于是S t ＝a 1 1－(r ＋1r )t 1－r ＋1r＝a 1 r ((r ＋1r )t －1)＝q t －1q ( (q ＋1q )t －1) ＝(q ＋1)t －q t ．【说明】本题考查了S n 与a n 之间的转化､等比数列､简单的不等式等相关知识，具有一定的综合性．第（2）问要能体会由不等推相等的方法．13．设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *都有a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和． （1）求a 1，a 2；（2）求数列{a n }的通项公式；*（3）b n ＝S n ＋3S n ，c n ＝2a n2a n－1＋a n ，试找出所有即在数列{b n }中又在数列{c n }中的项．解：（1）令n ＝1，则a 13＝ S 13＋2S 1，即a 13＝ a 12＋2a 1，所以a 1＝2或a 1＝－1或a 1＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 1＝2．令n ＝2，则a 13＋a 23＝ S 22＋2S 2，即a 13＋a 23＝(a 1＋a 2)2＋2(a 1＋a 2)，解得a 2＝3或a 2＝－2或a 2＝0． 又因为数列{a n }的各项都是正数，所以a 2＝3． （2）因为a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n 3＝S n 2＋2S n (1)所以a 13＋a 23＋a 33＋…＋a n －13＝S n －12＋2S n －1(n ≥2) (2)由(1)－(2)得a n 3＝( S n 2＋2S n )－(S n －12＋2S n －1)＝(S n －S n －1)( S n ＋ S n －1＋2)＝a n ( S n ＋S n －1＋2)， 因为a n ＞0,所以a n 2＝S n ＋S n －1＋2 (3) 所以a n －12＝S n －1＋S n －2＋2(n ≥3) (4)由(3)－(4)得a n 2－a n －12＝a n ＋a n －1，即a n －a n －1＝1(n ≥3)， 又a 2－a 1＝1，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1．（3）S n ＝n (n ＋3)2，所以b n ＝S n ＋3S n ＝n (n ＋3)＋6n (n ＋3),c n ＝2an2a n－1＋a n ＝2n ＋12n ＋n ＋1．不妨设数列{b n }中的第n 项b n 和数列{c n }中的第m 项c m 相同，则b n ＝c m ． 即n (n ＋3)＋6n (n ＋3)＝2m ＋12m ＋m ＋1，即6n (n ＋3)＝2m －m －12m ＋m ＋1．1o若2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)≥13，则n 2＋3n －18≤0，所以1≤n ≤3，n ＝1时,2m －m －12m ＋m ＋1＝32，无解；n ＝2时，2m －m －12m ＋m ＋1＝35，即5·2m －5m －5＝3·2m ＋3m ＋3，所以2m ＝4m ＋4，m ＝1,2,3,4时2m ＜4m ＋4；m ≥5时,令f (m )＝2m －4m －4,则f (m ＋1)－f (m )＝2m －4＞0，所以f (m )单调增，所以f (m )≥f (5)＝8＞0,所以2m ＝4m ＋4无解； n ＝3时2m －m －12m ＋m ＋1＝13，即2m ＝2m ＋2，m ＝1,2时，2m ＜2m ＋2； m ＝3时，2m ＝2m ＋2； m ＝4时，2m ＞2m ＋2； m ≥5时，2m ＞4m ＋4＞2m ＋2． 所以，m ＝3，n ＝3．2o若 2m －m －12m ＋m ＋1＝6n (n ＋3)＜13，即2m ＜2m ＋2．由1 知，当m ≥3时，2m ≥2m ＋2。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设f(x)=1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为（ ） A ．（1，2）⋃（3，+∞）B ．（10，+∞）C ．（1，2）⋃ (10 ，+∞）D ．（1，2）(2006) 2．若函数4||y y x a x==-和的图像有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．4a >-． B ．4a ≤-． C ．4a ≤． D ．4a >．3．给出下列命题：(1)函数sin sin y x x y x ==的图像可由的图像平移得到； (2) ||b a b a b a b ⋅已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是； (3)在空间中，若角α的两边分别与角β的两边平行，则αβ=；(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据123n x x x x 、、、、(*2n n N ≥∈，)，则数值S =(x 为样本平均值)可作为总体标准差的点估计值． 则上述命题正确的序号是 [答]( )A ．(1)、(2)、(4)．B ．(4)．C ．(2)、(3)．D ．(2)、(4)．二、填空题4．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=S S S S S λ记，2212S Sλλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 5．函数))(1()(a x x x f +-=为奇函数，则)(x f 的减区间为 ．6．已知函数221(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则不等式()2f x x -≤的解集是 △ ． 7．已知函数)sin(2ϕω+=x y （0>ω）在区间]2,0[π上的图象如图,则=ω8．设函数()f x 满足：对任意的x R ∈，恒有()()0,f x f x ≥，当[)0,1x ∈时，()12,02112x x f x x ⎧+≤<⎪⎪=≤<，则()9.9f = ▲ ．9．已知60381,6727==yx ,则x y 34-= .10．函数()x f x a =在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a =11．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U C A B =（） ．12．1mx =+有且只有一个实根，则实数m 的取值范围13．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________[-3,1] 14．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在[0,1]内至少有5个最小值点,则正整数ω的最小值 为___▲___.15．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(lg )(x x x x f x ， 若21)(=m f ，则=m16．若函数2,0()2,0x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________17．设函数22,0,()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___▲_____.18．已知()2 1 02 0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩ ， 若()10=x f ,则 x = ．三、解答题19．设向量),cos ,(sin x x =),sin 3,(sin x x =x ∈R ，函数)2()(x f +⋅=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．(本小题满分14分)20．（本题满分16分）已知函数2()151x f x =-+. （1）判断函数)(x f 的奇偶性,并说明理由；（2）若()1af x ≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.21．1．如图，某城市设立以城中心O 为圆心、r 公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O 正东方向上有一条高速公路PB 、西南方向上有一条一级公路QC ，现要在保护区边缘PQ 弧上选择一点A 作为出口，建一条连接两条公路且与圆O 相切的直道BC ．已知通往一级公路的道路AC 每公里造价为a 万元，通往高速公路的道路AB 每公里造价是2m a 万元，其中,,a r m 为常数，设POA θ∠=，总造价为y 万元．（1）把y 表示成θ的函数()y f θ=，并求出定义域； （2）当m =A 点的位置才能使得总造价最低？22．已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--．(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)求证：()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭； (3)已知(),1,1a b ∈-，且11a b f ab +⎛⎫=⎪+⎝⎭，21a b f ab -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求()(),f a f b 的值． 23．设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,<<a b（1）求方程()1f x =的解；（2）若a ，b 满足()()2()2+==a b f a f b f ，试写出a 与b 的等量关系（至少写出两个）；（3）在（2）的基础上，证明在这一关系中存在b 满足34<<b .24．某房地产销售商预计2012年1月份起前x 个月的公寓房销售总套数（单位：套）与x 的关系满足1()(1)(392)2f x x x x =+-*(,12)x N x ∈≤，第x 个月每套房的平均利润()h x （单位：万元）与x 的近似关系为**352,(,16)()160,(,712)x x N x h x x N x x⎧-∈≤≤⎪=⎨∈≤≤⎪⎩ （1）求第x 个月的公寓房销售套数()g x 与x 的函数关系式；（2）试问该销售商在2012年中第几月份的利润最大？25．如图,有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45（其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上）,设,tan PAB t θθ∠==．（1）用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值． （2）问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域阴影部分的面积S 最大为多少（平方百米）?（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．145,tan(45),1t DAQ DQ t θθ︒︒-∠=-=-=+ -----------------------------2分 121.11t t CQ t t-=-=++ --------------------------------------------------------------4分11t PQ t+∴===+2---------------------6分 211 2.11t t l CP PQ QC t t t+=++=-++=++2=定值--------------------------------7分 11(2)1221ABP ADQ ABCD t t S SS S t∆∆-=--=--+正方形 当-----------------------10分 122(1)221t t =-++≤-+ 分 ,0 1.1BP t t CP t =≤≤=-解：（1）设则D P 45DP 45θ当且仅当时取等号.------------------------------------------------------13分2探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少(为平方百米-----14分26．设函数()32f x x mx nx p =+++的图像如图所示，则2212x x +等于____________27．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．28． 若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m .（1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2；（3）已知函数()f x 的定义域{},,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1si n x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数ln(1-x)的定义域为A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1] （2013年高考江西卷（理））2．已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是 Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ （2009四川卷理）【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

3．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩ 取函数()2x f x -=。

当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ （2009湖南卷文）二、填空题4．已知函数2log ,0()=2,0x x x f x x >⎧⎨≤⎩若==a a f 则21)( ▲ ． 5．函数2()lg(31)f x x =+的定义域为 ___1(,1)3-__________． 6．定义在R 上的函数()y f x =满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2013f = 。

7． 已知函数||()e ||x f x x =+.若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 (1,)+∞8．方程 |e 1|10x ax -++=有两个不同的解，则实数a 的取值范围是________．9．已知函数1(),4,()2(1),4,x x f x f x x ⎧⎪=⎨⎪+<⎩≥ 则2(2log 3)f +＝ ▲ .10=________．11．函数212log (253)y x x =--的单调递增区间是 .12．已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.13．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________[-3,1] 14．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝(2－2－|x －2|)2，要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的值．∵f (x )的值域为[1,4)∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.15．设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -= ▲ ；16．已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，则)(x f 在[]3,3-上的最大值为 ，最小值为 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,2（2013年高考浙江卷（文））2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））A . 4 B.3 C.2 D.1 3．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x ==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>4．设偶函数()(0,)f x +∞在上为减函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x +->的解集为（ ）A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-5．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是区间[0,1]，则a 的值等于 ------------------( )A.2D.13二、填空题 6．已知函数f (x )＝ln(2x －1)，则f ′(x )＝ ．7． 若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，则k 的值为______．8．已知函数 (0)()(3)4 (0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 成立，则a 的取值范围是 ．9．已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 ▲ .10．把函数cos()3y x π=+的图象向左平移m 个单位（0m >）所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是_________________11．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”． 已知432115()1262f x x mx x =-++．若当实数m 满足||4m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凹函数”，则b a -的最大值为 ．12．已知函数()23f x x =-，若021a b <<+，且()()23f a f b =+，则23T a b =+的取值范围是 ▲ ．13．已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心 完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是__ ___. ]3,23[- 14． 某同学在研究函数 x x x f +=1)((x R ∈) 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数)(x f 的值域为 (－1,1)； ③若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠；④方程x x f =)(在R 上有三个根.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题15．已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的奇函数 ，当]1,0(∈x 时， 2()12x f x x =+ （1）判断函数)(x f 在区间]1,0(上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）求函数)(x f 在]1,1[-上的解析式；（3）求函数)(x f 的值域．16．已知二次函数f (x)=ax 2+bx+c (a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c)=0，且0<x<c 时，f (x)>0（1）试比较a 1与c 的大小；（2）证明：-2<b<-1；（3）当c>1,t>0时，求证：012>++++t c t b t a17．求函数y x =+.(构造截距)变式:求函数2y x =.18．已知函数2()2,()f x x g x x =-=,定义函数(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩,求()F x 的最大值.19．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.20．已知函数4()log (41)(1)x f x k x =+--（x ∈R ）为偶函数．（1）求常数k 的值；（2）当x 取何值时函数()f x 的值最小？并求出()f x 的最小值；（3）（理）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，试根据实数a 的取值，讨论函数()f x 与()g x 的图像的公共点个数．（文）设44()log (2)3x g x a a =⋅-（0a ≠），且函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．21．设函数322()21f x x mx m x m =---+-(其中2m >-)的图象在2x =处的切线与直线y =－5x +12平行.(Ⅰ)求m 的值；(4分)(Ⅱ)求函数)(x f 在区间[0,1]的最小值；(4分)(Ⅲ)若0a ≥,0b ≥,0c ≥ ,且1a b c ++=,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明:222911110a b c a b c ++≤+++. (8分) 20．（本小题满分16分）22．已知]2,1[,3)(∈-+=x xb x x f (1) 2=b 时，求)(x f 的值域；(2) 2≥b 时，)(x f 的最大值为M ，最小值为m ，且满足：4≥-m M ，求b 的取值范围．（本小题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）关键字：对勾函数；分类讨论；求最值23．设函数2()(,)f x x x a x R a R =+-∈∈.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当2a =时，求()f x 的单调区间；（3）若()10f x <对(1,3)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围．（本小题满分16分）24．某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左图， B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图 (注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?25．如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2 (2009山东卷文)【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.2．已知()log +1 a g x x =(a ＞0且a ≠1)在(－1,0)上有g (x )>0，则1()x f x a +=A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),1-∞-上是减少的 二、填空题3．已知函数log (0,1)a y x a a =>≠在[2,4]x ∈上的最大值比最小值多1，则a =________；4．已知(31)4,1(),1xa x a x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是5．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝271x ax ax ++++，a ∈R ．若对于任意的x ∈N*，f (x )≥4恒成立，则a的取值范围是 ．7． 函数()ln(1)f x x x =-+的减区间是8．若函数21y a x =⋅,22x y c =⋅,33y b x =⋅,则由表中数据确定()f x 、()g x 、()h x 依次对应 （ ）.(A) 1y 、2y 、3y (B) 2y 、1y 、3y(C ) 3y 、2y 、1y (D) 1y 、3y 、2y9．设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是___________10．已知：2(1)f x x -=,则(2)_________f =11．不等式1420xx k ++->对一切x R ∈恒成立，则k 范围为 ▲ 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x关于y 轴对称,则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --（2013年高考北京卷（理））2．设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x =4．对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和25．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）96．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则( ) A ．f (sin 12)<f (cos 12) B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1,0]，知x ＋4∈[3,4]，f (x )＝f (x ＋4) ＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f (x )的图象， 如图所示：sin 12<cos 12⇒f ⎝⎛⎭⎫sin 12>f ⎝⎛⎭⎫cos 12； sin π3>cos π3⇒f ⎝⎛⎭⎫sin π3<f ⎝⎛⎭⎫cos π3； sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)； sin 32>cos 32⇒f ⎝⎛⎭⎫sin 32<f ⎝⎛⎭⎫cos 32.7．如果log 2log 20a b >>，那么------------------------------------------------（ ） (A)1a b << (B)1b a << (C)01a b <<< (D)01b a <<<二、填空题8． 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________9．在使用二分法求方程的近似解过程中，已确定方程133-=x x 一根()1,00∈x ，则再经过两次计算后，0x 所在的开区间为 ．10．函数2()ln f x x =的单调递增区间为 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数12()f x x-=的大致图像是( ) （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）2．f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (2)＝0，则函数y ＝f (x )在区间(－1,4)内的 零点个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.由f (2)＝0，得f (－2)＝0.又∵f (x )的周期为3，∴f (1)＝0，f (3)＝0.又∵f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫32， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝0.故选D.3．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为 ( )A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}解析：∵log a x ＋log a y ＝3，∴xy ＝a 3.∴y ＝a 3x 由于当x 在[a,2a ]内变化时，都有y ∈[a ，a 2]满足方程，因此[a ，a 2]应包含函数y ＝a 3x 在[a,2a ]上的值域，也就是函数y ＝a 3x在[a,2a ]的值域是[a ，a 2]的子集． ∵12a ≤1x ≤1a ，∴a 22≤a 3x≤a 2. ∴a 22≥a ，∴a ≥2.二、填空题4．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则)23(f 、)31(f 和)32(f 三个值中最大的为 )31(f ． 5．已知函数1(1),(0)()2, (0)x a x a x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，是(,)-∞+∞上的单调减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .(第Ⅱ卷）6．y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x ≥－2－6－3x ，x <－2，若不等式f (x )≥2x －m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ________．解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝2x －m 及y ＝f (x )的图象(如图)，由于不等式f (x )≥2x －m 恒成立，所以函数y ＝2x －m 的图象应总在函数y ＝f (x )的图象的下方，因 此，当x ＝－2时，y ＝－4－m ≤0，所以m ≥－4, 所以m 的取值范围是[－4，＋∞)．7．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是 ．8．设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),(),().k f x f x k f x k f x k >⎧=⎨≤⎩，若函数3()log ||f x x =，则当13k =时，函数()k f x 的单调减区间为 。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是区间[0,1]，则a 的值等于 ------------------( )A.2C.2D.13二、填空题2．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 2 3．函数()ln f x x x =的单调区间是________4．函数sin y x =在区间[]0,t 上恰好取得一个最大值，则实数t 的取值范围是_ __5．把函数cos(2)4y x π=+的图像向右平移6π个单位后，所得到的图像的函数解析式为 . 6．将3log 2，234-，3log 5.0用“＜”从小到大排列7．设函数⎩⎨⎧<--≥+-=0),1(log 60,64)(22x x x x x x f ，若互不相同的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是8．已知函数24)12(x x f =+，则=)5(f .9．定义在[)1+∞,上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈, 时，()13f x x =--，则集合{}()(36)x f x f =中的最小元素是 ▲ ．10． 已知函数f (x )满足f (1)= 41，f (x )+ f (y )=4 f (2y x +)f (2y x -)(x ,y ∈R )，则f (—2011)= ▲ ．11．已知变量x ，y 满足约速条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x Z +=2的最大值为▲ ．12．已知函数()f x ＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a = .13． 定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值 范围是 .关键字：抽象函数；已知奇偶性；已知单调性；求参数的取值范围14．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且在[]1,3-内，关于x 的方程()()1,1f x kx k k R k =++∈≠-有四个根，则k 得取值范围是15．设函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则方程()1(21)f x x x +=-的解为______三、解答题16．如图,矩形ABCD 中, 4,3AB AD ==,,E F 分别是边,AB BC 上的点,且AE BF x ==,设五边形AEFCD 的面积为,s 周长为,c (1)分别写出,s c 关于x 的函数解析式,并指出它们的定义域.(2)分别求,s c 的最小值及取最小值时x 的值. （第18题图） 17．计算（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+BEF（2）设32121=+-x x ，求1-+x x 及2121--x x 的值．18．某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数,01)(⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 则下列结论错误的是 A.D （x ）的值域为{0,1}B. D （x ）是偶函数C. D （x ）不是周期函数D.D （x ）不是单调函数2．对于函数f （x ）=asinx+bx+c （其中，a,b ∈R,c ∈Z ）,选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和23．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数4．函数()412x xf x -=的图象关于( )． Ａ．原点对称 Ｂ．直线y x =对称Ｃ．直线y x =-对称 Ｄ．y 轴对称5．当||4x π≤时，函数cos sin 2y x x =+的最小值是------------------------------------------------------------（ ）(A)12 (B)12- (C)12 (D)12+- 二、填空题6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x ，则)3log 2(2+f 的值为7．函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在(],0-∞上是减函数，若1()23f =，则满足不等式2)(>x f 的x 的范围为 ▲ ． 8．函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----在0x =处的切线方程为9．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ▲ ．10．已知32)12(+=-x x f ,且f (m )=6,则m 等于 ． 11．关于x 的方程0|56|2=-+-a x x 有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是12=________．13．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,1-∈x 时，2)(x x f =，则)(x f y = 与x y 5log =的图象的交点个数为14．函数1()ln f x x a x x=--在(1,)e 上不单调，则实数a 的取值范围是 ．15． 已知函数]2,2[,)(2-∈=x x x f 和函数]2,2[,1)(-∈-=x ax x g ，若对于任意]2,2[1-∈x ，总存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则实数a 的取值范围为_________．16．过原点O 的直线与函数2xy =的图象交与A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数4x y =的图象于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是17． 某同学在研究函数 xx x f +=1)((x R ∈) 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()0f x f x -+=在x R ∈时恒成立； ②函数)(x f 的值域为 (－1,1)； ③若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠；④方程x x f =)(在R 上有三个根.其中正确结论的序号有 ▲ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)18．对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f的最小值是____________________________.19．设f(x)=|x|x+bx+c,给出下列命题中，所有正确的命题序号是___________①b=0,c>0时，f(x)=0仅有一个根；②c=0时，y=f(x)为奇函数；③y=f(x)的图象关于点(0,1)对称；④f(x)=0至少有两个实数根。

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是二、填空题2．已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，若函数()f x 的最小值为2-，则实数a 的值为 ▲ ．3．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =__ ．4．已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若存在一个实数x ，使()f x 与()g x 均不是正数，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 5．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ▲ ．6．已知且则的最小值是 ▲ .7．已知函数()62-=x x f ，若a ＜b ＜0，且()()b f a f =，则b a 2的最小值是 。

8．若函数21y a x =⋅,22x y c =⋅,33y b x =⋅,则由表中数据确定()f x 、()g x 、()h x 依次对应 （ ）.(A) 1y 、2y 、3y (B) 2y 、1y 、3y (C ) 3y 、2y 、1y (D) 1y 、3y 、2y9．已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲10．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且在[]1,3-内，关于x 的方程()()1,1f x kx k k R k =++∈≠-有四个根，则k 得取值范围是11．已知幂函数的图像过点()2,4，则其解析式为12y x =12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,若函数()1)f x x =<≤,则(5.5)f = .13．已知集合{}7,6,4,2,1=A ，{}7,5,4,3=B ，则A B = .14．函数sin y x =在区间[]0,t 上恰好取得一个最大值，则实数t 的取值范围是_ __15．已知函数 (0)()(3)4 (0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- 成立，则a 的取值范围是 ．16．设,2log ,2,3232322==⎪⎭⎫⎝⎛=c b a 则,,a b c 由小到大的顺序是 ．17．已知f (x )是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若函数f (x )在区间[-1，t ]上的最小值为-1，则实数t 的取值范围是 ▲ .18．函数12-=x y 的图象和函数k x y +=的图象恰有三个交点，则k 的值是 .19．已知函数221(0)()2(0)x x f x xx ⎧+≤=⎨->⎩，则不等式()2f x x -≤的解集是 △ ．20． 已知函数2log (0)(),3(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是 1921．函数1)(2+=x x f 是 （填“奇”或“偶”）函数； 三、解答题22．如图，矩形ABCD 的顶点A 在直线l 上，让矩形ABCD 绕其顶点A 在平面内逆时针旋转，设BAE θ∠=（点E 在直线l 上），0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，记点C 到直线l 的距离是h ，（1）若1BC =，求h 关于θ的函数解析式，并确定θ的大小，使h =（2）在（1）的条件下，求()h θ的单调递增区间；（3）若,,AB m AC n ==猜想h 的最大值（不需要解答过程）。